Zapisivanje običnog razlomka kao beskonačne decimale. Kako napisati broj u tački

§ 114. Pretvaranje običnog razlomka u decimalu.

Pretvaranje običnog razlomka u decimalni razlomak znači pronalaženje decimalnog razlomka koji bi bio jednak datom običnom razlomku. Prilikom pretvaranja običnih razlomaka u decimale, naići ćemo na dva slučaja:

1) kada se obični razlomci mogu pretvoriti u decimale upravo;

2) kada se obični razlomci mogu pretvoriti samo u decimale otprilike. Razmotrimo ove slučajeve uzastopno.

1. Kako običan nesvodljivi razlomak pretvoriti u decimalu, ili, drugim riječima, kako običan razlomak zamijeniti decimalom jednakom njemu?

U slučaju kada obični razlomci mogu biti upravo pretvoreno u decimalni, postoji dva načina takav tretman.

Prisjetimo se kako zamijeniti jedan razlomak drugim koji je jednak prvom, ili kako prijeći iz jednog razlomka u drugi bez promjene vrijednosti prvog. To smo uradili kada smo razlomke sveli na zajednički imenilac (§86). Kada razlomke svedemo na zajednički nazivnik, postupimo na sljedeći način: pronađemo zajednički imenilac za te razlomke, izračunamo dodatni faktor za svaki razlomak, a zatim pomnožimo brojnik i nazivnik svakog razlomka ovim faktorom.

Pošto smo to primijetili, uzmimo nesvodljivi razlomak 3/20 i pokušajmo ga pretvoriti u decimalu. Imenilac ovog razlomka je 20, ali ga morate dovesti do drugog imenioca, koji bi bio predstavljen jedinicom sa nulama. Tražit ćemo najmanji imenilac od jedan iza kojeg slijede nule.

Prvi način pretvaranje običnog razlomka u decimalu zasniva se na dekomponovanju nazivnika na proste faktore.

Morate saznati s kojim brojem treba pomnožiti 20 tako da proizvod bude izražen kao jedan iza kojeg slijede nule. Da biste saznali, prvo morate zapamtiti na koje su proste faktore razloženi brojevi predstavljeni jedinicom i nulama. Ovo su dekompozicije:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Vidimo da se broj predstavljen jedinicom sa nulama razlaže samo na dvojke i petice, i da nema drugih faktora u ekspanziji. Osim toga, dvojke i petice su uključene u proširenje u istom broju. I, konačno, broj tih i drugih faktora odvojeno jednak je broju nula iza jedinice na slici datog broja.

Sada da vidimo kako se 20 rastavlja na proste faktore: 20 = 2 2 5. Iz ovoga je jasno da u dekompoziciji broja 20 postoje dvije dvojke i jedna petica. To znači da ako ovim faktorima dodamo jednu peticu, dobićemo broj predstavljen jednim sa nulama. Drugim riječima, da bi nazivnik imao broj predstavljen jedinicom sa nulama umjesto 20, potrebno je 20 pomnožiti sa 5, a kako se vrijednost razlomka ne bi promijenila, potrebno je pomnožiti njegov brojilac sa 5 , tj.

Dakle, da biste obični razlomak pretvorili u decimalu, potrebno je razložiti imenilac ovog običnog razlomka na proste faktore, a zatim izjednačiti broj dvojki i petica u njemu, uvodeći u njega (i, naravno, u brojnik ) faktori koji nedostaju u traženom broju.

Primijenimo ovaj zaključak na neke razlomke.

Pretvorite 3/50 u decimalu. Imenilac ovog razlomka se proširuje na sljedeći način:

To znači da nedostaje jedna dvojka. Dodajmo to:

Pretvorite 7/40 u decimalu.

Imenilac ovog razlomka se rastavlja na sljedeći način: 40 = 2 2 2 5, tj. nedostaju mu dvije petice. Hajde da ih uvedemo u brojilac i imenilac kao faktore:

Iz navedenog nije teško zaključiti koji se obični razlomci tačno pretvaraju u decimale. Sasvim je očigledno da se nesvodljivi obični razlomak, čiji nazivnik ne sadrži nijedan drugi prosti faktor osim 2 i 5, pretvara tačno u decimalu. Decimalni razlomak, koji se dobije preokretom nekog običnog razlomka, imat će onoliko decimalnih mjesta koliko puta nazivnik običnog razlomka nakon njegovog smanjenja uključuje brojčano prevladavajući faktor 2 ili 5.

Ako uzmemo razlomak 9/40, onda će se, prvo, pretvoriti u decimalu, jer njegov nazivnik uključuje faktore 2 2 2 5, a drugo, rezultujući decimalni razlomak će imati 3 decimale, jer je brojčano dominantan faktor 2 tri puta ulazi u ekspanziju. Zaista:

Drugi način(deljenjem brojioca sa imeniocem).

Pretpostavimo da želite pretvoriti 3/4 u decimalni razlomak. Znamo da je 3/4 količnik od 3 podeljen sa 4. Ovaj količnik možemo pronaći tako što podelimo 3 sa 4. Uradimo ovo:

Dakle, 3 / 4 = 0,75.

Drugi primjer: pretvoriti 5/8 u decimalni razlomak.

Dakle 5 / 8 = 0,625.

Dakle, da biste razlomak pretvorili u decimalu, trebate samo podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom.

2. Razmotrimo sada drugi od slučajeva navedenih na početku pasusa, tj. slučaj kada se običan razlomak ne može pretvoriti u tačnu decimalu.

Običan nesvodljivi razlomak čiji nazivnik sadrži bilo koji prosti faktor osim 2 i 5 ne može se tačno pretvoriti u decimalu. Zapravo, na primjer, razlomak 8/15 ne može se pretvoriti u decimalu, jer se njegov imenilac 15 razlaže na dva faktora: 3 i 5.

Ne možemo eliminirati trojku iz nazivnika i ne možemo odabrati cijeli broj takav da, nakon množenja datog nazivnika s njim, proizvod bude izražen kao jedan iza kojeg slijede nule.

U takvim slučajevima možemo samo razgovarati aproksimacija obične razlomke u decimale.

Kako se to radi? To se radi tako što se brojnik običnog razlomka podijeli sa nazivnikom, odnosno u ovom slučaju se koristi druga metoda pretvaranja običnog razlomka u decimalu. To znači da se ova metoda koristi i za precizno i ​​za približno rukovanje.

Ako se razlomak pretvori tačno u decimalni razlomak, tada dijeljenje proizvodi konačni decimalni razlomak.

Ako se običan razlomak ne pretvori u tačnu decimalu, tada dijeljenje proizvodi beskonačan decimalni razlomak.

