Максималната дължина на интервала, на който функцията намалява. Възходяща и намаляваща функция

Увеличаването и намаляването на интервалите предоставят много важна информация за поведението на дадена функция. Намирането им е част от процеса на изследване и чертане на функцията. В допълнение, екстремните точки, в които има промяна от увеличение към намаляване или от намаляване към увеличение, се обръщат специално внимание при намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на определен интервал.

В тази статия ще дадем необходимите дефиниции, ще формулираме достатъчен тест за нарастване и намаляване на функция на интервал и достатъчни условия за съществуване на екстремум и ще приложим цялата тази теория за решаване на примери и задачи.

Навигация в страницата.

Нарастваща и намаляваща функция на интервал.

Дефиниция на нарастваща функция.

Функцията y=f(x) нараства на интервала X, ако за всяко и неравенството е изпълнено. С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща дефиниция на функция.

Функцията y=f(x) намалява на интервала X, ако за всяко и неравенството . С други думи, по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

ЗАБЕЛЕЖКА: ако функцията е дефинирана и непрекъсната в краищата на интервала на нарастване или намаляване (a;b), т.е. при x=a и x=b, тогава тези точки са включени в интервала на нарастване или намаляване. Това не противоречи на определенията за нарастваща и намаляваща функция на интервала X .

Например от свойствата на основните елементарни функции знаем, че y=sinx е дефинирано и непрекъснато за всички реални стойности на аргумента. Следователно, от нарастването на функцията синус на интервала, можем да твърдим увеличението на интервала.

Точки на екстремум, екстремуми на функции.

Точката се нарича максимална точкафункция y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x от неговия околност. Извиква се стойността на функцията в максималната точка максимална функцияи обозначават .

Точката се нарича минимална точкафункция y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x от неговия околност. Извиква се стойността на функцията в минималната точка функционален минимуми обозначават .

Околността на точка се разбира като интервал , където е достатъчно малко положително число.

Извикват се минималните и максималните точки екстремни точки, и се извикват стойностите на функцията, съответстващи на екстремалните точки екстремуми на функцията.

Не бъркайте екстремумите на функцията с максималните и минималните стойности на функцията.

На първата фигура максималната стойност на функцията върху отсечката се достига в точката на максимума и е равна на максимума на функцията, а на втората фигура максималната стойност на функцията се достига в точката x=b, която не е точка на максимум.

Достатъчни условия за нарастващи и намаляващи функции.

Въз основа на достатъчни условия (признаци) за нарастване и намаляване на функцията се намират интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Ето формулировките на знаците за нарастващи и намаляващи функции на интервала:

• ако производната на функцията y=f(x) е положителна за всяко x от интервала X , тогава функцията нараства с X ;
• ако производната на функцията y=f(x) е отрицателна за всяко x от интервала X, тогава функцията е намаляваща върху X.

По този начин, за да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо:

Помислете за пример за намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции, за да изясните алгоритъма.

Пример.

Намерете интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Решение.

Първата стъпка е да намерите обхвата на функцията. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да изчезва, следователно, .

Нека да преминем към намиране на производната на функцията:

За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функция по достатъчен критерий, решаваме неравенствата и в областта на дефиниция. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият истински корен на числителя е x = 2, а знаменателят изчезва при x=0. Тези точки разделят дефиниционната област на интервали, в които производната на функцията запазва своя знак. Нека отбележим тези точки на числовата ос. С плюсове и минуси условно означаваме интервалите, на които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу схематично показват нарастването или намаляването на функцията на съответния интервал.

По този начин, И .

В точката x=2 функцията е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към възходящия, така и към низходящия интервал. В точката x=0 функцията не е дефинирана, така че тази точка не е включена в необходимите интервали.

Представяме графиката на функцията, за да сравним получените резултати с нея.

Отговор:

Функцията се увеличава при , намалява на интервала (0;2] .

Достатъчни условия за екстремум на функция.

За да намерите максимума и минимума на функция, можете да използвате всеки от трите знака за екстремум, разбира се, ако функцията отговаря на техните условия. Най-често срещаният и удобен е първият от тях.

