Algoritm för att lösa rationella ekvationer. Hur man löser ekvationer med bråk. Exponentiell lösning av ekvationer med bråk

Den minsta gemensamma nämnaren används för att förenkla denna ekvation. Denna metod används när du inte kan skriva en given ekvation med ett rationellt uttryck på varje sida av ekvationen (och använda kors och tvärs multiplikationsmetoden). Denna metod används när du får en rationell ekvation med 3 eller fler bråk (vid två bråk är det bättre att använda kors och tvärs multiplikation).

Hitta den lägsta gemensamma nämnaren av bråken (eller minsta gemensamma multipel). NOZ är det minsta tal som är jämnt delbart med varje nämnare.

• Ibland är NPD ett självklart nummer. Om till exempel ges ekvationen: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, så är det uppenbart att den minsta gemensamma multipeln av talen 3, 2 och 6 är 6.
• Om NCD inte är uppenbar, skriv ner multiplerna av den största nämnaren och hitta bland dem en som kommer att vara en multipel av de andra nämnarna. Ofta kan NOD hittas genom att helt enkelt multiplicera två nämnare. Till exempel, om ekvationen ges x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, då NOS = 8*9 = 72.
• Om en eller flera nämnare innehåller en variabel blir processen något mer komplicerad (men inte omöjlig). I det här fallet är NOC ett uttryck (som innehåller en variabel) som delas med varje nämnare. Till exempel, i ekvationen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), eftersom detta uttryck är dividerat med varje nämnare: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multiplicera både täljaren och nämnaren för varje bråkdel med ett tal lika med resultatet av att dividera NOC med motsvarande nämnare för varje bråk. Eftersom du multiplicerar både täljaren och nämnaren med samma tal, multiplicerar du faktiskt bråket med 1 (till exempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

• Så i vårt exempel, multiplicera x/3 med 2/2 för att få 2x/6, och 1/2 multiplicera med 3/3 för att få 3/6 (bråket 3x +1/6 behöver inte multipliceras eftersom det nämnaren är 6).
• Fortsätt på samma sätt när variabeln finns i nämnaren. I vårt andra exempel, NOZ = 3x(x-1), så multiplicera 5/(x-1) med (3x)/(3x) för att få 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x multiplicerat med 3(x-1)/3(x-1) och du får 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplicerat med (x-1)/(x-1) och du får 2(x-1)/3x(x-1).

Hitta x. Nu när du har reducerat bråken till en gemensam nämnare kan du bli av med nämnaren. För att göra detta, multiplicera varje sida av ekvationen med den gemensamma nämnaren. Lös sedan den resulterande ekvationen, det vill säga hitta "x". För att göra detta, isolera variabeln på ena sidan av ekvationen.

• I vårt exempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan lägga till 2 bråk med samma nämnare, så skriv ekvationen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplicera båda sidor av ekvationen med 6 och bli av med nämnare: 2x+3 = 3x +1. Lös och få x = 2.
• I vårt andra exempel (med en variabel i nämnaren) ser ekvationen ut (efter reduktion till en gemensam nämnare): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Genom att multiplicera båda sidor av ekvationen med N3 blir du av med nämnaren och får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Lös och få: x = -5/14.

Bråkekvationer. ODZ.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Vi fortsätter att bemästra ekvationerna. Vi vet redan hur man arbetar med linjära och andragradsekvationer. Den sista vyn kvar - bråkekvationer. Eller de kallas också mycket mer respektfullt - rationella bråkekvationer. Det är samma.

Bråkekvationer.

Som namnet antyder innehåller dessa ekvationer nödvändigtvis bråk. Men inte bara bråk, utan bråk som har okänd i nämnaren. Åtminstone i en. Till exempel:

Låt mig påminna dig om att om nämnare bara är tal, dessa är linjära ekvationer.

Hur man bestämmer sig bråkekvationer? Först och främst, bli av med bråk! Efter detta övergår ekvationen oftast till linjär eller kvadratisk. Och då vet vi vad vi ska göra... I vissa fall kan det bli en identitet, som 5=5 eller ett felaktigt uttryck, som 7=2. Men detta händer sällan. Jag kommer att nämna detta nedan.

Men hur blir man av med bråk!? Väldigt enkelt. Att tillämpa samma identiska transformationer.

Vi måste multiplicera hela ekvationen med samma uttryck. Så att alla nämnare reduceras! Allt kommer genast att bli lättare. Låt mig förklara med ett exempel. Låt oss lösa ekvationen:

Hur undervisades du i grundskolan? Vi flyttar allt åt sidan, tar det till en gemensam nämnare osv. Glöm det som en ond dröm! Detta är vad du behöver göra när du adderar eller subtraherar bråk. Eller så jobbar du med ojämlikheter. Och i ekvationer multiplicerar vi omedelbart båda sidor med ett uttryck som ger oss möjlighet att reducera alla nämnare (dvs. i huvudsak med en gemensam nämnare). Och vad är detta uttryck?

