Педиатрия. Медицина и право. Онкология. Инфекция » пикочно-половата система » Сборът от противоположните страни на трапец. Описана окръжност и трапец

Сборът от противоположните страни на трапец. Описана окръжност и трапец

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общите признаци и свойства на трапеца, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите нещата в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапец може да се пропусне височината - перпендикулярна на основите. Начертани са средната линия и диагоналите. И също така от всеки ъгъл на трапеца е възможно да се начертае ъглополовяща.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

  1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: XT \u003d (a - b) / 2.
  2. Пред нас е същият трапец на ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и IOC, образувани от отсечките на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство на k триъгълника се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
    Отношението на площите на триъгълниците AOE и IOC се описва с коефициента k 2 .
  3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка O. Само този път ще разгледаме триъгълници, които диагоналните сегменти образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са равни – повърхнините им са еднакви.
  4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължим страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в някаква точка. След това начертайте права линия през средните точки на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
    Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще съедини точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средните точки на основите на X и T.
  5. Чрез точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа на KM, X - на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OH = KM/AE.
  6. И сега през точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент, като използвате формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

  1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
  2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на ъглополовящата на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Вземете, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, лесно можете да видите, че ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

  1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Свържете средните точки на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на TX сегмента е лесна за изчисляване въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Ако през страните на ъгъла на трапец се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

  1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка от основите са равни.
  2. Сега изградете отново трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
  3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
  4. Само в близост до равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като предпоставка за това е сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник 180 0 .
  5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако около трапец може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
  6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
  7. Начертайте линията TX отново през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец тя е перпендикулярна на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
  8. Този път по-ниска до по-голямата основа (да я наречем a) височината от срещуположния връх на трапеца. Ще получите две разфасовки. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a+b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално къде е центърът на окръжността спрямо трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив и да нарисувате това, което ще бъде обсъдено по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

  1. Местоположението на центъра на окръжността се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагонал може да излезе от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно по средата (R = ½AE).
  2. Диагоналът и страната могат да се срещат и под остър ъгъл – тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
  3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страничната му страна.
  4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½MY.
  5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R \u003d AE / 2 * sinAME. По същия начин формулата може да бъде написана за всяка от страните на двата триъгълника.
  6. Метод втори: намираме радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да впишете кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

  1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
  2. За трапец ACME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
  3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да се впише окръжност, сборът от основите на който е равен на сбора от страните.
  4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страничната страна на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
  5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте сами този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страните, са правоъгълни.
    Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страните на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца е същата като диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, един от ъглите на който е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

  1. Правоъгълният трапец има една от страните, перпендикулярна на основите.
  2. Височината и страната на трапеца, съседна на правия ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
  3. За правоъгълен трапец общите свойства на вече описаните по-горе диагонали на трапеца са от значение.

Доказателства за някои свойства на трапец

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

  • Вероятно вече се досетихте, че тук отново се нуждаем от трапец ACME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Където AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапец ACME е равнобедрен:

  • Като начало нека начертаем права линия МХ – МХ || KE. Получаваме успоредник KMHE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMH е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM \u003d KE и AE е общата страна на двата триъгълника. А също и MAE \u003d MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а оттам следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страната на KA, равна на 8 cm, образува ъгъл 150 0 с по-малка основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Което означава, че сборът им е 1800. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълника ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KH - в триъгълник това е катет, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички горни свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но сами видяхте, че разликата е огромна.

Сега имате подробно обобщение на всички общи свойства на трапец. Както и специфични свойства и особености на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общите признаци и свойства на трапеца, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на разглежданите свойства ще ви помогне да подредите нещата в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от страните на която са успоредни една на друга (това са основите). И две не са успоредни - това са страните.