Първото достатъчно условие за екстремум.

Нека функцията y=f(x) е диференцируема в -околост на точката и е непрекъсната в самата точка.

С други думи:

Алгоритъм за намиране на точки на екстремум по първия знак на екстремума на функция.

• Намиране на обхвата на функцията.
• Намираме производната на функцията в областта на дефиниция.
• Определяме нулите на числителя, нулите на знаменателя на производната и точките от областта, където производната не съществува (всички изброени точки се наричат точки на възможен екстремум, преминавайки през тези точки, производната просто може да промени знака си).
• Тези точки разделят областта на функцията на интервали, в които производната запазва своя знак. Определяме знаците на производната на всеки от интервалите (например, като изчисляваме стойността на производната на функцията във всяка точка на един интервал).
• Избираме точки, в които функцията е непрекъсната и преминавайки през които производната променя знака – те са точките на екстремума.

Твърде много думи, нека разгледаме няколко примера за намиране на точки на екстремум и екстремуми на функция, използвайки първото достатъчно условие за екстремума на функция.

Пример.

Намерете екстремума на функцията.

Решение.

Обхватът на функцията е целият набор от реални числа, с изключение на x=2.

Намираме производната:

Нулите на числителя са точките x=-1 и x=5 , знаменателят отива на нула при x=2 . Маркирайте тези точки на числовата ос

Определяме знаците на производната на всеки интервал, за това изчисляваме стойността на производната във всяка от точките на всеки интервал, например в точките x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следователно производната е положителна на интервала (на фигурата поставяме знак плюс над този интервал). по същия начин

Следователно поставяме минус над втория интервал, минус над третия и плюс над четвъртия.

Остава да изберем точките, в които функцията е непрекъсната и нейната производна променя знака. Това са точките на екстремума.

В точката x=-1 функцията е непрекъсната и производната променя знака от плюс на минус, следователно, според първия знак на екстремума, x=-1 е максималната точка, тя съответства на максимума на функцията .

В точката x=5 функцията е непрекъсната и производната променя знака от минус на плюс, следователно x=-1 е минималната точка, тя съответства на минимума на функцията .

Графична илюстрация.

Отговор:

МОЛЯ, ОБЪРНЕТЕ ВНИМАНИЕ: първият достатъчен признак на екстремум не изисква функцията да бъде диференцируема в самата точка.

Пример.

Намерете екстремуми и екстремуми на функция .

Решение.

Домейнът на функцията е цялото множество от реални числа. Самата функция може да бъде написана като:

Нека намерим производната на функцията:

В точката x=0 производната не съществува, тъй като стойностите на едностранните граници не съвпадат, когато аргументът клони към нула:

В същото време оригиналната функция е непрекъсната в точката x=0 (вижте раздела за изследване на функция за непрекъснатост):

Намерете стойностите на аргумента, при които производната изчезва:

Отбелязваме всички получени точки на реалната права и определяме знака на производната на всеки от интервалите. За да направим това, ние изчисляваме стойностите на производната в произволни точки на всеки интервал, например, когато x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Това е,

Така според първия признак на екстремума минималните точки са , максималните точки са .

Изчисляваме съответните минимуми на функцията

Изчисляваме съответните максимуми на функцията

Графична илюстрация.

Отговор:

.

Вторият знак на екстремума на функцията.

Както можете да видите, този знак на екстремума на функцията изисква наличието на производна поне до втори ред в точката .

1. Намерете домейна на функцията

2. Намерете производната на функцията

3. Приравнете производната на нула и намерете критичните точки на функцията

4. Маркирайте критични точки в областта на дефиницията

5. Изчислете знака на производната във всеки от получените интервали

6. Намерете поведението на функцията във всеки интервал.

Пример: Намерете интервалите на нарастване и намаляване на функцияf(х) = и броя на нулите на тази функция на интервала .

Решение:

1.D( f) = R

2. f"(х) =

Д( f") = D( f) = R

3. Намерете критичните точки на функцията чрез решаване на уравнението f"(х) = 0.

