Odlomak iz knjige jednog od najboljih nastavnika matematike. Zadovoljstvo X. Fascinantni izlet u svijet matematike od jednog od najboljih učitelja na svijetu - Stephena Strogatza

The Joy of X

Obilazak matematike s vodičem, od jednog do beskonačnosti

Objavljeno uz dozvolu Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012. Sva prava pridržana

© Prevod na ruski, publikacija na ruskom, dizajn. Mann, Ivanov i Ferber doo, 2014

Sva prava zadržana. Nijedan dio elektronske verzije ove knjige ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili na bilo koji način, uključujući objavljivanje na Internetu ili korporativnim mrežama, za privatnu ili javnu upotrebu bez pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačkoj kući pruža advokatska firma Vegas-Lex.

* * *

Ova knjiga je dobro dopunjena sa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Fleksibilna svijest

Carol Dweck

Fizika berze

James Weatherall

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (umjetnik je), strastven za nauku. Kad god se nađemo, on sa entuzijazmom priča o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo da pričamo o matematici, on oseti drhtanje u kolenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ne samo da ovi čudni matematički simboli prkose njegovom razumijevanju, nego ponekad čak i ne zna kako da ih izgovori.

Zapravo, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On neće imati pojma šta matematičari uopšte rade i šta misle kada kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da samo treba da sjednem i počnem da ga učim od samih osnova, bukvalno 1 + 1 = 2, i da uđem što dublje u matematiku.

I iako se ova ideja čini suludom, to je upravo ono što ću pokušati implementirati u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do više matematike, kako bi oni koji su željeli drugu šansu konačno mogli da je iskoriste. I ovaj put nećete morati sjediti za stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će vam da shvatite šta ova disciplina proučava i zašto je toliko fascinantna za one koji je razumiju.

Da razjasnimo šta mislim pod životima brojeva i njihovim ponašanjem koje ne možemo kontrolisati, vratimo se na hotel Krznene šape. Pretpostavimo da je Humphrey upravo htio predati narudžbu, ali onda su ga pingvini iz druge sobe neočekivano pozvali i također zatražili istu količinu ribe. Koliko puta Humphrey mora viknuti riječ "riba" nakon što je dobio dvije naredbe? Da nije naučio ništa o brojevima, morao bi da vrisne onoliko puta koliko pingvina ima u obe sobe. Ili, koristeći brojeve, mogao bi objasniti kuharu da mu treba šest riba za jedan broj i šest za drugi. Ali ono što mu zaista treba je novi koncept: dodavanje. Kada to savlada, ponosno će reći da mu treba šest plus šest (ili, ako je pozer, dvanaest) riba.

Ovo je isti kreativni proces kao kada smo prvi put došli do brojeva. Baš kao što brojevi čine brojanje lakšim od navođenja jednog po jednog, sabiranje olakšava izračunavanje bilo kojeg iznosa. Istovremeno, onaj ko računa razvija se kao matematičar. Naučno, ova ideja se može formulisati na sljedeći način: korištenje pravih apstrakcija vodi do dubljeg uvida u suštinu problema i veće moći u njegovom rješavanju.

Uskoro će možda čak i Humphrey shvatiti da sada uvijek može računati.

Međutim, unatoč tako beskrajnoj perspektivi, naša kreativnost uvijek ima neka ograničenja. Možemo odlučiti šta mislimo pod 6 i +, ali kada to učinimo, rezultati izraza poput 6 + 6 su izvan naše kontrole. Ovdje nam logika neće ostaviti izbora. U tom smislu, matematika uvijek uključuje i pronalazak, tako i otvaranje: mi izumiti koncept, ali otvoren njihove posledice. Kao što će sljedeća poglavlja jasno pokazati, u matematici naša sloboda leži u sposobnosti da postavljamo pitanja i ustrajemo u traženju odgovora bez potrebe da ih sami izmišljamo.

2. Kamena aritmetika

Kao i svaka pojava u životu, aritmetika ima dvije strane: formalnu i zabavnu (ili igrivu).

U školi smo učili formalni dio. Tamo su nam objasnili kako da radimo sa kolonama brojeva, da ih sabiremo i oduzimamo, kako da ih zgnječimo kada radimo proračune u tabelama prilikom popunjavanja poreskih prijava i pripremanja godišnjih izveštaja. Ova strana aritmetike mnogima se čini važnom s praktične tačke gledišta, ali potpuno bez radosti.

Sa zabavnom stranom aritmetike možete se upoznati samo u procesu proučavanja više matematike. Međutim, to je prirodno kao i dječja radoznalost.

U eseju "Matematičareva jadikovka", Paul Lockhart predlaže proučavanje brojeva na konkretnijim primjerima nego inače: traži od nas da o njima razmišljamo kao o broju kamenja. Na primjer, broj 6 odgovara sljedećem setu kamenčića:

Malo je vjerovatno da ćete ovdje vidjeti nešto neobično. Onako kako je. Dok ne počnemo manipulirati brojevima, oni izgledaju prilično isto. Igra počinje kada dobijemo zadatak.

