Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен тричлен. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и разлагане на множители.

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корените на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратното уравнение са известни, тогава полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако изобразим графика на функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича абсцисната ос (ос) в две точки.
Когато , графиката докосва оста x в една точка.
Когато , графиката не пресича оста x.

По-долу са дадени примери за такива графики.

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
Където
; .

И така, получихме формулата за полинома от втора степен във формата:
.
От това се вижда, че уравнението

извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме разлагането на квадратния трином на множители:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича оста x (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

Отговор

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен се нарича кратно. Тоест те считат, че има два равни корена:
.

Отговор

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Решение

Записваме квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем първоначалното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намиране на дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма истински корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича абсцисата (оста). Следователно няма истински корени.

Отговор

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Квадратните уравнения често се появяват при решаването на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин "чрез дискриминанта". В статията са дадени и примери за използване на придобитите знания.

За какви уравнения говорим?

Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива, а латинските букви a, b, c представляват известни числа.

Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" е пред квадратната променлива x. Това е максималната степен на представения израз, поради което се нарича квадратно уравнение. Често се използва друго име: уравнение от втори ред. Самата стойност a е квадратен коефициент (възвеждане на квадрат на променливата), b е линеен коефициент (той е до променливата, повдигната на първа степен) и накрая числото c е свободен член.

Обърнете внимание, че формата на уравнението, показано на фигурата по-горе, е общ класически квадратичен израз. В допълнение към него има други уравнения от втори ред, в които коефициентите b, c могат да бъдат нула.

Когато задачата е поставена за решаване на разглежданото равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които да го задоволят. Първото нещо, което трябва да запомните тук, е следното: тъй като максималната степен на x е 2, този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнението са намерени 2 x стойности, които го удовлетворяват, тогава можете да сте сигурни, че няма 3-то число, замествайки което вместо x, равенството също би било вярно. Решенията на дадено уравнение в математиката се наричат ​​неговите корени.

Методи за решаване на уравнения от втори ред

Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на някаква теория за тях. В училищния курс по алгебра се разглеждат 4 различни метода за решаване. Нека ги изброим:

• използване на факторизация;
• използване на формулата за идеалния квадрат;
• прилагане на графиката на съответната квадратична функция;
• използвайки дискриминантното уравнение.

Предимството на първия метод е неговата простота, но не може да се приложи към всички уравнения. Вторият метод е универсален, но донякъде тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Затова в статията ще разгледаме само него.

Формула за получаване на корените на уравнението

Нека се обърнем към общата форма на квадратното уравнение. Нека го запишем: a*x²+ b*x + c =0. Преди да се използва методът за решаването му "чрез дискриминанта", равенството винаги трябва да бъде сведено до писмена форма. Тоест, трябва да се състои от три члена (или по-малко, ако b или c е 0).

Например, ако има израз: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², тогава първо трябва да прехвърлите всички негови членове от едната страна на равенството и да добавите членовете, съдържащи променливата x в същото правомощия.

В този случай тази операция ще доведе до следния израз: -6*x²-4*x+8=0, което е еквивалентно на уравнението 6*x²+4*x-8=0 (тук сме умножили левия и десните страни на уравнението с -1) .

В горния пример a = 6, b=4, c=-8. Имайте предвид, че всички членове на разглежданото равенство винаги се сумират помежду си, следователно, ако се появи знакът "-", това означава, че съответният коефициент е отрицателен, като числото c в този случай.

След като анализирахме тази точка, сега се обръщаме към самата формула, която дава възможност да се получат корените на квадратно уравнение. Изглежда като снимката по-долу.

Както може да се види от този израз, той ви позволява да получите два корена (трябва да обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да замените коефициентите b, c и a в него.

Концепцията за дискриминант

В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да решите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, т.е. D \u003d b²-4 * a * c.

Защо тази част от формулата е отделена и има ли изобщо собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва всичките три коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той изцяло носи информация за корените, която може да бъде изразена със следния списък:

1. D>0: равенството има 2 различни решения, като и двете са реални числа.
2. д<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие "мнимая единица".
3. D=0: Уравнението има само един корен и то е реално число.

