Удоволствието на X. Увлекателна екскурзия в света на математиката от един от най-добрите учители в света - Стивън Строгац. Стивън Строгац Удоволствието на X. Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Стивън Строгац

Удоволствието от х

Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателството

Публикува се за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгац, П.

Удоволствието от х. Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; платно от английски - М.: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга може коренно да промени отношението ви към математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете красотата на геометрията, ще се запознаете с благодатта на интегралното смятане, ще се убедите в важността на статистиката и ще влезете в контакт с безкрайността . Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, с брилянтни примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

Ще проучим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат да се обяснят основните математически изчисления. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете фундаменталната теорема на Евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: дали Джей Симпсън е убил жена си; как да преместите матрак така, че да издържи възможно най-дълго; колко партньора трябва да се сменят, преди да се оженим - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебрата, да чуете ехото на теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютъра или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.

Поредица от 15 статии под общо заглавие „Основи на математиката“ се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им заваляха писма и коментари от читатели от всички възрасти, включително много ученици и учители. Имаше и просто любопитни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя си“ в разбирането на математическата наука; сега чувстваха, че са пропуснали нещо Острахотно и бих искал да опитам отново. Особено ме зарадва благодарността на моите родители, защото с моя помощ те успяха да обяснят математиката на децата си, а те самите започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, пламенни почитатели на тази наука, се радваха да четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха един с друг, за да предложат всякакви препоръки за подобряване на моето дете.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че на това явление се обръща малко внимание. Всичко, за което чуваме, е страхът от математиката и въпреки това мнозина биха искали да се опитат да я разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и напреднали идеи от света на математиката. Главите са малки, лесни за четене и не са особено зависими една от друга. Сред тях са тези, включени в тази първа поредица от статии в New York Times. Така че, веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да вземете следващата глава. Ако искате да разберете по-подробно въпроса, който ви интересува, тогава в края на книгата има бележки с допълнителна информация и препоръки какво друго можете да прочетете за него.

За удобство на читателите, които предпочитат подхода стъпка по стъпка, разделих материала на шест части в съответствие с традиционния ред на изучаване на темите.

Част I, Числа, започва нашето пътуване с аритметиката в детската градина и началното училище. Показва колко полезни могат да бъдат числата и колко магически ефективни са те при описването на света около нас.

Част II, „Съотношения“, измества вниманието от самите числа към връзките между тях. Тези идеи лежат в основата на алгебрата и са първите инструменти за описване на това как едно нещо влияе на друго, показвайки причинно-следствената връзка на различни неща: търсене и предлагане, стимул и реакция - накратко, всички видове взаимоотношения, които правят света толкова богат и разнообразен.

Част III „Фигури” разказва не за числата и символите, а за фигурите и пространството – областта на геометрията и тригонометрията. Тези теми, заедно с описанието на всички наблюдавани обекти чрез форми, логически разсъждения и доказателства, извеждат математиката на ново ниво на прецизност.

В част IV, Време за промяна, ще разгледаме смятането, най-вълнуващият и разнообразен клон на математиката. Смятането прави възможно предсказването на траекторията на планетите, циклите на приливите и отливите и дава възможност да се разберат и опишат всички периодично променящи се процеси и явления във Вселената и в нас. Важно място в тази част е отделено на изследването на безкрайността, чието умиротворяване се превърна в пробив, който позволи изчисленията да работят. Компютрите помогнаха за решаването на много проблеми, възникнали в древния свят, и това в крайна сметка доведе до революция в науката и съвременния свят.

Част V, „Многото лица на данните“, се занимава с вероятности, статистика, мрежи и наука за данните – все още сравнително нови области, родени от по-малко подредените аспекти на живота ни, като възможности и късмет, несигурност, риск , променливост, хаос, взаимозависимост. Използвайки правилните инструменти на математиката и подходящите типове данни, ще се научим да откриваме модели в потока на произволността.

В края на нашето пътуване в част VI, „Границите на възможното“, ще се доближим до границите на математическото познание, граничния регион между това, което вече е известно, и това, което все още е неуловимо и неизвестно. Отново ще преминем през темите в реда, в който вече сме запознати: числа, съотношения, цифри, промени и безкрайност – но в същото време ще разгледаме всяка от тях по-задълбочено, в нейното съвременно превъплъщение.

