Un fragment dintr-o carte a unuia dintre cei mai buni profesori de matematică. Plăcerea lui X. O excursie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume - Stephen Strogatz

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, publicare în rusă, design. Mann, Ivanov și Ferber LLC, 2014

Toate drepturile rezervate. Nicio parte a versiunii electronice a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau prin orice mijloc, inclusiv postarea pe Internet sau în rețelele corporative, pentru uz privat sau public, fără permisiunea scrisă a proprietarului drepturilor de autor.

Suportul juridic pentru editura este oferit de firma de avocatura Vegas-Lex.

* * *

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Conștiință flexibilă

Carol Dweck

Fizica bursei

James Weatherall

Prefaţă

Am un prieten care, în ciuda meșteșugului său (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții din psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce începem să vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că nu numai că aceste simboluri matematice ciudate îi sfidează înțelegerea, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul respingerii lui la matematică este mult mai profund. Habar nu va avea ce fac matematicienii în general și ce înseamnă aceștia când spun că o anumită demonstrație este elegantă. Uneori glumim că trebuie doar să mă așez și să încep să-l învăț de la elementele de bază, literalmente 1 + 1 = 2, și să merg cât mai adânc în matematică.

Și deși această idee pare o nebunie, exact asta voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică superioară, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să poată profita în sfârșit de ea. Și de data aceasta nu va trebui să stai la un birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar te va ajuta să înțelegi ce studiază această disciplină și de ce este atât de fascinantă pentru cei care o înțeleg.

Pentru a clarifica ce vreau să spun prin viețile numerelor și comportamentul lor pe care nu le putem controla, să ne întoarcem la Hotelul Furry Paws. Să presupunem că Humphrey tocmai era pe cale să predea comanda, dar apoi pinguinii dintr-o altă cameră l-au sunat pe neașteptate și i-au cerut, de asemenea, aceeași cantitate de pește. De câte ori trebuie să strige Humphrey cuvântul „pește” după ce a primit două comenzi? Dacă nu ar învăța nimic despre numere, ar fi trebuit să țipe de câte ori sunt pinguini în ambele camere. Sau, folosind numere, i-ar putea explica bucătarului că are nevoie de șase pești pentru un număr și șase pentru altul. Dar ceea ce are nevoie cu adevărat este un nou concept: adaos. Odată ce o stăpânește, va spune cu mândrie că are nevoie de șase plus șase (sau, dacă este un posesor, doisprezece) pești.

Acesta este același proces creativ ca atunci când am venit pentru prima dată cu numere. Așa cum numerele fac numărarea mai ușoară decât enumerarea pe rând, adăugarea facilitează calcularea oricărei sume. În același timp, cel care face calculul se dezvoltă ca matematician. Din punct de vedere științific, această idee poate fi formulată după cum urmează: utilizarea abstracțiilor potrivite duce la o perspectivă mai profundă a esenței problemei și la o putere mai mare în rezolvarea acesteia.

În curând, poate, chiar și Humphrey își va da seama că acum poate întotdeauna să numere.

Cu toate acestea, în ciuda unei perspective atât de nesfârșite, creativitatea noastră are întotdeauna unele limitări. Putem decide ce înțelegem prin 6 și +, dar odată ce o facem, rezultatele unor expresii precum 6 + 6 sunt dincolo de controlul nostru. Aici logica nu ne va lăsa de ales. În acest sens, matematica include întotdeauna atât invenție, cât și deci si deschidere: noi inventa concept, dar deschis consecințele lor. După cum vor arăta în mod clar următoarele capitole, în matematică libertatea noastră constă în capacitatea de a pune întrebări și de a persista în a căuta răspunsuri fără a fi nevoie să le inventăm noi înșine.

2. Aritmetica pietrei

Ca orice fenomen din viață, aritmetica are două laturi: formală și distractivă (sau jucăușă).