Задача за определяне на дискриминанта

Ето един прост пример за това как да намерите дискриминанта. Нека е дадено следното равенство: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Нека го приведем в стандартната форма, получаваме: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, от което стигаме до равенството : -2*x² +2*x-11 = 0. Тук a=-2, b=2, c=-11.

Сега можете да използвате посочената формула за дискриминанта: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като дискриминантът в примера е по-малък от нула, можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Неговото решение ще бъде само числа от сложен тип.

Пример за неравенство чрез дискриминанта

Нека решим задачи от малко по-различен тип: дадено е равенството -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо е да се намерят такива стойности на c, за които D>0.

В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че няма да е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но се знае, че той е положителен. Използваме последния факт, когато съставяме неравенството: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решението на полученото неравенство води до резултата: c>-3.

Нека проверим полученото число. За да направим това, изчисляваме D за 2 случая: c=-2 и c=-4. Числото -2 удовлетворява резултата (-2>-3), съответният дискриминант ще има стойност: D = 12>0. От своя страна числото -4 не удовлетворява неравенството (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.

Следователно всички числа c, които са по-големи от -3, ще удовлетворят условието.

Пример за решаване на уравнение

Ето една задача, която се състои не само в намирането на дискриминанта, но и в решаването на уравнението. Необходимо е да се намерят корените на равенството -2*x²+7-9*x = 0.

В този пример дискриминантът е равен на следната стойност: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогава корените на уравнението се определят, както следва: x = (9±√137)/(- 4). Това са точните стойности на корените, ако изчислите приблизително корена, тогава получавате числата: x \u003d -5,176 и x \u003d 0,676.

геометрична задача

Нека решим задача, която ще изисква не само умение за изчисляване на дискриминанта, но и използване на умения за абстрактно мислене и знания за това как да пишат квадратни уравнения.

Боб имаше завивка с размери 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красив плат по целия периметър. Колко дебела ще бъде тази лента, ако се знае, че Боб има 10 m² плат.

Нека лентата има дебелина x m, тогава площта на тъканта по дългата страна на одеялото ще бъде (5 + 2 * x) * x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2 * x * (5 + 2 * x). От късата страна площта на зашитата тъкан ще бъде 4*x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойност 8*x. Имайте предвид, че 2*x е добавено към дългата страна, тъй като дължината на юргана се е увеличила с това число. Общата площ на тъканта, пришита към одеялото, е 10 m². Следователно получаваме равенството: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

За този пример дискриминантът е: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Коренът му е 22. Използвайки формулата, намираме желаните корени: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо за условието на задачата.

Така лентата от плат, която Боб пришива към одеялото си, ще бъде широка 50 см.

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Не само, че самите квадратни уравнения имат дълги записи, но и корените се намират чрез дискриминанта. Има общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след честото решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ вид на квадратното уравнение

Тук се предлага изричното им записване, когато първо се записва най-голямата степен, а след това - в низходящ ред. Често има ситуации, когато термините се разминават. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем нотация. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следното обозначение.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула бъде означена с номер едно.

Когато уравнението е дадено, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможен един от трите варианта:

• решението ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• Уравнението изобщо няма корени.

И докато решението не е доведено докрай, е трудно да се разбере коя от опциите ще падне в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

Задачите може да имат различни записи. Те не винаги ще изглеждат като общата формула на квадратно уравнение. Понякога ще липсват някои термини. Написаното по-горе е пълното уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​също квадратни уравнения, само непълни.

Освен това могат да изчезнат само членовете, за които коефициентите "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида, в допълнение към пълните, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората номер три.

Дискриминантът и зависимостта на броя на корените от неговата стойност

Това число трябва да се знае, за да се изчислят корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има номер четири.

След като замените стойностите на коефициентите в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. При отрицателно число корените на квадратното уравнение ще отсъстват. Ако е равно на нула, отговорът ще бъде единица.