Основният проблем с училищната математика е, че няма проблеми. Да, знам какво минава за проблеми в клас: тези безвкусни, скучни упражнения. „Ето го предизвикателството. Ето как да го разрешите. Да, има такива неща в изпита. Домашни задачи 1-15. Какъв тъжен начин да научите математика: станете обучено шимпанзе.

Пол Локхард

от есето „Плачът на един математик”

Математиката е може би един от най-странните клонове на науката. Никой друг предмет не съчетава толкова много противоположности: от строгостта на формалните доказателства до способността да се „виждат“ определени конструкции. Математиката има както вътрешна, така и външна красота. Няма нищо по-забавно от решаването на математически задачи. И никой друг предмет не се преподава толкова зле в училище.

Къде обикновено започвате да изучавате математика в училище? От това да дадете на 7-8 годишните деца неразбираем набор от символи и дефиниции и система от алгоритми за прилагане на това безобразие. Някои неща, например таблицата за умножение, се запомнят.

В следващите класове, базирани на тази система, на учениците ще бъде казано и принудени да запомнят набор от шамански ритуали, които им позволяват да решават измъчвани проблеми. Ще се появят нови дефиниции, като „правилна дроб“ и „неправилна дроб“ без ни най-малко обяснение откъде идва и най-важното защо. Особено внимание ще бъде отделено на решаването на безполезни и скучни текстови задачи, които имат същото отношение към реалността като самите алгоритми.

Като малък тест можете да си зададете въпроса да си спомните: колко пъти в живота ви е трябвало да определите правилна или неправилна дроб?

Бях принуден да уча наизуст: квадратът на сбора от две числа е равен на сбора от техните квадрати, увеличен с двойното им произведение. Нямах ни най-малка представа какво може да означава това; когато не можах да си спомня тези думи, учителят ме удари с книга по главата, което обаче не стимулираше ни най-малко интелекта ми.

Бертран Ръсел

Английски философ, логик и математик

В същото време учителите безмилостно ще потискат всяко несъгласие. Опитайте да напишете 5/2 вместо 2 1/2 (на което винаги искам да възразя: ако имам три ябълки, всяка от които е разделена на две, тогава ще взема 5 половинки, а не 2 ябълки и 1 половина).

Тази тема може да бъде продължена доста дълго време. Освен това това вече е направено в есето на Пол Локхарт „Плачът на един математик“. Показва "Who's to Blame" доста добре. Но отговорът на втория важен въпрос - "Какво да правя" - не е даден.

Вариант на отговор на този въпрос е даден в една чудесна книга, наскоро преведена на руски. Книгата се казва "Удоволствието на X".

Удоволствие от х

Ако не можете да обясните нещо на шестгодишно дете, вие сами не го разбирате.

Алберт Айнщайн

Това е книгата, която трябва да стане десктопза всеки учител по всеки технически предмет, било то математика или компютърни науки.

Авторът на тази почерпка, Стивън Строгац, е математик от световна класа и преподавател по приложна математика в университета Корнел в САЩ (един от водещите технически университети в света). И съдейки по книгата, този човек съчетава две прекрасни качества, които превръщат тази творба в бестселър: Стивън Строгац е силен математик и учител, събрани в едно.

Можете да преподавате, но да не познавате добре предмета. Можете да знаете добре даден предмет, но да не можете да преподавате. Можете да направите и двете, но посредствено. Стивън Строгац е друг тип: той знае и знае как да преподава правилно.

За какво е тази книга? Всъщност за всичко, което по някакъв начин е свързано с математиката. На пръв поглед разделите на книгата са избрани хаотично (Числа, Съотношения, Цифри, Време на промяна, Много лица на данните, Възможни граници), но докато четете, започвате да разбирате какво е искал да предаде авторът. Книгата е базирана на изследване. Изследване, проведено от автора заедно с читателя.

Обхватът на разглежданите проблеми е огромен. Всеки, дори и човек, който знае много добре математиката, ще научи нещо ново от нея. В същото време се разглеждат както практически проблеми (например изчисляване на лихвата, получена от акции, инвестирани на фондовия пазар), така и абсолютно абстрактни.