Na primjer, pogledajmo setove koji sadrže od 1 do 10 kamenčića i pokušajmo od njih napraviti kvadrate. Ovo se može uraditi samo sa dva seta od 4 i 9 kamenčića, jer je 4 = 2 × 2 i 9 = 3 × 3. Ove brojeve dobijamo kvadriranjem nekog drugog broja (odnosno, slaganjem kamenja u kvadrat).

Evo problema koji ima veći broj rješenja: trebate saznati koji će skupovi formirati pravougaonik ako kamenje rasporedite u dva reda s jednakim brojem elemenata. Ovdje su prikladni setovi od 2, 4, 6, 8 ili 10 kamenčića; broj mora biti paran. Ako pokušamo složiti preostale setove s neparnim brojem kamenčića u dva reda, uvijek ćemo na kraju dobiti dodatni kamen.

Ali nije sve izgubljeno za ove nezgodne brojke! Ako uzmete dva takva skupa, tada će dodatni elementi pronaći par, a zbroj će biti paran: neparan broj + neparan broj = paran broj.

Ako proširimo ova pravila na brojeve nakon 10 i pretpostavimo da broj redova u pravokutniku može biti veći od dva, tada će neki neparni brojevi omogućiti dodavanje takvih pravokutnika. Na primjer, broj 15 može formirati pravougaonik 3 × 5.

Stoga, iako je 15 nesumnjivo neparan broj, on je složen broj i može se predstaviti kao tri reda od po pet kamenčića. Isto tako, svaki unos u tablici množenja proizvodi vlastitu pravokutnu grupu kamenčića.

Ali neki brojevi, poput 2, 3, 5 i 7, potpuno su beznadežni. Od njih ne možete postaviti ništa osim da ih rasporedite u obliku jednostavne linije (jedan red). Ovi čudni tvrdoglavi ljudi su poznati prosti brojevi.

Dakle, vidimo da brojevi mogu imati čudne strukture koje im daju određeni karakter. Ali da biste razumjeli cijeli raspon njihovog ponašanja, morate se odmaknuti od pojedinačnih brojeva i promatrati šta se događa tokom njihove interakcije.

Na primjer, umjesto dodavanja samo dva neparna broja, dodajmo sve moguće nizove neparnih brojeva, počevši od 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Iznenađujuće, ovi zbroji uvijek ispadnu savršeni kvadrati. (Već smo rekli da se 4 i 9 mogu predstaviti kao kvadrati, a za 16 = 4 × 4 i 25 = 5 × 5 to je također tačno.) Brza računica pokazuje da ovo pravilo vrijedi i za veće neparne brojeve i , očigledno , teži beskonačnosti. Ali kakva je veza između neparnih brojeva s njihovim "dodatnim" kamenčićima i klasično simetričnih brojeva koji formiraju kvadrate? Pravilnim postavljanjem kamenčića možemo ga učiniti očiglednim, što je obilježje elegantnog dokaza.

Ključ za to je zapažanje da se neparni brojevi mogu predstaviti kao jednakostranični uglovi, čije uzastopno preklapanje formira kvadrat!

Sličan način rezonovanja predstavljen je u drugoj nedavno objavljenoj knjizi. Šarmantni roman Joko Ogawe Domaćica i profesor priča priču o oštroumnoj, ali neobrazovanoj mladoj ženi i njenom desetogodišnjem sinu. Žena je angažovana da se brine o starijem matematičaru čije kratkoročno pamćenje, zbog traumatske povrede mozga, čuva samo podatke o poslednjih 80 minuta njegovog života. Izgubljen u sadašnjosti, sam u svojoj jadnoj kolibi, bez ičega osim brojeva, profesor pokušava komunicirati s domaćicom na jedini način koji zna: pitajući je za njenu veličinu cipela ili datum rođenja i malo razgovara s njom o njenim troškovima. Profesoru se posebno sviđa i sin domaćice, kojeg naziva Rut (Koren) jer dječak ima ravnu glavu na vrhu, a to ga podsjeća na matematičku notaciju za kvadratni korijen √.

Jednog dana, profesor zada dječaku jednostavan zadatak - da pronađe zbir svih brojeva od 1 do 10. Nakon što Ruth pažljivo sabere sve brojeve i vrati se s odgovorom (55), profesor ga zamoli da potraži lakši način. Hoće li uspjeti pronaći odgovor? bez obično sabiranje brojeva? Ruth udari nogom u stolicu i vrišti: "Nije fer!"

Malo po malo, i domaćica se uvlači u svijet brojeva i tajno pokušava sama riješiti ovaj problem. “Ne razumijem zašto me toliko zanima dječja slagalica koja nema praktičnu primjenu”, kaže ona. “U početku sam htio ugoditi profesoru, ali se postepeno ova lekcija pretvorila u bitku između mene i brojeva. Kada sam se ujutro probudio, jednačina me je već čekala:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

i pratio me cijeli dan, kao da mi se upalio u mrežnjače očiju, i nisam mogao to ignorirati.” Postoji nekoliko načina da riješite problem profesora (pitam se koliko ih možete pronaći). Profesor sam predlaže metodu zaključivanja, koju smo već primijenili gore. Zbir od 1 do 10 tumači kao trougao kamenčića, sa jednim kamenčićem u prvom redu, dva u drugom i tako dalje, do deset kamenčića u desetom redu.

