Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija. Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2020) Šta to u određenoj mjeri znači

Moć se koristi za pojednostavljenje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje za ovaj prelaz je dato u prvom delu ovog članka). Stepeni olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednačina; Potencije se također lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenim izrazom ili jednadžbom (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednačinu (u takvoj jednadžbi nepoznata je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema sa diplomama

Pomnožite bazu eksponenta samu po sebi broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem snage, prepišite stepen kao operaciju množenja, gdje se baza snage množi sama sa sobom. Na primjer, data diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza snage 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo, pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - proces izračunavanja nije tako komplikovan kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Volim ovo:

Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat će se proporcionalno povećavati. U našem primjeru, pomnožite 16 sa 4. Ovako:

Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.

Na svom kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n)) ", ili "^". Koristeći ovaj taster podići ćete broj na stepen. Gotovo je nemoguće ručno izračunati stepen s velikim indikatorom (na primjer, stepen 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U Windows 7, standardni kalkulator se može prebaciti u inženjerski način rada; Da biste to učinili, kliknite na “Prikaz” -> “Inženjering”. Da biste se prebacili na normalan način rada, kliknite na “View” -> “Normal”.

• Provjerite svoj odgovor koristeći Google. Koristeći taster "^" na tastaturi računara, unesite izraz u pretraživač, koji će odmah prikazati tačan odgovor (i možda predložiti slične izraze za proučavanje).

Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

1. Možete sabirati i oduzimati stepene samo ako imaju iste baze. Ako trebate zbrajati stepene s istim bazama i eksponentima, tada možete zamijeniti operaciju sabiranja operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Zapamtite da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti u obliku 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dakle, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, prebrojite broj sličnih stepeni, a zatim pomnožite taj stepen i ovaj broj. U našem primjeru podignite 4 na peti stepen, a zatim pomnožite rezultirajući rezultat sa 2. Zapamtite da se operacija sabiranja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

   Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju (osnova se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju, samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. dakle, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizuelnog objašnjenja ovog pravila:

   Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe. Na primjer, data diploma (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). Pošto se eksponenti množe, onda (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Poenta ovog pravila je da množite po moćima (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pet puta. Volim ovo:

   Potencija s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (obrnuti stepen). Nije važno ako ne znate šta je recipročna diploma. Ako vam je dat stepen sa negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), upišite ovaj stepen u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojilac) i učinite eksponent pozitivnim. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

   Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Oduzmite eksponent u nazivniku od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). dakle, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite rješavati probleme s eksponentima. Navedeni izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom dijelu. Da biste vidjeli odgovor, jednostavno odaberite prazan prostor iza znaka jednakosti.

Rješavanje zadataka s razlomačnim eksponentima

Stepen s frakcionim indikatorom (na primjer, x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) se pretvara u operaciju ekstrakcije korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Ovdje nije bitno koji je broj u nazivniku razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- je četvrti korijen od “x”, tj x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

Očigledno je da se brojevi sa stepenom mogu sabirati kao i druge veličine , dodajući ih jedan za drugim sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds jednake snage identičnih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 jednak je 5a 2.

Takođe je očigledno da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable I raznih stepeni identične varijable, moraju biti sastavljene dodavanjem njihovih znakova.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3.

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, već dvostrukoj kocki od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Oduzimanje ovlasti se sprovode na isti način kao i sabiranje, osim što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Umnožavanje moći

Brojevi sa stepenom mogu se množiti, kao i druge veličine, tako što će se pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem identičnih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim iznos stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stepen n;

A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, Potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata potencija.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako pomnožite zbir i razliku dva broja podignuta na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepeni.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Podjela stepena

Brojevi sa stepenom mogu se podijeliti kao i drugi brojevi, oduzimanjem od dividende ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 jednako je a 3.

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Kada se dijele stepeni sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepeni.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Neophodno je veoma dobro ovladati množenjem i deljenjem stepena, jer se takve operacije veoma široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente za $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente za $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 /a 3 i a -3 /a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 ili 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi bili obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Magično su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzeti sa znakom " ") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, zapitajmo se: zašto je to tako?

Razmotrimo neki stepen sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo istu stvar kakva je bila - . Kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - bez obzira koliko pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stepen, on mora biti jednak. Pa koliko je ovo istina? Matematičari su odlučili da se ne mešaju i odbili da podignu nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već ga ni podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim brojem na negativan stepen:

Odavde je lako izraziti ono što tražite:

Proširimo rezultujuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj sa negativnom potencijom recipročan je istom broju pozitivne moći. Ali istovremeno Baza ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisna rješenja:

Analiza problema za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su zastrašujuće, ali na Jedinstvenom državnom ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako ih niste mogli riješiti i naučit ćete se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva „prikladnih“ kao eksponent.

Sada razmotrimo racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi i.

Da razumem šta je to "razlomni stepen", uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija podizanja na stepen: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti pomoću pravila snage-na-pone:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Podsjetimo se pravila: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući čak i korijene iz negativnih brojeva!

To znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izrazom?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti u obliku drugih, reducibilnih razlomaka, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali ako drugačije zapišemo indikator, opet ćemo upasti u nevolje: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera za praksu

Analiza 5 primjera za obuku

1. Ne zaboravite na uobičajena svojstva stupnjeva:

2. . Ovdje se prisjećamo da smo zaboravili naučiti tabelu stupnjeva:

na kraju krajeva - ovo je ili. Rješenje se pronalazi automatski: .

