Онлайн калкулатор с най-малко често срещано множество колони. Най-малко общо кратно (LCM) – Дефиниция, примери и свойства

Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.

Теорема.

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Доказателство.

Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a·k се дели на b.

Нека обозначим gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат относително прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a · k се дели на b, може да бъде преформулирано, както следва: a 1 · d · k се дели на b 1 · d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието че a 1 · k се дели на b 1 .

Трябва също така да запишете две важни следствия от разглежданата теорема.

Общите кратни на две числа са същите като кратните на тяхното най-малко общо кратно.

Това наистина е така, тъй като всяко общо кратно на M на числата a и b се определя от равенството M=LMK(a, b)·t за някакво цяло число t.

Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са относително прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, НОД(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общите кратни на числата m k-1 и a k , следователно съвпадат с общите кратни на числото m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1, a 2, ..., a k е m k.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др.Математика. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Учебник за студенти по физика и математика. специалности на педагогически институти.

Второ число: b=

Разделител за хилядниБез разделител за интервал „´

Резултат:

Най-голям общ делител gcd( а,b)=6

Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468

Нарича се най-голямото естествено число, което може да се дели без остатък на числата a и b най-голям общ делител(GCD) от тези числа. Означава се с gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Най-малко общо кратноНОК на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).

Целите числа a и b се наричат взаимно прости, ако нямат общи делители, различни от +1 и −1.

Най-голям общ делител

Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общият делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще се разбира като цяло число.

Позволявам а 1 ≥ а 2 и нека

Където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).

Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2 тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Тест за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общият делител а 2 и а 3. Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3 тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също се дели на λ . Следователно общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1, тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общия делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-простата задача за намиране на общия делител на числата а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3. Тогава

,

Където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 съвпада с общи делители на числа а 2 и а 3, а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... са числа, които непрекъснато намаляват и тъй като между тях има краен брой цели числа а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2 =0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител на числата а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (запомнете това а n+2 =0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n+1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се извиква най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 може да бъде положително или отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа е недефиниран.

Горният алгоритъм се извиква Евклидов алгоритъмда се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа

Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

В стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 са делители и на числата 630 и 434.

Взаимопрости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимнопрости числа, без общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 взаимно прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ И а 2 .

Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числата а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е а n+1 =1.

Нека умножим всички тези равенства по λ , Тогава

.

Нека общият делител а 1 λ И а 2 да δ . Тогава δ се включва като множител в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ се включва като множител в а 2 λ И м 2 а 3 λ , и следователно е фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Разсъждавайки по този начин, ние сме убедени, че δ се включва като множител в а n−1 λ И м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ се включва като множител в λ . Следователно броят δ е общият делител на числата λ И а 2 .

Нека разгледаме специални случаи на теорема 1.

Последица 1. Позволявам аИ ° СПростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.

Наистина ли. От теорема 1 акИ bимат същите общи делители като ° СИ b. Но числата ° СИ bотносително проста, т.е. имат един общ делител 1. Тогава акИ bсъщо имат един общ делител 1. Следователно акИ bвзаимно прости.

Последица 2. Позволявам аИ bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.

Наистина ли. От условието за одобрение акИ bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bИ к. Следователно bразделя к.

Следствие 1 може да се обобщи.

Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, произведението на тези числа е просто спрямо числото b.

2. Нека имаме два реда числа

така че всяко число от първата серия е просто в отношението на всяко число от втората серия. След това продуктът

Трябва да намерите числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако едно число се дели на а 1, то има формата са 1 където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

Където с 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко общи кратни на числа а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:

Трябва да намерим най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε И а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε И а 3 да ε 1 . След това кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и а 4 . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 да ε 2. Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на определено число ε n, което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В специалния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Следваща, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2 тогава а 3 просто число а 1 · а 2 (следствие 1). Означава най-малкото общо кратно на числа а 1 ,а 2 ,а 3 е число а 1 · а 2 · а 3. Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Темата „Множество числа” се изучава в 5. клас на средното училище. Целта му е да подобри уменията за писмено и устно математическо пресмятане. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, практикува се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число и способността да се намира LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанието за него може да се приложи при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Самият той се счита за най-малкия. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Трябва да докажете, че числото 125 е кратно на 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

Има специални случаи при изчисляване на LOC.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM(6, 7) = 42.