Am studiat partea formală la școală. Acolo ne-au explicat cum să lucrăm cu coloane de numere, să le adunăm și să le scădem, cum să le strângem atunci când facem calcule în foi de calcul la completarea declarațiilor fiscale și la pregătirea rapoartelor anuale. Această latură a aritmeticii pare importantă pentru mulți din punct de vedere practic, dar complet lipsită de bucurie.

Puteți face cunoștință cu partea distractivă a aritmeticii numai în procesul de studiu a matematicii superioare. Cu toate acestea, este la fel de firesc ca curiozitatea unui copil.

În eseul „Plaia matematicianului”, Paul Lockhart sugerează să studiem numerele în exemple mai concrete decât de obicei: ne cere să le gândim ca la un număr de pietre. De exemplu, numărul 6 corespunde următorului set de pietricele:

Este puțin probabil să vezi ceva neobișnuit aici. Așa cum este. Până nu începem să manipulăm numerele, ele arată aproape la fel. Jocul începe când primim o sarcină.

De exemplu, să ne uităm la seturi care conțin de la 1 la 10 pietre și să încercăm să facem pătrate din ele. Acest lucru se poate face doar cu două seturi de 4 și 9 pietre, deoarece 4 = 2 × 2 și 9 = 3 × 3. Obținem aceste numere prin pătrarea unui alt număr (adică, aranjarea pietrelor într-un pătrat).

Iată o problemă care are un număr mai mare de soluții: trebuie să aflați care seturi vor forma un dreptunghi dacă aranjați pietrele în două rânduri cu un număr egal de elemente. Aici sunt potrivite seturi de 2, 4, 6, 8 sau 10 pietre; numărul trebuie să fie par. Dacă încercăm să aranjam seturile rămase cu un număr impar de pietre pe două rânduri, vom ajunge invariabil cu o piatră în plus.

Dar nu totul este pierdut pentru aceste numere incomode! Dacă luați două astfel de seturi, atunci elementele suplimentare vor găsi o pereche, iar suma va fi pară: număr impar + număr impar = număr par.

Dacă extindem aceste reguli la numerele după 10 și presupunem că numărul de rânduri dintr-un dreptunghi poate fi mai mare de două, atunci unele numere impare vor permite adăugarea unor astfel de dreptunghiuri. De exemplu, numărul 15 poate forma un dreptunghi de 3 × 5.

Prin urmare, deși 15 este, fără îndoială, un număr impar, este un număr compus și poate fi reprezentat ca trei rânduri a câte cinci pietre fiecare. La fel, orice intrare din tabelul înmulțirii produce propriul grup dreptunghiular de pietricele.

Dar unele numere, cum ar fi 2, 3, 5 și 7, sunt complet fără speranță. Nu puteți așeza nimic din ele decât să le aranjați sub forma unei linii simple (un rând). Acești oameni ciudați încăpățânați sunt numerele prime celebre.

Deci vedem că numerele pot avea structuri ciudate care le conferă un anumit caracter. Dar pentru a înțelege întreaga gamă a comportamentului lor, trebuie să te dai înapoi de la numerele individuale și să observi ce se întâmplă în timpul interacțiunii lor.

De exemplu, în loc să adăugăm doar două numere impare, să adăugăm toate secvențele posibile de numere impare, începând cu 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

În mod surprinzător, aceste sume se dovedesc întotdeauna a fi pătrate perfecte. (Am spus deja că 4 și 9 pot fi reprezentate ca pătrate, iar pentru 16 = 4 × 4 și 25 = 5 × 5 acest lucru este, de asemenea, adevărat.) Un calcul rapid arată că această regulă este valabilă și pentru numerele impare mai mari și , aparent , tinde spre infinit. Dar care este legătura dintre numerele impare cu pietrele lor „în plus” și numerele clasice simetrice care formează pătrate? Asezand pietricelele corect, o putem face evidenta, care este semnul distinctiv al unei dovezi elegante.

Cheia acesteia este observația că numerele impare pot fi reprezentate ca unghiuri echilaterale, a căror suprapunere succesivă formează un pătrat!

