Definicija trigonometrijskih jednadžbi i nejednačina. Metode rješavanja trigonometrijskih nejednačina

1.5 Trigonometrijske nejednačine i metode za njihovo rješavanje

1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednačina

Većina autora modernih udžbenika iz matematike predlaže da naše razmatranje ove teme započnemo rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Princip rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina zasniva se na znanju i sposobnosti da se na trigonometrijskom krugu odrede vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih uglova, već i drugih vrijednosti.

U međuvremenu, rješenje nejednačina oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo pronađemo neki interval () na kojem je ta nejednakost istinita, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem krajeva pronađenog interval višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( ). U ovom slučaju, vrijednost se lako pronalazi, jer ili . Potraga za vrijednošću se oslanja na intuiciju učenika, njihovu sposobnost da uoče jednakost lukova ili segmenata, koristeći simetriju pojedinih dijelova sinusnog ili kosinusnog grafa. A to je ponekad izvan moći prilično velikog broja učenika. U cilju prevazilaženja uočenih poteškoća u udžbenicima se posljednjih godina koristi drugačiji pristup rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti, ali to nije poboljšalo ishode učenja.

Već niz godina prilično uspješno koristimo formule korijena odgovarajućih jednadžbi za pronalaženje rješenja trigonometrijskih nejednačina.

Ovu temu proučavamo na sljedeći način:

1. Gradimo grafove i y = a, pod pretpostavkom da je .

Zatim zapisujemo jednačinu i njeno rješenje. Davanje n 0; 1; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscise tri uzastopne točke presjeka grafova i y = a. očito je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a na intervalu () - nejednakost .

Dodajući na krajeve ovih intervala broj koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobijamo rješenje nejednakosti u obliku: ; a u drugom slučaju rješenje nejednačine u obliku:

Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobijamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku . I opet su tri uzastopne apscise sjecišta grafova i . U intervalu () nejednakost je ispunjena, u intervalu () nejednakost

Sada je lako zapisati rješenja nejednačina i . U prvom slučaju dobijamo: ;

a u drugom: .

Sažmite. Za rješavanje nejednakosti ili , potrebno je sastaviti odgovarajuću jednačinu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , i napišite odgovor nejednakosti u obliku: .

Prilikom rješavanja nejednačina , iz formule korijena odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor nejednačine zapisujemo u obliku: .

Ova tehnika vam omogućava da naučite sve učenike kako da riješe trigonometrijske nejednakosti. ova tehnika se u potpunosti oslanja na vještine koje su učenici čvrsto ovladali. To su sposobnost rješavanja najjednostavnijeg i pronalaženja vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, postaje potpuno neobavezno pažljivo rješavati pod vodstvom nastavnika. veliki broj vježbe za demonstriranje svih vrsta tehnika zaključivanja u zavisnosti od predznaka nejednakosti, vrijednosti modula broja a i njegovog predznaka. I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, ujednačen.

Još jedna prednost ove metode je što olakšava rješavanje nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa.

Pokažimo to na konkretnom primjeru. Neka je potrebno za rješavanje nejednakosti . Napišimo odgovarajuću jednačinu i riješimo je:

Nađimo vrijednosti i .

Za n = 1

Za n = 2

Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost:

U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisustvo određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s ovih pozicija, tada će se za formalizam moći optužiti i formule korijena kvadratne jednadžbe, i sve formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i još mnogo toga.

Predložena metoda, iako zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina i sposobnosti za rješavanje trigonometrijskih nejednačina, ne može se potcijeniti značaj i karakteristike drugih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina. Ovo uključuje metodu intervala.

Hajde da razmotrimo njegovu suštinu.

Set uredio A.G. Mordkovich, iako ne treba zanemariti ni druge udžbenike. § 3. Metode izučavanja teme "Trigonometrijske funkcije" u okviru algebre i početak analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se izdvojiti dvije glavne etape: ü Početno upoznavanje sa trigonometrijskim funkcijama...

Tokom istraživanja riješeni su sljedeći zadaci: 1) Analizirani su aktuelni udžbenici algebre i početak matematičke analize kako bi se identifikovale metode za rješavanje iracionalnih jednačina i nejednačina koje su u njima prikazane. Provedena analiza nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke: U srednjoj školi se ne posvećuje dovoljna pažnja metodama za rješavanje različitih iracionalnih jednačina, uglavnom...

METODE ZA RJEŠAVANJE TRIGONOMETRIJSKIH NEJEDINAČINA

Relevantnost. Istorijski gledano, trigonometrijske jednačine i nejednačine su dobile posebno mjesto u školskom programu. Možemo reći da je trigonometrija jedan od najvažnijih odjeljaka školskog predmeta i cijele matematičke nauke općenito.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednačine zauzimaju jedno od centralnih mjesta u srednjoškolskom matematičkom predmetu, kako po sadržaju nastavnog materijala, tako i po metodama obrazovno-spoznajne aktivnosti koje se mogu i trebaju formirati tokom učenja i primijeniti na rješavanje velikih problema. niz problema teorijske i primijenjene prirode.

Rješenje trigonometrijskih jednačina i nejednačina stvara preduslove za sistematizaciju znanja učenika vezanih za sav nastavni materijal iz trigonometrije (npr. svojstva trigonometrijskih funkcija, metode transformacije trigonometrijskih izraza itd.) i omogućava uspostavljanje efektivnih veza sa proučavano gradivo iz algebre (jednačine, ekvivalencije jednačina, nejednačine, identične transformacije algebarskih izraza, itd.).

Drugim riječima, razmatranje metoda rješavanja trigonometrijskih jednačina i nejednačina podrazumijeva svojevrsno prenošenje ovih vještina na novi sadržaj.

Značaj teorije i njene brojne primjene dokaz su relevantnosti odabrane teme. To vam zauzvrat omogućava da odredite ciljeve, ciljeve i predmet istraživanja nastavnog rada.

Svrha studije: generalizovati dostupne vrste trigonometrijskih nejednačina, osnovne i posebne metode za njihovo rješavanje, odabrati skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina od strane školaraca.