Много проблеми са дадени в исторически контекст. Тук бих искал да се спра отделно: сега историята на развитието на математиката е изхвърлена от почти всички учебници. Междувременно само чрез разбиране на историческия контекст човек може да извърви целия път - от простата аритметика до съвременните математически теории.

Помислете например за квадратни уравнения. Колко сълзи проляха и ученици, и учители в опит да си спомнят заклинанието: x едно-две е равно на минус е плюс или минус корен от е на квадрат минус четири a-ce и дели всичко на две a.

Между другото, този начин на писане вече не е правилен според новите математически стандарти - ок. редактор.

Хората с добра памет и/или „запознати“ все още могат да си спомнят теоремата на Виета. Но вместо всичко това, Стивън Строгац дава елегантно обяснение, измислено от ал-Хорезми, с помощта на което, без никакви формули, можете лесно и естествено да намерите решение (макар и непълно: по това време отрицателните числа все още не са широко разпространени използвани). И, уверявам ви, всеки, който прочете това решение, ще го запомни завинаги. Първият път.

От глава на глава сложността на задачите нараства. Но разбирането не е загубено, което е особеното удоволствие от четенето на „Удоволствието на X“. Читателят се потапя в атмосферата, която авторът е създал за него, на практика в един прекрасен нов свят.

Не знам с какво може да се сравни тази книга. Може би с известните лекции на Фейман по физика или с „Сигурно се шегувате с мен, г-н Фейман“. Но едно е сигурно: тази книга ще остави отпечатък в душата на този, който я прочете.

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Всички права запазени. Никаква част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в интернет или корпоративни мрежи, за лична или обществена употреба без писменото разрешение на собственика на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

* * *

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

За да изясним какво имам предвид под живота на числата и тяхното поведение, което не можем да контролираме, нека се върнем към хотел Furry Paws. Да предположим, че Хъмфри тъкмо щеше да предаде поръчката, но тогава пингвините от друга стая неочаквано го повикаха и също поискаха същото количество риба. Колко пъти Хъмфри трябва да извика думата "риба", след като получи две заповеди? Ако не научи нищо за числата, ще трябва да крещи толкова пъти, колкото пингвини има в двете стаи. Или, използвайки числа, той може да обясни на готвача, че му трябват шест риби за едно число и шест за друго. Но това, от което той наистина се нуждае, е нова концепция: добавяне. След като го усвои, той гордо ще каже, че му трябват шест плюс шест (или, ако е позьор, дванадесет) риби.

Това е същият творчески процес, както когато за първи път измислихме числа. Точно както числата улесняват броенето, отколкото изброяването едно по едно, добавянето улеснява изчисляването на всяка сума. В същото време този, който прави изчисленията, се развива като математик. Научно тази идея може да се формулира по следния начин: използването на правилните абстракции води до по-дълбоко вникване в същността на проблема и по-голяма сила при разрешаването му.

Скоро може би дори Хъмфри ще разбере, че сега винаги може да брои.

Но въпреки такава безкрайна перспектива, нашата креативност винаги има някои ограничения. Можем да решим какво имаме предвид под 6 и +, но щом го направим, резултатите от изрази като 6 + 6 са извън нашия контрол. Тук логиката няма да ни остави избор. В този смисъл математиката винаги включва както изобретение, така иотваряне: ние измислямконцепция, но отворентехните последствия. Както ще стане ясно от следващите глави, в математиката нашата свобода се състои в способността да задаваме въпроси и да упорстваме в търсенето на отговори, без да се налага сами да ги измисляме.

2. Каменна аритметика

Като всяко явление в живота, аритметиката има две страни: формална и забавна (или игрова).

Официалната част учехме в училище. Там ни обясниха как да работим с колони от числа, да ги събираме и изваждаме, как да ги смачкваме, когато правим изчисления в електронни таблици, когато попълваме данъчни декларации и изготвяме годишни отчети. Тази страна на аритметиката изглежда важна за мнозина от практическа гледна точка, но напълно безрадостна.

Можете да се запознаете с развлекателната страна на аритметиката само в процеса на изучаване на висшата математика. То обаче е естествено като детското любопитство.