В трапец може да се пропусне височината - перпендикулярна на основите. Начертани са средната линия и диагоналите. И също така от всеки ъгъл на трапеца е възможно да се начертае ъглополовяща.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

  1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапец е, че сегментът XT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: XT \u003d (a - b) / 2.
  2. Пред нас е същият трапец на ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Нека разгледаме триъгълниците AOE и IOC, образувани от отсечките на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство на k триъгълника се изразява чрез съотношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
    Отношението на площите на триъгълниците AOE и IOC се описва с коефициента k 2 .
  3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка O. Само този път ще разгледаме триъгълници, които диагоналните сегменти образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са равни – повърхнините им са еднакви.
  4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължим страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в някаква точка. След това начертайте права линия през средните точки на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
    Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще съедини точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средните точки на основите на X и T.
  5. Чрез точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа на KM, X - на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OH = KM/AE.
  6. И сега през точката на пресичане на диагоналите начертаваме сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмент, като използвате формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

  1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
  2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство на ъглополовящата на трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Вземете, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, лесно можете да видите, че ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на трапецовиден ъгъл

  1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в една двойка винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Свържете средните точки на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на TX сегмента е лесна за изчисляване въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX \u003d (AE - KM) / 2.
  3. Ако през страните на ъгъла на трапец се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равнобедрен) трапец

  1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка от основите са равни.
  2. Сега изградете отново трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво става въпрос. Погледнете внимателно основата на AE - върхът на противоположната основа на M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрен трапец са равни.
  3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
  4. Само в близост до равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като предпоставка за това е сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник 180 0 .
  5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако около трапец може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
  6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапеца: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
  7. Начертайте линията TX отново през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец тя е перпендикулярна на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
  8. Този път по-ниска до по-голямата основа (да я наречем a) височината от срещуположния връх на трапеца. Ще получите две разфасовки. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a+b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално къде е центърът на окръжността спрямо трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете твърде мързеливи, за да вземете молив и да нарисувате това, което ще бъде обсъдено по-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

  1. Местоположението на центъра на окръжността се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагонал може да излезе от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно по средата (R = ½AE).
  2. Диагоналът и страната могат да се срещат и под остър ъгъл – тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
  3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страничната му страна.
  4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл), е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½MY.
  5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описаната окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно ще забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R \u003d AE / 2 * sinAME. По същия начин формулата може да бъде написана за всяка от страните на двата триъгълника.
  6. Метод втори: намираме радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да впишете кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

  1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
  2. За трапец ACME, описан около окръжност, сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
  3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в този трапец може да се впише окръжност, сборът от основите на който е равен на сбора от страните.
  4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страничната страна на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
  5. И още един имот. За да не се объркате, нарисувайте сами този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. В него са начертани диагонали, пресичащи се в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страните, са правоъгълни.
    Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страните на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца е същата като диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, един от ъглите на който е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

  1. Правоъгълният трапец има една от страните, перпендикулярна на основите.
  2. Височината и страната на трапеца, съседна на правия ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
  3. За правоъгълен трапец общите свойства на вече описаните по-горе диагонали на трапеца са от значение.

Доказателства за някои свойства на трапец

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

  • Вероятно вече се досетихте, че тук отново се нуждаем от трапец ACME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Където AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапец ACME е равнобедрен:

  • Като начало нека начертаем права линия МХ – МХ || KE. Получаваме успоредник KMHE (база - MX || KE и KM || EX).

∆AMH е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, следователно MAE = MXE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM \u003d KE и AE е общата страна на двата триъгълника. А също и MAE \u003d MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а оттам следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за повторение

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страната на KA, равна на 8 cm, образува ъгъл 150 0 с по-малка основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Което означава, че сборът им е 1800. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на ъглите на трапеца).

Помислете сега за правоъгълника ∆ANK (мисля, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него намираме височината на трапеца KH - в триъгълник това е катет, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Площта на трапеца се намира по формулата: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички горни свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но сами видяхте, че разликата е огромна.

Сега имате подробно обобщение на всички общи свойства на трапец. Както и специфични свойства и особености на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

FGKOU "MKK" Интернат на Министерството на отбраната на Руската федерация "

„ОДОБРЕНО“

Ръководител на отделна дисциплина

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крилова _____________

"___" _____________ 2015 г

« Трапец и неговите свойства»

Методическа разработка

учител по математика

Шаталина Елена Дмитриевна

Счита се и

на срещата на PMO от _______________

Протокол №______

Москва

2015 г

Съдържание

Въведение 2

    Дефиниции 3

    Свойства на равнобедрен трапец 4

    Вписана и описана окръжност 7

    Свойства на вписани и описани трапеци 8

    Средни стойности в трапец 12

    Свойства на произволен трапец 15

    Знаци на трапец 18

    Допълнителни конструкции в трапец 20

    Площ на трапец 25

10. Заключение

Библиография

Приложение

    Доказателства за някои свойства на трапец 27

    Задачи за самостоятелна работа

    Задачи по темата "Трапец" с повишена сложност

    Контролен тест по темата "Трапец"

Въведение

Тази работа е посветена на геометрична фигура, наречена трапец. „Обикновена фигура“, казвате вие, но не е така. Той съдържа много тайни и мистерии, ако се вгледате внимателно и се задълбочите в изучаването му, ще откриете много нови неща в света на геометрията, задачи, които не сте решавали досега, ще ви се сторят лесни.

