Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.

Теорема.

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Доказателство.

Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a k се дели на b.

Означете gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат взаимно прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a k се дели на b, може да бъде преформулирано по следния начин: a 1 d k се дели на b 1 d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието, че a 1 k се дели на b 1 .

Трябва да запишем и две важни следствия от разглежданата теорема.

Общи кратни на две числа са същите като кратни на тяхното най-малко общо кратно.

Това е вярно, тъй като всяко общо кратно на M числа a и b се определя от равенството M=LCM(a, b) t за някаква цяло число t.

Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са взаимно прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, LCM(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общи кратни на числата m k-1 и a k следователно съвпадат с кратни на m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , …, a k е m k .

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Учебник за студенти по физ.-мат. специалности на педагогически институти.

Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често се използва в темата.Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудна за разбиране на материала, няма да е трудно за човек, запознат със степените и таблицата за умножение, да избере необходимите числа и намерете резултата.

Определение

Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.

NOC е кратко име, което е взето от първите букви.

Начини за получаване на номер

За да намерите LCM, методът за умножение на числа не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Прието е да се разделят на фактори, колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.

Пример #1

За най-простия пример училищата обикновено приемат прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има числото 21, просто няма по-малко число.

Пример #2

Вторият вариант е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За решаване на задачата се предполагат следните действия:

Разлагане на първо и второ число на най-прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получените данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой срещания се взема от оригиналните числа. LCM е често срещано число, така че факторите от числата трябва да се повтарят в него до последно, дори и тези, които присъстват в един случай. И двете начални числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различни степени, 7 е само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от представените им степени в уравнението. Остава само да умножите и да получите отговора, с правилното попълване задачата се вписва в две стъпки без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Това е цялата задача, ако се опитате да изчислите желаното число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.

Преглед:

6300 / 300 = 21 - вярно;

6300 / 1260 = 5 е правилно.

Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете оригинални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е правилен.

Какво означава NOC в математиката

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да приведе дроби към общ знаменател. Това, което обикновено се изучава в 5-6 клас на гимназията. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в проблема. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа - толкова повече действия в задачата, но сложността на това не се увеличава.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички множители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разлагане до ниво на едноцифрени числа.

Преглед:

1) 3000 / 250 = 12 - вярно;

2) 3000 / 600 = 5 - вярно;

3) 3000 / 1500 = 2 е правилно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много неща са свързани, много могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на линия, взема се число и резултатите от умножаването на това число с цели числа се записват в ред, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа се подлагат към същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.

Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Забелязва се, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че това ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значителна, LCM включва изчисляване на число, което се дели на всички зададени начални стойности, а GCD предполага изчисляването на най-голямата стойност, на която са разделени първоначалните числа.

Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делителите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно приме.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно примеако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.

Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме онези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като той дели всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват кратни на тези числа подред. За да направим това, разлагаме 75 и 60 на прости множители: 75 \u003d 3 * 5 * 5 и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Изписваме факторите, включени в разширението на първото от тези числа, и добавяме към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Също така намерете най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложи ги на прости множители;
2) напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сумата от всичките му делители (без самото число), те наричат ​​перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като произведение на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямото) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Начала“, която в продължение на две хиляди години беше основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число стои четно число. по-голямо просто число.
За намиране на прости числа друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това задраска през едно всички числа след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха задраскани (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). накрая само простите числа останаха незадраскани.

Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

Общото кратно на две цели числа е цялото число, което се дели равномерно на двете дадени числа без остатък.

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели равномерно и без остатък и на двете дадени числа.

Метод 1. Можете да намерите LCM на свой ред за всяко от дадените числа, като изпишете във възходящ ред всички числа, които се получават чрез умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Примерза числата 6 и 9.
Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да се умножат по поредица от цели числа. Има обаче случаи, когато трябва да намерите LCM за двуцифрени или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости множители.
След разлагането е необходимо да се зачеркнат същите числа от получената серия от прости множители. Останалите числа от първото число ще бъдат факторът за второто, а останалите числа от второто число ще бъдат факторът за първото.

Примерза числото 75 и 60.
Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват подред кратни на тези числа. За да направим това, разлагаме 75 и 60 на прости множители:
75 = 3 * 5 * 5 и
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, факторите 3 и 5 се срещат и в двата реда. Мислено ги "зачеркваме".
Нека напишем останалите фактори, включени в разширението на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 оставихме числото 5, а при разлагането на числото 60 оставихме 2 * 2
И така, за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разгръщането на 75 (това е 5) по 60, а числата, останали от разгръщането на числото 60 (това е 2 * 2) ) умножете по 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме "на кръст".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример. Определете LCM за числата 12, 16, 24
В този случай нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, разлагаме всички числа на прости множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, като ги задраскваме, ако поне един от другите редове с числа има същия множител, който все още не е пресечен навън.

Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Зачеркваме ги.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3. Но то присъства в простите множители на числото 24. Задраскваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очаква действие .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние "задраскахме" всички числа. Така констатацията на НОК е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземаме останалите множители от числото 16 (най-близкото във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е НОК

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този метод ви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата начина за намиране на LCM са правилни.

Помислете за три начина за намиране на най-малкото общо кратно.

Намиране чрез факторизиране

Първият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.

Да предположим, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, разлагаме всяко от тези числа на прости множители:

За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа на най-високата степен и да ги умножим заедно:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Така че LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели равномерно на 99, 30 или 28.

За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, трябва да ги разделите на прости множители, след това да вземете всеки прост множител с най-големия показател, с който се среща, и да умножите тези множители заедно.

Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са взаимно прости. Ето защо

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Същото трябва да се направи, когато се търси най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Намиране чрез подбор

Вторият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез фитиране.

Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се дели равномерно на други дадени числа, тогава НОК на тези числа е равен на по-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:

1. Определете най-голямото число от дадените числа.
2. След това намираме числа, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали останалите дадени числа се делят на получения продукт.

Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определя се най-голямото от тях - това е числото 24. След това се намират кратните на 24, като се проверява дали всяко от тях се дели на 18 и на 3:

24 1 = 24 се дели на 3, но не се дели на 18.

24 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.

24 3 \u003d 72 - делимо на 3 и 18.

И така, LCM(24, 3, 18) = 72.

Намиране чрез последователно намиране LCM

Третият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.

LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.

Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:

Ние разделяме продукта на GCD:

Така че LCM(12, 8) = 24.

За да намерите LCM на три или повече числа, се използва следната процедура:

1. Първо се намира LCM на всеки две от дадените числа.
2. След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
3. След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
4. Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.

Пример 2. Нека намерим НОК на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НОК на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: gcd (24, 9) = 3. Умножаваме LCM с числото 9:

Ние разделяме продукта на GCD:

И така, LCM(12, 8, 9) = 72.