Факторизация. Сложни случаи на факторизиране на полиноми

Много често числителят и знаменателят на дроб са алгебрични изрази, които първо трябва да се разложат на множители и след това, като се намери едно и също сред тях, да се разделят както числителя, така и знаменателя на тях, тоест да се намали дробта. Цяла глава от учебник по алгебра за 7. клас е посветена на задачи за разлагане на многочлен. Може да се направи факторинг 3 начина, както и комбинация от тези методи.

1. Прилагане на формули за съкратено умножение

Както е известно на умножете полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия полином и да добавите получените продукти. Има най-малко 7 (седем) общи случая на умножение на полиноми, които са включени в понятието. Например,

Таблица 1. Факторизиране по 1-ви начин

2. Изваждане на общия множител от скобата

Този метод се основава на прилагането на разпределителния закон на умножението. Например,

Разделяме всеки член от оригиналния израз на фактора, който изваждаме, и в същото време получаваме израза в скоби (тоест резултатът от разделянето на това, което е било, на това, което изваждаме, остава в скоби). На първо място, трябва правилно определяне на множителя, което трябва да бъде поставено в скоби.

Полиномът в скоби също може да бъде общ фактор:

Когато изпълнявате задачата „факторизиране“, трябва да сте особено внимателни със знаците, когато изваждате общия множител извън скоби. За да промените знака на всеки член в скоби (б - а), изваждаме общия множител -1 , докато всеки член в скобата е разделен на -1: (b - a) = - (a - b) .

В случай, че изразът в скоби е повдигнат на квадрат (или на всяка четна степен), тогава числата в скобите могат да се разменят напълно безплатно, тъй като минусите, извадени от скобите, пак ще се превърнат в плюс, когато се умножат: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 и така нататък…

3. Метод на групиране

Понякога не всички термини в израза имат общ фактор, а само някои. След това можете да опитате групови условия в скоби, така че да може да се извади някакъв фактор от всеки. Метод на групиранее двойно поставяне в скоби на общи множители.

4. Използване на няколко метода наведнъж

Понякога трябва да приложите не един, а няколко начина за разлагане на полином на множители наведнъж.

Това е конспект по темата. "факторизация". Изберете следващите стъпки:

• Преминете към следващото резюме:

Имайки предвид умножението на полиноми, ние запомнихме няколко формули, а именно: формули за (a + b)², за (a - b)², за (a + b) (a - b), за (a + b)³ и за (a – b)³.

Ако се окаже, че даден полином съвпада с една от тези формули, тогава ще бъде възможно да се разложи на множители. Например полиномът a² - 2ab + b², както знаем, е равен на (a - b)² [или (a - b) (a - b), тоест успяхме да разложим a² - 2ab + b² на 2 фактори]; Също

Помислете за втория от тези примери. Виждаме, че полиномът, даден тук, отговаря на формулата, получена чрез повдигане на квадрат на разликата на две числа (квадрата на първото число, минус произведението от две по първото число и второто, плюс квадрата на второто число): x 6 е квадратът на първото число и следователно , самото първо число е x 3, квадратът на второто число е последният член на дадения полином, т.е. 1, самото второ число следователно също е 1; произведението на две по първото число и второто е терминът -2x 3, защото 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Следователно нашият полином е получен чрез повдигане на квадрат на разликата между числата x 3 и 1, т.е. той е равен до (x 3 - 12 . Помислете за друг 4-ти пример. Виждаме, че този многочлен a 2 b 2 - 25 може да се разглежда като разликата на квадратите на две числа, а именно квадратът на първото число е a 2 b 2, следователно самото първо число е ab, квадратът на второто число е 25, защо самото второ число е 5. Следователно нашият многочлен може да се счита за получен чрез умножаване на сумата от две числа по тяхната разлика, т.е.

(ab + 5) (ab - 5).

Понякога се случва в даден полином членовете да не са в реда, в който сме свикнали, например.

9a 2 + b 2 + 6ab - мислено можем да пренаредим втория и третия член и тогава ще ни стане ясно, че нашият тричлен = (3a + b) 2.

... (мислено пренаредете първия и втория член).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 и т.н.

Помислете за друг полином

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Виждаме, че неговият първи член е квадратът на числото a, а третият член е квадратът на числото 2b, но вторият член не е произведение от две по първото число и второто, такова произведение би било равно на 2 a 2b = 4ab. Следователно е невъзможно да се приложи формулата за квадрат на сумата от две числа към този полином. Ако някой е написал, че a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, тогава това би било погрешно - трябва внимателно да обмислите всички условия на полинома, преди да приложите факторизиране към него чрез формули.

