Страните са равни ъгли на прав петоъгълник. Открит е нов вид петоъгълници, покриващи равнината

Петоъгълникът е геометрична фигура с пет ъгъла. В същото време, от гледна точка на геометрията, категорията петоъгълници включва всички многоъгълници, които имат тази характеристика, независимо от местоположението на страните му.

Сборът от ъглите на петоъгълник

Петоъгълникът всъщност е многоъгълник, така че за да изчислите сумата от неговите ъгли, можете да използвате формулата, приета за изчисляване на посочената сума за многоъгълник с произволен брой ъгли. Посоченото разглежда сумата от ъглите на многоъгълника като следното равенство: сумата от ъглите = (n - 2) * 180°, където n е броят на ъглите в желания многоъгълник.

По този начин, в случая, когато става дума за, стойността на n в тази формула ще бъде равна на 5. Така, замествайки дадената стойност на n във формулата, се оказва, че сумата от ъглите на петоъгълника ще бъде 540 °. Трябва обаче да се има предвид, че прилагането на тази формула по отношение на конкретен петоъгълник е свързано с редица ограничения.

Видове петоъгълници

Факт е, че посочената формула, която има, както и за други видове тези геометрични фигури, може да се приложи само ако говорим за така наречения изпъкнал многоъгълник. Тя от своя страна е геометрична фигура, която отговаря на следното условие: всички нейни точки са от една и съща страна на права линия, която минава между два съседни върха.

По този начин има цяла категория петоъгълници, сумата от ъглите в която ще се различава от определената стойност. Така например, един от вариантите на неизпъкнал петоъгълник е геометрична фигура във формата на звезда. Звезден петоъгълник може да се получи и с помощта на целия набор от диагонали на правилен петоъгълник, тоест петоъгълник: в този случай получената геометрична фигура ще се нарича пентаграма, която има равни ъгли. В този случай сумата от посочените ъгли ще бъде 180°.

Сензация в света на математиката. Открит е нов тип петоъгълници, които покриват равнината без прекъсвания и без припокривания.

Това е едва 15-ият вид подобни петоъгълници и първият открит през последните 30 години.

Самолетът е покрит с триъгълници и четириъгълници с всякаква форма, но с петоъгълници всичко е много по-сложно и интересно. Правилните петоъгълници не могат да покрият равнина, но някои неправилни петоъгълници могат. Търсенето на такива фигури е един от най-интересните математически проблеми от сто години насам. Търсенето започва през 1918 г., когато математикът Карл Райнхард открива първите пет съвпадащи парчета.

Дълго време се смяташе, че Райнхард е изчислил всички възможни формули и вече няма такива петоъгълници, но през 1968 г. математикът Р. Б. Кершнер (R. B. Kershner) открива още три, а Ричард Джеймс (Richard James) през 1975 г. довежда броя им до девет . През същата година 50-годишната американска домакиня и любител на математиката Марджъри Райс разработи свой собствен метод за нотиране и откри още четири петоъгълника в рамките на няколко години. Накрая, през 1985 г. Ролф Щайн довежда броя на фигурите до четиринадесет.

Петоъгълниците остават единствената фигура, по отношение на която остава несигурност и мистерия. През 1963 г. беше доказано, че има само три вида шестоъгълници, покриващи равнината. Сред изпъкналите седем-, осем- и т.н. ъгълници няма такива. Но с "Пентагоните" все още не е ясно до края.

Досега са известни само 14 вида такива петоъгълници. Те са показани на илюстрацията. Формулите за всяка от тях са дадени на връзката.

В продължение на 30 години никой не можеше да открие нищо ново и накрая, дългоочакваното откритие! Направено е от група учени от Вашингтонския университет: Кейси Ман, Дженифър Маклуд и Дейвид фон Дерау. Ето как изглежда малкото човече.

„Отворихме модела чрез компютъризирана итерация на голям, но ограничен брой опции“, казва Кейси Ман. „Разбира се, ние сме много развълнувани и малко изненадани, че успяхме да открием нов вид петоъгълник.“

Откритието изглежда чисто абстрактно, но всъщност може да бъде от практическа полза. Например, в производството на довършителни плочки.

Търсенето на нови петоъгълници, покриващи самолета, със сигурност ще продължи.

Обяснителният речник на Ожегов казва, че петоъгълникът е ограничен от пет пресичащи се прави линии, образуващи пет вътрешни ъгъла, както и всеки обект с подобна форма. Ако даден многоъгълник има еднакви страни и ъгли, тогава той се нарича правилен (петоъгълник).