Budući da ne možemo izvoditi beskonačan proces dijeljenja, dijeljenje moramo zaustaviti na nekom decimalu, odnosno izvršiti približno dijeljenje. Možemo, na primjer, prestati dijeliti na prvu decimalu, odnosno ograničiti se na desetine; ako je potrebno, možemo se zaustaviti na drugom decimalnom mjestu, dobijanju stotinke, itd. U tim slučajevima kažemo da zaokružujemo beskonačan decimalni razlomak. Zaokruživanje se vrši sa tačnošću koja je potrebna za rešavanje ovog problema.

§ 115. Pojam periodičnog razlomka.

Vječni decimalni razlomak u kojem se jedna ili više cifara uvijek ponavlja u istom nizu naziva se periodični decimalni razlomak. Na primjer:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Poziva se skup brojeva koji se ponavljaju period ovaj razlomak. Period prvog od gore napisanih razlomaka je 3, period drugog razlomka je 12, period trećeg razlomka je 234. To znači da se period može sastojati od nekoliko cifara - jedne, dvije, tri, itd. Prvi skup cifara koji se ponavljaju naziva se prvi period, drugi totalitet - drugi period, itd., tj.

Periodični razlomci mogu biti čisti ili mješoviti. Periodični razlomak se naziva čistim ako njegov period počinje odmah nakon decimalnog zareza. To znači da će gore napisani periodični razlomci biti čisti. Naprotiv, periodični razlomak se naziva mješovitim ako ima jednu ili više cifara koje se ne ponavljaju između decimalne točke i prve točke, na primjer:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Da biste skratili slovo, brojeve tačke možete napisati jednom u zagradama i ne stavljati tri tri tačke iza zagrada, tj. umjesto 0,33... možete napisati 0,(3); umjesto 2,515151... možete napisati 2,(51); umjesto 0,2333... možete napisati 0,2(3); umjesto 0,8333... možete napisati 0,8(3).

Periodični razlomci se čitaju ovako:

0,(3) - 0 cijelih brojeva, 3 u tački.

7,2(3) - 7 cijelih brojeva, 2 prije tačke, 3 u tački.

5.00(17) - 5 cijelih brojeva, dvije nule prije tačke, 17 u tački.

Kako nastaju periodični razlomci? Već smo vidjeli da pri pretvaranju razlomaka u decimale mogu postojati dva slučaja.

Prvo, nazivnik običnog nesvodljivog razlomka ne sadrži druge faktore osim 2 i 5; u ovom slučaju, obični razlomak postaje konačna decimala.

drugo, nazivnik običnog nesvodljivog razlomka sadrži sve proste faktore osim 2 i 5; u ovom slučaju, obični razlomak se ne pretvara u konačnu decimalu. U ovom potonjem slučaju, pokušaj da se razlomak pretvori u decimalu dijeljenjem brojioca sa nazivnikom rezultira beskonačnim razlomkom koji će uvijek biti periodičan.

Da bismo to vidjeli, pogledajmo primjer. Pokušajmo pretvoriti razlomak 18/7 u decimalu.

Mi, naravno, unaprijed znamo da se razlomak s takvim nazivnikom ne može pretvoriti u konačnu decimalu, a govorimo samo o približnoj konverziji. Podijelite brojilac 18 sa imeniocem 7.

Dobili smo osam decimalnih mjesta u količniku. Nema potrebe dalje nastavljati podjelu, jer se ona ionako neće završiti. Ali iz ovoga je jasno da se dijeljenje može nastaviti beskonačno i tako dobiti nove brojeve u količniku. Ovi novi brojevi će se pojaviti jer ćemo uvijek imati ostatke; ali nijedan ostatak ne može biti veći od djelitelja, što je za nas 7.

Da vidimo kakve smo bilance imali: 4; 5; 1; 3; 2; b, tj. radilo se o brojevima manjim od 7. Očigledno ih ne može biti više od šest, a daljim nastavkom dijeljenja će se morati ponavljati, a nakon njih će se ponavljati cifre količnika. Gornji primjer potvrđuje ovu ideju: decimalna mjesta u količniku su u ovom redoslijedu: 571428, a nakon toga su se ponovo pojavili brojevi 57. To znači da je prvi period završen, a drugi počinje.

dakle, beskonačni decimalni razlomak dobijen invertiranjem običnog razlomka uvijek će biti periodičan.

Ako se pri rješavanju zadatka naiđe na periodični razlomak, onda se uzima sa tačnošću koju zahtijevaju uslovi zadatka (na deseti, do stoti, do hiljaditi, itd.).

§ 116. Zajedničke radnje sa običnim i decimalnim razlomcima.

Prilikom rješavanja raznih zadataka naići ćemo na slučajeve gdje problem uključuje i obične i decimalne razlomke.

U tim slučajevima možete ići na različite načine.

1. Pretvorite sve razlomke u decimale. Ovo je zgodno jer su proračuni s decimalnim razlomcima lakši nego s običnim razlomcima. Na primjer,

Pretvorimo razlomke 3/4 i 1 1/5 u decimale:

2. Pretvorite sve razlomke u obične razlomke. To se najčešće radi u slučajevima kada postoje obični razlomci koji se ne pretvaraju u konačne decimale.

Na primjer,

Pretvorimo decimalne razlomke u obične razlomke:

3. Proračuni se provode bez pretvaranja nekih razlomaka u druge.

Ovo je posebno korisno kada primjer uključuje samo množenje i dijeljenje. Na primjer,

Prepišimo primjer ovako:

4. U nekim slučajevima pretvoriti sve razlomke u decimale(čak i one koje se pretvaraju u periodične) i pronađu približan rezultat. Na primjer,

Pretvorimo 2/3 u decimalni razlomak, ograničavajući se na hiljaditinke.

Beskonačne decimale

Decimale iza decimalnog zareza mogu sadržavati beskonačan broj cifara.

Beskonačne decimale- to su decimalni razlomci, koji sadrže beskonačan broj cifara.

Beskonačan decimalni razlomak je gotovo nemoguće u potpunosti zapisati, pa se pri njihovom pisanju ograničavaju na samo određeni konačan broj cifara iza decimalnog zareza, nakon čega se stavlja elipsa, što označava beskonačno kontinuirani niz cifara.

Primjer 1

Na primjer, $0.443340831\dots ; 3.1415935432\dots ; 135.126730405\dots ; 4.33333333333\dots ; 676.68349349\dots$.

Pogledajmo posljednje dvije beskonačne decimale. U razlomku $4.33333333333\dots$ cifra $3$ se ponavlja beskonačno, a u razlomku $676.68349349\dots$ grupa cifara $3$, $4$ i $9$ se ponavlja od treće decimale. Takvi beskonačni decimalni razlomci nazivaju se periodični.

Periodične decimale

Periodične decimale(ili periodične frakcije) su beskonačni decimalni razlomci, u čijem se zapisu neki broj ili grupa brojeva, nazvana periodom razlomka, beskonačno ponavlja sa određenog decimalnog mjesta).