В есето „Плачът на математика“ Пол Локхарт предлага да изучаваме числата в по-конкретни примери от обикновено: той ни моли да мислим за тях като за брой камъни. Например, числото 6 съответства на следния набор от камъчета:

Тук едва ли ще видите нещо необичайно. Такъв, какъвто е. Докато не започнем да манипулираме числата, те изглеждат почти еднакви. Играта започва, когато получим задача.

Например, нека разгледаме комплекти, които съдържат от 1 до 10 камъка и се опитайте да направите квадрати от тях. Това може да се направи само с два комплекта от 4 и 9 камъка, тъй като 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Получаваме тези числа чрез повдигане на квадрат на друго число (т.е. подреждане на камъните в квадрат).

Ето една задача, която има по-голям брой решения: трябва да разберете кои комплекти ще образуват правоъгълник, ако подредите камъните в два реда с равен брой елементи. Тук са подходящи комплекти от 2, 4, 6, 8 или 10 камъка; числото трябва да е четно. Ако се опитаме да подредим останалите комплекти с нечетен брой камъни в два реда, неизменно ще се окажем с допълнителен камък.

Но не всичко е загубено за тези неудобни числа! Ако вземете два такива набора, тогава допълнителните елементи ще намерят двойка и сумата ще бъде четна: нечетно число + нечетно число = четно число.

Ако разширим тези правила до числа след 10 и приемем, че броят на редовете в правоъгълник може да бъде повече от два, тогава някои нечетни числа ще позволят да се добавят такива правоъгълници. Например числото 15 може да образува правоъгълник 3 × 5.

Следователно, въпреки че 15 несъмнено е нечетно число, то е съставно число и може да бъде представено като три реда от по пет камъка всеки. По същия начин всеки запис в таблицата за умножение създава своя собствена правоъгълна група от камъчета.

Но някои числа, като 2, 3, 5 и 7, са напълно безнадеждни. Не можете да изложите нищо от тях, освен да ги подредите под формата на проста линия (един ред). Тези странни упорити хора са известните прости числа.

Така че виждаме, че числата могат да имат странни структури, които им придават определен характер. Но за да разберете пълния обхват на тяхното поведение, трябва да се отдръпнете от отделните числа и да наблюдавате какво се случва по време на тяхното взаимодействие.

Например, вместо да добавяме само две нечетни числа, нека добавим всички възможни поредици от нечетни числа, започвайки с 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Изненадващо, тези суми винаги се оказват идеални квадрати. (Вече казахме, че 4 и 9 могат да бъдат представени като квадрати, а за 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 това също е вярно.) Едно бързо изчисление показва, че това правило е вярно и за по-големи нечетни числа и очевидно , клони към безкрайност. Но каква е връзката между нечетните числа с техните „допълнителни“ камъни и класически симетричните числа, които образуват квадрати? Като поставим камъчетата правилно, можем да го направим очевиден, което е отличителният белег на елегантно доказателство.

Ключът към него е наблюдението, че нечетните числа могат да бъдат представени като равностранни ъгли, чието последователно припокриване образува квадрат!

Подобен начин на разсъждение е представен в друга наскоро публикувана книга. Очарователният роман на Йоко Огава Икономката и професорът разказва историята на проницателна, но необразована млада жена и нейния десетгодишен син. Жена беше наета да се грижи за възрастен математик, чиято краткотрайна памет, поради травматично мозъчно нараняване, запазва информация само за последните 80 минути от живота му. Изгубен в настоящето, сам в мизерната си къщичка, без нищо друго освен с числа, професорът се опитва да общува с икономката по единствения начин, който знае: като я пита за размера на обувките или датата на раждане и води лек разговор с нея за нейните разходи. Професорът също харесва особено сина на икономката, когото нарича Рут (Корен), защото момчето има плоска глава отгоре и това му напомня за математическия запис за корен квадратен √.