Pa, sada dolazi najteži dio. Sada ćemo to shvatiti stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Uostalom, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...broj na nultu potenciju- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno, još ga nisu počeli množati, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni stepen- kao da se desio neki „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podeljen.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Zar te on ni na šta ne podsjeća? Prisjetimo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim indikatorom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

Izgradnja na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent negativan cijeli broj broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Potencija s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva stepeni

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji to je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu Neophodno moraju postojati isti razlozi. Stoga kombiniramo snage s bazom, ali ona ostaje zaseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvod moći!

Ni pod kojim okolnostima ne možete to napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da pregrupišemo ovaj posao ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom puta, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati „vađenjem indikatora iz zagrada“. Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno: !

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali o tome kako bi to trebalo da bude index stepeni. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U ovlastima prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, da li je broj pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus za minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo - .

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Mogu se formulirati sljedeća jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: na kraju krajeva, nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije jednaka, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga sjetimo, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapisujemo definiciju stupnjeva i dijelimo ih jedni s drugima, dijelimo ih u parove i dobivamo:

Prije nego što pogledamo posljednje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

Izračunaj izraze:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmu potenciju, šta vidimo ovdje? Prisjetimo se programa za 7. razred. Pa, sećaš li se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo pažljivo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Redoslijed termina je pogrešan. Ako bi se oni poništili, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada ispada ovako:

Čarobno su termini promijenili mjesta. Ovaj “fenomen” se primjenjuje na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: lako možemo promijeniti znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: Svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne možete ga zamijeniti mijenjajući samo jedan nedostatak koji nam se ne sviđa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo ga:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko ukupno ima slova? puta po množiteljima - na šta vas ovo podsjeća? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: Tamo su bili samo množitelji. To jest, ovo je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenima za prosečan nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih brojeva).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim eksponentima, svaki put smo kreirali određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, stepen sa prirodnim eksponentom je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još ga nisu počeli množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle rezultat je samo određeni „prazni broj“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim eksponentom - kao da se dogodio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). To je prije čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Prisjetimo se formule razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke svodimo na isti oblik: ili obje decimale ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, koristimo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli broj i pozitivan).

Potencija s racionalnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stepeni

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite ispod u komentarima da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu korištenja svojstava diploma.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

može se naći pomoću množenja. Na primjer: 5+5+5+5+5+5=5x6. Za takav izraz se kaže da je zbir jednakih članova savijen u proizvod. I obrnuto, ako ovu jednakost čitamo s desna na lijevo, nalazimo da smo proširili zbir jednakih članova. Slično, možete skupiti proizvod nekoliko jednakih faktora 5x5x5x5x5x5=5 6.

Odnosno, umjesto da pomnože šest identičnih faktora 5x5x5x5x5x5, pišu 5 6 i kažu "pet na šesti stepen".

Izraz 5 6 je stepen broja, gdje je:

5 - osnova stepena;

6 - eksponent.

Zovu se radnje kojima se proizvod jednakih faktora svodi na stepen podizanje na stepen.

Općenito, stepen sa bazom “a” i eksponentom “n” piše se na sljedeći način

Podići broj a na stepen n znači pronaći proizvod n faktora, od kojih je svaki jednak a

Ako je osnova stepena “a” jednaka 1, tada će vrijednost stepena za bilo koji prirodni broj n biti jednaka 1. Na primjer, 1 5 =1, 1 256 =1

Ako podignete broj “a” na prvi stepen, tada dobijamo sam broj a: a 1 = a

Ako podignete bilo koji broj do nulti stepen, onda kao rezultat proračuna dobijamo jedan. a 0 = 1

Druga i treća potencija broja smatraju se posebnim. Smislili su im imena: drugi stepen se zove kvadrat broj, treći - kocka ovaj broj.

Bilo koji broj se može podići na stepen - pozitivan, negativan ili nula. U ovom slučaju ne važe sljedeća pravila:

Kada se pronađe stepen pozitivnog broja, rezultat je pozitivan broj.

Kada računamo nulu na prirodnu snagu, dobijamo nulu.

x m · x n = x m + n

na primjer: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

To podijeliti ovlasti sa istim osnovama Ne mijenjamo bazu, nego oduzimamo eksponente:

x m / x n = x m - n , Gdje, m > n,

na primjer: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Prilikom izračunavanja podizanje moći u moć Ne mijenjamo bazu, nego množimo eksponente jedan s drugim.

(kod m ) n = y m n

na primjer: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

na primjer:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Prilikom izvođenja proračuna prema dizanje razlomka na stepen podižemo brojilac i imenilac razlomka na dati stepen

(x/y)n = x n / y n

na primjer: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Redoslijed izračunavanja pri radu s izrazima koji sadrže stepen.

Prilikom izvođenja računanja izraza bez zagrada, ali koji sadrže stepene, prije svega izvode eksponencijaciju, zatim množenje i dijeljenje, a tek onda operacije sabiranja i oduzimanja.

Ako trebate izračunati izraz koji sadrži zagrade, onda prvo izvršite proračune u zagradama gore navedenim redoslijedom, a zatim preostale radnje istim redoslijedom s lijeva na desno.

Vrlo široko u praktičnim proračunima, gotove tablice snaga koriste se za pojednostavljenje proračuna.