Ova slika daje jasnu predstavu o negativnom prostoru. Ispostavilo se da je samo do pola pun, što pokazuje smjer kreativnog iskora. Ako kopirate trougao kamenčića, preokrenite ga i kombinujete sa postojećim, dobićete nešto vrlo jednostavno: pravougaonik sa deset redova od po 11 kamenčića, što ukupno ima 110 kamenčića.

Pošto je originalni trougao polovina ovog pravougaonika, izračunati zbir brojeva od 1 do 10 mora biti polovina od 110, odnosno 55.

Predstavljanje broja kao grupe kamenčića može izgledati neobično, ali je zapravo staro koliko i sama matematika. riječ "izračunaj" izračunati) odražava ovo nasljeđe i izvedeno je iz latinskog računica, što znači "šljunak", koji su Rimljani koristili prilikom izvođenja proračuna. Ne morate biti Ajnštajn (što na njemačkom znači "jedan kamen") da biste uživali u manipulaciji brojevima, ali možda će vam to što možete žonglirati kamenčićima olakšati.

Zakucavanje je vrsta košarkaškog udarca u kojem igrač skače i ubacuje loptu kroz obruč od vrha do dna s jednom ili dvije ruke. Bilješka prevod

Jay Simpson je poznati igrač američkog fudbala. Igrao je ulogu detektiva Northberga u poznatoj trilogiji „Goli pištolj“. Optužen je za ubistvo svoje bivše supruge i njenog prijatelja i oslobođen je optužbi uprkos dokazima. Bilješka prevod

Za fascinantnu ideju da brojevi imaju svoj život i da se matematika može posmatrati kao umjetnička forma, vidi P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Bilješka ur.: Na ruskom internetu postoji mnogo prijevoda Lockhardovog eseja „Plač matematičara“. Evo jednog od njih: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Ovdje i ispod, fusnote u vitičastim zagradama odnose se na bilješke autora.

Ova poznata fraza preuzeta je iz eseja E. Wignera Nerazumna efikasnost matematike u prirodnim naukama, Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, br. 1, (februar 1960), str. 1–14. Internet verzija je dostupna na http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. Za daljnja razmišljanja o ovoj temi, i da li je matematika izumljena ili otkrivena, vidi M. Livio, Je li Bog matematičar? (Simon i Schuster, 2009) i R. W. Hamming, Nerazumna efikasnost matematike, American Mathematical Monthly, Vol. 87, br. 2 (februar 1980).

Veliki dio ovog poglavlja dugujem dvijema odličnim knjigama: polemičkom eseju P. Lockharta, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) i romanu Y. Ogawe, Domaćica i profesor (Picador, 2009). Bilješka izd.: Lockhardov esej „Plač matematičara“ pominje se u komentaru 1. Još nema prevoda romana Joko Ogave na ruski jezik.

Za mlade čitaoce koji žele da istraže brojeve i njihove strukture, pogledajte H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Bilješka ur.: Među brojnim ruskim knjigama o počecima matematike, nestandardnim pristupima njenom proučavanju, razvoju matematičke kreativnosti kod dece i sličnim temama koje su u skladu sa narednim poglavljima knjige, za sada ćemo navesti sledeće: Puhnačev Yu., Popov Yu. Matematika bez formula. M.: JSC "Stoletie", 1995; Oster G. Problemska knjiga. Omiljeni vodič za matematiku. M.: AST, 2005; Ryzhik V.I. 30 000 lekcija matematike: knjiga za nastavnike. M.: Obrazovanje, 2003: Tučnin N.P. Kako postaviti pitanje? O matematičkom stvaralaštvu školaraca. Yaroslavl: Verkh. - Volzh. knjiga izdavačka kuća, 1989.

Za odlične, ali složenije primjere vizualizacije matematičkih slika, pogledajte R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

The Joy of X

Obilazak matematike s vodičem, od jednog do beskonačnosti

Objavljeno uz dozvolu Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012. Sva prava pridržana

© Prevod na ruski, publikacija na ruskom, dizajn. Mann, Ivanov i Ferber doo, 2014

Sva prava zadržana. Nijedan dio elektronske verzije ove knjige ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili na bilo koji način, uključujući objavljivanje na Internetu ili korporativnim mrežama, za privatnu ili javnu upotrebu bez pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačkoj kući pruža advokatska firma Vegas-Lex.

* * *

Ova knjiga je dobro dopunjena sa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Fleksibilna svijest

Carol Dweck

Fizika berze

James Weatherall

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (umjetnik je), strastven za nauku. Kad god se nađemo, on sa entuzijazmom priča o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo da pričamo o matematici, on oseti drhtanje u kolenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ne samo da ovi čudni matematički simboli prkose njegovom razumijevanju, nego ponekad čak i ne zna kako da ih izgovori.

Zapravo, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On neće imati pojma šta matematičari uopšte rade i šta misle kada kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da samo treba da sjednem i počnem da ga učim od samih osnova, bukvalno 1 + 1 = 2, i da uđem što dublje u matematiku.

I iako se ova ideja čini suludom, to je upravo ono što ću pokušati implementirati u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do više matematike, kako bi oni koji su željeli drugu šansu konačno mogli da je iskoriste. I ovaj put nećete morati sjediti za stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će vam da shvatite šta ova disciplina proučava i zašto je toliko fascinantna za one koji je razumiju.