Как се решава пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминанта. След като се изясни, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формулите за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите такава формула.

Тъй като съдържа знака „±“, ще има две стойности. Изразът под знака за квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула пет. От същия запис може да се види, че ако дискриминантът е нула, тогава и двата корена ще приемат еднакви стойности.

Ако решението на квадратните уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да създаде трудности. Но в самото начало има объркване.

Как се решава непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И няма да имате нужда от тези, които вече са написани за дискриминанта и неизвестното.

Първо, разгледайте непълното уравнение номер две. В това равенство се предполага, че неизвестната стойност се изважда от скобите и се решава линейното уравнение, което ще остане в скобите. Отговорът ще има два корена. Първата е задължително равна на нула, защото има фактор, състоящ се от самата променлива. Второто се получава чрез решаване на линейно уравнение.

Непълното уравнение под номер три се решава чрез прехвърляне на числото от лявата страна на уравнението в дясната. След това трябва да разделите на коефициента пред неизвестното. Остава само да извлечете квадратния корен и не забравяйте да го запишете два пъти с противоположни знаци.

Следват някои действия, които ви помагат да научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци са причина за слабите оценки при изучаване на обширната тема „Квадрични уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще има стабилен навик.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартна форма. Тоест първо членът с най-голямата степен на променливата, а след това - без степента и последният - само число.

• Ако преди коефициента "а" се появи минус, тогава това може да усложни работата за начинаещ да изучава квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За целта всички равенства трябва да се умножат по "-1". Това означава, че всички термини ще сменят знака на противоположния.

• По същия начин се препоръчва да се отървете от дроби. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, така че знаменателите да се съкратят.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 - 7x \u003d 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула номер две.

След поставяне в скоби се оказва: x (x - 7) \u003d 0.

Първият корен приема стойността: x 1 \u003d 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 \u003d 0. Лесно е да се види, че x 2 \u003d 7.

Второ уравнение: 5x2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя се решава, както е описано за третата формула.

След като прехвърлите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числа: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Трето уравнение: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Тук и по-долу решението на квадратните уравнения ще започне с пренаписването им в стандартна форма: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Сега е време да използвате второто полезен съвет и умножете всичко по минус едно. Оказва се, че x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Според четвъртата формула трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да се изчислят по петата формула. Според него се оказва, че x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 \u003d 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x \u003d 0 се преобразува в това: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: "Няма корени."

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шестото уравнение (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, преди да отворите скобите. На мястото на първия ще има такъв израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще приеме формата: x 2 - x \u003d 0. Станал е непълен. Подобно на него вече беше разгледано малко по-високо. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

Първо ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина "квадратно уравнение" ключовата дума е "квадратно уравнение". Това означава, че уравнението трябва задължително да съдържа променлива (същия X) в квадрата и в същото време не трябва да има Xs в трета (или по-висока) степен.

Решаването на много уравнения се свежда до решаването на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че имаме квадратно уравнение, а не някое друго.

Пример 1

Отървете се от знаменателя и умножете всеки член на уравнението по

Нека преместим всичко в лявата страна и подредим членовете в низходящ ред на степени на x

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадрат!

Пример 3

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвъртата и втората степен ... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4

Изглежда, че е, но нека погледнем по-отблизо. Нека преместим всичко отляво:

Виждате ли, тя се е свила - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите сами кои от следните уравнения са квадратни и кои не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не е квадратна;
4. не е квадратна;
5. не е квадратна;
6. квадрат;
7. не е квадратна;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните видове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). Освен това сред пълните квадратни уравнения има даденоса уравнения, в които коефициентът (уравнението от пример едно е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото в тях липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат !!! В противен случай това вече няма да е квадратно, а някакво друго уравнение.