Ciljevi istraživanja:

1. Na osnovu analize dostupne literature o temi istraživanja sistematizovati materijal.

2. Dajte skup zadataka potrebnih za konsolidaciju teme "Trigonometrijske nejednakosti".

Predmet proučavanja su trigonometrijske nejednakosti u školskom kursu matematike.

Predmet studija: vrste trigonometrijskih nejednačina i metode za njihovo rješavanje.

Teorijski značaj je organizovanje materijala.

Praktični značaj: primjena teorijskih znanja u rješavanju problema; analiza glavnih metoda koje se često susreću za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.

Metode istraživanja : analiza naučne literature, sinteza i generalizacija stečenog znanja, analiza rješavanja problema, traženje optimalnih metoda za rješavanje nejednačina.

§1. Vrste trigonometrijskih nejednačina i osnovne metode za njihovo rješavanje

1.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti

Dva trigonometrijska izraza povezana znakom ili > nazivaju se trigonometrijske nejednačine.

Riješiti trigonometrijsku nejednakost znači pronaći skup vrijednosti nepoznanica uključenih u nejednakost, pod kojima je nejednakost zadovoljena.

Glavni dio trigonometrijskih nejednačina rješava se svođenjem na rješavanje najjednostavnijih:

Ovo može biti metoda faktorizacije, promjena varijable (
,
itd.), gdje se prvo rješava uobičajena nejednakost, a zatim nejednakost oblika
itd., ili na druge načine.

Najjednostavnije nejednačine rješavaju se na dva načina: pomoću jediničnog kruga ili grafički.

Nekaf(x  je jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija. Za rješavanje nejednakosti
dovoljno je pronaći njegovo rješenje na jednom periodu, tj. na bilo kom segmentu čija je dužina jednaka periodu funkcijef  x  . Tada će se naći rješenje izvorne nejednakostix , kao i one vrijednosti koje se razlikuju od onih pronađenih za bilo koji cijeli broj perioda funkcije. U ovom slučaju, zgodno je koristiti grafičku metodu.

Navedimo primjer algoritma za rješavanje nejednačina
(
) I
.

Algoritam za rješavanje nejednakosti
(
).

1. Formulirajte definiciju sinusa brojax na jediničnom krugu.

3. Na y-osi označite tačku s koordinatamaa .

4. Kroz ovu tačku povucite liniju paralelnu sa OX osom i označite njene tačke preseka sa kružnicom.

5. Odaberite luk kružnice, čije sve tačke imaju ordinatu manju oda .

6. Odredite smjer zaobilaženja (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) i zapišite odgovor dodavanjem perioda funkcije na krajeve intervala2πn ,
.

Algoritam za rješavanje nejednakosti
.

1. Formulirajte definiciju tangente brojax na jediničnom krugu.

2. Nacrtajte jedinični krug.

3. Nacrtajte liniju tangenta i označite tačku na njoj ordinatoma .

4. Povežite ovu tačku sa ishodištem i označite tačku preseka rezultujućeg segmenta sa jediničnim krugom.

5. Odaberite luk kružnice, čije sve točke imaju ordinatu na tangentnoj liniji koja je manja oda .

6. Označite smjer kretanja i zapišite odgovor, uzimajući u obzir opseg funkcije, dodajući tačkupn ,
(broj na lijevoj strani zapisa uvijek je manji od broja na desnoj strani).

Grafička interpretacija rješenja najjednostavnijih jednačina i formule za rješavanje nejednačina u opštem obliku date su u prilogu (Prilozi 1 i 2).

Primjer 1 Riješite nejednakost
.

Nacrtajte liniju na jediničnom krugu
, koji siječe kružnicu u tačkama A i B.

Sve vrijednostiy na intervalu NM više , sve tačke luka AMB zadovoljavaju ovu nejednakost. Pod svim uglovima rotacije, veliki , ali manji ,
poprimiće vrijednosti veće od (ali ne više od jednog).

Fig.1

Dakle, rješenje nejednakosti će biti sve vrijednosti u intervalu
, tj.
. Da bismo dobili sva rješenja ove nejednakosti, dovoljno je dodati krajeve ovog intervala
, Gdje
, tj.
,
. Imajte na umu da vrijednosti
I
su korijeni jednadžbe
,

one.
;
.

odgovor:
,
.

1.2. Grafička metoda

U praksi je često korisna grafička metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti. Razmotrimo suštinu metode na primjeru nejednakosti
:

1. Ako je argument složen (različit odX ), zatim ga zamjenjujemo sat .

2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravnitoOy grafovi funkcija
I
.

3. Nalazimo takvedve susedne tačke preseka grafova, između kojihsinusoidanalaziviši ravno
. Pronađite apscise ovih tačaka.

4. Napišite dvostruku nejednakost za argumentt , s obzirom na period kosinusa (t će biti između pronađenih apscisa).

5. Uradite obrnutu zamjenu (vratite se na originalni argument) i izrazite vrijednostX iz dvostruke nejednakosti zapisujemo odgovor kao numerički interval.

Primjer 2 Riješite nejednakost: .

Prilikom rješavanja nejednačina grafičkom metodom potrebno je što preciznije graditi grafove funkcija. Transformirajmo nejednakost u oblik:

Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu
I
(Sl. 2).

Fig.2

Grafovi funkcija se sijeku u tačkiA sa koordinatama
;
. Između
tačke grafa
ispod tačaka grafikona
. I kada
vrijednosti funkcije su iste. Zbog toga
at
.

odgovor:
.

1.3. Algebarska metoda

Vrlo često se originalna trigonometrijska nejednakost, dobro odabranom zamjenom, može svesti na algebarsku (racionalnu ili iracionalnu) nejednakost. Ova metoda uključuje transformaciju nejednakosti, uvođenje zamjene ili zamjenu varijable.

Razmotrimo primjenu ove metode na konkretnim primjerima.

Primjer 3 Svođenje na najjednostavniji oblik
.

(sl. 3)

Fig.3

,
.

odgovor:
,

Primjer 4 Riješite nejednačinu:

ODZ:
,
.

Koristeći formule:
,

nejednakost zapisujemo u obliku:
.

Ili, pod pretpostavkom
nakon jednostavnih transformacija dobijamo

,

,

.