På vänster sida, för att minska nämnaren måste du multiplicera med x+2. Och till höger krävs multiplikation med 2. Det betyder att ekvationen måste multipliceras med 2(x+2). Multiplicera:

Detta är en vanlig multiplikation av bråk, men jag kommer att beskriva det i detalj:

Observera att jag inte öppnar fästet ännu (x + 2)! Så i sin helhet skriver jag det:

På vänster sida drar den ihop sig helt (x+2), och till höger 2. Vilket är vad som krävdes! Efter reducering får vi linjär ekvationen:

Och alla kan lösa denna ekvation! x = 2.

Låt oss lösa ett annat exempel, lite mer komplicerat:

Om vi ​​kommer ihåg att 3 = 3/1, och 2x = 2x/ 1 kan vi skriva:

Och återigen blir vi av med det vi egentligen inte gillar - bråkdelar.

Vi ser att för att minska nämnaren med X måste vi multiplicera bråket med (x – 2). Och några är inte ett hinder för oss. Nåväl, låt oss föröka oss. Allt vänster sida och Allt höger sida:

Parentes igen (x – 2) Jag avslöjar inte. Jag arbetar med fästet som en helhet som om det vore ett nummer! Detta måste alltid göras, annars kommer ingenting att minska.

Med en känsla av djup tillfredsställelse reducerar vi (x – 2) och vi får en ekvation utan bråk, med en linjal!

Låt oss nu öppna parenteserna:

Vi tar med liknande, flyttar allt till vänster sida och får:

Men innan dess ska vi lära oss att lösa andra problem. På ränta. Det är en rake, förresten!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Vi har redan lärt oss hur man löser andragradsekvationer. Låt oss nu utvidga de studerade metoderna till rationella ekvationer.

Vad är ett rationellt uttryck? Vi har redan stött på detta koncept. Rationella uttryckär uttryck som består av tal, variabler, deras styrkor och symboler för matematiska operationer.

Följaktligen är rationella ekvationer ekvationer av formen: , där - rationella uttryck.

Tidigare har vi bara betraktat de rationella ekvationerna som kan reduceras till linjära. Låt oss nu titta på de rationella ekvationerna som kan reduceras till andragradsekvationer.

Exempel 1

Lös ekvationen: .

Lösning:

Ett bråktal är lika med 0 om och endast om dess täljare är lika med 0 och dess nämnare inte är lika med 0.

Vi får följande system:

Den första ekvationen i systemet är en andragradsekvation. Innan vi löser det, låt oss dividera alla dess koefficienter med 3. Vi får:

Vi får två rötter: ; .

Eftersom 2 aldrig är lika med 0 måste två villkor vara uppfyllda: . Eftersom ingen av rötterna till ekvationen som erhållits ovan sammanfaller med de ogiltiga värdena för variabeln som erhölls när man löste den andra olikheten, är de båda lösningarna till denna ekvation.

Svar:.

Så låt oss formulera en algoritm för att lösa rationella ekvationer:

1. Flytta alla termer till vänster så att höger sida hamnar på 0.

2. Förvandla och förenkla den vänstra sidan, få alla bråk till en gemensam nämnare.

3. Jämställ den resulterande bråkdelen med 0 med hjälp av följande algoritm: .

4. Skriv ner de rötter som erhölls i den första ekvationen och tillfredsställ den andra olikheten i svaret.

Låt oss titta på ett annat exempel.

Exempel 2

Lös ekvationen: .

Lösning

Allra i början flyttar vi alla termer åt vänster så att 0 blir kvar till höger. Vi får:

Låt oss nu ta den vänstra sidan av ekvationen till en gemensam nämnare:

Denna ekvation är ekvivalent med systemet:

Den första ekvationen i systemet är en andragradsekvation.

Koefficienter för denna ekvation: . Vi beräknar diskriminanten:

Vi får två rötter: ; .

Låt oss nu lösa den andra olikheten: produkten av faktorer är inte lika med 0 om och endast om ingen av faktorerna är lika med 0.

Två villkor måste vara uppfyllda: . Vi finner att av de två rötterna i den första ekvationen är bara en lämplig - 3.

Svar:.

I den här lektionen kom vi ihåg vad ett rationellt uttryck är, och lärde oss också hur man löser rationella ekvationer, som reduceras till andragradsekvationer.

I nästa lektion kommer vi att titta på rationella ekvationer som modeller av verkliga situationer, och även titta på rörelseproblem.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8:e klass. - M.: Utbildning, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. och andra Algebra, 8. 5:e uppl. - M.: Utbildning, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8:e klass. Lärobok för allmänna läroanstalter. - M.: Utbildning, 2006.

1. Festival av pedagogiska idéer "Öppen lektion" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Läxa

Vi introducerade ekvationen ovan i § 7. Låt oss först påminna om vad ett rationellt uttryck är. Detta är ett algebraiskt uttryck som består av tal och variabeln x som använder operationerna addition, subtraktion, multiplikation, division och exponentiering med en naturlig exponent.