40. Комбинацията от двата метода. Понякога, когато се разлагат полиноми на фактори, е необходимо да се комбинира както техниката за изваждане на общия фактор извън скоби, така и техниката за прилагане на формули. Ето няколко примера:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Първо, изваждаме общия множител 2a извън скобите и получаваме 2a (a 2 - b 2). Факторът a 2 - b 2 от своя страна се разлага по формулата на фактори (a + b) и (a - b).

Понякога е необходимо да се прилага методът на разширяване чрез формули многократно:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Виждаме, че първият фактор a 2 + b 2 не отговаря на нито една от познатите формули; освен това, като си припомним специалните случаи на деление (раздел 37), ще установим, че a 2 + b 2 (сумата от квадратите на две числа) изобщо не е фактор. Вторият от получените множители a 2 - b 2 (разликата на квадрат на две числа) се разлага на множители (a + b) и (a - b). Така,

41. Приложение на частни случаи на деление. Въз основа на т. 37 веднага можем да напишем, че напр.

Факторизирането на уравнение е процес на намиране на термини или изрази, които, когато се умножат, водят до първоначалното уравнение. Факторингът е полезно умение за решаване на основни алгебрични проблеми и се превръща в практическа необходимост при работа с квадратни уравнения и други полиноми. Факторингът се използва за опростяване на алгебрични уравнения, за да ги направи по-лесни за решаване. Факторингът може да ви помогне да изключите определени възможни отговори по-бързо, отколкото можете чрез ръчно решаване на уравнението.

стъпки

Разлагане на числа на множители и основни алгебрични изрази

1. Факторизация на числата.Концепцията за факторизиране е проста, но на практика факторирането може да бъде трудно (предвид сложно уравнение). Така че нека започнем с концепцията за факторизиране, като използваме числа като пример, продължим с прости уравнения и след това преминем към сложни уравнения. Факторите на дадено число са числата, които при умножаване дават първоначалното число. Например множителите на числото 12 са числата: 1, 12, 2, 6, 3, 4, тъй като 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • По същия начин можете да мислите за множителите на число като за неговите делители, тоест числата, на които даденото число се дели.
   • Намерете всички множители на числото 60. Често използваме числото 60 (например 60 минути в час, 60 секунди в минута и т.н.) и това число има доста голям брой множители.
     • 60 множителя: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

2. Помня:членове на израз, съдържащ коефициент (число) и променлива, също могат да бъдат разложени на множители. За да направите това, намерете множителите на коефициента при променливата. Знаейки как да разложите членовете на уравненията, можете лесно да опростите това уравнение.

   • Например членът 12x може да бъде записан като произведение на 12 и x. Можете също да запишете 12x като 3(4x), 2(6x) и т.н., като разложите 12 на факторите, които работят най-добре за вас.
     • Можете да подреждате 12 пъти няколко пъти подред. С други думи, не трябва да спирате на 3(4x) или 2(6x); продължаване на разширяването: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно 3(4x)=3(2(2x)) и т.н.)

3. Приложете разпределителното свойство на умножението, за да факторизирате алгебрични уравнения.Знаейки как да разлагате числа и членове на израз (коефициенти с променливи), можете да опростите прости алгебрични уравнения, като намерите общия множител на число и член на израз. Обикновено, за да опростите уравнението, трябва да намерите най-големия общ делител (gcd). Такова опростяване е възможно поради разпределителното свойство на умножението: за всякакви числа a, b, c е вярно равенството a (b + c) = ab + ac.

   • Пример. Разложете уравнението на множители 12x + 6. Първо намерете gcd на 12x и 6. 6 е най-голямото число, което дели 12x и 6, така че можете да разложите това уравнение на множители: 6(2x+1).
   • Този процес е верен и за уравнения, които имат отрицателни и дробни членове. Например x/2+4 може да се разложи на 1/2(x+8); например, -7x+(-21) може да се разложи на -7(x+3).

   Разлагане на множители на квадратни уравнения

   1. Уверете се, че уравнението е в квадратна форма (ax 2 + bx + c = 0).Квадратните уравнения са: ax 2 + bx + c = 0, където a, b, c са числени коефициенти, различни от 0. Ако ви е дадено уравнение с една променлива (x) и това уравнение има един или повече члена от втори ред променлива, можете да преместите всички членове на уравнението от едната страна на уравнението и да го приравните към нула.

