Dependență direct proporțională. §36 Modelarea dependenţelor dintre mărimi

Analiza regresiei

Prelucrarea rezultatelor experimentale folosind metoda

Când se studiază procesele de funcționare a sistemelor complexe, trebuie să se ocupe de un număr de variabile aleatoare care acționează simultan. Pentru a înțelege mecanismul fenomenelor, relațiile cauză-efect dintre elementele sistemului etc., pe baza observațiilor obținute, încercăm să stabilim relațiile dintre aceste mărimi.

În analiza matematică, dependența, de exemplu, între două mărimi este exprimată prin conceptul de funcție

unde fiecare valoare a unei variabile corespunde doar unei valori a alteia. Această dependență se numește funcţional.

Situația cu conceptul de dependență a variabilelor aleatoare este mult mai complicată. De regulă, între variabile aleatorii (factori aleatori) care determină funcționarea sistemelor complexe, există de obicei o astfel de legătură în care odată cu modificarea unei valori se modifică distribuția alteia. Această conexiune se numește stocastică, sau probabilistică. În acest caz, amploarea modificării factorului aleator Y, corespunzătoare modificării valorii X, poate fi împărțit în două componente. Prima este legată de dependență. Y din X, iar al doilea cu influența componentelor aleatoare „proprii”. YȘi X. Dacă prima componentă lipsește, atunci variabilele aleatoare YȘi X sunt independente. Dacă lipsește a doua componentă, atunci YȘi X depind functional. Dacă ambele componente sunt prezente, relația dintre ele determină puterea sau apropierea conexiunii dintre variabilele aleatoare YȘi X.

Există diverși indicatori care caracterizează anumite aspecte ale relației stocastice. Astfel, o relație liniară între variabile aleatoare XȘi Y determină coeficientul de corelaţie.

unde sunt așteptările matematice ale variabilelor aleatoare X și Y.

– abaterile standard ale variabilelor aleatoare XȘi Y.

Dependența probabilistică liniară a variabilelor aleatoare este că atunci când o variabilă aleatoare crește, cealaltă tinde să crească (sau să scadă) conform unei legi liniare. Dacă variabile aleatorii XȘi Y sunt conectate printr-o dependență funcțională liniară strictă, de exemplu,

y=b 0 +b 1 x 1,

atunci coeficientul de corelare va fi egal cu ; iar semnul corespunde cu semnul coeficientului b 1.Dacă valorile XȘi Y sunt conectate printr-o dependență stocastică arbitrară, atunci coeficientul de corelație va varia în interior

Trebuie subliniat că pentru variabile aleatoare independente coeficientul de corelație este zero. Cu toate acestea, coeficientul de corelație ca indicator al dependenței dintre variabilele aleatoare are dezavantaje serioase. În primul rând, din egalitate r= 0 nu implică independența variabilelor aleatoare XȘi Y(cu excepția variabilelor aleatoare supuse legii distribuției normale, pentru care r= 0 înseamnă în același timp absența oricărei dependențe). În al doilea rând, valorile extreme nu sunt, de asemenea, foarte utile, deoarece nu corespund nici unei dependențe funcționale, ci doar uneia strict liniare.

Descrierea completă a dependenței Y din X, și, în plus, exprimată în relații funcționale exacte, poate fi obținută prin cunoașterea funcției de distribuție condiționată.

De remarcat că în acest caz una dintre variabilele observate este considerată nealeatorie. Prin fixarea simultană a valorilor a două variabile aleatoare XȘi Y, atunci când le comparăm valorile, putem atribui toate erorile doar valorii Y. Astfel, eroarea de observare va consta în propria sa eroare aleatorie de mărime Y iar din eroarea de comparaţie ce decurge din cauza faptului că cu valoarea Y nu se compară exact aceeași valoare X care de fapt a avut loc.