Om r(x) är ett rationellt uttryck, så kallas ekvationen r(x) = 0 en rationell ekvation.

Men i praktiken är det mer praktiskt att använda en lite bredare tolkning av termen "rationell ekvation": detta är en ekvation av formen h(x) = q(x), där h(x) och q(x) är rationella uttryck.

Hittills har vi inte kunnat lösa någon rationell ekvation, utan bara en som till följd av olika transformationer och resonemang reducerats till linjär ekvation. Nu är våra möjligheter mycket större: vi kommer att kunna lösa en rationell ekvation som reducerar inte bara till linjär
mu, men också till andragradsekvationen.

Låt oss komma ihåg hur vi löste rationella ekvationer tidigare och försöka formulera en lösningsalgoritm.

Exempel 1. Lös ekvationen

Lösning. Låt oss skriva om ekvationen i formuläret

I det här fallet, som vanligt, utnyttjar vi det faktum att likheterna A = B och A - B = 0 uttrycker samma förhållande mellan A och B. Detta gjorde att vi kunde flytta termen till vänster sida av ekvationen med motsatt tecken.

Låt oss omvandla den vänstra sidan av ekvationen. Vi har

Låt oss komma ihåg villkoren för jämlikhet fraktioner noll: om och endast om två relationer är uppfyllda samtidigt:

1) täljaren för bråket är noll (a = 0); 2) bråkets nämnare skiljer sig från noll).
Genom att likställa täljaren för bråket på vänster sida av ekvation (1) med noll får vi

Det återstår att kontrollera uppfyllandet av det andra villkoret som anges ovan. Relationen betyder för ekvation (1) att . Värdena x 1 = 2 och x 2 = 0,6 uppfyller de angivna sambanden och fungerar därför som rötterna till ekvation (1), och samtidigt rötterna till den givna ekvationen.

1) Låt oss omvandla ekvationen till formen

2) Låt oss transformera den vänstra sidan av denna ekvation:

(ändrade samtidigt tecknen i täljaren och
fraktioner).
Således tar den givna ekvationen formen

3) Lös ekvationen x 2 - 6x + 8 = 0. Hitta

4) För de hittade värdena, kontrollera att villkoret är uppfyllt . Siffran 4 uppfyller detta villkor, men siffran 2 gör det inte. Detta betyder att 4 är roten till den givna ekvationen och 2 är en främmande rot.
SVAR: 4.

2. Lösa rationella ekvationer genom att införa en ny variabel

Metoden för att introducera en ny variabel är bekant för dig, vi har använt den mer än en gång. Låt oss visa med exempel hur det används för att lösa rationella ekvationer.

Exempel 3. Lös ekvationen x 4 + x 2 - 20 = 0.

Lösning. Låt oss introducera en ny variabel y = x 2 . Eftersom x 4 = (x 2) 2 = y 2 kan den givna ekvationen skrivas om som

y 2 + y - 20 = 0.

Detta är en andragradsekvation, vars rötter kan hittas med känd formler; vi får y 1 = 4, y 2 = - 5.
Men y = x 2, vilket betyder att problemet har reducerats till att lösa två ekvationer:
x2=4; x 2 = -5.

Från den första ekvationen finner vi att den andra ekvationen inte har några rötter.
Svar: .
En ekvation av formen ax 4 + bx 2 +c = 0 kallas en biquadratisk ekvation ("bi" är två, det vill säga en sorts "dubbel kvadratisk" ekvation). Den nyss lösta ekvationen var exakt biquadratisk. Alla andragradsekvationer löses på samma sätt som ekvationen från exempel 3: introducera en ny variabel y = x 2, lös den resulterande andragradsekvationen med avseende på variabeln y och återvänd sedan till variabeln x.

Exempel 4. Lös ekvationen

Lösning. Observera att samma uttryck x 2 + 3x visas två gånger här. Det betyder att det är vettigt att införa en ny variabel y = x 2 + 3x. Detta gör att vi kan skriva om ekvationen i en enklare och trevligare form (vilket faktiskt är syftet med att introducera en ny variabel- och förenkla inspelningen
blir tydligare, och ekvationens struktur blir tydligare):

Låt oss nu använda algoritmen för att lösa en rationell ekvation.

1) Låt oss flytta alla termer i ekvationen till en del:

= 0
2) Transformera vänster sida av ekvationen

Så vi har transformerat den givna ekvationen till formen

3) Från ekvationen - 7y 2 + 29y -4 = 0 finner vi (du och jag har redan löst en hel del andragradsekvationer, så det är nog inte värt att alltid ge detaljerade beräkningar i läroboken).