Da razjasnimo šta mislim pod životima brojeva i njihovim ponašanjem koje ne možemo kontrolisati, vratimo se na hotel Krznene šape. Pretpostavimo da je Humphrey upravo htio predati narudžbu, ali onda su ga pingvini iz druge sobe neočekivano pozvali i također zatražili istu količinu ribe. Koliko puta Humphrey mora viknuti riječ "riba" nakon što je dobio dvije naredbe? Da nije naučio ništa o brojevima, morao bi da vrisne onoliko puta koliko pingvina ima u obe sobe. Ili, koristeći brojeve, mogao bi objasniti kuharu da mu treba šest riba za jedan broj i šest za drugi. Ali ono što mu zaista treba je novi koncept: dodavanje. Kada to savlada, ponosno će reći da mu treba šest plus šest (ili, ako je pozer, dvanaest) riba.

Ovo je isti kreativni proces kao kada smo prvi put došli do brojeva. Baš kao što brojevi čine brojanje lakšim od navođenja jednog po jednog, sabiranje olakšava izračunavanje bilo kojeg iznosa. Istovremeno, onaj ko računa razvija se kao matematičar. Naučno, ova ideja se može formulisati na sljedeći način: korištenje pravih apstrakcija vodi do dubljeg uvida u suštinu problema i veće moći u njegovom rješavanju.

Uskoro će možda čak i Humphrey shvatiti da sada uvijek može računati.

Međutim, unatoč tako beskrajnoj perspektivi, naša kreativnost uvijek ima neka ograničenja. Možemo odlučiti šta mislimo pod 6 i +, ali kada to učinimo, rezultati izraza poput 6 + 6 su izvan naše kontrole. Ovdje nam logika neće ostaviti izbora. U tom smislu, matematika uvijek uključuje i pronalazak, tako i otvaranje: mi izumiti koncept, ali otvoren njihove posledice. Kao što će sljedeća poglavlja jasno pokazati, u matematici naša sloboda leži u sposobnosti da postavljamo pitanja i ustrajemo u traženju odgovora bez potrebe da ih sami izmišljamo.

2. Kamena aritmetika

Kao i svaka pojava u životu, aritmetika ima dvije strane: formalnu i zabavnu (ili igrivu).

U školi smo učili formalni dio. Tamo su nam objasnili kako da radimo sa kolonama brojeva, da ih sabiremo i oduzimamo, kako da ih zgnječimo kada radimo proračune u tabelama prilikom popunjavanja poreskih prijava i pripremanja godišnjih izveštaja. Ova strana aritmetike mnogima se čini važnom s praktične tačke gledišta, ali potpuno bez radosti.

Sa zabavnom stranom aritmetike možete se upoznati samo u procesu studiranja više matematike {3}. Međutim, to je prirodno kao i dječja radoznalost {4}.

U eseju "Matematičareva jadikovka", Paul Lockhart predlaže proučavanje brojeva na konkretnijim primjerima nego inače: traži od nas da o njima razmišljamo kao o broju kamenja. Na primjer, broj 6 odgovara sljedećem setu kamenčića:

Malo je vjerovatno da ćete ovdje vidjeti nešto neobično. Onako kako je. Dok ne počnemo manipulirati brojevima, oni izgledaju prilično isto. Igra počinje kada dobijemo zadatak.

Na primjer, pogledajmo setove koji sadrže od 1 do 10 kamenčića i pokušajmo od njih napraviti kvadrate. Ovo se može uraditi samo sa dva seta od 4 i 9 kamenčića, jer je 4 = 2 × 2 i 9 = 3 × 3. Ove brojeve dobijamo kvadriranjem nekog drugog broja (odnosno, slaganjem kamenja u kvadrat).

Evo problema koji ima veći broj rješenja: trebate saznati koji će skupovi formirati pravougaonik ako kamenje rasporedite u dva reda s jednakim brojem elemenata. Ovdje su prikladni setovi od 2, 4, 6, 8 ili 10 kamenčića; broj mora biti paran. Ako pokušamo složiti preostale setove s neparnim brojem kamenčića u dva reda, uvijek ćemo na kraju dobiti dodatni kamen.

Ali nije sve izgubljeno za ove nezgodne brojke! Ako uzmete dva takva skupa, tada će dodatni elementi pronaći par, a zbroj će biti paran: neparan broj + neparan broj = paran broj.

Ako proširimo ova pravila na brojeve nakon 10 i pretpostavimo da broj redova u pravokutniku može biti veći od dva, tada će neki neparni brojevi omogućiti dodavanje takvih pravokutnika. Na primjer, broj 15 može formirati pravougaonik 3 × 5.

Stoga, iako je 15 nesumnjivo neparan broj, on je složen broj i može se predstaviti kao tri reda od po pet kamenčića. Isto tako, svaki unos u tablici množenja proizvodi vlastitu pravokutnu grupu kamenčića.

Ali neki brojevi, poput 2, 3, 5 i 7, potpuno su beznadežni. Od njih ne možete postaviti ništa osim da ih rasporedite u obliku jednostavne linije (jedan red). Ovi čudni tvrdoglavi ljudi su poznati prosti brojevi.