Un mod similar de raționament este prezentat într-o altă carte publicată recent. Romanul fermecător al lui Yoko Ogawa The Housekeeper and the Professor spune povestea unei tinere istețe, dar needucate, și a fiului ei de zece ani. O femeie a fost angajată să îngrijească un matematician în vârstă a cărui memorie de scurtă durată, din cauza unei leziuni cerebrale traumatice, păstrează doar informații despre ultimele 80 de minute din viață. Pierdut în prezent, singur în căsuța lui mizerabilă, fără decât numere, profesorul încearcă să comunice cu menajera singurul mod pe care îl știe: întrebând-o de mărimea pantofilor sau de data nașterii și discutând cu ea despre cheltuielile ei. Profesorul ia o plăcere deosebită și fiului menajerului, căruia îi spune Ruth (Rădăcină) deoarece băiatul are capul plat deasupra, iar acest lucru îi amintește de notația matematică pentru rădăcina pătrată √.

Într-o zi, profesorul îi dă băiatului o sarcină simplă - să găsească suma tuturor numerelor de la 1 la 10. După ce Ruth adună cu grijă toate numerele și revine cu răspunsul (55), profesorul îi cere să caute un cale mai usoara. Va fi capabil să găsească răspunsul? fără adunare obișnuită de numere? Ruth lovește un scaun și țipă: „Nu este corect!”

Încetul cu încetul, menajera se lasă atrasă și ea în lumea numerelor și încearcă în secret să rezolve singură această problemă. „Nu înțeleg de ce sunt atât de interesată de un puzzle pentru copii care nu are nicio utilitate practică”, spune ea. „La început am vrut să-i fac pe plac profesorului, dar treptat această lecție s-a transformat într-o luptă între mine și numere. Când m-am trezit dimineața, deja mă aștepta ecuația:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

și m-a urmărit toată ziua, de parcă ar fi ars în retinele ochilor și nu aveam cum să-l ignor.” Există mai multe modalități de a rezolva problema profesorului (mă întreb câte poți găsi). Profesorul însuși sugerează o metodă de raționament, pe care am aplicat-o deja mai sus. El interpretează suma de la 1 la 10 ca un triunghi de pietricele, cu o pietricică în primul rând, două în al doilea și așa mai departe, până la zece pietricele în al zecelea rând.

Această imagine oferă o idee clară despre spațiul negativ. Se dovedește că este doar pe jumătate plin, ceea ce arată direcția descoperirii creative. Dacă copiezi un triunghi de pietricele, îl răsturnezi și îl combini cu unul existent, obții ceva foarte simplu: un dreptunghi cu zece rânduri a câte 11 pietricele fiecare, pentru un total de 110 pietre.

Deoarece triunghiul inițial este jumătate din acest dreptunghi, suma calculată a numerelor de la 1 la 10 trebuie să fie jumătate din 110, adică 55.

Reprezentarea unui număr ca un grup de pietricele poate părea neobișnuită, dar este de fapt la fel de veche ca matematica însăși. Cuvantul "calcula" calculati) reflectă această moștenire și este derivat din latină calcul, adică „pietriș”, pe care romanii o foloseau la efectuarea calculelor. Nu trebuie să fii Einstein (care înseamnă „o piatră” în germană) pentru a te bucura de manipularea numerelor, dar poate că ai putea jongla cu pietricele îți va fi mai ușor.

Un slam dunk este un tip de lovitură de baschet în care un jucător sare în sus și aruncă mingea prin cerc de sus în jos cu una sau două mâini. Notă traducere

Jay Simpson este un celebru jucător de fotbal american. A jucat rolul detectivului Northberg în celebra trilogie „Naked Gun”. El a fost acuzat că și-a ucis fosta soție și prietena ei și a fost achitat în ciuda dovezilor. Notă traducere

Pentru ideea fascinantă că numerele au o viață proprie și că matematica poate fi privită ca o formă de artă, vezi P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Notă ed.: Există multe traduceri ale eseului lui Lockhard „The Cry of a Mathematician” pe internetul rusesc. Iată una dintre ele: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Aici și mai jos, notele de subsol dintre paranteze se referă la notele autorului.