4) Låt oss kontrollera de hittade rötterna med villkor 5 (y - 3) (y + 1). Båda rötterna uppfyller detta villkor.
Så den andragradsekvationen för den nya variabeln y är löst:
Eftersom y = x 2 + 3x, och y, som vi har fastställt, har två värden: 4 och , måste vi fortfarande lösa två ekvationer: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Rötterna till den första ekvationen är siffrorna 1 och -4, rötterna till den andra ekvationen är talen

I de övervägda exemplen var metoden för att introducera en ny variabel, som matematiker gärna säger, adekvat för situationen, det vill säga den motsvarade den väl. Varför? Ja, eftersom samma uttryck tydligt förekom i ekvationen flera gånger och det fanns anledning att beteckna detta uttryck med en ny bokstav. Men detta händer inte alltid, ibland "uppstår" en ny variabel först under transformationsprocessen. Det är precis vad som kommer att hända i nästa exempel.

Exempel 5. Lös ekvationen
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lösning. Vi har
x(x-3) = x2-3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Detta innebär att den givna ekvationen kan skrivas om i formen

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Nu har en ny variabel "visats": y = x 2 - 3x.

Med dess hjälp kan ekvationen skrivas om i formen y (y + 2) = 24 och sedan y 2 + 2y - 24 = 0. Rötterna till denna ekvation är talen 4 och -6.

Om vi ​​återgår till den ursprungliga variabeln x får vi två ekvationer x 2 - 3x = 4 och x 2 - 3x = - 6. Från den första ekvationen finner vi x 1 = 4, x 2 = - 1; den andra ekvationen har inga rötter.

SVAR: 4, - 1.

Lektionens innehåll lektionsanteckningar stödja frame lektion presentation acceleration metoder interaktiv teknik Öva uppgifter och övningar självtest workshops, utbildningar, fall, uppdrag läxor diskussionsfrågor retoriska frågor från elever Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia fotografier, bilder, grafik, tabeller, diagram, humor, anekdoter, skämt, serier, liknelser, ordspråk, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar knep för nyfikna spjälsängar läroböcker grundläggande och ytterligare ordbok över termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i en lärobok, inslag av innovation i lektionen, ersätta föråldrad kunskap med nya Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan för året, metodologiska rekommendationer, diskussionsprogram Integrerade lektioner

Låt oss fortsätta prata om lösa ekvationer. I den här artikeln kommer vi att gå in i detalj om rationella ekvationer och principer för att lösa rationella ekvationer med en variabel. Låt oss först ta reda på vilken typ av ekvationer som kallas rationella, ge en definition av hela rationella och bråkdelar rationella ekvationer och ge exempel. Därefter kommer vi att få algoritmer för att lösa rationella ekvationer, och naturligtvis kommer vi att överväga lösningar på typiska exempel med alla nödvändiga förklaringar.

Sidnavigering.

Utifrån de angivna definitionerna ger vi flera exempel på rationella ekvationer. Till exempel är x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , alla rationella ekvationer.

Av de visade exemplen är det tydligt att rationella ekvationer, såväl som ekvationer av andra typer, kan vara med en variabel, eller med två, tre osv. variabler. I de följande styckena kommer vi att prata om att lösa rationella ekvationer med en variabel. Lösa ekvationer i två variabler och deras stora antal förtjänar särskild uppmärksamhet.

Förutom att dela rationella ekvationer med antalet okända variabler, delas de också in i heltals och bråktal. Låt oss ge motsvarande definitioner.

Definition.

Den rationella ekvationen kallas hela, om både dess vänstra och högra sida är heltalsrationella uttryck.

Definition.

Om åtminstone en av delarna i en rationell ekvation är ett bråktalsuttryck, kallas en sådan ekvation bråkdel rationell(eller bråkrationell).

Det är tydligt att hela ekvationer inte innehåller division med en variabel, tvärtom innehåller bråkrationella ekvationer nödvändigtvis division med en variabel (eller en variabel i nämnaren). Så 3 x+2=0 och (x+y)·(3·x2−1)+x=−y+0,5– det här är hela rationella ekvationer, båda deras delar är hela uttryck. A och x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 är exempel på rationella bråkekvationer.

För att avsluta denna punkt, låt oss uppmärksamma det faktum att de linjära ekvationerna och andragradsekvationerna som är kända för denna punkt är hela rationella ekvationer.

Lösa hela ekvationer

En av de viktigaste metoderna för att lösa hela ekvationer är att reducera dem till ekvivalenta algebraiska ekvationer. Detta kan alltid göras genom att utföra följande ekvivalenta transformationer av ekvationen:

• först överförs uttrycket från höger sida av den ursprungliga heltalsekvationen till vänster sida med motsatt tecken för att erhålla noll på höger sida;
• efter detta, på vänster sida av ekvationen den resulterande standardformen.

Resultatet är en algebraisk ekvation som är ekvivalent med den ursprungliga heltalsekvationen. Således reduceras i de enklaste fallen att lösa hela ekvationer till att lösa linjära eller kvadratiska ekvationer och i det allmänna fallet till att lösa en algebraisk ekvation av grad n. För tydlighetens skull, låt oss titta på lösningen på exemplet.

Exempel.

Hitta rötterna till hela ekvationen 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Lösning.