Какво е интересно за правилния петоъгълник?

Именно в този вид е построена известната сграда на Министерството на отбраната на САЩ. От обемните правилни полиедри само додекаедърът има лица с петоъгълна форма. И в природата напълно липсват кристали, чиито лица биха приличали на правилен петоъгълник. В допълнение, тази фигура е многоъгълник с минимален брой ъгли, които не могат да се използват за подреждане на площ. Само петоъгълникът има същия брой диагонали като страните му. Съгласете се, интересно е!

Основни свойства и формули

Използвайки формулите за произволен правилен многоъгълник, можете да определите всички необходими параметри, които петоъгълникът има.

• Централен ъгъл α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Вътрешен ъгъл β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Съответно сумата от вътрешните ъгли е 540°.
• Съотношението на диагонала към страната е (1+√5)/2, т.е. (приблизително 1,618).
• Дължината на страната на правилния петоъгълник може да се изчисли с помощта на една от трите формули, в зависимост от това кой параметър вече е известен:

• ако окръжност е описана около нея и нейният радиус R е известен, тогава a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• в случая, когато окръжност с радиус r е вписана в правилен петоъгълник, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1.453*r;
• случва се, че вместо радиуси е известна стойността на диагонала D, тогава страната се определя, както следва: a ≈ D / 1.618.

• Площта на правилния петоъгълник се определя отново в зависимост от това какъв параметър знаем:
• ако има вписана или описана окръжност, тогава се използва една от двете формули:

S \u003d (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r или S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• площта може да се определи и като се знае само дължината на страната a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Правилен петоъгълник: конструкция

Тази геометрична фигура може да бъде конструирана по различни начини. Например, впишете го в кръг с даден радиус или го изградете на базата на дадена странична страна. Последователността от действия е описана в Елементи на Евклид около 300 г. пр. н. е. Във всеки случай се нуждаем от компас и линийка. Помислете за метода на конструиране с помощта на даден кръг.

1. Изберете произволен радиус и начертайте окръжност, маркирайки центъра й с точка O.

2. На кръговата линия изберете точка, която ще служи като един от върховете на нашия петоъгълник. Нека това е точка А. Свържете точките О и А с права линия.

3. Начертайте права през точка O, перпендикулярна на правата OA. Маркирайте точката, където тази линия се пресича с окръжната линия като точка B.

4. В средата на разстоянието между точките O и B изградете точка C.

5. Сега начертайте окръжност, чийто център ще бъде в точка C и която ще минава през точка A. Мястото на пресичането му с линията OB (тя ще бъде вътре в първия кръг) ще бъде точка D.

6. Построете окръжност, минаваща през D, чийто център ще бъде в A. Местата на нейното пресичане с първоначалната окръжност трябва да бъдат маркирани с точки E и F.

7. Сега изградете окръжност, чийто център ще бъде в E. Трябва да направите това така, че да минава през A. Трябва да се посочи другата й пресечна точка на оригиналната окръжност

8. Накрая начертайте окръжност през A с център в точка F. Маркирайте друго пресичане на оригиналната окръжност с точка H.

9. Сега остава само да свържете върховете A, E, G, H, F. Нашият правилен петоъгълник ще бъде готов!

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5)$

{2}};

Правилен петоъгълник(гр. πενταγωνον ) е геометрична фигура, правилен многоъгълник с пет страни.

Имоти

• Додекаедърът е единственият правилен многостен, чиито лица са правилни петоъгълници.
• Пентагонът е сграда на Министерството на отбраната на САЩ с форма на правилен петоъгълник.
• Правилният петоъгълник е правилен многоъгълник с най-малък брой ъгли, които не могат да бъдат подредени в равнина.
• В природата няма кристали с лица във формата на правилен петоъгълник.
• Петоъгълникът с всичките си диагонали е проекция на 4-симплекс.

Вижте също

Напишете отзив за статията "Правилен петоъгълник"

Бележки

По брой страни Правилно триъгълници Четириъгълници Вижте също

Многоъгълници звездни полигони Равни паркети Правилни полиедри и сферични паркети Полиедри на Кеплер-Поансо пчелни пити Четиримерни полиедри

Откъс, характеризиращ правилния петоъгълник

Петя не знаеше колко време продължи това: той се забавляваше, постоянно се учудваше на собственото си удоволствие и съжаляваше, че няма кой да му каже. Събуди го нежният глас на Лихачов.
- Готово, ваша чест, разпределете караула на две.
Петя се събуди.
- Светна, наистина, светна! извика той.
Невидимите преди коне станаха видими до опашките им, а през голите клони се виждаше водниста светлина. Петя се отърси, скочи, извади от джоба си банкнота рубла и я даде на Лихачов, размаха я, опита сабята и я прибра в ножницата. Казаците развързват конете и стягат ремъците.
„Ето го командирът“, каза Лихачов. Денисов излезе от караулното помещение и като извика Петя, нареди да се приготвят.

