Концепция за пирамида

Определение 1

Геометрична фигура, образувана от многоъгълник и точка, която не лежи в равнината, съдържаща този многоъгълник, свързана с всички върхове на многоъгълника, се нарича пирамида (фиг. 1).

Многоъгълникът, от който е съставена пирамидата, се нарича основа на пирамидата, триъгълниците, получени чрез свързване с точката, са страничните стени на пирамидата, страните на триъгълниците са страните на пирамидата, а точката е обща за всички триъгълници е върхът на пирамидата.

Видове пирамиди

В зависимост от броя на ъглите в основата на пирамидата тя може да бъде наречена триъгълна, четириъгълна и т.н. (фиг. 2).

Фигура 2.

Друг вид пирамида е правилната пирамида.

Нека въведем и докажем свойството на правилната пирамида.

Теорема 1

Всички странични лица на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, които са равни помежду си.

Доказателство.

Да разгледаме правилна $n-$ъгълна пирамида с връх $S$ с височина $h=SO$. Нека опишем кръг около основата (фиг. 4).

Фигура 4

Да разгледаме триъгълника $SOA$. По Питагоровата теорема получаваме

Очевидно всеки страничен ръб ще бъде дефиниран по този начин. Следователно всички странични ръбове са равни един на друг, тоест всички странични лица са равнобедрени триъгълници. Нека докажем, че те са равни помежду си. Тъй като основата е правилен многоъгълник, основите на всички странични лица са равни една на друга. Следователно всички странични лица са равни според III знак за равенство на триъгълниците.

Теоремата е доказана.

Нека сега въведем следното определение, свързано с концепцията за правилна пирамида.

Определение 3

Апотемата на правилната пирамида е височината на страничната й страна.

Очевидно според теорема 1 всички апотеми са равни.

Теорема 2

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида се определя като произведението на полупериметъра на основата и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страната на основата на $n-$въглищната пирамида с $a$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като според теорема 1 всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Друг вид пирамида е пресечената пирамида.

Определение 4

Ако през обикновена пирамида се прекара равнина, успоредна на нейната основа, то фигурата, образувана между тази равнина и равнината на основата, се нарича пресечена пирамида (фиг. 5).

Фигура 5. Пресечена пирамида

Страничните стени на пресечената пирамида са трапецовидни.

Теорема 3

Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида се определя като произведение на сумата от полупериметрите на основите и апотемата.

Доказателство.

Нека означим страните на основите на $n-$въглищната пирамида съответно с $a\ и\ b$, а апотемата с $d$. Следователно площта на страничната повърхност е равна на

Тъй като всички страни са равни, тогава

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете площта на страничната повърхност на пресечена триъгълна пирамида, ако тя е получена от правилна пирамида с основна страна 4 и апотема 5 чрез отрязване от равнина, минаваща през средната линия на страничните лица.

Решение.

Съгласно теоремата за средната линия получаваме, че горната основа на пресечената пирамида е равна на $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апотемата е равна на $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Тогава, съгласно теорема 3, получаваме

Пирамида. Пресечена пирамида

Пирамидасе нарича многостен, едно от лицата на което е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничното лице, която не принадлежи на основата Височина пирамида е разстоянието от нейния връх до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилна пирамида са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Сечение на пирамидата се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сумата от площите на всички странични лица. Пълна площ е сумата от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в една пирамида всички странични ръбове имат равни дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За изчисляване на обема на произволна пирамида е правилна формулата:

Където V- сила на звука;

S основен- базова площ;

зе височината на пирамидата.

За правилна пирамида са верни следните формули:

Където стр- периметъра на основата;

з а- апотема;

з- височина;

S пълен

S страна

S основен- базова площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданаречена част от пирамидата, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида наречена част от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно и също лице. диагонално сечение Сечение на пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на едно и също лице.

За пресечена пирамида са валидни формулите:

(4)

Където С 1 , С 2 - области на горната и долната основа;

S пълене общата площ на повърхността;

S странае площта на страничната повърхност;

з- височина;

Vе обемът на пресечената пирамида.

За правилна пресечена пирамида е вярна следната формула:

Където стр 1 , стр 2 - базови периметри;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В правилната триъгълна пирамида двустенният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклона на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че основата е равностранен триъгълник, а всички странични стени са равни равнобедрени триъгълници. Двустенният ъгъл при основата е ъгълът на наклона на страничната повърхност на пирамидата към равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата се проектира в центъра на триъгълника (центъра на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклона на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАИ ОВ. Нека дължината на сегмента BDе 3 А. точка ОТНОСНОлинейна отсечка BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на квадратите на основата, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечената пирамида:

Отговор: 112 cm3.