Primjer 2

Na primjer, period periodičnog razlomka $4,33333333333\dots$ je znamenka $3$, a period razlomka $676,68349349\dots$ je grupa cifara $349$.

Radi kratkoće pisanja beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka, uobičajeno je da se tačka napiše jednom, stavljajući je u zagrade. Na primjer, periodični razlomak $4.33333333333\dots$ je napisan $4,(3)$, a periodični razlomak $676.68349349\dots$ je napisan $676.68(349)$.

Beskonačni periodični decimalni razlomci se dobijaju pretvaranjem običnih razlomaka čiji imenioci sadrže proste faktore osim $2$ i $5$ u decimalne razlomke.

Bilo koji konačni decimalni razlomak (i ​​cijeli broj) može se napisati kao periodični razlomak dodavanjem beskonačnog broja cifara $0$ desno.

Primjer 3

Na primjer, konačna decimalna jedinica $45,12$ mogla bi se napisati kao periodični razlomak kao $45,12(0)$, a cijeli broj $(74)$ kao beskonačna periodična decimala bi bila $74(0)$.

U slučaju periodičnih razlomaka koji imaju period od 9, koristite prijelaz na drugu notaciju periodičnog razlomka s periodom od $0$. Samo u tu svrhu, period 9 se zamjenjuje točkom $0$, a vrijednost sljedeće najviše cifre se povećava za $1$.

Primjer 4

Na primjer, periodični razlomak $7,45(9)$ može se zamijeniti periodičnim razlomkom $7,46(0)$ ili ekvivalentnim decimalnim razlomkom $7,46$.

Beskonačni decimalni periodični razlomci su predstavljeni racionalnim brojevima. Drugim riječima, bilo koji periodični razlomak se može pretvoriti u običan razlomak, a svaki obični razlomak se može predstaviti kao periodični razlomak.

Pretvaranje razlomaka u konačne i beskonačne periodične decimale

Ne samo da se obični razlomci sa nazivnicima $10, 100, \dots$ mogu pretvoriti u decimalni razlomak.

U nekim slučajevima, originalni obični razlomak se lako može svesti na nazivnik od $10$, $100$ ili $1\000$, nakon čega se rezultujući razlomak može predstaviti kao decimalni razlomak.

Primjer 5

Da biste pretvorili razlomak $\frac(3)(5)$ u razlomak sa nazivnikom $10$, potrebno je pomnožiti brojilac i imenilac razlomka sa $2$, nakon čega dobijamo $\frac(6)( 10)$, što nije teško prevesti u decimalni razlomak $0,6$.

Za druge slučajeve koristi se druga metoda pretvaranja običnog razlomka u decimalu):

brojilac mora biti zamijenjen decimalnim razlomkom sa bilo kojim brojem nula iza decimalne točke;

podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom (podjela se vrši kao dijeljenje prirodnih brojeva u kolonu, a u količniku se nakon završetka dijeljenja cijelog dijela dividende stavlja decimalna točka).

Primjer 6

Pretvorite razlomak $\frac(621)(4)$ u decimalu.

Rješenje.

Predstavimo broj $621$ u brojiocu kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, dodajte decimalni zarez i, za početak, dvije nule iza nje. Zatim, ako je potrebno, možete dodati još nula. Dakle, dobili smo 621,00$.

Podijelimo broj $621.00$ sa $4$ u kolonu:

Slika 1.

Podjela je dostigla decimalni zarez u dividendi, a ostatak nije bio nula. U ovom slučaju, decimalni zarez se stavlja u količnik i dijeljenje se nastavlja u koloni, bez obzira na zareze:

Slika 2.

Ostatak je nula, što znači da je podjela završena.

Odgovori: $155,25$.

Moguće je da prilikom dijeljenja brojnika i nazivnika običnog razlomka, ostatak ne rezultira u $0$. U ovom slučaju, podjela se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Počevši od određenog trenutka, ostaci od dijeljenja se periodično ponavljaju, što znači da se ponavljaju i brojevi u količniku. Iz ovoga možemo zaključiti da će se ovaj obični razlomak pretvoriti u beskonačan periodični decimalni razlomak.

Primjer 7

Pretvorite razlomak $\frac(19)(44)$ u decimalu.

Rješenje.)

Da konvertujete obični razlomak u decimalu, izvršite dugo dijeljenje:

Slika 3.

Kod dijeljenja se ponavljaju ostaci $8$ i $36$, au količniku se također ponavljaju brojevi $1$ i $8$. Dakle, originalni obični razlomak $\frac(19)(44)$ je pretvoren u periodični razlomak $\frac(19)(44)=0.43181818\dots =0.43(18)$.

odgovor: $0,43(18)$.

Opšti zaključak o pretvaranju običnih razlomaka u decimale:

ako se imenilac može razložiti na proste faktore, među kojima će biti prisutni samo brojevi $2$ i $5$, onda se takav razlomak može pretvoriti u konačni decimalni razlomak;

ako, pored brojeva $2$ i $5$, proširenje nazivnika sadrži i druge proste brojeve, tada se takav razlomak pretvara u beskonačan decimalni periodični razlomak.

Sjećate se kako sam u prvoj lekciji o decimalima rekao da postoje brojčani razlomci koji se ne mogu predstaviti kao decimale (pogledajte lekciju “Decimale”)? Takođe smo naučili kako da rastavljamo nazivnike razlomaka da vidimo da li postoje drugi brojevi osim 2 i 5.

Dakle: lagao sam. A danas ćemo naučiti kako pretvoriti apsolutno bilo koji brojčani razlomak u decimalni. Istovremeno ćemo se upoznati s cijelom klasom razlomaka sa beskonačnim značajnim dijelom.

Periodična decimala je svaka decimala koja:

1. Značajni dio se sastoji od beskonačnog broja cifara;
2. U određenim intervalima ponavljaju se brojevi u značajnom dijelu.

Skup cifara koji se ponavljaju koji čine značajan dio naziva se periodični dio razlomka, a broj cifara u ovom skupu se naziva periodom razlomka. Preostali segment značajnog dijela, koji se ne ponavlja, naziva se neperiodični dio.

Budući da postoji mnogo definicija, vrijedno je razmotriti nekoliko od ovih razlomaka detaljno:

Ovaj razlomak se najčešće pojavljuje u problemima. Neperiodični dio: 0; periodični dio: 3; dužina perioda: 1.

Neperiodični dio: 0,58; periodični dio: 3; dužina perioda: ponovo 1.

Neperiodični dio: 1; periodični dio: 54; dužina perioda: 2.