Един ден професорът дава на момчето проста задача – да намери сумата на всички числа от 1 до 10. След като Рут внимателно събира всички числа и се връща с отговора (55), професорът го моли да потърси по-лесен начин. Ще успее ли да намери отговора? безобикновено събиране на числа? Рут рита стол и крещи: „Не е честно!“

Малко по малко икономката също се въвлича в света на числата и тайно се опитва сама да разреши този проблем. „Не разбирам защо толкова се интересувам от детски пъзел, който няма практическа полза“, казва тя. „Отначало исках да угодя на професора, но постепенно този урок се превърна в битка между мен и числата. Когато се събудих сутринта, уравнението вече ме чакаше:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

и то ме следваше цял ден, сякаш беше изгорено в ретината на очите ми и нямаше начин да го пренебрегна.“ Има няколко начина за решаване на проблема на професора (чудя се колко можете да намерите). Самият професор предлага метод на разсъждение, който вече приложихме по-горе. Той интерпретира сумата от 1 до 10 като триъгълник от камъчета, с едно камъче в първия ред, две във втория и така нататък, до десет камъчета в десетия ред.

Тази картина дава ясна представа за отрицателното пространство. Оказва се, че е пълен само наполовина, което показва посоката на творческия пробив. Ако копирате триъгълник от камъчета, обърнете го и го комбинирате със съществуващ, получавате нещо много просто: правоъгълник с десет реда по 11 камъчета всеки, за общо 110 камъка.

Тъй като оригиналният триъгълник е половината от този правоъгълник, изчислената сума на числата от 1 до 10 трябва да бъде половината от 110, тоест 55.

Представянето на число като група от камъчета може да изглежда необичайно, но всъщност е толкова старо, колкото и самата математика. Думата "изчисли" изчисли) отразява това наследство и произлиза от латински смятане, което означава "камъче", което римляните са използвали при извършване на изчисления. Не е нужно да сте Айнщайн (което означава „един камък“ на немски), за да се наслаждавате на манипулирането на числа, но може би това, че можете да жонглирате с камъчета, ще ви улесни.

Slam dunk е вид баскетболен удар, при който играч скача и хвърля топката през обръча отгоре надолу с една или две ръце. Забележка превод

Джей Симпсън е известен играч на американски футбол. Той играе ролята на детектив Нортберг в известната трилогия „Голият пистолет“. Той беше обвинен в убийството на бившата си съпруга и нейния приятел и беше оправдан въпреки доказателствата. Забележка превод

За очарователната идея, че числата имат свой собствен живот и че математиката може да се разглежда като форма на изкуство, вижте P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Забележка ред.: В руския интернет има много преводи на есето на Локхард „Плачът на математика“. Ето един от тях: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Тук и по-долу бележките под линия във къдрави скоби се отнасят за бележките на автора.

Тази известна фраза е взета от есето на E. Wigner Неразумната ефективност на математиката в естествените науки, Съобщения в чистата и приложна математика, том. 13, бр. 1, (февруари 1960), стр. 1–14. Онлайн версията е достъпна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. За допълнителни мисли по тази тема и дали математиката е изобретена или открита, вижте M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon and Schuster, 2009) и R. W. Hamming, Неразумната ефективност на математиката, American Mathematical Monthly, том. 87, бр. 2 (февруари 1980 г.).

Дължа голяма част от тази глава на две отлични книги: полемичното есе на П. Локхарт, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) и романът на Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Забележка ред.: Есето на Локхард „Плачът на един математик“ е споменато в коментар 1. Все още няма превод на романа на Йоко Огава на руски.

За млади читатели, които искат да изследват числата и техните структури, вижте H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Забележка изд.: Сред многобройните руски книги за началото на математиката, нестандартните подходи към нейното изучаване, развитието на математическото творчество у децата и подобни теми, съзвучни със следващите глави на книгата, засега ще посочим следната: Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формули. М.: АД "Столетие", 1995 г.; Остър Г. Проблемна книга. Любимо ръководство по математика. М.: АСТ, 2005; Ryzhik V.I. 30 000 урока по математика: Книга за учители. М.: Образование, 2003: Тухнин Н. П. Как да задам въпрос? За математическото творчество на учениците. Ярославъл: Верх. - Волж. Книга издателство, 1989г.

За отлични, но по-сложни примери за визуализиране на математически образи вижте R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Стивън Строгац

Удоволствието от х

Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателството

Публикува се за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгац, П.

Удоволствието от х. Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; платно от английски - М.: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга може коренно да промени отношението ви към математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете красотата на геометрията, ще се запознаете с благодатта на интегралното смятане, ще се убедите в важността на статистиката и ще влезете в контакт с безкрайността . Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, с брилянтни примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

Ще проучим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат да се обяснят основните математически изчисления. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете фундаменталната теорема на Евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: дали Джей Симпсън е убил жена си; как да преместите матрак така, че да издържи възможно най-дълго; колко партньора трябва да се сменят, преди да се оженим - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебрата, да чуете ехото на теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютъра или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.