Låt oss reducera lösningen av hela denna ekvation till lösningen av en ekvivalent algebraisk ekvation. För att göra detta överför vi först uttrycket från höger sida till vänster, som ett resultat kommer vi fram till ekvationen 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Och för det andra omvandlar vi uttrycket som bildas på vänster sida till ett standardformpolynom genom att fylla i det nödvändiga: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Sålunda reduceras att lösa den ursprungliga heltalsekvationen till att lösa andragradsekvationen x 2 −5·x−6=0.

Vi beräknar dess diskriminant D=(−5) 2−4·1·(−6)=25+24=49, den är positiv, vilket betyder att ekvationen har två reella rötter, som vi hittar med hjälp av formeln för rötterna i en andragradsekvation:

För att vara helt säker, låt oss göra det kontrollera de hittade rötterna till ekvationen. Först kontrollerar vi roten 6, ersätter den istället för variabeln x i den ursprungliga heltalsekvationen: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, vilket är detsamma, 63=63. Detta är en giltig numerisk ekvation, därför är x=6 verkligen roten till ekvationen. Nu kontrollerar vi roten −1, det har vi 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, varifrån, 0=0 . När x=−1 förvandlas den ursprungliga ekvationen också till en korrekt numerisk likhet, därför är x=−1 också en rot till ekvationen.

Svar:

6 , −1 .

Här bör det också noteras att termen "grad av hela ekvationen" är associerad med representationen av en hel ekvation i form av en algebraisk ekvation. Låt oss ge motsvarande definition:

Definition.

Kraften i hela ekvationen kallas graden av en ekvivalent algebraisk ekvation.

Enligt denna definition har hela ekvationen från föregående exempel den andra graden.

Detta kunde ha varit slutet på att lösa hela rationella ekvationer, om inte för en sak... Att lösa algebraiska gradekvationer över den andra är som bekant förenat med betydande svårigheter, och för gradekvationer över den fjärde finns det inga generella rotformler alls. För att lösa hela ekvationer av tredje, fjärde och högre graden är det därför ofta nödvändigt att tillgripa andra lösningsmetoder.

I sådana fall ett tillvägagångssätt för att lösa hela rationella ekvationer baserat på faktoriseringsmetod. I det här fallet följs följande algoritm:

• först ser de till att det finns en nolla på höger sida av ekvationen, för att göra detta överför de uttrycket från den högra sidan av hela ekvationen till vänster;
• sedan presenteras det resulterande uttrycket på vänster sida som en produkt av flera faktorer, vilket gör att vi kan gå vidare till en uppsättning av flera enklare ekvationer.

Den givna algoritmen för att lösa en hel ekvation genom faktorisering kräver en detaljerad förklaring med hjälp av ett exempel.

Exempel.

Lös hela ekvationen (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Lösning.

Först, som vanligt, överför vi uttrycket från höger sida till vänster sida av ekvationen, utan att glömma att ändra tecknet, vi får (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Här är det ganska uppenbart att det inte är tillrådligt att omvandla den vänstra sidan av den resulterande ekvationen till ett polynom av standardformen, eftersom detta ger en algebraisk ekvation av formens fjärde grad x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, vars lösning är svår.

Å andra sidan är det uppenbart att vi på vänster sida av den resulterande ekvationen kan x 2 −10 x+13 och därigenom presentera den som en produkt. Vi har (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Den resulterande ekvationen är ekvivalent med den ursprungliga hela ekvationen, och den kan i sin tur ersättas av en uppsättning av två andragradsekvationer x 2 −10·x+13=0 och x 2 −2·x−1=0. Att hitta sina rötter med hjälp av kända rotformler genom en diskriminant är inte svårt, rötterna är lika. De är de önskade rötterna till den ursprungliga ekvationen.

Svar:

Även användbar för att lösa hela rationella ekvationer metod för att introducera en ny variabel. I vissa fall låter det dig gå till ekvationer vars grad är lägre än graden av den ursprungliga hela ekvationen.

Exempel.

Hitta de verkliga rötterna till en rationell ekvation (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Lösning.

Att reducera hela denna rationella ekvation till en algebraisk ekvation är milt uttryckt inte en särskilt bra idé, eftersom vi i det här fallet kommer till behovet av att lösa en fjärdegradsekvation som inte har rationella rötter. Därför måste du leta efter en annan lösning.

Här är det lätt att se att man kan introducera en ny variabel y och ersätta uttrycket x 2 +3·x med den. Denna ersättning leder oss till hela ekvationen (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , som efter att ha flyttat uttrycket −2·(y−4) till vänster och efterföljande transformation av uttrycket bildas där, reduceras till en andragradsekvation y 2 +4·y+3=0. Rötterna till denna ekvation y=−1 och y=−3 är lätta att hitta, till exempel kan de väljas utifrån satsen invers till Vietas sats.