Neperiodični dio: 0; periodični dio: 641025; dužina perioda: 6. Radi praktičnosti, dijelovi koji se ponavljaju odvojeni su jedan od drugog razmakom - to nije potrebno u ovom rješenju.

Neperiodični dio: 3066; periodični dio: 6; dužina perioda: 1.

Kao što vidite, definicija periodičnog razlomka zasniva se na konceptu značajan dio broja. Stoga, ako ste zaboravili šta je to, preporučujem da to ponovite - pogledajte lekciju “”.

Prijelaz na periodični decimalni razlomak

Razmotrimo običan razlomak oblika a /b. Razložimo njegov imenilac u proste faktore. Postoje dvije opcije:

1. Proširivanje sadrži samo faktore 2 i 5. Ovi razlomci se lako pretvaraju u decimale - pogledajte lekciju “Decimale”. Takvi ljudi nas ne zanimaju;
2. Postoji još nešto u proširenju osim 2 i 5. U ovom slučaju, razlomak se ne može predstaviti kao decimalni, ali se može pretvoriti u periodičnu decimalu.

Da biste definirali periodični decimalni razlomak, morate pronaći njegove periodične i neperiodične dijelove. Kako? Pretvorite razlomak u nepravilan razlomak, a zatim podijelite brojilac sa nazivnikom koristeći ugao.

dogodit će se sljedeće:

1. Prvo će se razdvojiti cijeli dio, ako postoji;
2. Može biti nekoliko brojeva iza decimalnog zareza;
3. Nakon nekog vremena brojevi će početi ponovi.

To je sve! Brojevi koji se ponavljaju iza decimalnog zareza označavaju se periodičnim dijelom, a oni ispred neperiodičnih.

Zadatak. Pretvorite obične razlomke u periodične decimale:

Svi razlomci bez celobrojnog dela, tako da jednostavno podelimo brojilac sa nazivnikom sa "uglom":

Kao što vidite, ostaci se ponavljaju. Zapišimo razlomak u “tačnom” obliku: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je razlomak: 0,5833 ... = 0,58(3).

Zapisujemo ga u normalnom obliku: 4,0909 ... = 4,(09).

Dobijamo razlomak: 0,4141 ... = 0.(41).

Prijelaz s periodičnog decimalnog razlomka na obični razlomak

Razmotrimo periodični decimalni razlomak X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je pretvoriti u klasičnu "dvokatnicu". Da biste to učinili, slijedite četiri jednostavna koraka:

1. Pronađite period razlomka, tj. izbroji koliko je cifara u periodičnom dijelu. Neka je ovo broj k;
2. Odrediti vrijednost izraza X · 10 k. Ovo je ekvivalentno pomicanju decimalnog zareza udesno za punu tačku - pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje decimala";
3. Originalni izraz mora se oduzeti od rezultirajućeg broja. U ovom slučaju, periodični dio je "spaljen" i ostaje običan razlomak;
4. Pronađite X u rezultirajućoj jednadžbi. Sve decimalne razlomke pretvaramo u obične razlomke.

Zadatak. Pretvorite broj u običan nepravilan razlomak:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Radimo s prvim razlomkom: X = 9, (6) = 9,666 ...

Zagrade sadrže samo jednu cifru, tako da je period k = 1. Zatim ovaj razlomak pomnožimo sa 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Oduzmite originalni razlomak i riješite jednačinu:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Pogledajmo sada drugi razlomak. Dakle, X = 32, (39) = 32,393939...

Period k = 2, pa pomnožite sve sa 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovo oduzmite prvobitni razlomak i riješite jednačinu:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pređimo na treći razlomak: X = 0,30(5) = 0,30555... Dijagram je isti, pa ću samo dati proračune:

Period k = 1 ⇒ pomnožiti sve sa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Konačno, posljednji razlomak: X = 0, (2475) = 0,2475 2475... Opet, radi pogodnosti, periodični dijelovi su odvojeni jedan od drugog razmacima. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Dešava se da za praktičnost izračunavanja trebate pretvoriti obični razlomak u decimalu i obrnuto. O tome kako to učiniti, govorit ćemo u ovom članku. Pogledajmo pravila za pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto, a također dajemo primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmotrit ćemo pretvaranje običnih razlomaka u decimale, slijedeći određeni niz. Prvo, pogledajmo kako se obični razlomci sa nazivnikom koji je višekratnik 10 pretvaraju u decimale: 10, 100, 1000, itd. Razlomci s takvim nazivnicima su, u stvari, glomazniji zapis decimalnih razlomaka.

Zatim ćemo pogledati kako pretvoriti obične razlomke s bilo kojim nazivnikom, a ne samo višekratnicima 10, u decimalne razlomke. Imajte na umu da se pri pretvaranju običnih razlomaka u decimale ne dobijaju samo konačne decimale, već i beskonačni periodični decimalni razlomci.

Hajde da počnemo!

Prevođenje običnih razlomaka sa nazivnicima 10, 100, 1000 itd. na decimale

Prije svega, recimo da je nekim razlomcima potrebna određena priprema prije pretvaranja u decimalni oblik. Šta je? Prije broja u brojiocu potrebno je dodati toliko nula tako da broj cifara u brojniku bude jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, za razlomak 3100, broj 0 se mora dodati jednom lijevo od 3 u brojiocu. Razlomak 610, prema gore navedenom pravilu, ne treba modificirati.

Pogledajmo još jedan primjer, nakon čega ćemo formulirati pravilo koje je u početku posebno zgodno za korištenje, dok nema puno iskustva u pretvaranju razlomaka. Dakle, razlomak 1610000 nakon dodavanja nula u brojiocu izgledat će kao 001510000.

Kako pretvoriti običan razlomak sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. na decimalni?

Pravilo za pretvaranje običnih pravih razlomaka u decimale

1. Napišite 0 i stavite zarez iza njega.
2. Zapisujemo broj iz brojioca koji je dobijen dodavanjem nula.

Pređimo sada na primjere.

Primjer 1: Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo razlomak 39,100 u decimalu.

Prvo, pogledamo razlomak i vidimo da nema potrebe za obavljanjem pripremnih radnji - broj znamenki u brojniku poklapa se s brojem nula u nazivniku.

Po pravilu pišemo 0, nakon nje stavljamo decimalni zarez i upisujemo broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,39.

Pogledajmo rješenje za još jedan primjer na ovu temu.

Primjer 2: Pretvaranje razlomaka u decimale

Zapišimo razlomak 105 10000000 kao decimalu.

Broj nula u nazivniku je 7, a brojilac ima samo tri znamenke. Dodajmo još 4 nule ispred broja u brojiocu:

0000105 10000000

Sada zapisujemo 0, stavljamo decimalni zarez iza njega i zapisujemo broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,0000105.