Поредица от 15 статии под общо заглавие „Основи на математиката“ се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им заваляха писма и коментари от читатели от всички възрасти, включително много ученици и учители. Имаше и просто любопитни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя си“ в разбирането на математическата наука; сега чувстваха, че са пропуснали нещо Острахотно и бих искал да опитам отново. Особено ме зарадва благодарността на моите родители, защото с моя помощ те успяха да обяснят математиката на децата си, а те самите започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, пламенни почитатели на тази наука, се радваха да четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха един с друг, за да предложат всякакви препоръки за подобряване на моето дете.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че на това явление се обръща малко внимание. Всичко, за което чуваме, е страхът от математиката и въпреки това мнозина биха искали да се опитат да я разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и напреднали идеи от света на математиката. Главите са малки, лесни за четене и не са особено зависими една от друга. Сред тях са тези, включени в тази първа поредица от статии в New York Times. Така че, веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да вземете следващата глава. Ако искате да разберете по-подробно въпроса, който ви интересува, тогава в края на книгата има бележки с допълнителна информация и препоръки какво друго можете да прочетете за него.

За удобство на читателите, които предпочитат подхода стъпка по стъпка, разделих материала на шест части в съответствие с традиционния ред на изучаване на темите.

Част I, Числа, започва нашето пътуване с аритметиката в детската градина и началното училище. Показва колко полезни могат да бъдат числата и колко магически ефективни са те при описването на света около нас.

Част II, „Съотношения“, измества вниманието от самите числа към връзките между тях. Тези идеи лежат в основата на алгебрата и са първите инструменти за описване на това как едно нещо влияе на друго, показвайки причинно-следствената връзка на различни неща: търсене и предлагане, стимул и реакция - накратко, всички видове взаимоотношения, които правят света толкова богат и разнообразен.

Част III „Фигури” разказва не за числата и символите, а за фигурите и пространството – областта на геометрията и тригонометрията. Тези теми, заедно с описанието на всички наблюдавани обекти чрез форми, логически разсъждения и доказателства, извеждат математиката на ново ниво на прецизност.

В част IV, Време за промяна, ще разгледаме смятането, най-вълнуващият и разнообразен клон на математиката. Смятането прави възможно предсказването на траекторията на планетите, циклите на приливите и отливите и дава възможност да се разберат и опишат всички периодично променящи се процеси и явления във Вселената и в нас. Важно място в тази част е отделено на изследването на безкрайността, чието умиротворяване се превърна в пробив, който позволи изчисленията да работят. Компютрите помогнаха за решаването на много проблеми, възникнали в древния свят, и това в крайна сметка доведе до революция в науката и съвременния свят.

Част V, „Многото лица на данните“, се занимава с вероятности, статистика, мрежи и наука за данните – все още сравнително нови области, родени от по-малко подредените аспекти на живота ни, като възможности и късмет, несигурност, риск , променливост, хаос, взаимозависимост. Използвайки правилните инструменти на математиката и подходящите типове данни, ще се научим да откриваме модели в потока на произволността.

В края на нашето пътуване в част VI, „Границите на възможното“, ще се доближим до границите на математическото познание, граничния регион между това, което вече е известно, и това, което все още е неуловимо и неизвестно. Отново ще преминем през темите в реда, в който вече сме запознати: числа, съотношения, цифри, промени и безкрайност – но в същото време ще разгледаме всяка от тях по-задълбочено, в нейното съвременно превъплъщение.

Колко полезни са числата за изучаване на света около нас, каква е красотата на геометрията, колко елегантни са интегралните числа и колко важна е статистиката? Стивън Строгац говори за всичко това в книгата си „Удоволствието на X“. Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, като предоставя примери, които всеки може да разбере. сайтът публикува една от главите на книгата на Ман, Иванов и Фербер.