Rješavajući posljednju nejednačinu metodom intervala, dobijamo:

Fig.4

, odnosno
. Zatim sa sl. 4 slijedi
, Gdje
.

Sl.5

odgovor:
,
.

1.4. Metoda razmaka

Opća shema za rješavanje trigonometrijskih nejednačina metodom intervala:

Koristeći trigonometrijske formule, faktorizirajte.

Pronađite tačke prekida i nule funkcije, stavite ih na krug.

Uzmi bilo koju tačkuTO (ali nije pronađen ranije) i saznajte znak proizvoda. Ako je proizvod pozitivan, onda stavite tačku izvan jediničnog kruga na zraku koja odgovara kutu. U suprotnom, stavite tačku unutar kruga.

Ako se tačka pojavi paran broj puta, nazivamo je tačkom parne višestrukosti; ako se neparan broj puta, nazivamo je tačkom neparne višestrukosti. Nacrtajte lukove na sljedeći način: počnite od tačkeTO , ako je sljedeća tačka neparne višestrukosti, tada luk siječe kružnicu u ovoj tački, ali ako je tačka parne višestrukosti, onda se ne siječe.

Lukovi iza kruga su pozitivne praznine; unutar kruga su negativne praznine.

Primjer 5 Riješite nejednakost

,
.

Bodovi prve serije:
.

Poeni druge serije:
.

Svaka tačka se pojavljuje neparan broj puta, odnosno sve tačke neparne višestrukosti.

Saznajte znak proizvoda na
: . Označavamo sve tačke na jediničnom krugu (slika 6):

Rice. 6

odgovor:
,
;
,
;
,
.

Primjer 6 . Riješite nejednakost.

Rješenje:

Nađimo nule izraza .

Getaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Na jediničnom krugu serijske vrijednostiX 1 predstavljena tačkama
. SerijeX 2 daje bodove
. SerijeX 3 dobijamo dva boda
. Konačno, serijaX 4 predstavljaće bodove
. Sve ove tačke stavljamo na jediničnu kružnicu, označavajući u zagradi pored svake njene višestrukosti.

Sada neka broj biće jednaki. Procjenu vršimo po znaku:

Dakle, poentaA treba izabrati na gredi koja formira ugao sa gredomOh, izvan jediničnog kruga. (Imajte na umu da je pomoćni snopO A ne mora biti prikazano na slici. DotA odabrano otprilike.)

Sada iz tačkeA crtamo valovitu kontinuiranu liniju uzastopno do svih označenih tačaka. I na tačkama
naša linija prelazi iz jedne regije u drugu: ako je bila izvan jediničnog kruga, onda prelazi u njega. Približavam se tački , linija se vraća u unutrašnju regiju, pošto je višestrukost ove tačke paran. Slično u tački (sa ravnomjernim brojem) linija se mora rotirati prema vanjskoj regiji. Dakle, nacrtali smo određenu sliku prikazanu na Sl. 7. Pomaže da se istaknu željena područja na jediničnom krugu. Označeni su sa "+".

Fig.7

Konačan odgovor:

Bilješka. Ako se valovita linija, nakon prelaska svih tačaka označenih na jediničnom krugu, ne može vratiti u tačkuA , bez prelaska kruga na „nedozvoljenom“ mjestu, to znači da je napravljena greška u rješenju, odnosno izostavljen je neparan broj korijena.

Odgovori: .

§2. Skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina

U procesu razvijanja sposobnosti učenika da rješavaju trigonometrijske nejednakosti mogu se izdvojiti i 3 faze.

1. pripremni,

2. formiranje vještina rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina;

3. uvođenje trigonometrijskih nejednakosti drugih vrsta.

Svrha pripremne faze je da je potrebno formirati kod školaraca sposobnost korištenja trigonometrijskog kruga ili grafa za rješavanje nejednakosti, i to:

Sposobnost rješavanja jednostavnih nejednačina oblika
,
,
,
, korištenje svojstava sinusnih i kosinusnih funkcija;

Sposobnost izrade dvostrukih nejednakosti za lukove numeričke kružnice ili za lukove grafova funkcija;

Sposobnost izvođenja različitih transformacija trigonometrijskih izraza.

Preporučuje se implementacija ove faze u procesu sistematizacije znanja učenika o svojstvima trigonometrijskih funkcija. Glavna sredstva mogu biti zadaci koji se nude učenicima i izvode pod vodstvom nastavnika ili samostalno, kao i vještine stečene u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Evo primjera takvih zadataka:

1 . Označite tačku na jediničnom krugu , Ako

.

2. U kojoj četvrtini koordinatne ravni se nalazi tačka , Ako jednako:

3. Označite tačke na trigonometrijskom krugu , Ako:

4. Dovedite izraz na trigonometrijske funkcijeIčetvrtine.

A)
, b)
, V)

5. S obzirom na luk MR.M - srednjiIkvartal,R - srednjiIIth kvartal. Ograničite vrijednost varijablet za: (sastaviti dvostruku nejednakost) a) luk MP; b) RM lukovi.

6. Napišite dvostruku nejednakost za odabrane dijelove grafa:

Rice. 1

7. Riješite nejednačine
,
,
,
.

8. Pretvori izraz .

U drugoj fazi učenja rješavanja trigonometrijskih nejednakosti možemo ponuditi sljedeće preporuke vezane za metodologiju organizovanja aktivnosti učenika. Istovremeno, potrebno je usmjeriti pažnju na vještine učenika za rad sa trigonometrijskim krugom ili grafom, koji se formiraju prilikom rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Prvo, moguće je motivirati svrsishodnost dobivanja opće metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti pozivanjem, na primjer, na nejednakost oblika
. Koristeći znanja i vještine stečene u pripremnoj fazi, učenici će predloženu nejednakost dovesti u formu
, ali može biti teško pronaći skup rješenja rezultirajuće nejednakosti, budući da nemoguće ga je riješiti samo korištenjem svojstava sinusne funkcije. Ova poteškoća se može izbjeći pozivanjem na odgovarajuću ilustraciju (grafički rješenje jednadžbe ili korištenje jediničnog kruga).

Drugo, nastavnik treba da skrene pažnju učenika na različite načine rešavanja zadatka, da navede odgovarajući primer rešavanja nejednačine kako grafički tako i korišćenjem trigonometrijskog kruga.