Cu toate acestea, găsirea funcției de distribuție condiționată, de regulă, se dovedește a fi o sarcină foarte dificilă. Cel mai simplu mod de a investiga relația dintre XȘi Y cu distribuție normală Y, deoarece este complet determinată de așteptarea și varianța matematică. În acest caz, pentru a descrie dependența Y din X nu este nevoie să construiți o funcție de distribuție condiționată, ci doar să indicați cum atunci când schimbați parametrul X așteptarea și varianța matematică a cantității se modifică Y.

Astfel, ajungem la necesitatea de a găsi doar două funcții:

(3.2)

Dependența de variație condiționată D din parametru X se numește scodastic dependențe. Caracterizează modificarea acurateței tehnicii de observare atunci când un parametru se modifică și este folosit destul de rar.

Dependența așteptărilor matematice condiționate M din X se numește regresie, dă adevărata dependență a cantităților XȘi U, lipsit de toate straturile aleatorii. Prin urmare, scopul ideal al oricărui studiu al variabilelor dependente este găsirea unei ecuații de regresie, iar varianța este utilizată doar pentru a evalua acuratețea rezultatului obținut.

Dependența unei variabile aleatoare de valorile asumate de o altă variabilă aleatoare (caracteristică fizică) este de obicei numită regresie în statistică. Dacă acestei dependențe i se dă o formă analitică, atunci această formă de reprezentare este reprezentată printr-o ecuație de regresie.

Procedura pentru găsirea unei presupuse relații între diferite seturi numerice include de obicei următorii pași:

stabilirea semnificației legăturii dintre ele;

posibilitatea reprezentării acestei dependenţe sub forma unei expresii matematice (ecuaţia de regresie).

Prima etapă în această analiză statistică se referă la identificarea așa-numitei corelații, sau dependență de corelație. Corelația este considerată ca un semn care indică relația unui număr de secvențe numerice. Cu alte cuvinte, corelația caracterizează puterea relației în date. Dacă aceasta se referă la relația dintre două tablouri numerice xi și yi, atunci o astfel de corelație se numește perechi.

Când se caută o dependență de corelare, o conexiune probabilă între o valoare măsurată x (pentru o gamă limitată a modificării acesteia, de exemplu, de la x1 la xn) cu o altă valoare măsurată y (variand, de asemenea, într-un interval y1 ... yn) de obicei dezvăluit. În acest caz, vom avea de-a face cu două secvențe numerice, între care trebuie să stabilim prezența unei legături statistice (de corelație). În această etapă, sarcina nu este încă de a determina dacă una dintre aceste variabile aleatoare este o funcție și cealaltă un argument. Găsirea unei relații cantitative între ele sub forma unei expresii analitice specifice y = f(x) este o sarcină pentru o altă analiză, regresia.

Cu toate acestea, analiza corelației ne permite să deducem puterea relației dintre perechile de date x și y, în timp ce analiza de regresie este utilizată pentru a prezice o variabilă (y) pe baza alta (x). Cu alte cuvinte, în acest caz se încearcă să identifice o relație cauză-efect între populațiile analizate.

Strict vorbind, se obișnuiește să se facă distincția între două tipuri de conexiuni între mulțimi numerice - poate fi o dependență funcțională sau una statistică (aleatorie). În prezența unei conexiuni funcționale, fiecărei valori a factorului de influență (argument) îi corespunde o valoare strict definită a altui indicator (funcție), ᴛ.ᴇ. modificarea caracteristicii rezultante este in intregime determinata de actiunea caracteristicii factoriale.

Analitic, dependenţa funcţională este prezentată sub următoarea formă: y = f(x).

În cazul unei relații statistice, valoarea unui factor corespunde unei valori aproximative a parametrului studiat; valoarea sa exactă este imprevizibilă, imprevizibilă și, prin urmare, indicatorii rezultați se dovedesc a fi variabile aleatorii. Aceasta înseamnă că modificarea atributului efectiv y se datorează influenței atributului factorului x doar parțial, deoarece este posibilă și influența altor factori, a căror contribuție este desemnată ca є: y = f(x) + є.