х(х – 10) = 0

критични точки на функцията х= 0 и х = 10.

4. Да определим знака на производната.

f"(х) + – +

f(х) 0 10х

в интервалите (-∞; 0) и (10; +∞) производната на функцията е положителна и в точките х= 0 и x = 10 функция f(х) е непрекъсната, следователно тази функция нараства на интервалите: (-∞; 0]; .

Нека определим знака на стойностите на функцията в краищата на сегмента.

f(0) = 3, f(0) > 0

f(10) = , f(10) < 0.

Тъй като функцията намалява на сегмента и знакът на стойностите на функцията се променя, тогава има една нула на функцията на този сегмент.

Отговор: функцията f(x) нараства на интервалите: (-∞; 0]; ;

на интервала функцията има една нула от функцията.

2. Точки на екстремум на функцията: точки максимум и точки минимум. Необходими и достатъчни условия за съществуване на екстремум на функция. Правилото за изследване на функция за екстремум .

Определение 1:Точките, в които производната е равна на нула, се наричат ​​критични или стационарни.

Определение 2. Точка се нарича минимална (максимална) точка на функцията, ако стойността на функцията в тази точка е по-малка (по-голяма) от най-близките стойности на функцията.

Трябва да се има предвид, че максимумът и минимумът в този случай са локални.

На фиг. 1. изобразява локални максимуми и минимуми.

Максимумът и минимумът на функцията се обединяват от общо име: екстремум на функция.

Теорема 1.(необходим критерий за съществуване на екстремум на функцията). Ако функция, диференцируема в точка, има максимум или минимум в тази точка, тогава нейната производна изчезва при , .

Теорема 2.(достатъчен критерий за наличие на екстремум на функцията). Ако непрекъсната функция има производна във всички точки на някакъв интервал, съдържащ критична точка (с възможно изключение на самата тази точка), и ако производната, когато аргументът преминава отляво надясно през критичната точка, променя знака от плюс на минус, тогава функцията в тази точка има максимум, а когато знакът се променя от минус на плюс, има минимум.

Функционални крайности

Определение 2

Точка $x_0$ се нарича точка на максимум на функцията $f(x)$, ако съществува околност на тази точка, така че за всички $x$ от тази околност неравенството $f(x)\le f(x_0)$ е изпълнено.

Определение 3

Точка $x_0$ се нарича максимална точка на функцията $f(x)$, ако съществува околност на тази точка, така че за всички $x$ от тази околност неравенството $f(x)\ge f(x_0)$ е изпълнено.

Концепцията за екстремум на функция е тясно свързана с концепцията за критична точка на функция. Нека въведем неговата дефиниция.

Определение 4

$x_0$ се нарича критична точка на функцията $f(x)$, ако:

1) $x_0$ - вътрешна точка на домейна на дефиниция;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не съществува.

За понятието екстремум могат да се формулират теореми за достатъчни и необходими условия за неговото съществуване.

Теорема 2

Достатъчно екстремално условие

Нека точката $x_0$ е критична за функцията $y=f(x)$ и лежи в интервала $(a,b)$. Нека на всеки интервал $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производната $f"(x)$ съществува и запазва постоянен знак. Тогава:

1) Ако на интервала $(a,x_0)$ производната $f"\left(x\right)>0$, а на интервала $(x_0,b)$ производната $f"\left(x\right)

2) Ако производната $f"\left(x\right)0$ е на интервала $(a,x_0)$, тогава точката $x_0$ е минималната точка за тази функция.

3) Ако и в интервала $(a,x_0)$, и в интервала $(x_0,b)$ производната $f"\left(x\right) >0$ или производната $f"\left(x\right)

Тази теорема е илюстрирана на фигура 1.

Фигура 1. Достатъчно условие за съществуване на екстремуми

Примери за крайности (фиг. 2).

Фигура 2. Примери за точки на екстремум

Правилото за изследване на функция за екстремум

2) Намерете производната $f"(x)$;

7) Направете заключения за наличието на максимуми и минимуми на всеки интервал, като използвате теорема 2.