Razmotrite takve opcije za rješavanje nejednakosti
.

1. Rješavanje nejednačine pomoću jediničnog kruga.

U prvoj lekciji o rješavanju trigonometrijskih nejednačina ponudićemo učenicima detaljan algoritam rješenja, koji u postupnoj prezentaciji odražava sve osnovne vještine potrebne za rješavanje nejednakosti.

Korak 1.Nacrtajte jedinični krug, označite tačku na y-osi i kroz njega povuci pravu liniju paralelnu sa x-osi. Ova prava će preseći jediničnu kružnicu u dve tačke. Svaka od ovih tačaka prikazuje brojeve čiji je sinus jednak .

Korak 2Ova ravna linija je podijelila krug na dva luka. Izdvojimo onaj na kojem su prikazani brojevi koji imaju sinus veći od . Naravno, ovaj luk se nalazi iznad nacrtane prave linije.

Rice. 2

Korak 3Odaberimo jedan od krajeva označenog luka. Zapišimo jedan od brojeva koji je predstavljen ovom tačkom jediničnog kruga .

Korak 4Da bismo odabrali broj koji odgovara drugom kraju odabranog luka, "prolazimo" duž ovog luka od imenovanog kraja do drugog. Istovremeno, podsjećamo da se pri kretanju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu povećavaju brojevi koje ćemo proći (kada se krećemo u suprotnom smjeru, brojevi bi se smanjivali). Zapišimo broj koji je prikazan na jediničnom krugu na drugom kraju označenog luka .

Dakle, vidimo da je nejednakost
zadovoljavaju brojeve za koje postoji nejednakost
. Riješili smo nejednakost za brojeve koji se nalaze na istom periodu sinusne funkcije. Stoga se sva rješenja nejednakosti mogu zapisati kao

Učenike treba zamoliti da pažljivo razmotre sliku i shvate zašto su sva rješenja nejednakosti
može se napisati u formi
,
.

Rice. 3

Potrebno je skrenuti pažnju studentima da prilikom rješavanja nejednačina za kosinusnu funkciju povlačimo pravu liniju paralelnu y-osi.

Grafički način rješavanja nejednakosti.

Građevni grafikoni
I
, s obzirom na to
.

Rice. 4

Zatim pišemo jednačinu
i njegovo rešenje
,
,
, pronađen pomoću formula
,
,
.

(Davanjen vrijednosti 0, 1, 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe). Vrijednosti
su tri uzastopne apscise presječnih tačaka grafova
I
. Očigledno, uvijek na intervalu
nejednakost
, i na intervalu
- nejednakost
. Zanima nas prvi slučaj, a zatim dodajući na krajeve ovog intervala broj koji je višekratnik sinusnog perioda, dobijamo rješenje nejednakosti
kao:
,
.

Rice. 5

Sažmite. Za rješavanje nejednakosti
, trebate napisati odgovarajuću jednačinu i riješiti je. Iz rezultirajuće formule pronađite korijene I , i napiši odgovor nejednakosti u obliku: ,
.

Treće, činjenica o skupu korijena odgovarajuće trigonometrijske nejednakosti vrlo je jasno potvrđena pri grafičkom rješavanju.

Rice. 6

Studentima je potrebno pokazati da se zavojnica, koja je rješenje nejednačine, ponavlja kroz isti interval, jednak periodu trigonometrijske funkcije. Također možete razmotriti sličnu ilustraciju za graf sinusne funkcije.

Četvrto, preporučljivo je izvršiti rad na ažuriranju učeničkih metoda pretvaranja zbira (razlike) trigonometrijskih funkcija u proizvod, kako bi se školarcima skrenula pažnja na ulogu ovih tehnika u rješavanju trigonometrijskih nejednačina.

Takav rad se može organizovati kroz samostalno izvršavanje zadataka koje je predložio nastavnik, među kojima izdvajamo sledeće:

Peto, od učenika se mora tražiti da ilustriraju rješenje svake jednostavne trigonometrijske nejednakosti koristeći graf ili trigonometrijski krug. Obavezno obratite pažnju na njegovu svrsishodnost, posebno na korištenje kruga, jer pri rješavanju trigonometrijskih nejednačina odgovarajuća ilustracija služi kao vrlo zgodno sredstvo za fiksiranje skupa rješenja za datu nejednakost

Upoznavanje učenika sa metodama rješavanja trigonometrijskih nejednačina koje nisu najjednostavnije, preporučljivo je izvršiti prema sljedećoj shemi: pozivajući se na konkretnu trigonometrijsku nejednačinu pozivajući se na odgovarajuću trigonometrijsku jednačinu zajedničko traženje (nastavnik - učenici) za samostalno rješenje prenošenje pronađene tehnike na druge nejednakosti istog tipa.

U cilju sistematizacije znanja učenika o trigonometriji, preporučujemo da se posebno izaberu takve nejednačine za čije su rješavanje potrebne različite transformacije koje se mogu implementirati u procesu rješavanja, usmjeravajući pažnju učenika na njihove karakteristike.

Kao takve produktivne nejednakosti možemo predložiti, na primjer, sljedeće:

U zaključku dajemo primjer skupa zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.

1. Riješite nejednačine:

2. Riješite nejednačine: 3. Nađi sva rješenja nejednačina: 4. Nađi sva rješenja nejednačina:

A)
, zadovoljavajući uslov
;

b)
, zadovoljavajući uslov
.

5. Pronađite sva rješenja nejednačina:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

e)
.

6. Riješite nejednačine:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e) ;

e) ;

i)
.

7. Riješite nejednačine:

A)
;

b) ;

V) ;

G) .

8. Riješite nejednačine:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e)
;

e) ;

i)
;

h) .

Zadatke 6 i 7 poželjno je ponuditi učenicima koji studiraju matematiku na naprednom nivou, zadatak 8 - učenicima u odeljenjima sa detaljnim proučavanjem matematike.

§3. Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih nejednačina

Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina - odnosno one metode koje se mogu koristiti samo za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Ove metode se zasnivaju na korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija, kao i na korištenju različitih trigonometrijskih formula i identiteta.