Трапец - гръцката дума trapezion - "маса". Заеми. през 18 век от лат. яз., където trapezion е гръцки. Това е четириъгълник с две противоположни страни, успоредни. Трапецът е открит за първи път от древногръцкия учен Посидоний (2 век пр.н.е.). В нашия живот има много различни фигури. В 7-ми клас се запознахме отблизо с триъгълника, в 8-ми клас, според училищната програма, започнахме да изучаваме трапеца. Тази цифра ни заинтересува, а в учебника е написано невероятно малко за нея. Затова решихме да вземем този въпрос в свои ръце и да намерим информация за трапеца. неговите свойства.

В статията се разглеждат свойствата, познати на учениците от материала, разгледан в учебника, но в по-голяма степен непознати свойства, които са необходими за решаване на сложни задачи. Колкото по-голям е броят на задачите за решаване, толкова повече въпроси възникват при решаването им. Отговорът на тези въпроси понякога изглежда като мистерия, научавайки нови свойства на трапеца, необичайни методи за решаване на проблеми, както и техниката на допълнителни конструкции, ние постепенно откриваме тайните на трапеца. В интернет, ако вкарате в търсачка, има много малко литература за методи за решаване на проблеми по темата „трапец“. В процеса на работа по проекта беше намерено голямо количество информация, която ще помогне на учениците при задълбочено изучаване на геометрията.

Трапец.

    Дефиниции

Трапец Четириъгълник само с една двойка страни е успоредна (а другата двойка страни не е успоредна).

Успоредните страни на трапеца се наричатоснования. Другите две са страничните .
Ако страните са равни, се нарича трапецравнобедрен.

Нарича се трапец, чиято страна има прави ъглиправоъгълен .

Сегментът, свързващ средите на страните, се наричасредна линия на трапеца.

Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца.

2 . Свойства на равнобедрен трапец



3. Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

4



1
0. Проекцията на страничната страна на равнобедрен трапец върху по-голямата основа е равна на полуразликата на основите, а проекцията на диагонала е равна на сбора от основите.



3. Вписана и описана окръжност

Ако сборът от основите на трапец е равен на сбора от страните, тогава в него може да се впише окръжност.

д
Ако трапецът е равнобедрен, тогава около него може да бъде описана окръжност.

4 . Свойства на вписани и описани трапеци


2. Ако в равнобедрен трапец може да се впише окръжност, то


сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните. Следователно дължината на страничната страна е равна на дължината на средната линия на трапеца.

4 . Ако кръгът е вписан в трапец, тогава страните от неговия център се виждат под ъгъл от 90 °.



    E ако в трапец е вписана окръжност, която докосва една от страните, го разделя на сегменти ми н , тогава радиусът на вписаната окръжност е равен на средното геометрично на тези сегменти.


1

0 . Ако окръжността е построена върху по-малката основа на трапеца като диаметър, минава през средните точки на диагоналите и докосва долната основа, то ъглите на трапеца са 30°, 30°, 150°, 150°.






5. Средни стойности в трапец

средно геометрично






    Във всеки трапец с основи а И b За а > bнеравенството :



b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства на произволен трапец

1
. Средите на диагоналите на трапеца и средите на страните лежат на една права линия.



2. Симетралите на ъглите, съседни на една от страните на трапеца, са перпендикулярни и се пресичат в точка, лежаща на средната линия на трапеца, т.е. когато се пресичат, се образува правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на страната.



3. Отсечките от права, успоредна на основите на трапец, пресичащи страните и диагоналите на трапеца, затворени между страната на диагонала, са равни.

    Пресечната точка на продължението на страните на произволен трапец, пресечната точка на неговите диагонали и средите на основите лежат на една права линия.



5. При пресичане на диагоналите на произволен трапец се образуват четири триъгълника с общ връх, като триъгълниците, съседни на основите, са подобни, а триъгълниците, съседни на страните, са равни (т.е. имат равни площи).