Nu går vi vidare till den andra delen av metoden för att introducera en ny variabel, det vill säga att utföra en omvänd ersättning. Efter att ha utfört den omvända substitutionen får vi två ekvationer x 2 +3 x=−1 och x 2 +3 x=−3, som kan skrivas om till x 2 +3 x+1=0 och x 2 +3 x+3 =0 . Med hjälp av formeln för rötterna till en andragradsekvation hittar vi rötterna till den första ekvationen. Och den andra andragradsekvationen har inga reella rötter, eftersom dess diskriminant är negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Svar:

I allmänhet, när vi har att göra med hela ekvationer av höga grader, måste vi alltid vara beredda att söka efter en icke-standardiserad metod eller en artificiell teknik för att lösa dem.

Lösa rationella bråkekvationer

Först kommer det att vara användbart att förstå hur man löser rationella bråkekvationer av formen , där p(x) och q(x) är heltalsrationella uttryck. Och sedan kommer vi att visa hur man reducerar lösningen av andra fraktionella rationella ekvationer till lösningen av ekvationer av den angivna typen.

Ett tillvägagångssätt för att lösa ekvationen bygger på följande påstående: det numeriska bråket u/v, där v är ett tal som inte är noll (annars kommer vi att stöta på , vilket är odefinierat), är lika med noll om och bara om dess täljare är lika med noll, då är, om och endast om u=0 . Tack vare detta påstående reduceras lösningen av ekvationen till att uppfylla två villkor p(x)=0 och q(x)≠0.

Denna slutsats motsvarar följande algoritm för att lösa en rationell bråkekvation. För att lösa en rationell bråkekvation av formen behöver du

• lös hela den rationella ekvationen p(x)=0 ;
• och kontrollera om villkoret q(x)≠0 är uppfyllt för varje rot hittad, while
• om det är sant, är denna rot roten till den ursprungliga ekvationen;
• om den inte är uppfylld, så är denna rot främmande, det vill säga den är inte roten till den ursprungliga ekvationen.

Låt oss titta på ett exempel på hur den annonserade algoritmen används när vi löser en rationell bråkekvation.

Exempel.

Hitta rötterna till ekvationen.

Lösning.

Detta är en rationell bråkekvation, och av formen , där p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Enligt algoritmen för att lösa rationella bråkekvationer av denna typ måste vi först lösa ekvationen 3 x−2=0. Detta är en linjär ekvation vars rot är x=2/3.

Det återstår att kontrollera för denna rot, det vill säga kontrollera om den uppfyller villkoret 5 x 2 −2≠0. Vi ersätter talet 2/3 i uttrycket 5 x 2 −2 istället för x, och vi får . Villkoret är uppfyllt, så x=2/3 är roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar:

2/3 .

Du kan närma dig att lösa en rationell bråkekvation från en något annan position. Denna ekvation är ekvivalent med heltalsekvationen p(x)=0 på variabeln x i den ursprungliga ekvationen. Det vill säga, du kan hålla dig till detta algoritm för att lösa en rationell bråkekvation :

• lös ekvationen p(x)=0 ;
• hitta ODZ för variabel x;
• slå rötter som tillhör regionen med acceptabla värden - de är de önskade rötterna till den ursprungliga fraktionella rationella ekvationen.

Låt oss till exempel lösa en rationell bråkekvation med den här algoritmen.

Exempel.

Lös ekvationen.

Lösning.

Först löser vi andragradsekvationen x 2 −2·x−11=0. Dess rötter kan beräknas med hjälp av rotformeln för den jämna andra koefficienten, vi har D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Och .

För det andra hittar vi ODZ för variabeln x för den ursprungliga ekvationen. Den består av alla tal för vilka x 2 +3·x≠0, vilket är samma som x·(x+3)≠0, varav x≠0, x≠−3.

Det återstår att kontrollera om rötterna som hittades i det första steget ingår i ODZ. Uppenbarligen ja. Därför har den ursprungliga rationella bråkekvationen två rötter.

Svar:

Observera att detta tillvägagångssätt är mer lönsamt än det första om ODZ är lätt att hitta, och är särskilt fördelaktigt om rötterna till ekvationen p(x) = 0 är irrationella, till exempel, eller rationella, men med en ganska stor täljare och /eller nämnare, till exempel 127/1101 och −31/59. Detta beror på det faktum att i sådana fall kommer kontroll av villkoret q(x)≠0 att kräva betydande beräkningsansträngning, och det är lättare att utesluta främmande rötter med ODZ.

I andra fall, när man löser ekvationen, speciellt när rötterna till ekvationen p(x) = 0 är heltal, är det mer lönsamt att använda den första av de givna algoritmerna. Det vill säga, det är tillrådligt att omedelbart hitta rötterna till hela ekvationen p(x)=0 och sedan kontrollera om villkoret q(x)≠0 är uppfyllt för dem, snarare än att hitta ODZ och sedan lösa ekvationen p(x)=0 på denna ODZ. Detta beror på att det i sådana fall oftast är lättare att kontrollera än att hitta DZ.