Възходяща и намаляваща функция

Нека първо въведем дефинициите за нарастващи и намаляващи функции.

Определение 5

Функция $y=f(x)$, дефинирана на интервал $X$, се нарича нарастваща, ако за произволни точки $x_1,x_2\in X$ за $x_1

Определение 6

Функция $y=f(x)$, дефинирана на интервал $X$, се нарича намаляваща, ако за произволни точки $x_1,x_2\in X$ за $x_1f(x_2)$.

Разглеждане на функция за нарастване и намаляване

Можете да изследвате функции за увеличаване и намаляване, като използвате производната.

За да изследвате функция за интервали на нарастване и намаляване, трябва да направите следното:

1) Намерете домейна на функцията $f(x)$;

2) Намерете производната $f"(x)$;

3) Намерете точките, където равенството $f"\left(x\right)=0$;

4) Намерете точки, където $f"(x)$ не съществува;

5) Маркирайте върху координатната права всички намерени точки и домейна на дадената функция;

6) Определяне на знака на производната $f"(x)$ на всеки получен интервал;

7) Заключение: на интервалите, където $f"\left(x\right)0$ функцията нараства.

Примерни задачи за изследване на функции за нарастване, намаляване и наличие на точки на екстремум

Пример 1

Изследвайте функцията за нарастване и намаляване и наличието на точки на максимум и минимум: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Тъй като първите 6 точки са еднакви, първо ще ги начертаем.

1) Област на дефиниция - всички реални числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ съществува във всички точки от областта на дефиницията;

5) Координатна линия:

Фигура 3

6) Определете знака на производната $f"(x)$ на всеки интервал:

\ \ функция f(Х)приема най-малката стойност.

Фигурата показва графика y=f'(Х)- производна функция f(Х), определени на интервала (–7;14). Намерете броя на максималните точки на функция f(Х)принадлежащи на сегмента [–6;9].

Фигурата показва графика y=f'(Х)- производна функция f(Х)определени на интервала (–18;6). Намерете броя на минималните точки на функция f(Х)принадлежащи на сегмента [–13;1].

Фигурата показва графика y=f'(Х)- производна функция f(Х), определени на интервала (–11; –11). Намерете броя на точките на екстремум на функция f(Х), принадлежащ на сегмента [–10; -10].

Фигурата показва графика y=f'(Х)- производна функция f(Х)определени на интервала (–7;4). Намерете интервалите на нарастваща функция f(Х). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

Фигурата показва графика y=f'(Х)- производна функция f(Х), определени на интервала (–5; 7). Намерете интервалите на намаляваща функция f(Х). В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

Фигурата показва графика y=f'(Х)- производна функция f(Х)определени на интервала (–11;3). Намерете интервалите на нарастваща функция f(Х). В отговора си запишете дължината на най-големия от тях.

F Фигурата показва графика

Условието на задачата е същото (което разгледахме). Намерете сбора на три числа:

1. Сумата от квадратите на екстремумите на функцията f (x).

2. Разликата на квадратите на сумата от максималните точки и сумата от минималните точки на функцията f (x).

3. Броят на допирателните към f (x), успоредни на правата линия y \u003d -3x + 5.

Първият, който даде правилен отговор, ще получи поощрителна награда - 150 рубли. Напишете отговорите си в коментарите. Ако това е първият ви коментар в блога, той няма да се появи веднага, а по-късно (не се притеснявайте, времето на коментара се записва).

Късмет!

С уважение, Александър Крутицих.

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Въз основа на достатъчно признаци се откриват интервали на нарастване и намаляване на функцията.

Ето текстовете на знаците:

• ако производната на функцията y = f(x)положителен за всеки хот интервал х, тогава функцията нараства с х;
• ако производната на функцията y = f(x)отрицателен за всякакви хот интервал х, тогава функцията намалява с х.

По този начин, за да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо:

• намерете обхвата на функцията;

• намиране на производната на функция;

• към получените интервали добавете граничните точки, в които функцията е дефинирана и непрекъсната.

Помислете за пример за изясняване на алгоритъма.