Dakle, vidimo da brojevi mogu imati čudne strukture koje im daju određeni karakter. Ali da biste razumjeli cijeli raspon njihovog ponašanja, morate se odmaknuti od pojedinačnih brojeva i promatrati šta se događa tokom njihove interakcije.

Na primjer, umjesto dodavanja samo dva neparna broja, dodajmo sve moguće nizove neparnih brojeva, počevši od 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Iznenađujuće, ovi zbroji uvijek ispadnu savršeni kvadrati. (Već smo rekli da se 4 i 9 mogu predstaviti kao kvadrati, a za 16 = 4 × 4 i 25 = 5 × 5 to je također tačno.) Brza računica pokazuje da ovo pravilo vrijedi i za veće neparne brojeve i , očigledno , teži beskonačnosti. Ali kakva je veza između neparnih brojeva s njihovim "dodatnim" kamenčićima i klasično simetričnih brojeva koji formiraju kvadrate? Pravilnim postavljanjem kamenčića možemo ga učiniti očiglednim, što je obilježje elegantnog dokaza. {5}

Ključ za to je zapažanje da se neparni brojevi mogu predstaviti kao jednakostranični uglovi, čije uzastopno preklapanje formira kvadrat!

Sličan način rezonovanja predstavljen je u drugoj nedavno objavljenoj knjizi. Šarmantni roman Joko Ogawe Domaćica i profesor priča priču o oštroumnoj, ali neobrazovanoj mladoj ženi i njenom desetogodišnjem sinu. Žena je angažovana da se brine o starijem matematičaru čije kratkoročno pamćenje, zbog traumatske povrede mozga, čuva samo podatke o poslednjih 80 minuta njegovog života. Izgubljen u sadašnjosti, sam u svojoj jadnoj kolibi, bez ičega osim brojeva, profesor pokušava komunicirati s domaćicom na jedini način koji zna: pitajući je za njenu veličinu cipela ili datum rođenja i malo razgovara s njom o njenim troškovima. Profesoru se posebno sviđa i sin domaćice, kojeg naziva Rut (Koren) jer dječak ima ravnu glavu na vrhu, a to ga podsjeća na matematičku notaciju za kvadratni korijen √.

Jednog dana, profesor zada dječaku jednostavan zadatak - da pronađe zbir svih brojeva od 1 do 10. Nakon što Ruth pažljivo sabere sve brojeve i vrati se s odgovorom (55), profesor ga zamoli da potraži lakši način. Hoće li uspjeti pronaći odgovor? bez obično sabiranje brojeva? Ruth udari nogom u stolicu i vrišti: "Nije fer!"

Malo po malo, i domaćica se uvlači u svijet brojeva i tajno pokušava sama riješiti ovaj problem. “Ne razumijem zašto me toliko zanima dječja slagalica koja nema praktičnu primjenu”, kaže ona. “U početku sam htio ugoditi profesoru, ali se postepeno ova lekcija pretvorila u bitku između mene i brojeva. Kada sam se ujutro probudio, jednačina me je već čekala:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Steven Strogatz je 2010. napisao seriju članaka o osnovama matematike za The New York Times. Članci su izazvali buru oduševljenja. Svaka kolumna postala je najpopularnija priča u novinama i privukla je stotine komentara. Čitaoci su tražili više, a Stephen nije razočarao - pojavila se ova knjiga koja je uključivala i već objavljene dijelove i potpuno nova poglavlja.

Matematika prožima sve na ovom svijetu, uključujući i nas same, ali, nažalost, malo ljudi razumije ovaj univerzalni jezik dovoljno dobro da cijeni njegovu mudrost i ljepotu. Steven Strogatz je nastavnik matematike o kojem ste sanjali u srednjoj školi. Nastavnik koji je u stanju da zapali iskru interesovanja i usadi doživotnu ljubav prema svom predmetu. U ovoj neverovatno jednostavnoj i zabavnoj knjizi, on nam svima daje drugu priliku da upoznamo matematiku. U svakom kratkom poglavlju otkrit ćete nešto novo, od toga zašto su brojevi uopće potrebni do tema kao što su geometrija, integralni račun, statistika i beskonačnost. Autor objašnjava sjajne matematičke ideje jednostavno i elegantno, uz briljantne primjere koje svako može razumjeti. Ova knjiga je za svakoga. Oni koji su malo upoznati s matematikom pobliže će je upoznati, a oni koji vole matematiku će uživati ​​čitajući o "kraljici nauka".

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (umjetnik je), strastven za nauku. Kad god se nađemo, on sa entuzijazmom priča o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo da pričamo o matematici, on oseti drhtanje u kolenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ne samo da ovi čudni matematički simboli prkose njegovom razumijevanju, nego ponekad čak i ne zna kako da ih izgovori.

Zapravo, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On neće imati pojma šta matematičari uopšte rade i šta misle kada kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da samo treba da sjednem i počnem da ga učim od samih osnova, bukvalno 1 + 1 = 2, i da uđem što dublje u matematiku.

I iako se ova ideja čini suludom, to je upravo ono što ću pokušati implementirati u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do više matematike, kako bi oni koji su željeli drugu šansu konačno mogli da je iskoriste. I ovaj put nećete morati sjediti za stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će vam da shvatite šta ova disciplina proučava i zašto je toliko fascinantna za one koji je razumiju.