6. Сумата от квадратите на диагоналите на произволен трапец е равна на сумата от квадратите на страните, добавена към удвоения продукт на основите.


д 1 2 + д 2 2 = ° С 2 + д 2 + 2 аб

7
. В правоъгълен трапец разликата на квадратите на диагоналите е равна на разликата на квадратите на основите д 1 2 - д 2 2 = а 2 – b 2

8 . Правите линии, пресичащи страните на ъгъла, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла.


9. Сегмент, успореден на основите и минаващ през точката на пресичане на диагоналите, се разделя от последния наполовина.

7. Признаци на трапец


8 . Допълнителни конструкции в трапец

1. Сегментът, свързващ средните точки на страните, е средната линия на трапеца.

2
. Отсечка, успоредна на една от страните на трапец, единият край на който съвпада със средата на другата страна, а другият принадлежи на правата, съдържаща основата.

3
. Дадени са всички страни на трапец, през върха на по-малката основа е начертана права линия, успоредна на страничната страна. Получава се триъгълник със страни, равни на страните на трапеца и разликата в основите. Според формулата на Heron се намира площта на триъгълника, след това височината на триъгълника, която е равна на височината на трапеца.

4

. Височината на равнобедрен трапец, изтеглена от върха на по-малката основа, разделя по-голямата основа на сегменти, единият от които е равен на полуразликата на основите, а другият на полусумата от основите на трапеца, тоест на средната линия на трапеца.

5. Височините на трапеца, спуснати от върховете на едната основа, се отрязват на права линия, съдържаща другата основа, отсечка, равна на първата основа.

6
. Отсечка, успоредна на един от диагоналите на трапец, е начертана през връх - точка, която е краят на друг диагонал. Резултатът е триъгълник с две страни, равни на диагоналите на трапеца, а третата - равна на сбора от основите


7
.Отсечката, свързваща средите на диагоналите, е равна на полуразликата на основите на трапеца.

8. Ъглополовящите на ъглите, съседни на една от страните на трапеца, те са перпендикулярни и се пресичат в точка, лежаща на средната линия на трапеца, т.е., когато се пресичат, се образува правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на страната.

9. Симетралата на ъгъла на трапец отсича равнобедрен триъгълник.


1
0. Диагоналите на произволен трапец в пресечната точка образуват два подобни триъгълника с коефициент на подобие, равен на отношението на основите, и два равни триъгълника, съседни на страните.

1
1. Диагоналите на произволен трапец в пресечната точка образуват два подобни триъгълника с коефициент на подобие, равен на съотношението на основите, и два равни триъгълника, съседни на страните.

1
2. Продължаването на страните на трапеца до пресечната точка позволява да се разглеждат подобни триъгълници.

13. Ако в равнобедрен трапец е вписана окръжност, тогава се начертава височината на трапеца - средно геометричното произведение на основите на трапеца или двойното средно геометрично произведение на страничните сегменти, на които е разделена от точката на контакт.


9. Площ на трапец

1 . Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината С = ½( а + b) чили

П

Площта на трапеца е равна на произведението на средната линия на трапеца и височината С = м ч .

2. Площта на трапец е равна на произведението на страна и перпендикуляр, изтеглен от средата на другата страна към линията, съдържаща първата страна.


    Площта на равнобедрен трапец с радиус на вписан кръг, равен на rи ъгъл в основатаα :

10. Заключение

КЪДЕ, КАК И ЗА КАКВО СЕ ИЗПОЛЗВА ТРАПЕЦЪТ?

Трапец в спорта: Трапецът със сигурност е прогресивно изобретение на човечеството. Той е предназначен да облекчи ръцете ни, да направи ходенето на уиндсърф удобно и лесно. Ходенето на къса дъска изобщо няма смисъл без трапец, тъй като без него е невъзможно правилното разпределение на тягата между стъпките и краката и ефективното ускоряване.

Трапецът в модата: Трапецът в дрехите е бил популярен през Средновековието, в романската епоха от 9-11 век. По това време основата на женското облекло бяха туники с дължина до пода, туниката силно се разширяваше към дъното, което създаваше ефекта на трапец. Възраждането на силуета става през 1961 г. и се превръща в химн на младостта, независимостта и изтънчеността. Огромна роля в популяризирането на трапеца изигра крехкият модел Лесли Хорнби, известен като Туиги. Ниско момиче с анорексична физика и огромни очи се превърна в символ на епохата, а любимите й тоалети бяха къси трапецовидни рокли.