Razlomci koji se razmatraju u svim primjerima su obični pravi razlomci. Ali kako pretvoriti nepravilan razlomak u decimalu? Recimo odmah da nema potrebe za pripremom sa dodavanjem nula za takve razlomke. Hajde da formulišemo pravilo.

Pravilo za pretvaranje običnih nepravilnih razlomaka u decimale

1. Zapišite broj koji se nalazi u brojiocu.
2. Koristimo decimalni zarez da odvojimo onoliko znamenki na desnoj strani koliko ima nula u nazivniku originalnog razlomka.

U nastavku je primjer kako koristiti ovo pravilo.

Primjer 3. Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo razlomak 56888038009 100000 iz običnog nepravilnog razlomka u decimalni.

Prvo, zapišimo broj iz brojilaca:

Sada, na desnoj strani, odvajamo pet cifara sa decimalnim zarezom (broj nula u nazivniku je pet). Dobijamo:

Sljedeće pitanje koje se prirodno nameće je: kako mješoviti broj pretvoriti u decimalni razlomak ako je imenilac njegovog razlomka broj 10, 100, 1000 itd. Da biste takav broj pretvorili u decimalni razlomak, možete koristiti sljedeće pravilo.

Pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva u decimale

1. Po potrebi pripremamo razlomački dio broja.
2. Zapisujemo cijeli dio originalnog broja, a iza njega stavljamo zarez.
3. Zapisujemo broj iz brojnika razlomka zajedno sa dodanim nulama.

Pogledajmo primjer.

Primjer 4: Pretvaranje mješovitih brojeva u decimale

Pretvorimo mješoviti broj 23 17 10000 u decimalni razlomak.

U razlomku imamo izraz 17 10000. Pripremimo ga i dodajmo još dvije nule lijevo od brojila. Dobijamo: 0017 10000.

Sada zapisujemo cijeli dio broja i stavljamo zarez iza njega: 23, . .

Nakon decimalnog zareza zapišite broj iz brojila zajedno sa nulama. Dobijamo rezultat:

23 17 10000 = 23 , 0017

Pretvaranje običnih razlomaka u konačne i beskonačne periodične razlomke

Naravno, možete pretvoriti u decimale i obične razlomke sa nazivnikom koji nije jednak 10, 100, 1000, itd.

Često se razlomak može lako svesti na novi nazivnik, a zatim koristiti pravilo navedeno u prvom paragrafu ovog člana. Na primjer, dovoljno je pomnožiti brojilac i imenilac razlomka 25 sa 2 i dobijemo razlomak 410, koji se lako pretvara u decimalni oblik 0,4.

Međutim, ova metoda pretvaranja razlomka u decimalu ne može se uvijek koristiti. U nastavku ćemo razmotriti što učiniti ako nije moguće primijeniti razmatranu metodu.

Fundamentalno novi način pretvaranja razlomka u decimalu je dijeljenje brojnika sa nazivnikom pomoću stupca. Ova operacija je vrlo slična dijeljenju prirodnih brojeva kolonom, ali ima svoje karakteristike.

Prilikom dijeljenja, brojilac se predstavlja kao decimalni razlomak - zarez se stavlja desno od posljednje znamenke brojnika i dodaju se nule. U rezultujućem količniku, decimalna tačka se stavlja kada se završi podela celobrojnog dela brojnika. Kako tačno ova metoda funkcionira, bit će jasno nakon pogleda na primjere.

Primjer 5. Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo obični razlomak 621 4 u decimalni oblik.

Predstavimo broj 621 iz brojila kao decimalni razlomak, dodajući nekoliko nula nakon decimalnog zareza. 621 = 621,00

Sada podijelimo 621,00 sa 4 koristeći kolonu. Prva tri koraka dijeljenja bit će ista kao kod dijeljenja prirodnih brojeva i dobićemo.

Kada dođemo do decimalnog zareza u dividendi, a ostatak je različit od nule, stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, ne obraćajući više pažnje na zarez u dividendi.

Kao rezultat, dobijamo decimalni razlomak 155, 25, koji je rezultat preokretanja običnog razlomka 621 4

621 4 = 155 , 25

Pogledajmo još jedan primjer kako bismo ojačali materijal.

Primjer 6. Pretvaranje razlomaka u decimale

Obrnimo uobičajeni razlomak 21 800.

Da biste to učinili, podijelite razlomak 21.000 u stupac sa 800. Dijeljenje cijelog dijela će se završiti na prvom koraku, pa odmah nakon njega stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, ne obraćajući pažnju na zarez u dividendi dok ne dobijemo ostatak jednak nuli.

Kao rezultat, dobili smo: 21,800 = 0,02625.

Ali šta ako pri dijeljenju i dalje ne dobijemo ostatak od 0. U takvim slučajevima, dijeljenje se može nastaviti beskonačno. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci će se periodično ponavljati. U skladu s tim, brojevi u količniku će se ponoviti. To znači da se obični razlomak pretvara u decimalni beskonačni periodični razlomak. Ilustrirajmo to primjerom.

Primjer 7. Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo običan razlomak 19 44 u decimalu. Da bismo to učinili, vršimo podjelu po stupcu.

Vidimo da se tokom dijeljenja ponavljaju ostaci 8 i 36. U ovom slučaju, brojevi 1 i 8 se ponavljaju u količniku. Ovo je period u decimalnim razlomcima. Prilikom snimanja ovi brojevi se stavljaju u zagrade.

Dakle, originalni obični razlomak se pretvara u beskonačan periodični decimalni razlomak.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Neka imamo nesvodljivi obični razlomak. Kakav će oblik biti? Koji se obični razlomci pretvaraju u konačne decimale, a koji u beskonačne periodične?

Prvo, recimo da ako se razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000..., onda će imati oblik konačnog decimalnog razlomka. Da bi se razlomak sveo na jedan od ovih nazivnika, njegov nazivnik mora biti djelitelj barem jednog od brojeva 10, 100, 1000 itd. Iz pravila za razlaganje brojeva u proste činioce proizilazi da je djelitelj brojeva 10, 100, 1000 itd. mora, kada se rastavlja u proste faktore, sadržavati samo brojeve 2 i 5.

Hajde da sumiramo ono što je rečeno:

1. Uobičajeni razlomak se može svesti na konačnu decimalu ako se njegov imenilac može rastaviti na proste faktore 2 i 5.
2. Ako se pored brojeva 2 i 5 nalaze i drugi prosti brojevi u proširenju nazivnika, razlomak se svodi na oblik beskonačnog periodičnog decimalnog razlomka.

Dajemo primjer.

Primjer 8. Pretvaranje razlomaka u decimale

Koji od ovih razlomaka 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 pretvara se u konačni decimalni razlomak, a koji - samo u periodični. Odgovorimo na ovo pitanje bez direktnog pretvaranja razlomka u decimalu.