Låt oss överväga lösningen av två exempel för att illustrera de angivna nyanserna.

Exempel.

Hitta rötterna till ekvationen.

Lösning.

Låt oss först hitta rötterna till hela ekvationen (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, sammansatt med hjälp av bråkets täljare. Den vänstra sidan av denna ekvation är en produkt, och den högra sidan är noll, därför, enligt metoden för att lösa ekvationer genom faktorisering, är denna ekvation ekvivalent med en uppsättning av fyra ekvationer 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre av dessa ekvationer är linjära och en är kvadratisk, vi kan lösa dem. Från den första ekvationen finner vi x=1/2, från den andra - x=6, från den tredje - x=7, x=−2, från den fjärde - x=−1.

Med de hittade rötterna är det ganska lätt att kontrollera om nämnaren för bråkdelen på vänster sida av den ursprungliga ekvationen försvinner, men att bestämma ODZ, tvärtom, är inte så enkelt, eftersom du för detta måste lösa en algebraisk ekvation av femte graden. Därför kommer vi att överge att hitta ODZ till förmån för att kontrollera rötterna. För att göra detta byter vi ut dem en efter en istället för variabeln x i uttrycket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, erhållna efter substitution, och jämför dem med noll: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Således är 1/2, 6 och −2 de önskade rötterna i den ursprungliga rationella bråkekvationen, och 7 och −1 är främmande rötter.

Svar:

1/2 , 6 , −2 .

Exempel.

Hitta rötterna till en rationell bråkekvation.

Lösning.

Låt oss först hitta rötterna till ekvationen (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Denna ekvation motsvarar en uppsättning av två ekvationer: kvadrat 5 x 2 −7 x−1=0 och linjär x−2=0. Med hjälp av formeln för rötterna i en andragradsekvation hittar vi två rötter, och från den andra ekvationen har vi x=2.

Att kontrollera om nämnaren går till noll vid de hittade värdena på x är ganska obehagligt. Och att bestämma intervallet för tillåtna värden för variabeln x i den ursprungliga ekvationen är ganska enkelt. Därför kommer vi att agera genom ODZ.

I vårt fall består ODZ för variabeln x i den ursprungliga rationella bråkekvationen av alla tal utom de för vilka villkoret x 2 +5·x−14=0 är uppfyllt. Rötterna till denna andragradsekvation är x=−7 och x=2, från vilka vi drar en slutsats om ODZ: den består av alla x så att .

Det återstår att kontrollera om de hittade rötterna och x=2 tillhör intervallet av acceptabla värden. Rötterna tillhör, därför är de rötter till den ursprungliga ekvationen, och x=2 hör inte hemma, därför är det en främmande rot.

Svar:

Det kommer också att vara användbart att separat uppehålla sig vid de fall då det i en rationell bråkekvation av formen finns ett tal i täljaren, det vill säga när p(x) representeras av något tal. Vart i

• om detta tal inte är noll, har ekvationen inga rötter, eftersom ett bråktal är lika med noll om och endast om dess täljare är lika med noll;
• om detta tal är noll, är roten av ekvationen ett valfritt tal från ODZ.

Exempel.

Lösning.

Eftersom täljaren för bråket på vänster sida av ekvationen innehåller ett tal som inte är noll, kan värdet för detta bråk för vilket x inte vara lika med noll. Därför har denna ekvation inga rötter.

Svar:

inga rötter.

Exempel.

Lös ekvationen.

Lösning.

Täljaren för bråket på vänster sida av denna rationella bråkekvation innehåller noll, så värdet av detta bråk är noll för alla x som det är vettigt för. Med andra ord, lösningen på denna ekvation är valfritt värde på x från ODZ för denna variabel.

Det återstår att bestämma detta intervall av acceptabla värden. Den inkluderar alla värden på x för vilka x 4 +5 x 3 ≠0. Lösningarna till ekvationen x 4 +5 x 3 =0 är 0 och −5, eftersom denna ekvation är ekvivalent med ekvationen x 3 (x+5)=0, och den i sin tur är ekvivalent med kombinationen av två ekvationer x 3 =0 och x +5=0, varifrån dessa rötter är synliga. Därför är det önskade intervallet av acceptabla värden vilket x utom x=0 och x=−5 som helst.

En rationell bråkekvation har alltså oändligt många lösningar, som är vilka tal som helst utom noll och minus fem.

Svar:

Slutligen är det dags att prata om att lösa rationella bråkekvationer av godtycklig form. De kan skrivas som r(x)=s(x), där r(x) och s(x) är rationella uttryck, och minst ett av dem är bråktal. Om vi ​​ser framåt, låt oss säga att deras lösning handlar om att lösa ekvationer av den form som vi redan känner till.

Det är känt att överföring av en term från en del av ekvationen till en annan med motsatt tecken leder till en ekvivalent ekvation, därför är ekvationen r(x)=s(x) ekvivalent med ekvationen r(x)−s(x) )=0.