Бързо в полумрака разглобиха конете, затегнаха коланите и подредиха впряговете. Денисов стоеше в караулката и даваше последните си заповеди. Пехотата на отряда, шляпайки стотина фута, напредна по пътя и бързо изчезна между дърветата в предзорната мъгла. Есаул нареди нещо на казаците. Петя държеше коня си в редица и нетърпеливо чакаше заповедта да се качи. Измито със студена вода, лицето му, особено очите му, горяха от огън, тръпки полазиха по гърба му и нещо в цялото му тяло трепереше бързо и равномерно.
- Добре, готови ли сте? каза Денисов. - Хайде на коне.
Конете бяха дадени. Денисов се ядоса на казака, защото обиколките бяха слаби, и като му се скара, седна. Петя хвана стремето. Конят по навик искаше да го ухапе за крака, но Петя, без да усети тежестта му, бързо скочи на седлото и, като погледна назад към движещите се отзад в тъмнината хусари, се приближи до Денисов.
- Василий Фьодорович, ще ми поверите ли нещо? Моля те… за бога…“, каза той. Денисов сякаш беше забравил за съществуването на Петя. Той го погледна обратно.
„Ще ти кажа едно нещо“, каза той строго, „подчинявай ми се и не се меси никъде.
През цялото пътуване Денисов не каза нито дума на Петя и яздеше мълчаливо. Когато пристигнахме в края на гората, полето беше видимо по-светло. Денисов каза нещо шепнешком на есаула и казаците започнаха да карат покрай Петя и Денисов. Когато всички минаха, Денисов докосна коня си и се спусна надолу. Седнали на краката си и плъзгайки се, конете се спуснаха с ездачите си в котловината. Петя яздеше до Денисов. Трепетът в цялото му тяло се засили. Ставаше все по-светло, само мъглата скриваше далечни предмети. Слизайки и поглеждайки назад, Денисов кимна с глава на казака, който стоеше до него.
- Сигнал! той каза.
Казакът вдигна ръка, проехтя изстрел. И в същия миг се чу тропот на препускащи коне отпред, викове от различни посоки и нови изстрели.
В същия миг, когато се чуха първите звуци от тропот и крясъци, Петя, ритайки коня си и отпускайки поводите, без да слуша Денисов, който му викаше, препусна напред. На Петя й се стори, че внезапно се разсъмна ярко, сякаш посред бял ден, в момента, в който се чу изстрел. Той скочи до моста. Казаците галопират напред по пътя. На моста той се сблъскал с изостанал казак и продължил в галоп. Отпред имаше някакви хора — сигурно бяха французи — тичащи от дясната страна на пътя наляво. Един падна в калта под краката на коня на Петя.
Казаците се тълпяха около една колиба и правеха нещо. От средата на тълпата се чу страшен вик. Петя се втурна в галоп към тази тълпа и първото, което видя, беше бледото лице на французин с трепереща долна челюст, хванал се за дръжката на насочена към него щука.
– Ура!.. Момчета…наши… – извика Петя и като даде поводите на развълнувания кон, препусна напред по улицата.
Отпред се чуха изстрели. Казаци, хусари и дрипави руски пленници, които бягаха от двете страни на пътя, всички крещяха нещо високо и несвързано. Млад мъж, без шапка, с червено намръщено лице, французин в синьо палто се биеше с хусарите с щик. Когато Петя скочи, французинът вече беше паднал. Пак късно Петя светна в главата му и той препусна натам, откъдето се чуваха чести изстрели. Чуха се изстрели в двора на имението, където той беше снощи с Долохов. Французите седяха там зад оградата от плет в гъста градина, обрасла с храсти, и стреляха по казаците, струпани пред портата. Приближавайки се до портата, Петя в барутния дим видя Долохов с бледо зеленикаво лице, който крещи нещо на хората. „По отклонението! Чакайте пехотата!“ — извика той, когато Петя се приближи до него.
„Чакай?.. Ура!“ – извика Петя и без минута да се поколеба в галоп натам, откъдето се чуха изстрелите и където барутният дим беше по-гъст. Чу се залп, скърцаха празни и изпръскани куршуми. Казаците и Долохов скочиха след Петя през портите на къщата. Французите, в люлеещия се гъст дим, някои хвърлиха оръжията си и избягаха от храстите към казаците, други се спуснаха надолу към езерото. Петя галопираше из двора на имението на коня си и вместо да държи юздите, размахваше странно и бързо двете си ръце и все повече падаше от седлото на една страна. Конят, блъснал се в тлеещ в утринната светлина огън, отдъхна, а Петя падна тежко на мократа земя. Казаците видяха колко бързо трепнаха ръцете и краката му, въпреки факта, че главата му не помръдна. Куршумът прониза главата му.
След разговор с висш френски офицер, който излезе иззад къщата с носна кърпа на сабя и обяви, че се предават, Долохов слезе от коня си и се приближи до Петя, неподвижен, с разперени ръце.
„Готово“, каза той намръщено и мина през портата, за да посрещне Денисов, който идваше към него.
- Убит?! — възкликна Денисов, виждайки отдалеч познатата му, несъмнено безжизнена поза, в която лежеше тялото на Петя.
„Готов“, повтори Долохов, сякаш произнасянето на тази дума му доставяше удоволствие, и бързо отиде при затворниците, които бяха заобиколени от свалени казаци. - Няма да го вземем! — извика той на Денисов.