Статистиката изведнъж се превърна в модерна област. С навлизането на интернет, електронната търговия, социалните мрежи, проекта за човешкия геном и развитието на дигиталната култура като цяло, светът е затрупан с данни. Маркетолозите изучават нашите вкусове и навици. Разузнавателните агенции събират информация за нашето местоположение, имейли и телефонни обаждания. Спортните статистици жонглират с числата, за да решат кои играчи да купят, кого да проектират и кого да пейката. Всеки се стреми да свърже точките в графика и да открие модел в объркана колекция от данни.

Не е изненадващо, че тези тенденции се отразяват в преподаването. „Нека погледнем статистиката“, съветва Грег Манкиу, икономист от Харвардския университет, в колона на New York Times.

„Учебната програма по математика в гимназията отделя твърде много време на традиционни теми като евклидова геометрия и тригонометрия. Тези умствени упражнения, полезни за обикновения човек, обаче са малко полезни в ежедневието. Студентите биха имали голяма полза, ако научат повече за вероятността и статистиката.“ Дейвид Брукс отива още по-далеч. В статията си за дисциплините, които заслужават внимание за получаване на прилично образование, той пише: „Вземете статистика. Ще видите, че се оказва, че знанието какво е стандартното отклонение ще ви бъде много полезно в живота.“

Доста вероятно и също така е добра идея да разберете какво е разпространение. Това е първото нещо, за което смятам да говоря. И бих искал да се съсредоточа върху него, защото това е един от основните уроци на статистиката: нещата изглеждат безнадеждно случайни и непредвидими, когато се разглеждат поотделно, но взети заедно, те разкриват модел и предсказуемост.

Може да сте виждали демонстрация на този принцип в научен музей (ако не, можете да намерите видеоклипове онлайн). Типичен експонат е измишльотина, наречена Galton board, която донякъде напомня на флипер без плавници. Вътре има равномерни редици карфици на равни интервали.

Дъската на Галтън

Експериментът започва със стотици топки, които се изстрелват в горната част на дъска на Галтон. Докато падат, те се сблъскват с щифтовете и е еднакво вероятно да отскочат надясно или наляво, след което се разпределят в долната част на дъската, попадайки в отделения с еднаква ширина. Височината на колона от топки показва каква е вероятността топката да се окаже на дадено място. Повечето от топките са разположени приблизително в средата, по-малко са отстрани и още по-малко по краищата.

Като цяло картината е изключително предсказуема: топките винаги образуват камбановидно разпределение, въпреки че е невъзможно да се предвиди къде ще попадне всяка отделна топка.

Как отделните инциденти се превръщат в общи модели? Но така работи случайността. Средната колона съдържа най-много топки, защото преди да се търкалят надолу, много от тях ще направят приблизително еднакъв брой скокове надясно и наляво и в резултат ще се озоват някъде по средата. Няколко самотни топки, разположени по краищата, образуват опашките на разпределението - това са онези топки, които при сблъсък с кеглите винаги отскачат в една и съща посока. Такива отскоци са малко вероятни, поради което има толкова малко топки по краищата.

Точно както местоположението на всяка топка се определя от сбора на много случайни събития, много явления в този свят са резултат от много малки обстоятелства и също се подчиняват на камбановидна крива. Застрахователните компании работят на този принцип. Те могат точно да изчислят броя на своите клиенти, които умират всяка година. Те обаче не знаят кой точно ще има нещастие този път.

Или вземете например човешки ръст. Зависи от безброй злополуки, свързани с генетиката, биохимията, храненето и околната среда. Следователно има голям шанс, когато се разглеждат заедно, ръстовете на възрастни мъже и жени да образуват камбанообразна крива.

В публикация в блога, наречена „Заблуди, които хората разказват за себе си онлайн“, статистическата услуга на сайта за запознанства OkCupid наскоро публикува графика на растежа на своите клиенти или по-скоро на техните собствени отчети. Установено е, че темповете на растеж и на двата пола, както се очаква, образуват камбанообразна крива. Това, което е изненадващо обаче, е, че и двете разпределения бяха изместени с около два инча вдясно от очакваните стойности.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М.: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

Така че или клиентите, анкетирани от OkCupid, са по-високи от средното, или добавят още няколко инча към височината си, когато се описват онлайн.

Една идеализирана версия на такива камбановидни криви е това, което математиците наричат ​​нормално разпределение. Това е едно от най-важните понятия в статистиката, което има теоретична основа. Може да се докаже, че нормалното разпределение възниква, когато се добавят голям брой малки случайни фактори, като всеки от тях действа независимо от другите. И много събития се случват по този начин.