Vi vet också att vilket som helst , identiskt lika med detta uttryck, är möjligt. Således kan vi alltid omvandla det rationella uttrycket på vänster sida av ekvationen r(x)−s(x)=0 till en identiskt lika rationell bråkdel av formen .

Så vi går från den ursprungliga rationella bråkekvationen r(x)=s(x) till ekvationen, och dess lösning, som vi upptäckte ovan, reduceras till att lösa ekvationen p(x)=0.

Men här är det nödvändigt att ta hänsyn till det faktum att när du ersätter r(x)−s(x)=0 med , och sedan med p(x)=0, kan intervallet av tillåtna värden för variabeln x expandera .

Följaktligen kan den ursprungliga ekvationen r(x)=s(x) och ekvationen p(x)=0 som vi kom fram till visa sig vara ojämlika, och genom att lösa ekvationen p(x)=0 kan vi få rötter som kommer att vara främmande rötter av den ursprungliga ekvationen r(x)=s(x) . Du kan identifiera och inte inkludera främmande rötter i svaret antingen genom att utföra en kontroll eller genom att kontrollera att de tillhör den ursprungliga ekvationens ODZ.

Låt oss sammanfatta denna information i algoritm för att lösa den rationella bråkekvationen r(x)=s(x). För att lösa den rationella bråkekvationen r(x)=s(x) behöver du

• Få noll till höger genom att flytta uttrycket från höger sida med motsatt tecken.
• Utför operationer med bråk och polynom på vänster sida av ekvationen och omvandla den till en rationell bråkdel av formen.
• Lös ekvationen p(x)=0.
• Identifiera och eliminera främmande rötter, vilket görs genom att ersätta dem i den ursprungliga ekvationen eller genom att kontrollera att de tillhör den ursprungliga ekvationens ODZ.

För större klarhet kommer vi att visa hela kedjan för att lösa rationella bråkekvationer:
.

Låt oss titta på lösningarna i flera exempel med en detaljerad förklaring av lösningsprocessen för att förtydliga det givna informationsblocket.

Exempel.

Lös en rationell bråkekvation.

Lösning.

Vi kommer att agera i enlighet med lösningsalgoritmen som just erhållits. Och först flyttar vi termerna från höger sida av ekvationen till vänster, som ett resultat går vi vidare till ekvationen.

I det andra steget måste vi omvandla det bråkmässiga rationella uttrycket på vänster sida av den resulterande ekvationen till formen av en bråkdel. För att göra detta reducerar vi rationella bråk till en gemensam nämnare och förenklar det resulterande uttrycket: . Så vi kommer till ekvationen.

I nästa steg måste vi lösa ekvationen −2·x−1=0. Vi finner x=−1/2.

Det återstår att kontrollera om det hittade talet −1/2 inte är en främmande rot av den ursprungliga ekvationen. För att göra detta kan du kontrollera eller hitta VA för variabeln x i den ursprungliga ekvationen. Låt oss visa båda tillvägagångssätten.

Låt oss börja med att kontrollera. Vi ersätter talet −1/2 i den ursprungliga ekvationen istället för variabeln x, och vi får samma sak, −1=−1. Substitutionen ger den korrekta numeriska likheten, så x=−1/2 är roten till den ursprungliga ekvationen.

Nu ska vi visa hur den sista punkten i algoritmen utförs genom ODZ. Intervallet av tillåtna värden för den ursprungliga ekvationen är mängden av alla tal utom −1 och 0 (vid x=−1 och x=0 försvinner bråkens nämnare). Roten x=−1/2 som hittades i föregående steg tillhör ODZ, därför är x=−1/2 roten till den ursprungliga ekvationen.

Svar:

−1/2 .

Låt oss titta på ett annat exempel.

Exempel.

Hitta rötterna till ekvationen.

Lösning.

Vi måste lösa en rationell bråkekvation, låt oss gå igenom alla steg i algoritmen.

Först flyttar vi termen från höger sida till vänster, vi får .

För det andra transformerar vi uttrycket som bildas på vänster sida: . Som ett resultat kommer vi fram till ekvationen x=0.

Dess rot är uppenbar - den är noll.

Vid det fjärde steget återstår att ta reda på om den hittade roten är främmande för den ursprungliga rationella bråkekvationen. När det ersätts i den ursprungliga ekvationen erhålls uttrycket. Uppenbarligen är det inte vettigt eftersom det innehåller division med noll. Därav drar vi slutsatsen att 0 är en främmande rot. Därför har den ursprungliga ekvationen inga rötter.

7, vilket leder till ekv. Av detta kan vi dra slutsatsen att uttrycket i nämnaren på vänster sida måste vara lika med höger sidas, det vill säga . Nu subtraherar vi från båda sidor av trippeln: . I analogi, varifrån och vidare.

Kontrollen visar att båda rötter som hittats är rötter från den ursprungliga rationella bråkekvationen.

Svar:

Bibliografi.

• Algebra: lärobok för 8:e klass. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna läroanstalter / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2009. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-021134-5.