Razlomak 47 20, kao što je lako vidjeti, množenjem brojnika i nazivnika sa 5 svodi se na novi imenilac 100.

47 20 = 235 100. Iz ovoga zaključujemo da se ovaj razlomak pretvara u konačni decimalni razlomak.

Rastavljanjem na faktore nazivnika razlomka 7 12 dobija se 12 = 2 · 2 · 3. Pošto je prosti faktor 3 različit od 2 i 5, ovaj razlomak se ne može predstaviti kao konačni decimalni razlomak, već će imati oblik beskonačnog periodičnog razlomka.

Razlomak 21 56, prvo, treba smanjiti. Nakon smanjenja za 7, dobijamo nesvodljivi razlomak 3 8, čiji se imenilac rastavlja na faktore da bi se dobilo 8 = 2 · 2 · 2. Dakle, to je konačni decimalni razlomak.

U slučaju razlomka 31 17, rastavljanje imenioca na faktore je sam prost broj 17. Prema tome, ovaj razlomak se može pretvoriti u beskonačan periodični decimalni razlomak.

Običan razlomak se ne može pretvoriti u beskonačan i neperiodičan decimalni razlomak

Gore smo govorili samo o konačnim i beskonačnim periodičnim razlomcima. Ali može li se bilo koji obični razlomak pretvoriti u beskonačan neperiodični razlomak?

Odgovaramo: ne!

Bitan!

Prilikom pretvaranja beskonačnog razlomka u decimalu, rezultat je ili konačna decimala ili beskonačna periodična decimala.

Ostatak dijeljenja je uvijek manji od djelitelja. Drugim riječima, prema teoremi djeljivosti, ako neki prirodni broj podijelimo brojem q, tada ostatak dijeljenja ni u kom slučaju ne može biti veći od q-1. Nakon što se podjela završi, moguća je jedna od sljedećih situacija:

1. Dobijamo ostatak od 0, i tu se podjela završava.
2. Dobijamo ostatak, koji se ponavlja pri sljedećem dijeljenju, što rezultira beskonačnim periodičnim razlomkom.

Ne mogu postojati nikakve druge opcije prilikom pretvaranja razlomka u decimalu. Recimo i da je dužina perioda (broj cifara) u beskonačnom periodičnom razlomku uvijek manja od broja cifara u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka.

Pretvaranje decimala u razlomke

Sada je vrijeme da pogledamo obrnuti proces pretvaranja decimalnog razlomka u običan razlomak. Hajde da formulišemo pravilo prevođenja koje uključuje tri faze. Kako pretvoriti decimalni razlomak u običan razlomak?

Pravilo za pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

1. U brojiocu upisujemo broj iz originalnog decimalnog razlomka, odbacujući zarez i sve nule s lijeve strane, ako ih ima.
2. U nazivnik upisujemo jedan iza kojeg slijedi onoliko nula koliko ima cifara iza decimalnog zareza u originalnom decimalnom razlomku.
3. Ako je potrebno, smanjite rezultirajuću običnu frakciju.

Pogledajmo primjenu ovog pravila koristeći primjere.

Primjer 8. Pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

Zamislimo broj 3.025 kao običan razlomak.

1. Sam decimalni razlomak upisujemo u brojilac, odbacujući zarez: 3025.
2. U nazivnik upisujemo jedan, a iza njega tri nule - to je tačno koliko je cifara sadržano u originalnom razlomku nakon decimalnog zareza: 3025 1000.
3. Rezultirajući razlomak 3025 1000 može se smanjiti za 25, što rezultira: 3025 1000 = 121 40.

Primjer 9. Pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

Pretvorimo razlomak 0,0017 iz decimalnog u običan.

1. U brojiocu upisujemo razlomak 0, 0017, odbacujući zarez i nule na lijevoj strani. Ispostaviće se da je 17.
2. U imenilac upisujemo jedan, a iza njega upisujemo četiri nule: 17 10000. Ovaj razlomak je nesvodljiv.

Ako decimalni razlomak ima cijeli broj, tada se takav razlomak može odmah pretvoriti u mješoviti broj. Kako uraditi?

Hajde da formulišemo još jedno pravilo.

Pravilo za pretvaranje decimalnih razlomaka u mješovite brojeve.

1. Broj ispred decimalnog zareza u razlomku zapisuje se kao cijeli broj mješovitog broja.
2. U brojiocu upisujemo broj iza decimalne točke u razlomku, odbacujući nule s lijeve strane ako ih ima.
3. U nazivnik razlomka dodajemo jednu i onoliko nula koliko ima cifara iza decimalne tačke u razlomku.

Uzmimo primjer

Primjer 10: Pretvaranje decimale u mješoviti broj

Zamislimo razlomak 155, 06005 kao mješoviti broj.

1. Zapisujemo broj 155 kao cijeli broj.
2. U brojiocu upisujemo brojeve iza decimalnog zareza, odbacujući nulu.
3. U imenilac upisujemo jedan i pet nula

Naučimo mješoviti broj: 155 6005 100000

Razlomak se može smanjiti za 5. Skratimo ga i dobijemo konačan rezultat:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Pretvaranje beskonačnih periodičnih decimala u razlomke

Pogledajmo primjere kako pretvoriti periodične decimalne razlomke u obične razlomke. Prije nego počnemo, razjasnimo: bilo koji periodični decimalni razlomak može se pretvoriti u običan razlomak.

Najjednostavniji slučaj je kada je period razlomka nula. Periodični razlomak s nultom tačkom zamjenjuje se konačnim decimalnim razlomkom, a proces preokretanja takvog razlomka svodi se na preokretanje konačnog decimalnog razlomka.

Primjer 11. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak

Obrnimo periodični razlomak 3, 75 (0).

Eliminišući nule na desnoj strani, dobijamo konačni decimalni razlomak 3,75.

Pretvarajući ovaj razlomak u običan razlomak koristeći algoritam o kojem se govorilo u prethodnim paragrafima, dobijamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Šta ako je period razlomka različit od nule? Periodični dio treba posmatrati kao zbir članova geometrijske progresije, koji se smanjuje. Objasnimo ovo na primjeru:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Postoji formula za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Ako je prvi član progresije b, a imenilac q takav da je 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Pogledajmo nekoliko primjera koristeći ovu formulu.

Primjer 12. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak

Neka nam je periodični razlomak 0, (8) i trebamo ga pretvoriti u običan razlomak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Ovdje imamo beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju sa prvim članom 0, 8 i nazivnikom 0, 1.

Primijenimo formulu:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Ovo je traženi obični razlomak.

Da biste konsolidirali materijal, razmotrite još jedan primjer.

Primjer 13. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak

Obrnimo razlomak 0, 43 (18).