3.1. Sektorski metod

Razmotrimo sektorsku metodu za rješavanje trigonometrijskih nejednačina. Rješenje nejednačina oblika

, GdjeP ( x ) IQ ( x ) - racionalne trigonometrijske funkcije (sinusi, kosinusi, tangente i kotangensi ulaze u njih racionalno), slično kao i kod rješenja racionalnih nejednačina. Zgodno je rješavati racionalne nejednakosti metodom intervala na realnoj osi. Njegov analog u rješavanju racionalnih trigonometrijskih nejednačina je metoda sektora u trigonometrijskom krugu, zasinx Icosx (
) ili trigonometrijski polukrug zatgx Ictgx (
).

U metodi intervala, svaki linearni faktor brojnika i nazivnika oblika
tačka na brojevnoj osi , i prilikom prolaska kroz ovu tačku
menja znak. U metodi sektora, svaki množitelj obrasca
, Gdje
- jedna od funkcijasinx ilicosx I
, u trigonometrijskom krugu odgovaraju dva ugla I
, koji dijele krug na dva sektora. Prilikom prolaska I funkcija
menja znak.

Treba zapamtiti sljedeće:

a) Množitelji forme
I
, Gdje
, zadržati znak za sve vrijednosti . Takvi množitelji brojnika i nazivnika se odbacuju, mijenjajući (ako
) pri svakom takvom odbijanju, predznak nejednakosti je obrnut.

b) Multiplikatori forme
I
takođe se odbacuju. Štaviše, ako su ovo faktori nazivnika, onda se nejednakosti oblika dodaju ekvivalentnom sistemu nejednačina
I
. Ako su ovo faktori brojioca, onda u ekvivalentnom sistemu ograničenja odgovaraju nejednačinama
I
u slučaju stroge početne nejednakosti i jednakosti
I
u slučaju nestroge početne nejednakosti. Prilikom ispuštanja množitelja
ili
znak nejednakosti je obrnut.

Primjer 1 Riješite nejednačine: a)
, b)
. imamo funkciju, b). Riješite nejednakost koju imamo

3.2. Metoda koncentričnog kruga

Ova metoda je analogna metodi paralelnih numeričkih osa u rješavanju sistema racionalnih nejednačina.

Razmotrimo primjer sistema nejednakosti.

Primjer 5 Riješiti sistem jednostavnih trigonometrijskih nejednačina

Prvo rješavamo svaku nejednačinu posebno (slika 5). U gornjem desnom uglu slike naznačićemo za koji argument se razmatra trigonometrijski krug.

Sl.5

Zatim gradimo sistem koncentričnih krugova za argumentX . Nacrtamo krug i osjenčimo ga prema rješenju prve nejednakosti, zatim nacrtamo krug većeg polumjera i osjenčimo ga prema rješenju druge, zatim napravimo krug za treću nejednačinu i osnovnu kružnicu . Crtamo zrake iz središta sistema kroz krajeve lukova tako da sijeku sve kružnice. Na osnovu kružnice formiramo rješenje (slika 6).

Fig.6

odgovor:
,
.

Zaključak

Svi ciljevi kursa su ispunjeni. Sistematizovan je teorijski materijal: date su glavne vrste trigonometrijskih nejednačina i glavne metode za njihovo rešavanje (grafički, algebarski, metoda intervala, sektora i metoda koncentričnih krugova). Za svaku metodu dat je primjer rješavanja nejednakosti. Nakon teorijskog dijela uslijedio je praktični dio. Sadrži skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.

Ovaj kurs studenti mogu koristiti za samostalan rad. Studenti mogu provjeriti stepen usvajanja ove teme, uvježbati se u izvršavanju zadataka različite složenosti.

Obradivši relevantnu literaturu o ovoj problematici, očito, možemo zaključiti da su sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti u školskom kursu algebre i početak analize veoma važni, za čiji razvoj je potreban znatan trud od strane nastavnik matematike.

Stoga će ovaj rad biti koristan za nastavnike matematike, jer omogućava efikasnu organizaciju obuke učenika na temu "Trigonometrijske nejednakosti".

Studij se može nastaviti proširivanjem na završni kvalifikacioni rad.

Spisak korišćene literature

Bogomolov, N.V. Zbirka zadataka iz matematike [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Drfa, 2009. – 206 str.

Vygodsky, M.Ya. Priručnik za osnovnu matematiku [Tekst] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Drfa, 2006. – 509 str.

Zhurbenko, L.N. Matematika u primjerima i zadacima [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 str.

Ivanov, O.A. Osnovna matematika za školarce, studente i nastavnike [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 str.

Karp, A.P. Zadaci iz algebre i počeci analize za organizaciju završnog ponavljanja i ovjere u 11. razredu [Tekst] / A.P. Šaran. – M.: Prosvjeta, 2005. – 79 str.

Kulanin, E.D. 3000 takmičarskih zadataka iz matematike [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 str.

Leibson, K.L. Zbirka praktičnih zadataka iz matematike [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Drfa, 2010. – 182 str.

Lakat, V.V. Problemi s parametrima i njihovo rješavanje. Trigonometrija: jednačine, nejednačine, sistemi. 10. razred [Tekst] / V.V. Lakat. – M.: ARKTI, 2008. – 64 str.

Manova, A.N. Matematika. Ekspres tutor za pripremu ispita: račun. dodatak [Tekst] / A.N. Manova. - Rostov na Donu: Phoenix, 2012. - 541 str.

Mordkovich, A.G. Algebra i početak matematičke analize. 10-11 razredi. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova [Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 str.

Novikov, A.I. Trigonometrijske funkcije, jednačine i nejednačine [Tekst] / A.I. Novikov. - M.: FIZMATLIT, 2010. - 260 str.

Oganesyan, V.A. Metodika nastave matematike u srednjoj školi: Opća metodika. Proc. dodatak za studente fizike. - mat. fak. ped. drug. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Prosvjeta, 2006. – 368 str.

Olechnik, S.N. Jednačine i nejednačine. Metode nestandardnih rješenja [Tekst] / S.N. Olekhnik. - M.: Izdavačka kuća Factorial, 1997. - 219 str.