Трапец в природата: Трапецът също се среща в природата. Човек има трапецовиден мускул, при някои хора лицето има формата на трапец. Венчелистчетата, съзвездията и разбира се планината Килиманджаро също имат формата на трапец.

Трапец в ежедневието: Трапецът се използва и в ежедневието, защото формата му е практична. Намира се в предмети като: багерна кофа, маса, винт, машина.

Трапецът е символ на архитектурата на инките. Доминиращата стилистична форма в архитектурата на инките е простата, но изящна, трапецът. Той има не само функционална стойност, но и строго ограничен художествен дизайн. Трапецовидни врати, прозорци и стенни ниши се срещат в сгради от всякакъв тип, както в храмове, така и в по-малко значими сгради, по-груби, така да се каже, сгради. Трапецът се среща и в съвременната архитектура. Тази форма на сгради е необичайна, така че такива сгради винаги привличат погледите на минувачите.

Трапец в инженерството: Трапецът се използва при проектирането на части в космическите технологии и в авиацията. Например, някои слънчеви решетки на космически станции са с трапецовидна форма, защото имат голяма площ, което означава, че акумулират повече слънчева енергия.

В 21 век хората почти не се замислят за значението на геометричните фигури в живота си. Изобщо не ги интересува каква е формата на масата, чашите или телефона им. Те просто избират формата, която е практична. Но използването на предмета, неговата цел, резултатът от работата може да зависи от формата на това или онова нещо. Днес ви запознахме с едно от най-големите постижения на човечеството – трапецът. Отворихме вратата към чудния свят на фигурите, разкрихме ви тайните на трапеца и показахме, че геометрията е навсякъде около нас.

Библиография

    Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Теория и проблеми на математиката. Книга 1 Учебник за кандидати М.1998 Издателство МЕИ.

    Биков А.А., Малишев Г.Ю., Факултет за предуниверситетско обучение. Математика. Учебно помагало 4 част М2004

    Гордин Р.К. Планиметрия. Задачна книга.

    Иванов А.А.,. Иванов A.P., Математика: Ръководство за подготовка за Единен държавен изпит и влизане в университети-M: Издателство на MIPT, 2003-288s. ISBN 5-89155-188-3

    Пиголкина Т. С., Министерство на образованието и науката на Руската федерация, Федерална държавна бюджетна образователна институция за допълнително образование за деца "ZFTSh на Московския физико-технологичен институт (държавен университет)". Математика. Планиметрия. Задачи № 2 за 10 клас (2012-2013 учебна година).

    Пиголкина Т.С., Планиметрия (част 1).Математическа енциклопедия на абитуриента. М., Издателство на Руския открит университет 1992 г.

    Шаригин И. Ф. Избрани проблеми по геометрията на конкурсните изпити в университетите (1987-1990 г.) Лвовско списание Quantor 1991 г.

    Енциклопедия "Аванта плюс", Математика М., Светът на енциклопедиите Аванта 2009 г.

Приложение

1. Доказателство за някои свойства на трапец.

1. Права линия, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапец, успоредна на основите му, пресича страните на трапеца в точкиК И Л . Докажете, че ако основите на трапец са равни А И b , Че дължина на сегмента KL равно на средното геометрично на основите на трапеца. Доказателство

ПозволявамОТНОСНО - точка на пресичане на диагоналите,AD = а, слънце = b . Директен KL успоредно на основатаAD , следователно,К ОТНОСНО║ AD , триъгълнициIN К ОТНОСНО Илошо подобни, следователно


(1)

(2)

Заместете (2) в (1), получаваме КО=

по същия начин LO= Тогава К Л = КО + LO =

    IN за всеки трапец, средните точки на основите, точката на пресичане на диагоналите и точката на пресичане на продължението на страните лежат на една и съща права линия.

    Доказателство: Нека продълженията на страните се пресичат в точкаДА СЕ. Чрез точкатаДА СЕ и точкаОТНОСНО диагонални пресичанияначертайте права линия КО.

К

Нека покажем, че тази права дели основите наполовина.