Но не всички. И това е вторият момент, на който бих искал да обърна внимание. Нормалното разпространение не е толкова повсеместно, колкото изглежда. В продължение на стотици години и особено през последните няколко десетилетия учените и статистиците отбелязват съществуването на много явления, които се отклоняват от тази крива и следват свой собствен график. Любопитно е, че подобни видове разпределения практически не се споменават в учебниците по елементарна статистика, а ако се открият, обикновено се считат за някаква патология.

това е странно Ще се опитам да обясня, че много явления на съвременния живот стават по-смислени, ако се разберат тези "патологични" разпределения. Това е новото нормално. Вземете например разпределението на размерите на градовете в Съединените щати. Вместо да се групират около някаква средна камбановидна крива, по-голямата част от градовете са малки по размер и следователно се групират от лявата страна на графиката.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М.: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

И колкото по-голямо е населението на един град, толкова по-рядко се срещат такива градове. С други думи, като цяло разпределението ще бъде по-скоро L-образна крива, отколкото камбановидна крива.

И това не е изненадващо. Всеки знае, че мегаполисите са много по-малко от малките градове. Въпреки че не е толкова очевидно, размерите на градовете следват хубаво просто разпределение - когато ги погледнете в логаритмична скала.

Ще приемем, че разликата между два града е една и съща, ако населението им се различава с еднакъв брой пъти (точно както всеки два клавиша на пиано, разделени с октава, винаги се различават наполовина по честота). И нека направим същото по вертикалната ос.

Строгац С. Удоволствие от Х. - М.: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

Сега данните се намират върху крива, която е почти перфектна права линия. Въз основа на свойствата на логаритмите е лесно да се заключи, че оригиналната L-образна крива е степенна зависимост, която се описва от функция на формата

където x е населението на града, y е броят на градовете с този размер, c е константа, а експонентата a (степенна степен) определя отрицателния наклон на правата.

Разпределението на мощността има някои нелогични свойства от гледна точка на традиционната статистика. Например, за разлика от нормалното разпределение, техните режими, медиани и средни стойности не съвпадат поради изкривената, асиметрична форма на L-образните криви.

Президентът Буш извлече голяма полза от това, като през 2003 г. каза, че намаляването на данъците е спестило на всяко семейство средно 1586 долара. Въпреки че това е математически правилно, той се възползва от средната удръжка, която крие огромни удръжки от стотици хиляди долари, получени от най-богатите 0,1% от населението на страната. Известно е, че опашката от дясната страна на разпределението на дохода следва степенен закон и в такава ситуация използването на средната стойност е подвеждащо, защото е далеч от реалната й стойност. В действителност повечето семейства са получили по-малко от 650 долара обратно. При това разпределение медианата е значително по-малка от средната.

Този пример демонстрира изключително важно свойство на разпределенията на степенния закон: те имат тежки опашки в сравнение поне с малките течни опашки на нормално разпределение. Големи опашки като тази, макар и редки, са по-често срещани в разпределението на данни, отколкото обикновените криви с форма на камбана.

В черния понеделник, 19 октомври 1987 г., Dow Jones Industrial Average падна с 22%. В сравнение с обичайното ниво на волатилност на фондовия пазар, този спад беше повече от двадесет стандартни отклонения. Според традиционната статистика (която използва нормалното разпределение), подобно събитие е почти невъзможно: вероятността му е по-малка от едно на 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10 на 50-та степен). Това обаче се случи - защото ценовите колебания на фондовия пазар не следваха нормално разпределение.

Разпределенията с тежки опашки са по-подходящи за тяхното описание. Това се случва при земетресения, пожари и наводнения, което затруднява застрахователните компании да управляват риска.

Същият математически модел описва броя на загиналите от войни и терористични атаки, както и други, много по-мирни неща, като броя на думите в романа или броя на сексуалните партньори, които човек има.

Въпреки че прилагателните, използвани за описване на дълги опашки, не ги рисуват в много благоприятна светлина, опашатите дистрибуции носят опашките си гордо. Дебел, тежък и дълъг? Да, така е. Но в този случай ми покажете кое е нормално?