Нека разгледаме последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно на число без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки фактори. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

Друг пример включва определяне дали 9 е делител на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-голям общ делител на числа аИ b, умножено по тяхното най-малко кратно, ще даде произведението на самите числа аИ b.

А именно: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Общи кратни за по-сложни числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители и ги записваме като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Как да намерим най-малкото общо кратно?

Трябва да намерим всеки множител на всяко от двете числа, за които намираме най-малкото общо кратно, и след това да умножим един по друг множителите, които съвпадат в първото и второто число. Резултатът от продукта ще бъде необходимото кратно.

Например, имаме числата 3 и 5 и трябва да намерим LCM (най-малкото общо кратно). Нас трябва да се размножавати три и пет за всички числа, започващи от 1 2 3 ...и така нататък, докато видим същото число и на двете места.

Умножете три и получете: 3, 6, 9, 12, 15

Умножете по пет и получете: 5, 10, 15

Методът на разлагане на прости множители е най-класическият метод за намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа. Този метод е ясно и просто демонстриран в следния видеоклип:

Събирането, умножението, деленето, привеждането до общ знаменател и други аритметични операции са много вълнуващо занимание, особено увлекателни са примерите, които заемат цял ​​лист хартия.

Така че намерете общото кратно на две числа, което ще бъде най-малкото число, на което се делят двете числа. Бих искал да отбележа, че не е необходимо да прибягвате до формули в бъдеще, за да намерите това, което търсите, ако можете да броите в главата си (и това може да се тренира), тогава самите числа изскачат в главата ви и тогава фракциите се чупят като ядки.

Като начало нека научим, че можете да умножите две числа едно по друго и след това да намалите тази цифра и да разделите последователно на тези две числа, така че ще намерим най-малкото кратно.

Например две числа 15 и 6. Умножете и вземете 90. Това очевидно е по-голямо число. Освен това 15 се дели на 3 и 6 се дели на 3, което означава, че също делим 90 на 3. Получаваме 30. Опитваме се 30 да раздели 15 е равно на 2. И 30 да раздели 6 е равно на 5. Тъй като 2 е границата, се превръща че най-малкото кратно на числата е 15 и 6 ще бъде 30.

С по-големи числа ще е малко по-трудно. но ако знаете кои числа дават нулев остатък при деление или умножение, тогава по принцип няма големи трудности.

• Как да намерите NOC

  Ето видео, което ще ви даде два начина да намерите най-малкото общо кратно (LCM). След като се упражнявате да използвате първия от предложените методи, можете по-добре да разберете кое е най-малкото общо кратно.

Представям друг начин за намиране на най-малкото общо кратно. Нека го разгледаме с ясен пример.

Трябва да намерите LCM на три числа наведнъж: 16, 20 и 28.

• Представяме всяко число като произведение на неговите прости множители:
• Записваме степените на всички прости множители:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Избираме всички прости делители (множители) с най-големи мощности, умножаваме ги и намираме LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Така резултатът от изчислението беше числото 560. То е най-малкото общо кратно, тоест се дели на всяко от трите числа без остатък.

Най-малкото общо кратно е число, което може да се раздели на няколко дадени числа, без да остава остатък. За да изчислите такава цифра, трябва да вземете всяко число и да го разложите на прости фактори. Тези числа, които съвпадат, се премахват. Оставя всеки един по един, умножава ги помежду си на свой ред и получава желаното - най-малкото общо кратно.

NOC, или най-малко общо кратно, е най-малкото естествено число от две или повече числа, което се дели на всяко от дадените числа без остатък.

Ето пример как да намерите най-малкото общо кратно на 30 и 42.

• Първата стъпка е да разложим тези числа на прости множители.

За 30 е 2 х 3 х 5.

За 42 това е 2 х 3 х 7. Тъй като 2 и 3 са в разширението на числото 30, ние ги задраскваме.