Prin natura lor, conexiunile de corelare sunt conexiuni corelative. Un exemplu de corelare între indicatorii activității comerciale este, de exemplu, dependența sumelor costurilor de distribuție de volumul cifrei de afaceri comerciale. În acest sens, pe lângă caracteristica factorului x (volumul cifrei de afaceri), caracteristica efectivă y (valoarea costurilor de distribuție) este influențată de alți factori, inclusiv de cei necontabilizați, care generează contribuția є.

Pentru cuantificarea existenței unei relații între seturile de variabile aleatoare studiate se folosește un indicator statistic special - coeficientul de corelație r.

Dacă se presupune că această relație poate fi descrisă printr-o ecuație liniară de tip y=a+bx (unde a și b sunt constante), atunci se obișnuiește să se vorbească despre existența unei corelații liniare.

Coeficientul r este o mărime adimensională; poate varia de la 0 la ±1. Cu cât valoarea coeficientului este mai aproape de unul (indiferent de semn), cu atât se poate afirma că există o relație liniară între cele două seturi de variabile luate în considerare. Cu alte cuvinte, valoarea oricăreia dintre aceste variabile aleatoare (y) depinde semnificativ de valoarea celeilalte (x).

Dacă se dovedește că r = 1 (sau -1), atunci apare cazul clasic al unei dependențe pur funcționale (ᴛ.ᴇ. se realizează o relație ideală).

Când se analizează un grafic de dispersie bidimensional, pot fi găsite diverse relații. Cea mai simplă opțiune este o relație liniară, care se exprimă prin faptul că punctele sunt plasate aleatoriu de-a lungul unei linii drepte. Diagrama arată o lipsă de relație dacă punctele sunt situate aleatoriu și nu poate fi detectată nicio pantă (nici în sus, nici în jos) când se deplasează de la stânga la dreapta.

Dacă punctele de pe acesta sunt grupate de-a lungul unei linii curbe, atunci diagrama de împrăștiere este caracterizată de o relație neliniară. Asemenea situații sunt destul de posibile