Пример 3Намерете площта на страничната страна на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Базите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го откъде А 1 дперпендикулярно от точка А 1 на равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от А 1 на AC. А 1 д\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). Точка ОТНОСНО- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж Фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според Питагоровата теорема от

Странична лицева зона:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи АИ b (а> b). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата й. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Да направим чертеж (фиг. 21). Обща повърхност на пирамидата SABCDе равна на сумата от площите и площта на трапеца ABCD.

Използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. Точка ОТНОСНО- проекция на върха Св основата на пирамидата. Триъгълник SODе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Според теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава По този начин проблемът беше намален до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). Точка ОТНОСНОе център на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжност може да бъде вписана в трапец, тогава или По питагоровата теорема имаме

Този видео урок ще помогне на потребителите да придобият представа за темата Pyramid. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида, ще й дадем определение. Помислете какво представлява правилната пирамида и какви свойства притежава. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.

В този урок ще се запознаем с понятието пирамида, ще й дадем определение.

Помислете за многоъгълник A 1 A 2...A n, която лежи в равнината α, и точка П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точката Пс върхове A 1, A 2, A 3, … A n. Вземете нтриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи така нататък.

Определение. Многостен RA 1 A 2 ... A n, съставена от н-гон A 1 A 2...A nИ нтриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , наречен н- въглищна пирамида. Ориз. 1.

Ориз. 1

Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).

Р- върха на пирамидата.

ABCD- основата на пирамидата.

RA- странично ребро.

AB- основен ръб.

От точка Рпуснете перпендикуляра RNна земната равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.

Ориз. 2

Общата повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, т.е. площта на всички странични лица и основната площ:

S пълен \u003d S страна + S основен

Пирамидата се нарича правилна, ако:

• основата му е правилен многоъгълник;
• сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.

Обяснение на примера на правилна четириъгълна пирамида

Да разгледаме правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).

Р- върха на пирамидата. основа на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. Точка ОТНОСНО, пресечната точка на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.

Ориз. 3

Обяснение: вдясно н-gon, центърът на вписаната окръжност и центърът на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че върхът се проектира в центъра.

Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха й, се нарича апотемаи означено з а.

1. всички странични ръбове на правилна пирамида са равни;

2. страничните лица са равни равнобедрени триъгълници.

Нека докажем тези свойства на примера на правилна четириъгълна пирамида.

дадени: RABCD- правилна четириъгълна пирамида,

ABCD- квадрат,

ROе височината на пирамидата.

Докажи:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Вижте фиг. 4.

Ориз. 4

Доказателство.

ROе височината на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярна на равнината ABC, а оттам и директен AO, VO, SOИ НАПРАВЕТЕлежи в него. Така че триъгълниците ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълен.

Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = BO = CO = НАПРАВЕТЕ.

След това правилните триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака AO, VO, SOИ НАПРАВЕТЕравни, така че тези триъгълници са равни по два катета. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = PC = PD.Точка 1 е доказана.

Сегменти ABИ слънцеса равни, защото са страни на един и същи квадрат, RA = RV = PC. Така че триъгълниците AVRИ видеорекордер -равнобедрен и равен от три страни.

По същия начин получаваме, че триъгълниците ABP, BCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, което беше необходимо да се докаже в параграф 2.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата:

За доказателство избираме правилна триъгълна пирамида.

дадени: RAVSе правилна триъгълна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- височина.

Докажи: . Вижте фиг. 5.

Ориз. 5

Доказателство.

RAVSе правилна триъгълна пирамида. Това е AB= AC = BC. Позволявам ОТНОСНО- центъра на триъгълника ABC, Тогава ROе височината на пирамидата. Основата на пирамидата е равностранен триъгълник. ABC. забележи това .

триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). Триъгълна пирамида има три странични лица: RAV, RVS, RSA. И така, площта на страничната повърхност на пирамидата е:

S страна = 3S RAB

Теоремата е доказана.

Радиусът на кръг, вписан в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 м, височината на пирамидата е 4 м. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.