• Записваме коефициентите, които са включени в разширяването на числото 30. Това е 2 x 3 x 5.
• Сега трябва да ги умножим по липсващия коефициент, който имаме, когато разширяваме 42, което е 7. Получаваме 2 x 3 x 5 x 7.
• Намираме на какво е равно 2 x 3 x 5 x 7 и получаваме 210.

В резултат откриваме, че LCM на числата 30 и 42 е 210.

За намиране на най-малкото общо кратно, трябва да изпълните няколко прости стъпки последователно. Нека да разгледаме това като използваме две числа като пример: 8 и 12

1. Разлагаме двете числа на прости множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Намаляваме същите множители на едно от числата. В нашия случай 2 * 2 съвпадат, нека ги намалим за числото 12, тогава за 12 ще остане един фактор: 3.
3. Намерете произведението на всички останали множители: 2*2*2*3=24

Проверявайки, се уверяваме, че 24 се дели и на 8, и на 12 и това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от тези числа. Тук сме намери най-малкото общо кратно.

Ще се опитам да обясня като използвам като пример числата 6 и 8. Най-малкото общо кратно е число, което може да бъде разделено на тези числа (в нашия случай 6 и 8) и няма да има остатък.

И така, първо започваме да умножаваме 6 по 1, 2, 3 и т.н. и 8 по 1, 2, 3 и т.н.

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), като ще обърнем специално внимание на решаването на примери. Първо, ще покажем как LCM на две числа се изчислява с помощта на GCD на тези числа. След това ще разгледаме намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ни позволява да изчислим най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известен най-голям общ делител. Съответната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Нека да разгледаме примери за намиране на LCM с помощта на дадената формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на две числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа, използвайки написаната формула.

Нека намерим НОД(126, 70) с помощта на евклидовия алгоритъм: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следователно НОД(126, 70)=14.

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: НОД(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630.

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

На какво е равно LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели на 34, тогава НОД(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: НОД(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68.

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако съставите произведение от всички прости множители на дадени числа и след това изключите от това произведение всички общи прости множители, присъстващи в разлаганията на дадените числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на дадените числа .

Посоченото правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширяването на числата a и b. На свой ред НОД(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, присъстващи едновременно в разложенията на числата a и b (както е описано в раздела за намиране на НОД с помощта на разлагането на числата на прости множители).

Да дадем пример. Уведомете ни, че 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Нека съставим произведението от всички множители на тези разширения: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега от този продукт изключваме всички фактори, присъстващи както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (тези фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2·3·5·5·7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Пример.

Разложете числата 441 и 700 на прости множители и намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

Сега нека създадем продукт от всички фактори, включени в разширяването на тези числа: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. По този начин, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Отговор:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако липсващите множители от разгръщането на число b се добавят към множителите от разгръщането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем същите числа 75 и 210, техните разложения на прости множители са както следва: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2·3·5·5·7, чиято стойност е равно на LCM(75, 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разгръщането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разгръщането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4,536.

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Нека си припомним съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Нека разгледаме приложението на тази теорема, използвайки примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четири числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). За да направим това, използвайки алгоритъма на Евклид, определяме НОД(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следователно, НОД(140, 9)=1 , от където НОД(140, 9)=140 9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоест m 2 =1 260.

Сега намираме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Нека го изчислим чрез НОД(1 260, 54), който също определяме с помощта на Евклидовия алгоритъм: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогава gcd(1,260, 54)=18, от което gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоест m 3 =3 780.

Остава само да се намери m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3,780, 250) с помощта на Евклидовия алгоритъм: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следователно GCM(3780, 250)=10, откъдето GCM(3780, 250)= 3 780 250: НОД(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Тоест, m 4 =94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи е удобно да се намери най-малкото общо кратно на три или повече числа, като се използват прости фактори на дадените числа. В този случай трябва да се придържате към следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Нека разгледаме пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на петте числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11·13.

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2, 2, 3 и 7), трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6. Разлагането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разлагането на първото число 84. След това към факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма да е необходимо да добавяте множители към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разгръщането на числото 143. Получаваме произведението 2·2·2·2·3·7·11·13, което е равно на 48 048.