Prvo zapišemo razlomak kao beskonačan zbir:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Pogledajmo pojmove u zagradama. Ova geometrijska progresija se može predstaviti na sljedeći način:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Rezultat dodajemo konačnom razlomku 0, 43 = 43 100 i dobijemo rezultat:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Nakon sabiranja ovih razlomaka i smanjenja, dobijamo konačni odgovor:

0 , 43 (18) = 19 44

Da zaključimo ovaj članak, reći ćemo da se neperiodični beskonačni decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ovaj članak je o decimale. Ovdje ćemo razumjeti decimalni zapis razlomaka, uvesti pojam decimalnog razlomka i dati primjere decimalnih razlomaka. Zatim ćemo govoriti o znamenkama decimalnih razlomaka i dati nazive znamenki. Nakon ovoga, fokusirat ćemo se na beskonačne decimalne razlomke, razgovarajmo o periodičnim i neperiodskim razlomcima. Zatim navodimo osnovne operacije sa decimalnim razlomcima. U zaključku, ustanovimo položaj decimalnih razlomaka na koordinatnoj gredi.

Navigacija po stranici.

Decimalni zapis razlomka broja

Čitanje decimala

Recimo nekoliko riječi o pravilima za čitanje decimalnih razlomaka.

Decimalni razlomci, koji odgovaraju pravim običnim razlomcima, čitaju se na isti način kao i ovi obični razlomci, samo se prvo dodaje "nula cijeli broj". Na primjer, decimalni razlomak 0,12 odgovara običnom razlomku 12/100 (čitaj „dvanaest stotinki“), stoga se 0,12 čita kao „nulta tačka dvanaest stotinki“.

Decimalni razlomci koji odgovaraju mješovitim brojevima čitaju se potpuno isto kao i ovi mješoviti brojevi. Na primjer, decimalni razlomak 56,002 odgovara mješovitom broju, tako da se decimalni razlomak 56,002 čita kao „pedeset šest zareza dvije hiljaditinke“.

Mjesta u decimalama

U pisanju decimalnih razlomaka, kao i u pisanju prirodnih brojeva, značenje svake cifre zavisi od njenog položaja. Zaista, broj 3 u decimalnom razlomku 0,3 znači tri desetine, u decimalnom razlomku 0,0003 - tri desethiljaditinke, a u decimalnom razlomku 30.000,152 - tri desetine hiljada. Možemo razgovarati o tome decimalna mjesta, kao i o ciframa u prirodnim brojevima.

Nazivi cifara u decimalnom razlomku do decimalnog zareza potpuno se poklapaju sa nazivima cifara u prirodnim brojevima. A nazivi decimalnih mjesta iza decimalnog zareza mogu se vidjeti iz sljedeće tabele.

Na primjer, u decimalnom razlomku 37,051, cifra 3 je na mjestu desetica, 7 je na mjestu jedinica, 0 je na mjestu desetina, 5 je na mjestu stotinke, a 1 je na mjestu hiljaditih.

Mjesta u decimalnim razlomcima također se razlikuju po prioritetu. Ako se u pisanju decimalnog razlomka pomičemo s cifre na cifru s lijeva na desno, tada ćemo se kretati od seniori To junior ranks. Na primjer, mjesto stotine je starije od mjesta desetina, a mjesto miliona je niže od mjesta stotih. U datom konačnom decimalnom razlomku možemo govoriti o glavnim i sporednim ciframa. Na primjer, u decimalnom razlomku 604,9387 stariji (najviši) mjesto je mjesto stotine, i junior (najniži)- cifra desethiljaditih.

Za decimalne razlomke dolazi do proširenja u znamenke. Slično je proširenju u znamenke prirodnih brojeva. Na primjer, proširenje na decimalna mjesta od 45,6072 je kako slijedi: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A svojstva sabiranja iz dekompozicije decimalnog razlomka na znamenke omogućavaju vam da pređete na druge reprezentacije ovog decimalnog razlomka, na primjer, 45,6072=45+0,6072, ili 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ili 45,6072= 72 0.6.

Završne decimale

Do sada smo govorili samo o decimalnim razlomcima u čijoj notaciji postoji konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Takvi razlomci se nazivaju konačnim decimalima.

Definicija.

Završne decimale- To su decimalni razlomci, čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (cifara).

Evo nekoliko primjera završnih decimalnih razlomaka: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.

Međutim, ne može se svaki razlomak predstaviti kao konačna decimala. Na primjer, razlomak 5/13 ne može se zamijeniti jednakim razlomkom s jednim od nazivnika 10, 100, ..., stoga se ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak. O tome ćemo više govoriti u teorijskom dijelu, pretvarajući obične razlomke u decimale.

Beskonačne decimale: periodični razlomci i neperiodični razlomci

Pisanjem decimalnog razlomka nakon decimalnog zareza možete pretpostaviti mogućnost beskonačnog broja cifara. U ovom slučaju ćemo razmotriti takozvane beskonačne decimalne razlomke.

Definicija.

Beskonačne decimale- To su decimalni razlomci, koji sadrže beskonačan broj cifara.

Jasno je da beskonačne decimalne razlomke ne možemo zapisati u punom obliku, pa se u njihovom zapisivanju ograničavamo samo na određeni konačan broj cifara iza decimalnog zareza i stavljamo elipsu koja označava beskonačno kontinuirani niz cifara. Evo nekoliko primjera beskonačnih decimalnih razlomaka: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Ako pažljivo pogledate posljednja dva beskonačna decimalna razlomka, onda je u razlomku 2,111111111... jasno vidljiv broj 1 koji se beskrajno ponavlja, a u razlomku 69,74152152152..., počevši od treće decimale, grupa brojeva koja se ponavlja 1, 5 i 2 je jasno vidljiv. Takvi beskonačni decimalni razlomci nazivaju se periodični.

Definicija.

Periodične decimale(ili jednostavno periodične frakcije) su beskonačni decimalni razlomci kod kojih se, počevši od određenog decimalnog mjesta, beskonačno ponavlja neki broj ili grupa brojeva, što se naziva period razlomka.

Na primjer, period periodičnog razlomka 2,111111111... je cifra 1, a period razlomka 69,74152152152... je grupa cifara oblika 152.

Za beskonačne periodične decimalne razlomke usvojen je poseban oblik zapisa. Radi kratkoće, dogovorili smo se da točku zapišemo jednom, stavljajući je u zagrade. Na primjer, periodični razlomak 2,111111111... je zapisan kao 2,(1) , a periodični razlomak 69,74152152152... je zapisan kao 69,74(152) .