дадени: правилна четириъгълна пирамида ABCD,

ABCD- квадрат,

r= 3 м,

RO- височината на пирамидата,

RO= 4 м.

намирам: S страна. Вижте фиг. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според доказаната теорема,.

Първо намерете страната на основата AB. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.

След това, m.

Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:

Помислете за триъгълник BCD. Позволявам М- средна страна DC. защото ОТНОСНО- средно BD, Че (м).

Триъгълник DPC- равнобедрен. М- средно DC. Това е, RM- медианата, а оттам и височината в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.

ROе височината на пирамидата. След това направо ROперпендикулярна на равнината ABC, а оттам и пряката ОМлежи в него. Да намерим апотема RMот правоъгълен триъгълник ROM.

Сега можем да намерим страничната повърхност на пирамидата:

Отговор: 60 м2.

Радиусът на окръжност, описана близо до основата на правилна триъгълна пирамида, е м. Площта на страничната повърхност е 18 м 2. Намерете дължината на апотемата.

дадени: ABCP- правилна триъгълна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 m 2.

намирам: . Вижте фиг. 7.

Ориз. 7

Решение.

В правоъгълен триъгълник ABCдаден радиус на описаната окръжност. Да намерим страна ABтози триъгълник с помощта на синусовата теорема.

Познавайки страната на правилен триъгълник (m), намираме неговия периметър.

Според теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. Тогава:

Отговор: 4 м.

И така, разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида, доказахме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.

Библиография

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то изд., Рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И. Ф. - М .: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.

1. Интернет портал "Yaklass" ()
2. Интернет портал "Фестивал на педагогическите идеи "Първи септември" ()
3. Интернет портал "Slideshare.net" ()

Домашна работа

1. Може ли правилен многоъгълник да бъде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете, че непресичащите се ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
3. Намерете стойността на двустенния ъгъл при страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемата на пирамидата е равна на страната на нейната основа.
4. RAVSе правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл в основата на пирамидата.

Учениците се натъкват на концепцията за пирамида много преди изучаването на геометрия. Обвинете известните големи египетски чудеса на света. Ето защо, започвайки изучаването на този прекрасен полиедър, повечето ученици вече ясно си го представят. Всички горепосочени забележителности са в правилна форма. Какво стана дясна пирамида, и какви свойства има и ще бъдат обсъдени допълнително.

Във връзка с

Определение

Има много определения за пирамида. От древни времена той е много популярен.

Например Евклид го определя като твърда фигура, състояща се от равнини, които, започвайки от една, се събират в определена точка.

Heron предостави по-точна формулировка. Той настоя, че това е фигура, която има основа и равнини под формата на триъгълници,събиращи се в една точка.

Въз основа на съвременната интерпретация пирамидата се представя като пространствен многостен, състоящ се от определен k-ъгълник и k плоски триъгълни фигури, имащи една обща точка.

Нека погледнем по-отблизо, От какви елементи се състои?

• k-gon се счита за основа на фигурата;
• Като страни на страничната част излизат 3-ъгълни фигури;
• горната част, от която произхождат страничните елементи, се нарича връх;
• всички сегменти, свързващи върха, се наричат ​​ръбове;
• ако права линия се спусне от върха до равнината на фигурата под ъгъл от 90 градуса, тогава нейната част, затворена във вътрешното пространство, е височината на пирамидата;
• във всеки страничен елемент отстрани на нашия полиедър можете да начертаете перпендикуляр, наречен апотема.

Броят на ръбовете се изчислява по формулата 2*k, където k е броят на страните на k-ъгълника. Колко лица има полиедър като пирамида може да се определи с израза k + 1.

важно!Пирамида с правилна форма е стереометрична фигура, чиято основна равнина е k-ъгълник с равни страни.

Основни свойства

Правилна пирамида има много свойствакоито са уникални за нея. Нека ги изброим:

1. Основата е фигура с правилна форма.
2. Ръбовете на пирамидата, ограничаващи страничните елементи, имат равни числени стойности.
3. Страничните елементи са равнобедрени триъгълници.
4. Основата на височината на фигурата попада в центъра на многоъгълника, като е едновременно централна точка на вписаното и описаното.
5. Всички странични ребра са наклонени към основната равнина под същия ъгъл.
6. Всички странични повърхности имат еднакъв ъгъл на наклон спрямо основата.