Istražit ćemo kako zakucavanja Michaela Jordana mogu pomoći da se objasni osnovni račun. Pokazaću vam jednostavan i neverovatan način da razumete osnovnu teoremu Euklidove geometrije - Pitagorinu teoremu. Pokušaćemo da dođemo do dna nekih životnih misterija, velikih i malih: da li je Džej Simpson ubio svoju ženu; kako premjestiti madrac tako da traje što duže; koliko partnera treba promijeniti prije sklapanja braka - pa ćemo vidjeti zašto su neke beskonačnosti veće od drugih.

Matematika je svuda, samo je treba naučiti prepoznati. Možete vidjeti sinusni val na zebrinim leđima, čuti odjeke Euklidovih teorema u Deklaraciji nezavisnosti; šta reći, čak iu suvoparnim izvještajima koji su prethodili Prvom svjetskom ratu ima negativnih brojeva. Također možete vidjeti kako nova područja matematike danas utiču na naše živote, na primjer, kada tražimo restorane koristeći kompjuter ili pokušavamo barem razumjeti, ili još bolje, preživjeti zastrašujuće fluktuacije na berzi.

— Pročitajte knjigu “The Pleasure of X” Stephena Strogatza na mreži —

Serija od 15 članaka pod opštim naslovom “Osnove matematike” pojavila se na internetu krajem januara 2010. Kao odgovor na njihovu objavu, stizala su pisma i komentari čitatelja svih uzrasta, uključujući mnoge učenike i nastavnike. Bilo je i prosto znatiželjnih ljudi koji su, iz ovog ili onog razloga, „zalutali“ u razumijevanju matematičke nauke; sada su osetili da su propustili nešto vredno truda i želeli su da pokušaju ponovo. Posebno me obradovala zahvalnost mojih roditelja jer su uz moju pomoć mogli svojoj djeci da objasne matematiku, a i sami su je počeli bolje razumjeti. Činilo se da su čak i moje kolege i drugovi, vatreni obožavatelji ove nauke, uživali čitajući članke, osim u onim trenucima kada su se natjecali da daju svakakve preporuke za poboljšanje moje zamisli.

Uprkos popularnom vjerovanju, u društvu postoji jasan interes za matematiku, iako se ovoj pojavi posvećuje malo pažnje. Sve o čemu čujemo je strah od matematike, a ipak bi mnogi voljeli da je pokušaju bolje razumjeti. A kada se to jednom dogodi, biće ih teško otkinuti.

Ova knjiga će vas uvesti u najsloženije i najnaprednije ideje iz svijeta matematike. Poglavlja su mala, laka za čitanje i ne zavise posebno jedno od drugog. Među njima su i oni koji su uključeni u tu prvu seriju članaka u New York Timesu. Stoga, čim osjetite blagu matematičku glad, ne oklijevajte da pokupite sljedeće poglavlje. Ako želite detaljnije razumjeti problem koji vas zanima, onda se na kraju knjige nalaze bilješke s dodatnim informacijama i preporukama o tome šta još možete pročitati o tome.

The Pleasure of X - Steven Strogatz (preuzmite)

(uvodna verzija)

I na kraju, predlažemo da pogledate zanimljiv video

Stephen Strogatz

Zadovoljstvo X. Fascinantno putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu

The Joy of X

Obilazak matematike s vodičem, od jednog do beskonačnosti

Objavljeno uz dozvolu Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012. Sva prava pridržana

© Prevod na ruski, publikacija na ruskom, dizajn. Mann, Ivanov i Ferber doo, 2014

Sva prava zadržana. Nijedan dio elektronske verzije ove knjige ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili na bilo koji način, uključujući objavljivanje na Internetu ili korporativnim mrežama, za privatnu ili javnu upotrebu bez pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačkoj kući pruža advokatska firma Vegas-Lex.

* * *

Ova knjiga je dobro dopunjena sa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Fleksibilna svijest

Carol Dweck

Fizika berze

James Weatherall

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (umjetnik je), strastven za nauku. Kad god se nađemo, on sa entuzijazmom priča o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo da pričamo o matematici, on oseti drhtanje u kolenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ne samo da ovi čudni matematički simboli prkose njegovom razumijevanju, nego ponekad čak i ne zna kako da ih izgovori.

Zapravo, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On neće imati pojma šta matematičari uopšte rade i šta misle kada kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da samo treba da sjednem i počnem da ga učim od samih osnova, bukvalno 1 + 1 = 2, i da uđem što dublje u matematiku.

I iako se ova ideja čini suludom, to je upravo ono što ću pokušati implementirati u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do više matematike, kako bi oni koji su željeli drugu šansu konačno mogli da je iskoriste. I ovaj put nećete morati sjediti za stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će vam da shvatite šta ova disciplina proučava i zašto je toliko fascinantna za one koji je razumiju.

Istražit ćemo kako zakucavanja Michaela Jordana mogu pomoći da se objasni osnovni račun. Pokazaću vam jednostavan i neverovatan način da razumete osnovnu teoremu Euklidove geometrije - Pitagorinu teoremu. Pokušaćemo da dođemo do dna nekih životnih misterija, velikih i malih: da li je Džej Simpson ubio svoju ženu; kako premjestiti madrac tako da traje što duže; koliko partnera treba promijeniti prije sklapanja braka - pa ćemo vidjeti zašto su neke beskonačnosti veće od drugih.