Rezumatul lecției despre informatică și TIC în clasa a XI-a

Samarin Alexander Alexandrovich, profesor de informatică la Școala Gimnazială Savinskaya, satul Savino, regiunea Ivanovo.
Subiect:„Modelarea dependențelor dintre cantități.”
Descrierea materialului: Acest rezumat al lecției va fi util profesorilor de informatică și TIC care implementează programe de educație generală în clasa a XI-a. În timpul lecției, elevii se familiarizează cu modelarea matematică și cu metodele de modelare a cantităților. Această lecție este una introductivă la subiectul „Tehnologii de modelare a informațiilor”.
Ţintă: crearea condițiilor pentru ca copiii să dobândească cunoștințe de modelare matematică și să-și consolideze abilitățile în Microsoft Excel.
Sarcini:
- dezvoltarea cunoștințelor despre modelarea matematică;
- consolidarea abilităților în Microsoft Excel.
Rezultate planificate:
Subiect:
- formează idei despre modelarea matematică;
- să-și formeze idei despre metodele de modelare funcțională, tabelară și grafică.
Metasubiect:
- să dezvolte abilități și abilități în utilizarea tehnologiilor informației și comunicațiilor pentru a crea modele tabelare și grafice;
- dezvoltarea abilităților de utilizare rațională a instrumentelor disponibile.
Personal:
- să înțeleagă rolul cunoștințelor fundamentale ca bază a tehnologiilor informaționale moderne.
În timpul orelor:
Momentul organizatoric si actualizarea cunostintelor
Profesor:"Buna baieti. Astăzi începem un nou subiect mare „Tehnologii de modelare a informațiilor”. Dar mai întâi, să notăm temele § 36, să pregătim întrebările 1.3 oral, întrebarea nr. 2 în scris într-un caiet.” Temele sunt proiectate pe ecran.
Copiii își deschid jurnalele și notează sarcina. Profesorul explică temele.
Profesor:„Băieți, să ne amintim ce sunt „Model”, „Simulare”, „Modelare pe computer”. Slide-ul „Let’s Remember” este proiectat pe ecran.
Copii:„Un model este un obiect înlocuitor care, în anumite condiții, poate înlocui obiectul original. Modelul reproduce proprietățile și caracteristicile originalului care ne interesează.
Modelarea este construirea de modele menite să studieze și să studieze obiecte, procese sau fenomene.
Modelarea computerizată este modelarea implementată folosind tehnologia computerizată.”
Profesor:„Ce crezi că este modelarea matematică? Ce reprezintă?
Copii:„Aceste modele sunt construite folosind formule matematice.”
Profesor:„Dați exemple de model matematic.”
Copiii dau exemple de diverse formule.
Profesor:„Să ne uităm la un exemplu. Exemplele sunt proiectate pe ecran.
„Timpul în care un corp cade depinde de înălțimea sa inițială. Incidența astmului bronșic în rândul locuitorilor orașului depinde de concentrația de impurități dăunătoare din aerul orașului.” Slide-ul arată dependența unor cantități de altele. Subiectul lecției noastre de astăzi este „Modelarea dependențelor dintre cantități”. Subiectul lecției „Modelarea dependențelor între cantități” este proiectat pe ecran.
Copiii notează subiectul într-un caiet.
Învățarea de materiale noi
Profesor:„Pentru a implementa un model matematic pe un computer, trebuie să stăpânești tehnicile de reprezentare a dependențelor dintre cantități. Să ne uităm la diferite metode de reprezentare a dependențelor. Orice cercetare trebuie să înceapă prin identificarea caracteristicilor cantitative ale obiectului studiat. Astfel de caracteristici se numesc cantități. Definiția „cantității” este proiectată pe ecran.
Să ne amintim ce trei proprietăți de bază are o cantitate?
Copii:„Nume, valoare, tip”
Profesor:"Dreapta. Numele unei marimi poate fi semantic sau simbolic. De exemplu, „timp” este un nume semantic, iar „t” este un nume simbolic. Băieți, dați exemple de nume semantice și simbolice.” Tipurile de nume și exemplele lor sunt proiectate pe ecran.
Exemple de copii.
Profesor:„Dacă valoarea unei mărimi nu se modifică, atunci se numește mărime constantă sau constantă. Un exemplu de constantă este viteza luminii în vid – c = 2,998*10^8m/s. Valorile sunt proiectate pe ecran.
Ce cantități constante cunoașteți?”
Răspunsurile copiilor.
Profesor: Ce crezi că este o variabilă?
Răspunsurile copiilor.
Profesor: Deci, o cantitate variabilă este o cantitate a cărei valoare se poate modifica. De exemplu, în descrierea procesului de cădere a unui corp, mărimile variabile sunt înălțimea H și timpul de cădere t.
A treia proprietate a unei marimi este tipul acesteia. Un tip definește setul de valori pe care o valoare le poate lua. Tipuri de bază de valori: numerice, simbolice, logice. Vom lua în considerare cantități de tip numeric. Principalele tipuri de cantități sunt proiectate pe ecran.