Благодарение на всички изброени свойства, изпълнението на изчисленията на елементите е значително опростено. Въз основа на горните свойства, обръщаме внимание на два знака:

1. В случай, че многоъгълникът се вписва в кръг, страничните стени ще имат равни ъгли с основата.
2. Когато се описва окръжност около многоъгълник, всички ръбове на пирамидата, излизащи от върха, ще имат еднаква дължина и равни ъгли с основата.

Квадратът се основава

Правилна четириъгълна пирамида - многостен, базиран на квадрат.

Има четири странични лица, които изглеждат равнобедрени.

На равнина е изобразен квадрат, но те се основават на всички свойства на правилния четириъгълник.

Например, ако е необходимо да се свърже страната на квадрат с неговия диагонал, тогава се използва следната формула: диагоналът е равен на произведението на страната на квадрата и квадратния корен от две.

Въз основа на правилен триъгълник

Правилната триъгълна пирамида е многостен, чиято основа е правилен 3-ъгълник.

Ако основата е правилен триъгълник, а страничните ръбове са равни на ръбовете на основата, тогава такава фигура наречен тетраедър.

Всички лица на тетраедър са равностранни 3-ъгълници. В този случай трябва да знаете някои точки и да не губите време за тях, когато изчислявате:

• ъгълът на наклона на ребрата спрямо всяка основа е 60 градуса;
• стойността на всички вътрешни лица също е 60 градуса;
• всяко лице може да действа като основа;
• начертани във фигурата са равни елементи.

Сечения на многостен

Във всеки полиедър има няколко вида секциисамолет. Често в училищен курс по геометрия те работят с двама:

• аксиален;
• паралелна основа.

Аксиално сечение се получава чрез пресичане на полиедър с равнина, която минава през върха, страничните ръбове и оста. В този случай оста е височината, изтеглена от върха. Режещата равнина е ограничена от линиите на пресичане с всички лица, в резултат на което получаваме триъгълник.

внимание!В правилната пирамида аксиалното сечение е равнобедрен триъгълник.

Ако режещата равнина е успоредна на основата, тогава резултатът е втората опция. В този случай имаме в контекста фигура, подобна на основата.

Например, ако основата е квадрат, тогава сечението, успоредно на основата, също ще бъде квадрат, само с по-малък размер.

При решаване на задачи при това условие се използват признаци и свойства на подобие на фигури, въз основа на теоремата на Талес. На първо място е необходимо да се определи коефициентът на сходство.

Ако равнината е начертана успоредно на основата и тя отрязва горната част на многостена, тогава в долната част се получава правилна пресечена пирамида. Тогава се казва, че основите на пресечения многостен са подобни многоъгълници. В този случай страничните лица са равнобедрени трапеци. Аксиалното сечение също е равнобедрено.

За да се определи височината на пресечен многостен, е необходимо да се начертае височината в аксиално сечение, тоест в трапец.

Повърхностни площи

Основните геометрични задачи, които трябва да се решават в училищния курс по геометрия са намиране на повърхността и обема на пирамида.

Има два типа повърхностна площ:

• площ на страничните елементи;
• цялата площ на повърхността.

От самото заглавие става ясно за какво става въпрос. Страничната повърхност включва само страничните елементи. От това следва, че за да го намерите, просто трябва да съберете площите на страничните равнини, тоест площите на равнобедрените 3-ъгълници. Нека се опитаме да изведем формулата за площта на страничните елементи:

1. Площта на равнобедрен 3-ъгълник е Str=1/2(aL), където a е страната на основата, L е апотемата.
2. Броят на страничните равнини зависи от вида на k-ъгълника в основата. Например правилната четириъгълна пирамида има четири странични равнини. Следователно е необходимо да се сумират площите на четирите фигури Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Изразът е опростен по този начин, защото стойността 4a=POS, където POS е основният периметър. И изразът 1/2 * Rosn е неговият полупериметър.
3. И така, заключаваме, че площта на страничните елементи на правилната пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотемата: Sside \u003d Rosn * L.

Площта на пълната повърхност на пирамидата се състои от сумата от площите на страничните равнини и основата: Sp.p. = Sside + Sbase.

Що се отнася до площта на основата, тук формулата се използва според вида на многоъгълника.

Обем на правилна пирамидае равно на произведението от площта на основната равнина и височината, разделена на три: V=1/3*Sbase*H, където H е височината на полиедъра.

Какво е правилна пирамида в геометрията

Свойства на правилна четириъгълна пирамида