Matematika je svuda, samo je treba naučiti prepoznati. Možete vidjeti sinusni val na zebrinim leđima, čuti odjeke Euklidovih teorema u Deklaraciji nezavisnosti; šta reći, čak iu suvoparnim izvještajima koji su prethodili Prvom svjetskom ratu ima negativnih brojeva. Također možete vidjeti kako nova područja matematike danas utiču na naše živote, na primjer, kada tražimo restorane koristeći kompjuter ili pokušavamo barem razumjeti, ili još bolje, preživjeti zastrašujuće fluktuacije na berzi.

Serija od 15 članaka pod opštim naslovom “Osnove matematike” pojavila se na internetu krajem januara 2010. Kao odgovor na njihovu objavu, stizala su pisma i komentari čitatelja svih uzrasta, uključujući mnoge učenike i nastavnike. Bilo je i prosto znatiželjnih ljudi koji su, iz ovog ili onog razloga, „zalutali“ u razumijevanju matematičke nauke; sada su osetili da su propustili nešto vredno truda i da bi želeli da pokušaju ponovo. Posebno me obradovala zahvalnost mojih roditelja jer su uz moju pomoć mogli svojoj djeci da objasne matematiku, a i sami su je počeli bolje razumjeti. Činilo se da su čak i moje kolege i drugovi, vatreni obožavatelji ove nauke, uživali čitajući članke, osim u onim trenucima kada su se natjecali da daju svakakve preporuke za poboljšanje moje zamisli.

Uprkos popularnom vjerovanju, u društvu postoji jasan interes za matematiku, iako se ovoj pojavi posvećuje malo pažnje. Sve o čemu čujemo je strah od matematike, a ipak bi mnogi voljeli da je pokušaju bolje razumjeti. A kada se to jednom dogodi, biće ih teško otkinuti.

Ova knjiga će vas uvesti u najsloženije i najnaprednije ideje iz svijeta matematike. Poglavlja su mala, laka za čitanje i ne zavise posebno jedno od drugog. Među njima su i oni koji su uključeni u tu prvu seriju članaka u New York Timesu. Stoga, čim osjetite blagu matematičku glad, ne oklijevajte da pokupite sljedeće poglavlje. Ako želite detaljnije razumjeti problem koji vas zanima, onda se na kraju knjige nalaze bilješke s dodatnim informacijama i preporukama o tome šta još možete pročitati o tome.

Radi praktičnosti čitatelja koji preferiraju pristup korak po korak, podijelio sam materijal u šest dijelova u skladu s tradicionalnim redoslijedom proučavanja tema.

Prvi dio, Brojevi, počinje naše putovanje računanjem u vrtiću i osnovnoj školi. Pokazuje koliko brojevi mogu biti korisni i koliko su magično efikasni u opisivanju svijeta oko nas.

Drugi dio, “Omjeri”, prebacuje pažnju sa samih brojeva na odnose između njih. Ove ideje leže u srcu algebre i prvi su alati za opisivanje kako jedna stvar utječe na drugu, pokazujući uzročno-posledični odnos raznih stvari: ponude i potražnje, poticaja i odgovora - ukratko, svih vrsta veze koje čine svijet tako bogatim i raznolikim.

Dio III “Slike” ne govori o brojevima i simbolima, već o figurama i prostoru - domenu geometrije i trigonometrije. Ove teme, zajedno sa opisom svih vidljivih objekata kroz oblike, logičko rezonovanje i dokaz, podižu matematiku na novi nivo preciznosti.

U četvrtom dijelu, Vrijeme za promjenu, osvrćemo se na račun, najuzbudljiviju i najraznovrsniju granu matematike. Računanje omogućava predviđanje putanja planeta, ciklusa plime i oseke i omogućava razumijevanje i opisivanje svih periodično promjenjivih procesa i pojava u Univerzumu i unutar nas. Važno mjesto u ovom dijelu je dato proučavanju beskonačnosti, čije je smirivanje postalo proboj koji je omogućio proračunima da rade. Računarstvo je pomoglo u rješavanju mnogih problema koji su se pojavili u antičkom svijetu, a to je na kraju dovelo do revolucije u nauci i modernom svijetu.

Dio V, “Mnoga lica podataka”, bavi se vjerovatnoćom, statistikom, mrežama i naukom o podacima – još uvijek relativno mladim poljima koja su nastala iz manje od uobičajenih aspekata naših života, kao što su prilike i sreća, neizvjesnost, rizik , varijabilnost, haos i međuzavisnost. Koristeći prave matematičke alate i odgovarajuće vrste podataka, naučit ćemo otkriti obrasce u toku slučajnosti.

Na kraju našeg putovanja u dijelu VI, “Granice mogućeg”, približit ćemo se granicama matematičkog znanja, graničnom području između onoga što je već poznato i onoga što je još neuhvatljivo i nepoznato. Ponovo ćemo proći kroz teme onim redoslijedom koji nam je već poznat: brojevi, omjeri, brojke, promjene i beskonačnost - ali ćemo istovremeno svaku od njih pogledati dublje, u njenoj modernoj inkarnaciji.