      • Например, дадено е уравнението: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. То може да се преобразува в уравнението x 2 + 6x + 9 = 0, което е квадратно уравнение.
      • Уравнения с променлива x от голям порядък, например x 3 , x 4 и т.н. не са квадратни уравнения. Това са кубични уравнения, уравнения от четвърти ред и т.н. (само ако такива уравнения не могат да бъдат опростени до квадратни уравнения с променлива x на степен 2).

   2. Квадратните уравнения, където a \u003d 1, се разлагат на (x + d) (x + e), където d * e \u003d c и d + e \u003d b.Ако даденото ви квадратно уравнение има формата: x 2 + bx + c \u003d 0 (т.е. коефициентът при x 2 е равен на 1), тогава такова уравнение може (но не е гарантирано) да бъде разложено на горното фактори. За да направите това, трябва да намерите две числа, които при умножаване дават "c", а при събиране - "b". След като намерите тези две числа (d и e), заместете ги в следния израз: (x+d)(x+e), който, когато скобите се отворят, води до оригиналното уравнение.

      • Например, дадено е квадратното уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, така че можете да разширите уравнението в (x+3)(x+2).
      • За отрицателни членове направете следните малки промени в процеса на разлагане на множители:
        • Ако квадратното уравнение има формата x 2 -bx + c, тогава то се разлага на: (x-_) (x-_).
        • Ако квадратното уравнение има формата x 2 -bx-c, тогава то се разлага на: (x + _) (x-_).
      • Забележка: интервалите могат да бъдат заменени с дроби или десетични знаци. Например уравнението x 2 + (21/2)x + 5 = 0 се разлага на (x + 10) (x + 1/2).

   3. Факторизиране чрез проба и грешка.Простите квадратни уравнения могат да бъдат разложени на множители чрез просто заместване на числа във възможните решения, докато намерите правилното решение. Ако уравнението има формата ax 2 +bx+c, където a>1, възможните решения се записват като (dx +/- _)(ex +/- _), където d и e са числени коефициенти, различни от нула, които, когато се умножат, дават a. Или d, или e (или и двата коефициента) могат да бъдат равни на 1. Ако и двата коефициента са равни на 1, използвайте метода, описан по-горе.

      • Например, дадено е уравнението 3x 2 - 8x + 4. Тук 3 има само два множителя (3 и 1), така че възможните решения се записват като (3x +/- _)(x +/- _). В този случай, замествайки -2 с интервали, ще намерите правилния отговор: -2*3x=-6x и -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, тоест такова разширение при отваряне на скобите ще доведе до членовете на оригиналното уравнение.

Разлагането на полиноми на множители е тъждествено преобразуване, в резултат на което един полином се преобразува в произведение на няколко фактора - полиноми или мономи.

Има няколко начина за разлагане на полиноми.

Метод 1. Поставяне на общия множител в скоби.

Тази трансформация се основава на разпределителния закон на умножението: ac + bc = c(a + b). Същността на трансформацията е да се отдели общият фактор в двата разглеждани компонента и да се „извади“ от скобите.

Нека разложим на множители полинома 28x 3 - 35x 4.

Решение.

1. Намираме общ делител за елементи 28x3 и 35x4. За 28 и 35 ще бъде 7; за x 3 и x 4 - x 3. С други думи, нашият общ множител е 7x3.

2. Всеки от елементите представяме като произведение на фактори, един от които
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Поставяне на общия множител в скоби
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Метод 2. Използване на формули за съкратено умножение. „Майсторството“ на усвояването на този метод е да забележите в израза една от формулите за съкратено умножение.

Нека разложим полинома на множители x 6 - 1.

Решение.

1. Можем да приложим формулата за разликата на квадратите към този израз. За да направим това, представяме x 6 като (x 3) 2, а 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще приеме формата:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Към получения израз можем да приложим формулата за сбор и разлика на кубове:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Така,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групиране. Методът на групиране се състои в комбиниране на компонентите на полином по такъв начин, че да е лесно да се извършват операции с тях (събиране, изваждане, изваждане на общ множител).

Разлагаме полинома на множители x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Решение.

1. Групирайте компонентите по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. В получения израз изваждаме общите множители извън скоби: x 2 в първия случай и 5 във втория.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Изваждаме общия множител x - 3 и получаваме:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Така,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Да оправим материала.