Вече писахме, че питагорейците са смятали света за устроен според законите на числовата хармония. Те открили, че възприятието за хармония в музиката е свързано с някаква връзка между числата (виж Хармонията на Питагор); но визуалната хармония, оказва се, също е свързана с определени съотношения на различни сегменти. В това отношение най-известно е златното сечение - начин за разделяне на отсечка на две неравни части, при който цялата отсечка се отнася към по-голямата част, както по-голямата към по-малката:

Скулпторът Polikleitos развива идеята за канон (правило) за изобразяване на пропорционално човешко тяло и ясно въплъщава своя канон в статуята "Дорифор" ("Копиеносец"), иначе наричана просто "Канон". В пропорциите на статуята златното сечение присъства в изобилие. Например съотношението на височините на долната и горната част, на които пъпът разделя статуята, е равно на златното сечение; на свой ред основата на шията разделя горната част също в златното сечение; коленете разделят долната част в златното сечение и т.н.

По време на Ренесанса има подновен интерес сред учени и художници към златното сечение. Италианският математик Лука Пачоли му посвещава книгата „Божествена пропорция“. А неговият приятел - великият Леонардо да Винчи - притежава термина "златно сечение" (древните обикновено го наричат ​​"разделяне на сегмента в крайно и средно съотношение"). "Златното сечение" често се среща в произведенията на Рафаело, Микеланджело, Дюрер.

Йоханес Кеплер, който не е чужд на идеите на Питагор за основната числена хармония на Вселената, каза, че геометрията има две съкровища - Питагоровата теорема и златното сечение; първото може да се сравни с мярка злато, второто със скъпоценен камък.

Експериментално е доказано, че например от правоъгълници с различно съотношение на страните човешкото око предпочита тези, при които това съотношение е равно на златното сечение. Под формата на точно такива правоъгълници много често се правят листове хартия, шоколадови пръчици, кредитни карти и др.

За да разделите даден сегмент AB пропорционално на златното сечение, трябва да възстановите през един от неговите краища, да речем, през точка B, перпендикуляр, да поставите сегмент върху него BD \u003d AB /2, да начертаете сегмент AD, да поставите отсечка върху него DE \u003d AB /2 и накрая маркирайте точка C на отсечка AB така, че AC = AE . Точка C ще раздели сегмент AB в златното сечение.

Нека го докажем. По Питагоровата теорема (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, или

AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2 и тъй като BD = DE = AB /2 и AE = AC, тогава

AC 2 + AC ∙ AB \u003d AB 2,

откъдето AC 2 \u003d AB (AB - AC) .

Тъй като AB - AC = BC , имаме

AC 2 = AB ∙ BC, откъдето

Горната конструкция ви позволява да намерите числената стойност на златното сечение. То е равно на съотношението на целия сегмент AB към сегмента

Така златното сечение се изразява с числото Това число е приблизително равно на 1,618. Често се нарича числото на Фидий и се обозначава с гръцката буква Φ:

Φ =

Нека две отсечки са свързани в златното сечение: a /b = Φ. Тъй като тогава формулата е валидна за тях, се оказва, че Φ удовлетворява равенството или Наистина, лесно е да се провери, че Числото понякога се нарича малък брой на Фидий (и Φ след това - голям брой на Фидий) и се обозначава с φ. Тя е приблизително равна на 0,618.