Пример.

Намерете интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Решение.

Първата стъпка е да намерите обхвата на дефиницията на функцията. В нашия пример изразът в знаменателя не трябва да изчезва, следователно, .

Нека да преминем към производната функция:

За да определим интервалите на нарастване и намаляване на функцията по достатъчен критерий, решаваме неравенствата И в областта на дефиницията. Нека използваме обобщение на интервалния метод. Единственият истински корен на числителя е х=2, а знаменателят изчезва при х=0. Тези точки разделят дефиниционната област на интервали, в които производната на функцията запазва своя знак. Нека отбележим тези точки на числовата ос. С плюсове и минуси условно означаваме интервалите, на които производната е положителна или отрицателна. Стрелките по-долу схематично показват нарастването или намаляването на функцията на съответния интервал.

По този начин, И .

В точката х=2функцията е дефинирана и непрекъсната, така че трябва да се добави както към нарастващия, така и към намаляващия интервал. В точката х=0функцията не е дефинирана, така че тази точка не е включена в необходимите интервали.

Представяме графиката на функцията, за да сравним получените резултати с нея.

Отговор:функцията се увеличава с , намалява на интервала (0; 2] .

- Точки на екстремум на функция на една променлива. Достатъчни условия за екстремум

Нека функцията f(x), дефинирана и непрекъсната в интервала , не е монотонна в него. Има такива части [ , ] от интервала , в които максималната и минималната стойност се достигат от функцията във вътрешната точка, т.е. между i.

Казва се, че функцията f(x) има максимум (или минимум) в точка, ако тази точка може да бъде заобиколена от такава околност (x 0 - ,x 0 +), съдържаща се в интервала, в който е дадена функцията, че неравенството е изпълнено за всички нейни точки.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

С други думи, точката x 0 дава на функцията f (x) максимум (минимум), ако стойността f (x 0) се окаже най-голямата (най-малката) от стойностите, взети от функцията в някакъв (поне малък) квартал на тази точка. Обърнете внимание, че самата дефиниция на максимума (минимума) предполага, че функцията е дадена от двете страни на точката x 0 .

Ако има такава близост, в която (за x=x 0) строгото неравенство

f(x) f(x0)

тогава те казват, че функцията има собствен максимум (минимум) в точката x 0, в противен случай има неправилен.

Ако функцията има максимуми в точки x 0 и x 1, тогава, прилагайки втората теорема на Вайерщрас към интервала, виждаме, че функцията достига най-малката си стойност в този интервал в някаква точка x 2 между x 0 и x 1 и има минимум там. По същия начин, между два минимума непременно има максимум. В най-простия (и на практика най-важния) случай, когато една функция обикновено има само краен брой максимуми и минимуми, те просто се редуват.

Имайте предвид, че за обозначаване на максимум или минимум има и термин, който ги обединява - екстремум.

Концепциите за максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) са локални свойства на функцията и се извършват в определена точка x 0 . Концепциите за максимални (sup f(x)) и минимални (inf f(x)) стойности се отнасят до краен сегмент и са глобални свойства на функция в сегмент.

Фигура 1 показва, че в точки x 1 и x 3 има локални максимуми, а в точки x 2 и x 4 - локални минимуми. Функцията обаче достига най-ниската си стойност в точката x=a, а най-високата стойност в точката x=b.

Нека поставим проблема с намирането на всички стойности на аргумента, които осигуряват на функцията екстремум. При решаването му основна роля ще играе производната.

Да предположим първо, че за функцията f(x) в интервала (a,b) има крайна производна. Ако в точката x 0 функцията има екстремум, тогава, прилагайки към интервала (x 0 -, x 0 +), който беше обсъден по-горе, теоремата на Ферма, заключаваме, че f (x) \u003d 0 това е необходимото условие за екстремума. Екстремумът трябва да се търси само в тези точки, където производната е равна на нула.

Не трябва обаче да се мисли, че всяка точка, в която производната е равна на нула, предоставя екстремум на функцията: току-що посоченото необходимо условие не е достатъчно.