Разложете полинома на множители a 2 - 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представяме монома 7ab като сумата 3ab + 4ab. Изразът ще приеме формата:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Нека отворим скобите и да получим:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Групирайте компонентите на полинома по следния начин: 1-ви с 2-ри и 3-ти с 4-ти. Получаваме:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Нека извадим общите фактори:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Нека извадим общия множител (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Така,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Понятията "полином" и "факторизация на полином" в алгебрата са много често срещани, защото трябва да ги знаете, за да извършвате лесно изчисления с големи многозначни числа. Тази статия ще опише няколко метода на разлагане. Всички те са доста лесни за използване, просто трябва да изберете правилния във всеки случай.

Концепцията за полином

Полиномът е сборът от мономи, т.е. изрази, съдържащи само операцията умножение.

Например 2 * x * y е моном, но 2 * x * y + 25 е полином, който се състои от 2 монома: 2 * x * y и 25. Такива полиноми се наричат ​​биноми.

Понякога, за удобство на решаването на примери с многозначни стойности, изразът трябва да бъде трансформиран, например, разложен на определен брой фактори, тоест числа или изрази, между които се извършва операцията за умножение. Има редица начини за факторизиране на полином. Струва си да ги разгледаме, като започнем от най-примитивния, който се използва дори в началните класове.

Групиране (общ запис)

Формулата за разлагане на полином на фактори чрез метода на групиране като цяло изглежда така:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо е мономите да се групират така, че във всяка група да се появи общ фактор. В първата скоба това е факторът c, а във втората - d. Това трябва да се направи, за да го извадите от скобата, като по този начин опростите изчисленията.

Алгоритъм за разлагане на конкретен пример

Най-простият пример за разлагане на полином на фактори с помощта на метода на групиране е даден по-долу:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

В първата скоба трябва да вземете термините с коефициента a, които ще бъдат общи, а във втората - с коефициента b. Обърнете внимание на знаците + и - в готовия израз. Поставяме пред монома знака, който беше в първоначалния израз. Тоест, трябва да работите не с израза 25a, а с израза -25. Знакът минус, така да се каже, е „залепен“ към израза зад него и винаги го взема предвид при изчисленията.

На следващата стъпка трябва да извадите фактора, който е често срещан, извън скобата. За това е групирането. Да го извадим от скобата означава да изпишем преди скобата (без знака за умножение) всички онези множители, които се повтарят точно във всички членове, които са в скобата. Ако в скобата има не 2, а 3 или повече члена, общият множител трябва да се съдържа във всеки от тях, в противен случай той не може да бъде изваден от скобата.

В нашия случай само 2 термина в скоби. Общият множител се вижда веднага. Първата скоба е a, втората е b. Тук трябва да обърнете внимание на цифровите коефициенти. В първата скоба и двата коефициента (10 и 25) са кратни на 5. Това означава, че не само a, но и 5a могат да бъдат поставени в скоби. Преди скобата напишете 5a и след това разделете всеки от членовете в скоби на извадения общ множител и също запишете частното в скоби, без да забравяте знаците + и -. Направете същото с втората скоба , извадете 7b, тъй като 14 и 35 са кратни на 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Оказаха се 2 члена: 5a (2c - 5) и 7b (2c - 5). Всеки от тях съдържа общ множител (целият израз в скоби тук е един и същ, което означава, че е общ множител): 2c - 5. Той също трябва да бъде изваден от скобите, тоест членовете 5a и 7b остават във втората скоба:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Така че пълният израз е:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Така полиномът 10ac + 14bc - 25a - 35b се разлага на 2 фактора: (2c - 5) и (5a + 7b). Знакът за умножение между тях може да се пропуска при писане

Понякога има изрази от този тип: 5a 2 + 50a 3, тук можете да поставите в скоби не само a или 5a, но дори 5a 2. Винаги трябва да се опитвате да извадите възможно най-големия общ множител от скобата. В нашия случай, ако разделим всеки член на общ множител, получаваме:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(при изчисляване на частното на няколко степени с еднакви основи, основата се запазва, а показателят се изважда). Така в скобата остава единица (в никакъв случай не забравяйте да я напишете, ако извадите изцяло един от членовете от скобата) и частното при деление: 10a. Оказва се, че:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Квадратни формули