ОТНОСНО обозначавамVM = x, MS = y, АН = И, ND = v . Ние имаме:

∆ VKM ~ ∆AKN →

М

х

б

° С

Y

∆ МК ° С ~ ∆NKD → →

Дизайнерска работа "Интересни свойства на трапец" Изпълнител: ученици от 10 клас Кудзаева Елина Баззаева Диана MKOU средно училище стр. Н.Батако Ръководител: Гагиева А.О. 20.11.2015 г

Цел на работата: Да се ​​разгледат свойствата на трапеца, които не се изучават в училищния курс по геометрия, но при решаването на геометричните задачи на Единния държавен изпит от разширената част С 4 може да е необходимо да се знаят и могат да се прилагат точно тези свойства.

Свойства на трапец: Ако трапецът е разделен от права линия, успоредна на основите му, равна на a и b, на два трапеца с еднакъв размер. Тогава отсечката към тази права линия, затворена между страните, е равна на a B k

Свойство на отсечка, минаваща през пресечната точка на диагоналите на трапец. Отсечката, успоредна на основите, минаваща през пресечната точка на диагоналите е: a в c

Свойства на трапеца: Отсечка от права линия, успоредна на основите на трапеца, затворена вътре в трапеца, е разделена от своите диагонали на три части. Тогава сегментите, съседни на страните, са равни един на друг. MP=OK R M O K

Свойства на равнобедрен трапец: Ако окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава радиусът на окръжността е средно пропорционален на сегментите, на които допирателната точка разделя страната. O S W A D. E O

Свойства на равнобедрен трапец: Ако центърът на описаната окръжност лежи върху основата на трапеца, то неговият диагонал е перпендикулярен на страната O A B C D

Свойства на равнобедрен трапец: В равнобедрен трапец може да се впише окръжност, ако страничната му страна е равна на средната му линия. C V A D h

1) Ако условието на задачата гласи, че в правоъгълен трапец е вписана окръжност, могат да се използват следните свойства: 1. Сборът от основите на трапеца е равен на сбора от страните. 2. Разстоянията от върха на трапеца до допирателните точки на вписаната окръжност са равни. 3. Височината на правоъгълен трапец е равна на по-малката му странична страна и е равна на диаметъра на вписаната окръжност. 4. Центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на трапеца. 5. Ако допирателната точка разделя страничната страна на сегменти m и n, тогава радиусът на вписаната окръжност е равен на

Свойства на правоъгълен трапец, в който е вписана окръжност: 1) Четириъгълник, образуван от центъра на вписаната окръжност, допирателните точки и върха на трапеца, е квадрат, чиято страна е равна на радиуса. (AMOE и BKOM са квадрати със страна r). 2) Ако кръгът е вписан в правоъгълен трапец, тогава площта на трапеца е равна на произведението на неговите основи: S=AD*BC

Доказателство: Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина: Означаваме CF=m, FD=n. Тъй като разстоянията от върховете до точките на контакт са равни, височината на трапеца е равна на два радиуса на вписаната окръжност и

I. Симетралите на ъглите при страничната страна на трапеца се пресичат под ъгъл 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (като вътрешна едностранна с AD∥BC и секуща AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (тъй като ъглополовящите разполовяват ъглите). 3) Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е 180º, в триъгълник ABK имаме: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, следователно ∠AKB=180-90=90º. Извод: Симетралите на ъглите при страничната страна на трапеца се пресичат под прав ъгъл. Това твърдение се използва при решаване на задачи върху трапец, в който е вписана окръжност.

аз аз Нека ъглополовящата на ъгъл ABC пресича страната AD в точка S. Тогава триъгълникът ABS е равнобедрен с основа BS.Следователно неговата ъглополовяща AK също е медиана, тоест точка K е средата на BS. Ако M и N са средните точки на страните на трапеца, тогава MN е средната линия на трапеца и MN∥AD. Тъй като M и K са среди на AB и BS, MK е средната линия на триъгълника ABS и MK∥AS. Тъй като през точка M може да се прекара само една права, успоредна на дадената, точката K лежи на средната линия на трапеца.

III. Пресечната точка на ъглополовящите на острите ъгли в основата на трапеца принадлежи на друга основа. В този случай триъгълниците ABK и DCK са равнобедрени триъгълници с основи съответно AK и DK. Така BC=BK+KC=AB+CD. Извод: Ако ъглополовящите на острите ъгли на трапец се пресичат в точка, принадлежаща на по-малката основа, то по-малката основа е равна на сбора от страните на трапеца. В равнобедрен трапец в този случай по-малката основа е два пъти по-голяма от страничната страна.