Acum să revenim, de exemplu, la un corp care cade la pământ. Să notăm toate mărimile variabile și să indicăm, de asemenea, dimensiunile acestora (dimensiunile determină unitățile în care sunt reprezentate valorile cantităților). Deci, t (s) este timpul căderii, N (m) este înălțimea căderii. Vom reprezenta dependența, neglijând rezistența aerului; accelerația de cădere liberă g (m/s2) va fi considerată constantă. În acest exemplu, relația dintre cantități este complet definită: valoarea lui H determină în mod unic valoarea lui t. Exemplul 1 este proiectat pe ecran.
Acum să aruncăm o privire mai atentă la un exemplu despre incidența astmului bronșic în rândul locuitorilor orașului. Vom caracteriza poluarea aerului prin concentrația de impurități - C (mg/m2), rata de incidență - numărul de bolnavi cronici cu astm bronșic la 1000 de locuitori ai unui oraș dat - P (pacienți/mii). În acest exemplu, relația dintre valori este mai complexă, deoarece cu același nivel de poluare în luni diferite în același oraș, rata de incidență poate fi diferită, deoarece este influențată și de alți factori. Exemplul 2 este proiectat pe ecran.
Luând în considerare aceste două exemple, concluzionăm că în primul exemplu dependența este funcțională, dar în al doilea nu este. Dacă relația dintre cantități poate fi reprezentată în formă matematică, atunci avem un model matematic. Ieșirea este proiectată pe ecran.
Un model matematic este un set de caracteristici cantitative ale unui anumit obiect (proces) și conexiunile dintre acestea, prezentate în limbajul matematicii. Primul exemplu reflectă o lege fizică. Această dependență este cea rădăcină. În problemele mai complexe, modelele matematice sunt reprezentate ca o ecuație sau sisteme de ecuații. În al doilea exemplu, dependența poate fi reprezentată nu într-o formă funcțională, ci într-o formă diferită (vom lua în considerare acest lucru în lecțiile următoare). Proiectat pe ecran, care reflectă exemplul 1.
Să luăm în considerare un exemplu de corp în cădere în formă tabelară și grafică. Să verificăm experimental legea căderii universale a unui corp (în formă tabelară și grafică). Vom arunca o minge de oțel de la o înălțime de șase metri, 9 metri și așa mai departe (după 3 metri), măsurând înălțimea inițială a mingii și timpul de cădere. Pe baza rezultatelor, vom crea un tabel și vom desena un grafic. Graficul și tabelul din exemplul 1 sunt proiectate pe ecran.
Dacă fiecare pereche de valori H și t din acest tabel este înlocuită în formula pentru primul exemplu, atunci formula se va transforma într-o egalitate. Aceasta înseamnă că modelul funcționează bine.
În acest exemplu sunt luate în considerare trei metode de modelare a mărimilor: funcțională (formulă), tabelară și grafică; cu toate acestea, doar o formulă poate fi numită un model matematic al procesului. Metodele de modelare sunt proiectate pe ecran.
Băieți, care credeți că este cea mai universală metodă de modelare? O întrebare este proiectată pe ecran.
Formula este mai universală, vă permite să determinați timpul de cădere a unui corp de la orice înălțime; Având o formulă, puteți crea cu ușurință un tabel și puteți reprezenta un grafic.
Modelele informaționale care descriu dezvoltarea sistemelor în timp se numesc modele dinamice. În fizică, modelele dinamice descriu mișcarea corpurilor, în biologie – dezvoltarea organismelor sau a populațiilor de animale, în chimie – cursul reacțiilor chimice etc.”
Minut de educație fizică
Profesor:„Acum să ne odihnim puțin. Băieți, stați confortabil pe un scaun, relaxați-vă, îndreptați-vă umerii, arcuiți-vă spatele, întindeți-vă, întoarceți-vă capul, „legănați-vă picioarele”. Acum, fără a întoarce capul, uită-te la dreapta, la stânga, în sus, în jos. Acum urmăriți mișcările mâinii mele.” Profesorul își mișcă mâna în direcții diferite.
Munca practica
Profesor:„Băieți, acum vom consolida cunoștințele dobândite cu lucrări practice pe computer.” Sarcina pentru lucrări practice este proiectată pe ecran.
Exercițiu
Construiți dependențe tabelare și grafice ale vitezei în timp
v=v0+a*t, dacă se știe că la t = 2 s, v = 8 m/s. Viteza inițială v0 este de 2 m/s.
Băieții termină sarcina în Microsoft Excel. Lucrarea este apoi verificată. Răspunsul corect la lucrarea practică este proiectat pe ecran.
Reflecție și rezumat
Profesor:„Băieți, ce ați învățat nou astăzi? Ce a fost greu pentru tine? Ce dificultăți ați întâmpinat în timpul lucrărilor practice? Reflecția este proiectată pe ecran.
Răspunsurile copiilor.
Profesor:„Vă mulțumesc pentru munca depusă în clasă. La revedere".