Златното сечение се изразява като ирационално число. Това следва от ирационалността (ако златното сечение беше рационално, тогава числото = 2Φ - 1 също би било рационално), а ирационалността може да се докаже подобно на ирационалността. Освен това ирационалността на Φ е доста проста за показване с помощта на геометричната илюстрация на алгоритъма на Евклид. Нека имаме правоъгълник a 1 × a 2, чиито страни са в златното сечение. Като оставим настрана по-малката страна от по-голямата страна, получаваме квадрат, а останалият правоъгълник ще бъде подобен на оригиналния правоъгълник: Прилагайки същата операция към него, отново получаваме квадрат и правоъгълник, подобен на оригинала и т.н. ( Интересното е, че първият, третият, петият и т.н. правоъгълници имат общ диагонал, както и вторият, четвъртият, шестият и т.н., тези два диагонала се пресичат под прав ъгъл в точка, която принадлежи на всички правоъгълници).

Тъй като този алгоритъм никога няма да свърши, сегментите a 1 и a 2 нямат обща мярка. Кеплер каза, че златното сечение постоянно се възпроизвежда. Често се среща в дивата природа в структурата на такива организми, чиито части са приблизително подобни на цялото - например в черупки, в разположението на листата върху издънките и др.

Ориз. 5. Мивка

И накрая, златното сечение ви позволява да изградите правилен петоъгълник. (Можете да построите правилни триъгълници и четириъгълници без подсказка, нали? Описвайки кръгове около тях и разделяйки страните наполовина, не е трудно да построите правилни многоъгълници с 2 n и 3 ∙ 2 n върха). Ако разширите страните на правилния петоъгълник до точките на пресичане с разширенията на съседните страни, ще получите красива петолъчна звезда. Това е древен мистичен символ, популярен по-специално сред питагорейците: нарича се "пентаграм" или "пенталфа", т.е. буквално "пет букви" или "пет алфи" - те виждаха в него комбинация от пет букви "алфа" (A) . Пентаграмата се смяташе за символ на здравето - хармонията в човека - и служи като идентификационен знак сред питагорейците. (Например, когато в чужда страна един от питагорейците лежеше на смъртния си одър и нямаше пари да плати на човека, който се грижеше за него до смъртта му, той заповяда да нарисува пентаграма на вратата на жилището си. Няколко години по-късно друг питагореец видя този знак и собственикът получи щедра награда). Оказва се, че в пентаграмата различните линии се разделят една друга спрямо златното сечение. Наистина, триъгълниците ACD и ABE са подобни, AB : AC = AE : AD . Но AD = BC и AE = AC, и така AB: AC = AC: BC. Оказва се, че всеки от 10-те сегмента на външния контур на звездата принадлежи в златното сечение към всеки от 5-те сегмента, които образуват малък вътрешен петоъгълник.

Между другото, от сходството на същите триъгълници ACD и ABE следва, че триъгълникът ACD е равнобедрен и CD = AD . Това означава, че диагоналът на правилния петоъгълник се отнася и за неговата страна в златното сечение. Всичките пет диагонала на правилен петоъгълник образуват друга пентаграма, в която всички съотношения се повтарят отново.

Ако трябва да построите правилен петоъгълник със страна a 1, тогава трябва да разделите сегмента a 1 в златното сечение на сегменти a 2 и a 3, след което да построите равнобедрен триъгълник със страни a 1, a 1 и (a 1 + а 2). Два сегмента с дължина a 1 ще образуват две страни на желания петоъгълник, а сегмент с дължина a 1 + a 2 \u003d a 1 /Φ е неговият диагонал. Чрез конструирането на други триъгълници не е трудно да се намерят останалите върхове на петоъгълника.

През Средновековието пентаграмата служи като символ на Венера: тази планета се доближава до Земята в пет точки, образувайки петоъгълник.

Равнобедрен триъгълник, чиито страни са свързани с основата в златното сечение - например триъгълник, образуван от два диагонала и страна на правилен петоъгълник - има друго интересно свойство: ъглополовящите на неговите ъгли в основата са равни на основата себе си.

Такъв триъгълник често се среща в композицията на различни произведения на изкуството - например в известната "Мона Лиза" на Леонардо да Винчи.