Защо са измислили такова разделение? Изглежда, че има Х на квадрат и добре. Такова разделение се дължи на методите на решение. Нека разгледаме всеки от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Непълните квадратни уравнения са от видове:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. i. Тъй като знаем как да извадим корен квадратен, нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде както отрицателен, така и положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Тези формули не трябва да се запомнят. Основното е, че винаги трябва да знаете и да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава да извлечете корена от лявата и дясната част. Все пак помните ли как се извличат корените?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

о! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, в които няма корени, математиците излязоха със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

По този начин това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извлекли корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител извън скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се справим без примери.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение от вида уравнение където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратни уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен.Специално внимание трябва да се обърне на стъпката. Дискриминантът () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартна форма, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартна форма, така че Етап 1пропуснете.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да записваме правилно такива отговори.

Отговор:без корени

2. Решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат ​​намалени (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Vieta:

Сумата от корените даденоквадратно уравнение е равно и произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Vieta, тъй като .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

А продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

• И. Сумата е;
• И. Сумата е;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Уравнението е намалено, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високото или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, А - безплатен член.

Защо? Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В това уравнение на изпражненията се нарича непълно. Ако всички членове са налице, това означава, че уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Число на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не трябва да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните, е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител извън скобите:

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решете уравнението.

Решение:

Разлагаме лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта във формулата за корен? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корен:
• Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени? Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В частен случай, който е квадратно уравнение, . И това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с оста x (ос). Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

В допълнение, коефициентът е отговорен за посоката на клоновете на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Vieta е много лесно: просто трябва да изберете двойка числа, чийто продукт е равен на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с обратен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека да разгледаме няколко примера:

Пример #1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Vieta, тъй като . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

А продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен, и проверим дали сборът им е равен:

• И. Сумата е;
• И. Сумата е;
• И. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Така и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали сумата им е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка продукта.

Отговор:

Пример #3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Така че сумата от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и чиято разлика е равна на:

и: разликата им е - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящи. Остава само да запомните, че един от корените е отрицателен. Тъй като сборът им трябва да е равен, то коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да е отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример #4:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението е намалено, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чийто продукт е равен, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример #5:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението е намалено, което означава:

Сборът на корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чийто продукт е равен на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измисляте корени устно, вместо да броите този неприятен дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените. За да ви бъде изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизм. И за това решете още пет примера. Но не изневерявайте: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме селекцията с продукта:

Не е подходящ, защото количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново любимата ни теорема на Виета: сборът трябва да се получи, но произведението е равно.

Но тъй като трябва да бъде не, но, променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е всички условия да се прехвърлят в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да въведете уравнението. Ако не можете да го изведете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта). Позволете ми да ви напомня, че да приведете квадратно уравнение означава да направите водещия коефициент равен на:

Страхотен. Тогава сумата на корените е равна и произведението.

Тук е по-лесно да вземете: все пак - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Свободният член е отрицателен. Какво му е толкова специалното? И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но произведението.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус. Теоремата на Виета ни казва, че сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и, тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Сборът им трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека да обобщя:

1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, са представени като членове от формулите за съкратено умножение - квадрат на сбора или разликата - тогава след промяната на променливите уравнението може да бъде представено като непълно квадратно уравнение от типа.

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо ли не ви напомня? Това е дискриминанта! Точно така се получи дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от формата, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението има формата: ,
• ако е свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението има формата: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от формата, където, :

1) Нека извадим общия множител извън скобите: ,

2) Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от формата, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида where

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Нека приведем уравнението към стандартната форма: ,

2) Изчислете дискриминанта по формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равна, а произведението на корените е равно, т.е. , А.

2.3. Пълно квадратно решение

Ако квадратно уравнение от формата има корени, тогава то може да бъде написано във формата: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е ... просто е супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешното полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка ... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта - трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция навсякъде, където пожелаете задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да получите ръка с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на урока - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да решавам“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и решете!

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

1. Нямат корени;
2. Те имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е равен на нула - коренът ще бъде единица.

Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не са толкова много.

Корените на квадратно уравнение

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основната формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.

Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само когато (−c / a ) ≥ 0. Заключение:

1. Ако непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:

Изваждане на общия множител от скобата

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т. к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.