I V. Пресечната точка на ъглополовящите на тъпите ъгли в основата на трапеца принадлежи на друга основа. В този случай триъгълниците ABF и DCF са равнобедрени триъгълници с основи съответно BF и CF. Следователно AD=AF+FD=AB+CD. Извод: Ако ъглополовящите на тъпите ъгли на трапец се пресичат в точка, принадлежаща на по-голямата основа, то по-голямата основа е равна на сбора от страните на трапеца. Равнобедреният трапец в този случай има по-голяма основа два пъти по-голяма от страната.

Ако може да се впише равнобедрен трапец със страни a, b, c, d и да се очертаят окръжности около него, то площта на трапеца е

Трапецът е геометрична фигура с четири ъгъла. При конструирането на трапец е важно да се има предвид, че две противоположни страни са успоредни, докато другите две, напротив, не са успоредни една на друга. Тази дума дойде в съвременните времена от Древна Гърция и звучеше като "trapezion", което означаваше "маса", "маса за хранене".

Тази статия говори за свойствата на трапец, описан около окръжност. Ще разгледаме и видовете и елементите на тази фигура.

Елементи, видове и признаци на геометрична фигура трапец

Успоредните страни на тази фигура се наричат ​​основи, а тези, които не са успоредни, се наричат ​​страни. При условие, че страните са с еднаква дължина, трапецът се счита за равнобедрен. Трапец, чиито страни лежат перпендикулярно на основата под ъгъл 90 °, се нарича правоъгълен трапец.

Тази на пръв поглед неусложнена фигура има значителен брой свойства, които са й присъщи, подчертавайки нейните характеристики:

  1. Ако начертаете средна линия по страните, тогава тя ще бъде успоредна на основите. Този сегмент ще бъде равен на 1/2 от базовата разлика.
  2. При конструиране на ъглополовяща от произволен ъгъл на трапец се образува равностранен триъгълник.
  3. От свойствата на трапец, описан около окръжност, е известно, че сборът от успоредните му страни трябва да бъде равен на сбора от основите.
  4. При конструиране на диагонални сегменти, където една от страните е основата на трапеца, получените триъгълници ще бъдат подобни.
  5. При конструиране на диагонални сегменти, където една от страните е странична, получените триъгълници ще имат еднаква площ.
  6. Ако продължите страничните линии и изградите сегмент от центъра на основата, тогава образуваният ъгъл ще бъде равен на 90 °. Отсечката, свързваща основите, ще бъде равна на 1/2 от разликата им.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Ограждането на кръг в трапец е възможно само при едно условие. Това условие е сборът от страните да е равен на сбора от основите. Например, когато се конструира трапец AFDM, е приложимо AF + DM = FD + AM. Само в този случай кръг може да бъде ограден в трапец.

И така, повече за свойствата на трапец, описан около кръг:

  1. Ако кръгът е затворен в трапец, тогава, за да намерите дължината на неговата линия, която пресича фигурата наполовина, трябва да намерите 1/2 от сумата от дължините на страните.
  2. При построяването на трапец, описан около окръжност, образуваната хипотенуза е идентична с радиуса на окръжността, а височината на трапеца е и диаметърът на окръжността.
  3. Друго свойство на равнобедрен трапец, описан около окръжност, е, че неговата странична страна се вижда непосредствено от центъра на окръжността под ъгъл 90°.

Още малко за свойствата на трапеца, ограден в кръг

В окръжност може да бъде вписан само равнобедрен трапец. Това означава, че е необходимо да се изпълнят условията, при които конструираният AFDM трапец ще отговаря на следните изисквания: AF + DM = FD + MA.

Теоремата на Птолемей гласи, че в трапец, затворен в кръг, произведението на диагоналите е идентично и равно на сумата от умножените противоположни страни. Това означава, че при конструиране на окръжност, описана около трапеца AFDM, е приложимо: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

В училищните изпити доста често има задачи, които изискват решаване на задачи с трапец. Голям брой теореми трябва да се запомнят, но ако не успеете да научите веднага, няма значение. Най-добре е периодично да прибягвате до съвети в учебниците, така че това знание само по себе си, без много затруднения, да се побере в главата ви.



Подобни статии