Vrijedi napomenuti da se za isti periodični decimalni razlomak mogu specificirati različiti periodi. Na primjer, periodični decimalni razlomak 0,73333... može se smatrati razlomkom 0,7(3) sa periodom od 3, kao i razlomkom 0,7(33) sa periodom od 33, i tako dalje 0,7(333), 0,7 (3333), ... Periodični razlomak 0,73333 možete pogledati i ovako: 0,733(3), ili ovako 0,73(333), itd. Ovdje, da bismo izbjegli dvosmislenost i neslaganja, slažemo se da period decimalnog razlomka smatramo najkraćim od svih mogućih nizova cifara koje se ponavljaju, a počevši od najbliže pozicije decimalnoj zarezi. Odnosno, period decimalnog razlomka 0,73333... će se smatrati nizom od jedne cifre 3, a periodičnost počinje od druge pozicije nakon decimalnog zareza, odnosno 0,73333...=0,7(3). Drugi primjer: periodični razlomak 4,7412121212... ima period od 12, periodičnost počinje od treće cifre nakon decimalnog zareza, odnosno 4,7412121212...=4,74(12).

Beskonačni decimalni periodični razlomci se dobijaju pretvaranjem u decimalne razlomke običnih razlomaka čiji imenioci sadrže proste faktore koji nisu 2 i 5.

Ovdje je vrijedno spomenuti periodične razlomke sa periodom od 9. Navedimo primjere takvih razlomaka: 6.43(9) , 27, (9) . Ovi razlomci su još jedna oznaka za periodične razlomke s periodom 0 i obično se zamjenjuju periodičnim razlomcima s periodom 0. Da biste to učinili, period 9 se zamjenjuje periodom 0, a vrijednost sljedeće najviše cifre se povećava za jedan. Na primjer, razlomak s periodom 9 oblika 7.24(9) zamjenjuje se periodičnim razlomkom s periodom 0 oblika 7.25(0) ili jednakim konačnim decimalnim razlomkom 7.25. Drugi primjer: 4,(9)=5,(0)=5. Jednakost razlomka s periodom 9 i njegovog odgovarajućeg razlomka s periodom 0 lako se utvrđuje nakon zamjene ovih decimalnih razlomaka jednakim običnim razlomcima.

Na kraju, pogledajmo pobliže beskonačne decimalne razlomke, koji ne sadrže beskonačno ponavljajući niz cifara. Zovu se neperiodične.

Definicija.

Neponavljajuće decimale(ili jednostavno neperiodični razlomci) su beskonačni decimalni razlomci koji nemaju tačku.

Ponekad neperiodični razlomci imaju oblik sličan onom periodičnih razlomaka, na primjer, 8.02002000200002... je neperiodični razlomak. U tim slučajevima treba biti posebno oprezan da primijetite razliku.

Imajte na umu da se neperiodični razlomci ne pretvaraju u obične razlomke beskonačne neperiodične decimalne razlomke.

Operacije sa decimalama

Jedna od operacija s decimalnim razlomcima je poređenje, a definirane su i četiri osnovne aritmetičke funkcije operacije sa decimalama: sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Razmotrimo odvojeno svaku od radnji s decimalnim razlomcima.

Poređenje decimala u suštini zasnovan na poređenju običnih razlomaka koji odgovaraju decimalnim razlomcima koji se porede. Međutim, pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke je prilično naporan proces, a beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se predstaviti kao obični razlomci, pa je zgodno koristiti poređenje decimalnih razlomaka po mjestu. Poređenje decimalnih razlomaka po mjestu slično je poređenju prirodnih brojeva. Za detaljnije informacije preporučujemo proučavanje materijala u članku: poređenje decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja.

Pređimo na sljedeći korak - množenje decimala. Množenje konačnih decimalnih razlomaka vrši se slično oduzimanju decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja množenja kolonom prirodnih brojeva. U slučaju periodičnih razlomaka, množenje se može svesti na množenje običnih razlomaka. Zauzvrat, množenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka nakon njihovog zaokruživanja svodi se na množenje konačnih decimalnih razlomaka. Preporučujemo za dalje proučavanje materijala u članku: množenje decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja.

Decimale na koordinatnoj zraci

Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka i decimala.

Hajde da shvatimo kako se konstruišu tačke na koordinatnoj zraci koje odgovaraju datom decimalnom razlomku.

Konačne decimalne razlomke i beskonačne periodične decimalne razlomke možemo zamijeniti jednakim običnim razlomcima, a zatim konstruirati odgovarajuće obične razlomke na koordinatnoj zraci. Na primjer, decimalni razlomak 1.4 odgovara običnom razlomku 14/10, tako da je tačka sa koordinatom 1.4 uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za 14 segmenata jednakih desetini jediničnog segmenta.

Decimalni razlomci se mogu označiti na koordinatnoj zraci, počevši od dekompozicije datog decimalnog razlomka na znamenke. Na primjer, trebamo izgraditi tačku sa koordinatom 16.3007, pošto je 16.3007=16+0.3+0.0007, onda možemo doći do ove tačke uzastopnim polaganjem 16 jediničnih segmenata od početka koordinata, 3 segmenta čija je dužina jednaka desetoj jedinice i 7 segmenata čija je dužina jednaka desetohiljaditom dijelu jediničnog segmenta.

Ova metoda konstruisanja decimalnih brojeva na koordinatnoj zraci omogućava vam da se približite koliko god želite tački koja odgovara beskonačnom decimalnom razlomku.

Ponekad je moguće precizno iscrtati tačku koja odgovara beskonačnom decimalnom razlomku. Na primjer, , tada ovaj beskonačni decimalni razlomak 1,41421... odgovara tački na koordinatnoj zraci, udaljenoj od početka koordinata dužinom dijagonale kvadrata sa stranicom od 1 jediničnog segmenta.

Obrnuti proces dobijanja decimalnog razlomka koji odgovara datoj tački na koordinatnoj zraci je tzv. decimalno mjerenje segmenta. Hajde da shvatimo kako se to radi.

Neka naš zadatak bude da dođemo od početka do date tačke na koordinatnoj liniji (ili da joj se beskonačno približimo ako ne možemo do nje). Kod decimalnog mjerenja segmenta, možemo sekvencijalno od početka odbaciti bilo koji broj jediničnih segmenata, zatim segmenata čija je dužina jednaka desetinki jedinice, zatim segmenata čija je dužina jednaka stotom dijelu jedinice, itd. Zapisivanjem broja segmenata svake dužine položenih, dobijamo decimalni razlomak koji odgovara datoj tački na koordinatnoj zraci.

Na primjer, da biste došli do tačke M na gornjoj slici, morate izdvojiti 1 jedinični segment i 4 segmenta, čija je dužina jednaka desetini jedinice. Dakle, tačka M odgovara decimalnom razlomku 1.4.

Jasno je da tačke koordinatnog zraka koje se ne mogu dostići u procesu decimalnog mjerenja odgovaraju beskonačnim decimalnim razlomcima.

Bibliografija.

• Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: vaspitni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya Vilenkin i drugi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.