Această frază celebră este preluată din eseul lui E. Wigner The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, nr. 1, (februarie 1960), pp. 1–14. Versiunea online este disponibilă la http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. Pentru mai multe gânduri despre acest subiect și dacă matematica a fost inventată sau descoperită, vezi M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon și Schuster, 2009) și R. W. Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly, voi. 87, nr. 2 (februarie 1980).

O mare parte din acest capitol le datorez a două cărți excelente: eseul polemic al lui P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) și romanul lui Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Notă ed.: Eseul lui Lockhard „The Cry of a Mathematician” este menționat în comentariul 1. Nu există încă o traducere a romanului lui Yoko Ogawa în rusă.

Pentru tinerii cititori care doresc să exploreze numerele și structurile lor, vezi H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Notă ed.: Dintre numeroasele cărți rusești despre începuturile matematicii, abordări non-standard ale studiului acesteia, dezvoltarea creativității matematice la copii și subiecte similare în consonanță cu următoarele capitole ale cărții, vom indica deocamdată următoarele: Puhnachev Yu., Popov Yu. Matematică fără formule. M.: SA „Stoletie”, 1995; Oster G. Cartea problemelor. Ghid iubit de matematică. M.: AST, 2005; Ryzhik V.I. 30.000 de lecții de matematică: O carte pentru profesori. M.: Educație, 2003: Tuchnin N.P. Cum se pune o întrebare? Despre creativitatea matematică a școlarilor. Iaroslavl: Verkh. - Volzh. carte Editura, 1989.

Pentru exemple excelente, dar mai complexe de vizualizare a imaginilor matematice, vezi R. B. Nelsen, Proofs without Words (Asociația Matematică din America, 1997).

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, publicare în rusă, design. Mann, Ivanov și Ferber LLC, 2014

Toate drepturile rezervate. Nicio parte a versiunii electronice a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau prin orice mijloc, inclusiv postarea pe Internet sau în rețelele corporative, pentru uz privat sau public, fără permisiunea scrisă a proprietarului drepturilor de autor.

Suportul juridic pentru editura este oferit de firma de avocatura Vegas-Lex.

* * *

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Conștiință flexibilă

Carol Dweck

Fizica bursei

James Weatherall

Prefaţă

Am un prieten care, în ciuda meșteșugului său (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții din psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce începem să vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că nu numai că aceste simboluri matematice ciudate îi sfidează înțelegerea, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul respingerii lui la matematică este mult mai profund. Habar nu va avea ce fac matematicienii în general și ce înseamnă aceștia când spun că o anumită demonstrație este elegantă. Uneori glumim că trebuie doar să mă așez și să încep să-l învăț de la elementele de bază, literalmente 1 + 1 = 2, și să merg cât mai adânc în matematică.

Și deși această idee pare o nebunie, exact asta voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică superioară, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să poată profita în sfârșit de ea. Și de data aceasta nu va trebui să stai la un birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar te va ajuta să înțelegi ce studiază această disciplină și de ce este atât de fascinantă pentru cei care o înțeleg.

Pentru a clarifica ce vreau să spun prin viețile numerelor și comportamentul lor pe care nu le putem controla, să ne întoarcem la Hotelul Furry Paws. Să presupunem că Humphrey tocmai era pe cale să predea comanda, dar apoi pinguinii dintr-o altă cameră l-au sunat pe neașteptate și i-au cerut, de asemenea, aceeași cantitate de pește. De câte ori trebuie să strige Humphrey cuvântul „pește” după ce a primit două comenzi? Dacă nu ar învăța nimic despre numere, ar fi trebuit să țipe de câte ori sunt pinguini în ambele camere. Sau, folosind numere, i-ar putea explica bucătarului că are nevoie de șase pești pentru un număr și șase pentru altul. Dar ceea ce are nevoie cu adevărat este un nou concept: adaos. Odată ce o stăpânește, va spune cu mândrie că are nevoie de șase plus șase (sau, dacă este un posesor, doisprezece) pești.