Nadam se da će vam se sve ideje opisane u ovoj knjizi činiti fascinantnim i da će vas natjerati da više puta uzviknete: "Vau!" Ali uvijek morate početi negdje, pa hajde da počnemo s jednostavnom, ali fascinantnom aktivnošću kao što je brojanje.

Dio I. Brojevi

1. Osnove brojeva: zbrajanje ribe

Najbolja demonstracija pojmova brojeva koju sam ikada vidio (najjasnije i najsmješnije objašnjenje šta su brojevi i zašto su nam potrebni) bila je u epizodi popularne dječje emisije Ulica Sezam pod nazivom 123: Counting Together" (123 Counter with Me). Humphrey, dobrodušni, ali slaboumni lik s ružičastim krznom i zelenim nosom koji radi u hotelu Furry Feet, prima narudžbe telefonom od gostiju pingvina za vrijeme ručka. Nakon što ih je pažljivo saslušao, Humphrey prenosi naredbu kuhinji: "Riba, riba, riba, riba, riba, riba." Ono što vidi navodi Ernija da kaže Hamfriju o vrlinama broja šest.

Ova knjiga je dobro dopunjena sa:

Quanta

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Fleksibilna svijest

Carol Dweck

Fizika berze

James Weatherall

The Joy of X

Obilazak matematike s vodičem, od jednog do beskonačnosti

Stephen Strogatz

Zadovoljstvo X

Fascinantno putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu

Informacije od izdavača

Prvi put objavljeno na ruskom jeziku

Objavljeno uz dozvolu Stevena Strogatza, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Zadovoljstvo X. Fascinantno putovanje u svijet matematike jednog od najboljih učitelja na svijetu / Stephen Strogatz; lane sa engleskog - M.: Man, Ivanov i Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Ova knjiga može radikalno promijeniti vaš stav prema matematici. Sastoji se od kratkih poglavlja, u svakom od kojih ćete otkriti nešto novo. Naučit ćete koliko su brojevi korisni za proučavanje svijeta oko sebe, shvatit ćete ljepotu geometrije, upoznat ćete se sa ljepotom integralnog računa, uvjerit ćete se u važnost statistike i doći ćete u dodir sa beskonačnošću. . Autor objašnjava osnovne matematičke ideje jednostavno i elegantno, uz briljantne primjere koje svako može razumjeti.

Sva prava zadržana.

Nijedan dio ove knjige ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku bez pismene dozvole vlasnika autorskih prava.

Pravnu podršku izdavačkoj kući pruža advokatska firma Vegas-Lex.

© Steven Strogatz, 2012. Sva prava pridržana

© Prevod na ruski, publikacija na ruskom, dizajn. Mann, Ivanov i Ferber doo, 2014

Predgovor

Imam prijatelja koji je, uprkos svom zanatu (umjetnik je), strastven za nauku. Kad god se nađemo, on sa entuzijazmom priča o najnovijim dostignućima u psihologiji ili kvantnoj mehanici. Ali čim počnemo da pričamo o matematici, on oseti drhtanje u kolenima, što ga jako uznemirava. Žali se da ne samo da ovi čudni matematički simboli prkose njegovom razumijevanju, nego ponekad čak i ne zna kako da ih izgovori.

Zapravo, razlog njegovog odbijanja matematike je mnogo dublji. On neće imati pojma šta matematičari uopšte rade i šta misle kada kažu da je dati dokaz elegantan. Ponekad se šalimo da samo treba da sjednem i počnem da ga učim od samih osnova, bukvalno 1 + 1 = 2, i da uđem što dublje u matematiku.

I iako se ova ideja čini suludom, to je upravo ono što ću pokušati implementirati u ovoj knjizi. Provest ću vas kroz sve glavne grane nauke, od aritmetike do više matematike, kako bi oni koji su željeli drugu šansu konačno mogli da je iskoriste. I ovaj put nećete morati sjediti za stolom. Ova knjiga vas neće učiniti stručnjakom za matematiku. Ali pomoći će vam da shvatite šta ova disciplina proučava i zašto je toliko fascinantna za one koji je razumiju.

Istražit ćemo kako zakucavanja Michaela Jordana mogu pomoći da se objasni osnovni račun. Pokazaću vam jednostavan i neverovatan način da razumete osnovnu teoremu Euklidove geometrije - Pitagorinu teoremu. Pokušaćemo da dođemo do dna nekih životnih misterija, velikih i malih: da li je Džej Simpson ubio svoju ženu; kako premjestiti madrac tako da traje što duže; koliko partnera treba promijeniti prije sklapanja braka - pa ćemo vidjeti zašto su neke beskonačnosti veće od drugih.

Matematika je svuda, samo je treba naučiti prepoznati. Možete vidjeti sinusni val na zebrinim leđima, čuti odjeke Euklidovih teorema u Deklaraciji nezavisnosti; šta reći, čak iu suvoparnim izvještajima koji su prethodili Prvom svjetskom ratu ima negativnih brojeva. Također možete vidjeti kako nova područja matematike danas utiču na naše živote, na primjer, kada tražimo restorane koristeći kompjuter ili pokušavamo barem razumjeti, ili još bolje, preživjeti zastrašujuće fluktuacije na berzi.