Sevryukov, P.F. Trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednačine [Tekst] / P.F. Sevryukov. – M.: Nacionalno obrazovanje, 2008. – 352 str.

Sergejev, I.N. UPOTREBA: 1000 zadataka sa odgovorima i rješenjima iz matematike. Svi zadaci grupe C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Ispit, 2012. – 301 str.

Sobolev, A.B. Osnovna matematika [Tekst] / A.B. Sobolev. - Jekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 str.

Fenko, L.M. Metoda intervala u rješavanju nejednačina i proučavanju funkcija [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Drfa, 2005. – 124 str.

Friedman, L.M. Teorijske osnove metodike nastave matematike [Tekst] / L.M. Friedman. - M.: Knjižarska kuća "LIBROKOM", 2009. - 248 str.

Aneks 1

Grafička interpretacija rješenja najjednostavnijih nejednačina

Rice. 1

Rice. 2

Fig.3

Fig.4

Sl.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Dodatak 2

Rješenja najjednostavnijih nejednačina

Na praktičnoj nastavi ćemo ponoviti glavne vrste zadataka iz teme "Trigonometrija", dodatno ćemo analizirati probleme povećane složenosti i razmotriti primjere rješavanja različitih trigonometrijskih nejednačina i njihovih sistema.

Ova lekcija će vam pomoći da se pripremite za jednu od vrsta zadataka B5, B7, C1 i C3.

Počnimo s ponavljanjem glavnih vrsta zadataka koje smo pregledali u temi Trigonometrija i riješimo nekoliko nestandardnih zadataka.

Zadatak #1. Pretvorite uglove u radijane i stepene: a) ; b) .

a) Koristite formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane

Zamijenite datu vrijednost u njega.

b) Primijenite formulu za pretvaranje radijana u stupnjeve

Izvršimo zamjenu .

Odgovori. A) ; b) .

Zadatak #2. Izračunajte: a) ; b) .

a) Pošto je ugao daleko izvan tabele, smanjujemo ga oduzimanjem perioda sinusa. Jer ugao je dat u radijanima, tada će se period smatrati kao .

b) U ovom slučaju situacija je slična. Pošto je ugao specificiran u stepenima, onda ćemo period tangente smatrati kao .

Rezultirajući ugao, iako manji od perioda, je veći, što znači da se više ne odnosi na glavni, već na prošireni dio tabele. Da ne bismo još jednom trenirali naše pamćenje pamćenjem proširene tablice vrijednosti trigofunkcije, ponovo oduzimamo period tangente:

Iskoristili smo neparnost tangentne funkcije.

Odgovori. a) 1; b) .

Zadatak #3. Izračunati , Ako .

Donosimo cijeli izraz na tangente dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka sa . Istovremeno, toga se ne možemo bojati, jer u ovom slučaju, vrijednost tangente ne bi postojala.

Zadatak #4. Pojednostavite izraz.

Navedeni izrazi se konvertuju pomoću formula za pretvaranje. Samo što se neuobičajeno pišu pomoću stepeni. Prvi izraz je općenito broj. Pojednostavite sve trigofunkcije redom:

Jer , tada se funkcija mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a ugao pada u drugu četvrtinu, u kojoj je predznak prvobitne tangente negativan.

Iz istih razloga kao u prethodnom izrazu, funkcija se mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a ugao pada u prvu četvrtinu, u kojoj početna tangenta ima pozitivan predznak.

Zamjena svega u pojednostavljeni izraz:

Zadatak #5. Pojednostavite izraz.

Zapišimo tangentu dvostrukog ugla prema odgovarajućoj formuli i pojednostavimo izraz:

Posljednji identitet je jedna od univerzalnih zamjenskih formula za kosinus.

Zadatak #6. Izračunati .

Glavna stvar je ne napraviti standardnu ​​grešku i ne dati odgovor da je izraz jednak . Nemoguće je koristiti glavno svojstvo tangente luka dok se u blizini nalazi faktor u obliku dvojke. Da bismo ga se riješili, pišemo izraz prema formuli za tangentu dvostrukog ugla, dok ga tretiramo kao običan argument.

Sada je već moguće primijeniti glavno svojstvo tangente luka, zapamtite da nema ograničenja za njegov numerički rezultat.

Zadatak #7. Riješite jednačinu.

Prilikom rješavanja razlomke jednačine koja je jednaka nuli, uvijek je naznačeno da je brojnik nula, a nazivnik nije, jer ne možete podijeliti sa nulom.

Prva jednadžba je poseban slučaj najjednostavnije jednadžbe, koja se rješava pomoću trigonometrijskog kruga. Razmislite sami o ovom rješenju. Druga nejednakost je riješena kao najjednostavnija jednadžba koristeći opću formulu za korijene tangente, ali samo sa predznakom koji nije jednak.

Kao što možemo vidjeti, jedna porodica korijena isključuje drugu potpuno istu porodicu korijena koji ne zadovoljavaju jednačinu. One. nema korena.

Odgovori. Nema korijena.

Zadatak #8. Riješite jednačinu.

Odmah imajte na umu da možete izvaditi zajednički faktor i to učiniti:

Jednačina je svedena na jedan od standardnih oblika, kada je proizvod više faktora jednak nuli. Već znamo da je u ovom slučaju ili jedan od njih jednak nuli, ili drugi, ili treći. Ovo pišemo kao skup jednačina:

Prve dvije jednadžbe su posebni slučajevi najjednostavnijih, sa sličnim jednadžbama smo se već sreli mnogo puta, pa ćemo odmah navesti njihova rješenja. Treću jednačinu svodimo na jednu funkciju koristeći sinusnu formulu dvostrukog ugla.

Riješimo posljednju jednačinu posebno:

Ova jednadžba nema korijen, jer vrijednost sinusa ne može ići dalje .

Dakle, samo prve dvije porodice korijena su rješenje, mogu se kombinirati u jednu, što je lako prikazati na trigonometrijskom krugu:

Ovo je porodica svih polovina, tj.

Pređimo na rješavanje trigonometrijskih nejednačina. Prvo, analizirajmo pristup rješavanju primjera bez korištenja općih formula rješenja, već uz pomoć trigonometrijskog kruga.

Zadatak #9. Riješite nejednakost.