За удобство на изчисленията са изведени няколко формули. Наричат ​​се формули за намалено умножение и се използват доста често. Тези формули помагат за факторизиране на полиноми, съдържащи степени. Това е друг мощен начин за факторизиране. И така, ето ги:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формулата, наречена "квадрат на сумата", тъй като в резултат на разширяването в квадрат се взема сумата от числата, затворени в скоби, т.е. стойността на тази сума се умножава сама по себе си 2 пъти, което означава, че е фактор.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формулата на квадрата на разликата, тя е подобна на предишната. Резултатът е разлика, оградена в скоби, съдържаща се в квадратна степен.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- това е формулата за разликата на квадратите, тъй като първоначално полиномът се състои от 2 квадрата на числа или изрази, между които се извършва изваждане. Това е може би най-често използваният от трите.

Примери за пресмятане по формули на квадрати

Изчисленията върху тях се правят съвсем просто. Например:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - използвайте формулата "квадрат на сумата".
2. 25x 2 е квадрат на 5x. 20xy е два пъти произведението от 2*(5x*2y), а 4y 2 е квадрат на 2y.
3. И така, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).Този полином се разлага на 2 множителя (факторите са еднакви, следователно се записва като израз с квадратна степен).

Операциите по формулата на квадрата на разликата се извършват подобно на тези. Това, което остава, е формулата за разликата на квадратите. Примерите за тази формула са много лесни за идентифициране и намиране сред други изрази. Например:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Тъй като 25a 2 \u003d (5a) 2 и 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Тъй като 36x 2 \u003d (6x) 2 и 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Тъй като 169b 2 = (13b) 2

Важно е всеки от членовете да е квадрат на някакъв израз. Тогава този полином трябва да бъде разложен на множители по формулата за разликата на квадратите. За това не е необходимо втората степен да е над числото. Има полиноми с големи степени, но все пак подходящи за тези формули.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В този пример 8 може да бъде представено като (a 4) 2 , тоест квадрат на определен израз. 25 е 5 2 и 10a е 4 - това е двойното произведение на членовете 2*a 4 *5. Тоест, този израз, въпреки наличието на степени с големи показатели, може да се разложи на 2 фактора, за да се работи с тях по-късно.

Кубични формули

Съществуват същите формули за разлагане на полиноми, съдържащи кубове. Те са малко по-сложни от тези с квадратите:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- тази формула се нарича сума от кубове, тъй като в първоначалната си форма полиномът е сумата от два израза или числа, затворени в куб.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -формула, идентична на предишната, се обозначава като разлика на кубчета.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - сума куб, в резултат на изчисления се получава сумата от числа или изрази, оградена в скоби и умножена по себе си 3 пъти, тоест разположена в куба
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -формулата, съставена по аналогия с предишната с промяна само на някои знаци на математическите операции (плюс и минус), се нарича "куб на разликата".

Последните две формули практически не се използват за целите на факторизирането на полином, тъй като са сложни и е доста рядко да се намерят полиноми, които напълно отговарят на точно такава структура, така че да могат да бъдат разложени по тези формули. Но все пак трябва да ги знаете, тъй като те ще са необходими за действия в обратна посока - при отваряне на скоби.

Примери за кубични формули

Помислете за пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Тук сме взели доста прости числа, така че можете веднага да видите, че 64a 3 е (4a) 3 и 8b 3 е (2b) 3 . По този начин този полином се разширява чрез формулата за разлика на кубове на 2 фактора. Действията върху формулата на сумата от кубчета се извършват по аналогия.

Важно е да се разбере, че не всички полиноми могат да бъдат разложени поне по един от начините. Но има такива изрази, които съдържат по-големи степени от квадрат или куб, но те също могат да бъдат разширени в съкратени форми за умножение. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Този пример съдържа цели 12 градуса. Но дори и той може да бъде разложен на множители с помощта на формулата за сбора на кубовете. За да направите това, трябва да представите x 12 като (x 4) 3, тоест като куб на някакъв израз. Сега, вместо a, трябва да го замените във формулата. Е, изразът 125y 3 е кубът на 5y. Следващата стъпка е да напишете формулата и да направите изчисленията.

В началото или когато се съмнявате, винаги можете да проверите чрез обратно умножение. Трябва само да отворите скобите в получения израз и да извършите действия с подобни термини. Този метод се прилага за всички горепосочени методи за намаляване: както за работа с общ фактор и групиране, така и за операции върху формулите на кубове и квадратни степени.