Nacrtajte pomoćnu liniju na trigonometrijskom krugu koja odgovara vrijednosti sinusa jednaka , i pokažite interval uglova koji zadovoljavaju nejednakost.

Vrlo je važno razumjeti tačno kako odrediti rezultujući interval ugla, tj. šta je njegov početak, a šta kraj. Početak jaza će biti ugao koji odgovara tački u koju ćemo ući na samom početku jaza ako se krećemo suprotno od kazaljke na satu. U našem slučaju, ovo je tačka koja je sa leve strane, jer krećući se suprotno od kazaljke na satu i prolazeći pravu tačku, naprotiv, izlazimo iz traženog intervala ugla. Prava tačka će stoga odgovarati kraju jaza.

Sada moramo razumjeti vrijednosti početnog i krajnjeg ugla našeg jaza rješenja nejednakosti. Tipična greška je da se odmah naznači da desna tačka odgovara uglu, a lijeva i da se odgovori. Ovo nije istina! Napominjemo da smo upravo naznačili interval koji odgovara gornjem dijelu kruga, iako nas zanima donji, drugim riječima, pomiješali smo početak i kraj intervala potrebnih rješenja.

Da bi interval počeo u uglu desne tačke i završio u uglu lijeve tačke, prvi navedeni ugao mora biti manji od drugog. Da bismo to učinili, morat ćemo izmjeriti ugao desne tačke u negativnom referentnom smjeru, tj. u smjeru kazaljke na satu i to će biti jednako . Zatim, počevši od njega u pozitivnom smjeru kazaljke na satu, doći ćemo do desne točke nakon lijeve točke i dobiti vrijednost ugla za nju. Sada je početak intervala uglova manji od kraja , i možemo napisati interval rješenja bez uzimanja u obzir perioda:

Uzimajući u obzir da će se takvi intervali ponavljati beskonačan broj puta nakon bilo kojeg cijelog broja rotacija, dobivamo opće rješenje, uzimajući u obzir sinusni period:

Stavljamo okrugle zagrade jer je nejednakost stroga, a tačke na kružnici koje odgovaraju krajevima intervala probijamo.

Uporedite svoj odgovor sa formulom za opšte rešenje koje smo dali na predavanju.

Odgovori. .

Ova metoda je dobra za razumijevanje odakle dolaze formule za opšta rješenja najjednostavnijih trigonalnih nejednačina. Osim toga, korisno je za one koji su previše lijeni da nauče sve ove glomazne formule. Međutim, sama metoda također nije laka, odaberite koji vam pristup rješenju najviše odgovara.

Za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti možete koristiti i grafove funkcija na kojima je izgrađena pomoćna linija, slično metodi prikazanoj pomoću jediničnog kruga. Ako ste zainteresirani, pokušajte sami razumjeti ovaj pristup rješenju. U nastavku ćemo koristiti opće formule za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti.

Zadatak #10. Riješite nejednakost.

Koristimo opću formulu rješenja, uzimajući u obzir da nejednakost nije stroga:

U našem slučaju dobijamo:

Odgovori.

Zadatak #11. Riješite nejednakost.

Koristimo opću formulu rješenja za odgovarajuću strogu nejednakost:

Odgovori. .

Zadatak #12. Riješite nejednačine: a) ; b) .

U ovim nejednačinama ne treba žuriti s korištenjem formula za opća rješenja ili trigonometrijskog kruga, dovoljno je samo zapamtiti raspon vrijednosti sinusa i kosinusa.

a) Zato što , onda je nejednakost besmislena. Dakle, nema rješenja.

b) Zato što slično tome, sinus bilo kojeg argumenta uvijek zadovoljava nejednakost specificiranu u uvjetu. Dakle, nejednakost je zadovoljena svim realnim vrijednostima argumenta.

Odgovori. a) nema rješenja; b) .

Zadatak 13. Riješite nejednakost .

Nejednačine koje sadrže trigonometrijske funkcije, kada se riješe, svode se na najjednostavnije nejednakosti oblika cos(t)>a, sint(t)=a i slično. I već su riješene najjednostavnije nejednakosti. Razmotrimo, koristeći različite primjere, metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina.

Primjer 1. Riješite nejednačinu sin(t) > = -1/2.

Nacrtajte jedan krug. Budući da je sin (t) po definiciji koordinata y, označavamo tačku y = -1/2 na osi Oy. Kroz njega povlačimo pravu liniju paralelnu sa x-osi. Označite tačke Pt1 i Pt2 na sjecištima prave linije sa jediničnim kružnim grafikonom. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.

Rješenje ove nejednakosti će biti sve tačke jedinične kružnice koje se nalaze iznad ovih tačaka. Drugim riječima, rješenje će biti luk l. Sada morate specificirati uslove pod kojima će proizvoljna tačka pripadati luku l.

Pt1 leži u desnom polukrugu, njegova ordinata je -1/2, tada je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Sljedeća formula se može napisati da opiše tačku Pt1:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kao rezultat, dobijamo sljedeću nejednakost za t:

Zadržavamo znakove nejednakosti. A budući da je sinusna funkcija periodična funkcija, tada će se rješenja ponavljati svakih 2 * pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.

Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Primjer 2 Riješite nejednakost cos(t)<1/2.

Nacrtajmo jedinični krug. Pošto je, prema definiciji cos(t), ovo x-koordinata, označavamo tačku x = 1/2 na grafu na x-osi.
Kroz ovu tačku povlačimo pravu liniju paralelnu sa y-osi. Označite tačke Pt1 i Pt2 na sjecištima prave linije sa jediničnim kružnim grafikonom. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.

Rješenja su sve tačke jedinične kružnice koje pripadaju luku l. Nađimo tačke t1 i t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Dobili smo nejednakost za t: pi/3

Pošto je kosinus periodična funkcija, rješenja će se ponavljati svakih 2 * pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.

Odgovor: pi/3+2*pi*n

Primjer 3 Riješite nejednačinu tg(t)< = 1.

Period tangente je pi. Pronađite rješenja koja pripadaju intervalu (-pi/2;pi/2) desnog polukruga. Zatim, koristeći periodičnost tangente, zapisujemo sva rješenja ove nejednačine. Nacrtajmo jedinični krug i označimo liniju tangenta na njemu.

Ako je t rješenje nejednakosti, onda ordinata tačke T = tg(t) mora biti manja ili jednaka 1. Skup takvih tačaka će činiti zraku AT. Skup tačaka Pt koji će odgovarati tačkama ovog zraka je luk l. Štaviše, tačka P(-pi/2) ne pripada ovom luku.

Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kako je jedan lik govorio,

“Jednostavno ne znaš kako da ih skuvaš”

Dakle, kako "kuhati" i s čime podnijeti nejednakost sa sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Riješit ćemo na najjednostavniji način - koristeći jedinični krug.

Dakle, prvo nam je potreban sljedeći algoritam.

Algoritam za rješavanje nejednačina sa sinusom:

1. stavite broj $a$ na osu sinusa i povucite pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osom dok se ne siječe sa kružnicom;
2. tačke preseka ove prave sa kružnicom će biti popunjene ako nejednakost nije stroga, a neće se popuniti ako je nejednakost stroga;
3. površina rješenja nejednakosti će biti iznad prave i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$>$”, a ispod linije i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$<$”;
4. da bismo pronašli tačke preseka, rešavamo trigonometrijsku jednačinu $\sin(x)=a$, dobijamo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. postavljanjem $n=0$, nalazimo prvu tačku preseka (nalazi se ili u prvom ili u četvrtom kvadrantu);
6. da bismo pronašli drugu tačku, gledamo u kom smjeru idemo preko područja do druge točke presjeka: ako je u pozitivnom smjeru, onda treba uzeti $n=1$, a ako u negativnom smjeru, onda $n=- 1$;
7. kao odgovor, ispisuje se interval od manje tačke preseka $+ 2\pi n$ do veće $+ 2\pi n$.

Ograničenje algoritma

Važno: d ovaj algoritam ne radi za nejednakosti oblika $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni slučajevi pri rješavanju nejednakosti sa sinusom

Također je važno napomenuti sljedeće slučajeve, koje je mnogo zgodnije riješiti logički bez korištenja gornjeg algoritma.

Poseban slučaj 1. Riješite nejednačinu:

$\sin(x) \leq 1.$

Pošto je domena trigonometrijske funkcije $y=\sin(x)$ najviše $1$, lijeva strana nejednakosti za bilo koji$x$ iz domene (a domen sinusa su svi realni brojevi) nije veći od $1$. I, stoga, kao odgovor pišemo: $x \in R$.

Posljedica:

$\sin(x) \geq -1.$

Poseban slučaj 2. Riješite nejednačinu:

$\sin(x)< 1.$

Primjenom argumenata sličnih posebnom slučaju 1, dobivamo da je lijeva strana nejednakosti manja od $1$ za sve $x \u R$, osim za tačke koje su rješenje jednadžbe $\sin(x) = 1$. Rješavajući ovu jednačinu imat ćemo:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

I, stoga, kao odgovor pišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Posljedica: nejednakost se rješava slično

$\sin(x) > -1.$

Primjeri rješavanja nejednačina korištenjem algoritma.

Primjer 1: Riješite nejednačinu:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Zabilježite koordinate $\frac(1)(2)$ na osi sinusa.
2. Nacrtajte liniju paralelnu sa kosinusnom osom i koja prolazi kroz ovu tačku.
3. Obratite pažnju na tačke preseka. Oni će biti zasjenjeni jer nejednakost nije stroga.
4. Znak nejednakosti je $\geq$, što znači da bojimo površinu iznad linije, tj. manji polukrug.
5. Pronađite prvu tačku preseka. Da biste to učinili, pretvorite nejednakost u jednakost i riješite je: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Dalje postavljamo $n=0$ i nalazimo prvu tačku preseka: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Pronalazimo drugu tačku. Naše područje ide u pozitivnom smjeru od prve tačke, tako da postavljamo $n$ jednako $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje će poprimiti oblik:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \ n \in Z.$

Primjer 2: Riješite nejednačinu:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Koordinatu $- \frac(1)(2)$ označavamo na osi sinusa i povlačimo pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osi i koja prolazi kroz ovu tačku. Obratite pažnju na tačke preseka. Neće biti zasjenjene, jer je nejednakost stroga. Znak nejednakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Postavljajući dalje $n=0$, nalazimo prvu tačku preseka: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše područje ide u negativnom smjeru od prve tačke, tako da postavljamo $n$ jednako $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje ove nejednakosti će biti interval:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Primjer 3: Riješite nejednačinu:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Ovaj primjer se ne može odmah riješiti pomoću algoritma. Prvo ga trebate pretvoriti. Radimo tačno onako kako bismo uradili sa jednadžbom, ali ne zaboravite na znak. Dijeljenje ili množenje sa negativnim brojem to preokreće!

Dakle, pomjerimo sve što ne sadrži trigonometrijsku funkciju na desnu stranu. Dobijamo:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Podijelite lijevu i desnu stranu sa $-2$ (ne zaboravite na znak!). imat će:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Opet smo dobili nejednakost koju ne možemo riješiti algoritmom. Ali ovdje je dovoljno napraviti promjenu varijable:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Dobijamo trigonometrijsku nejednačinu, koja se može riješiti pomoću algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ova nejednakost je riješena u primjeru 1, pa ćemo odatle posuditi odgovor:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Međutim, odluka još nije gotova. Moramo se vratiti na originalnu varijablu.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Hajde da predstavimo jaz kao sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(niz) \right.$

Na lijevoj strani sistema nalazi se izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), koji pripada intervalu. Lijeva granica intervala je odgovorna za prvu nejednakost, a desna za drugu. Štoviše, zagrade igraju važnu ulogu: ako je zagrada kvadratna, onda će nejednakost biti nestroga, a ako je okrugla, onda stroga. naš zadatak je da dobijemo $x$ na lijevoj strani u obe nejednakosti.

Pomjerimo $\frac(\pi)(6)$ s lijeve strane na desnu, dobićemo:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Pojednostavljujući, imaćemo:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(niz) \right.$

Množenjem lijeve i desne strane sa 4$, dobijamo:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Sastavljajući sistem u interval, dobijamo odgovor:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \ n \in Z.$