Acesta este același proces creativ ca atunci când am venit pentru prima dată cu numere. Așa cum numerele fac numărarea mai ușoară decât enumerarea pe rând, adăugarea facilitează calcularea oricărei sume. În același timp, cel care face calculul se dezvoltă ca matematician. Din punct de vedere științific, această idee poate fi formulată după cum urmează: utilizarea abstracțiilor potrivite duce la o perspectivă mai profundă a esenței problemei și la o putere mai mare în rezolvarea acesteia.

În curând, poate, chiar și Humphrey își va da seama că acum poate întotdeauna să numere.

Cu toate acestea, în ciuda unei perspective atât de nesfârșite, creativitatea noastră are întotdeauna unele limitări. Putem decide ce înțelegem prin 6 și +, dar odată ce o facem, rezultatele unor expresii precum 6 + 6 sunt dincolo de controlul nostru. Aici logica nu ne va lăsa de ales. În acest sens, matematica include întotdeauna atât invenție, cât și deci si deschidere: noi inventa concept, dar deschis consecințele lor. După cum vor arăta în mod clar următoarele capitole, în matematică libertatea noastră constă în capacitatea de a pune întrebări și de a persista în a căuta răspunsuri fără a fi nevoie să le inventăm noi înșine.

2. Aritmetica pietrei

Ca orice fenomen din viață, aritmetica are două laturi: formală și distractivă (sau jucăușă).

Am studiat partea formală la școală. Acolo ne-au explicat cum să lucrăm cu coloane de numere, să le adunăm și să le scădem, cum să le strângem atunci când facem calcule în foi de calcul la completarea declarațiilor fiscale și la pregătirea rapoartelor anuale. Această latură a aritmeticii pare importantă pentru mulți din punct de vedere practic, dar complet lipsită de bucurie.

Puteți face cunoștință cu partea distractivă a aritmeticii doar în procesul de studiu a matematicii superioare {3}. Cu toate acestea, este la fel de firesc ca curiozitatea unui copil {4}.

În eseul „Plaia matematicianului”, Paul Lockhart sugerează să studiem numerele în exemple mai concrete decât de obicei: ne cere să le gândim ca la un număr de pietre. De exemplu, numărul 6 corespunde următorului set de pietricele:

Este puțin probabil să vezi ceva neobișnuit aici. Așa cum este. Până nu începem să manipulăm numerele, ele arată aproape la fel. Jocul începe când primim o sarcină.

De exemplu, să ne uităm la seturi care conțin de la 1 la 10 pietre și să încercăm să facem pătrate din ele. Acest lucru se poate face doar cu două seturi de 4 și 9 pietre, deoarece 4 = 2 × 2 și 9 = 3 × 3. Obținem aceste numere prin pătrarea unui alt număr (adică, aranjarea pietrelor într-un pătrat).

Iată o problemă care are un număr mai mare de soluții: trebuie să aflați care seturi vor forma un dreptunghi dacă aranjați pietrele în două rânduri cu un număr egal de elemente. Aici sunt potrivite seturi de 2, 4, 6, 8 sau 10 pietre; numărul trebuie să fie par. Dacă încercăm să aranjam seturile rămase cu un număr impar de pietre pe două rânduri, vom ajunge invariabil cu o piatră în plus.

Dar nu totul este pierdut pentru aceste numere incomode! Dacă luați două astfel de seturi, atunci elementele suplimentare vor găsi o pereche, iar suma va fi pară: număr impar + număr impar = număr par.

Dacă extindem aceste reguli la numerele după 10 și presupunem că numărul de rânduri dintr-un dreptunghi poate fi mai mare de două, atunci unele numere impare vor permite adăugarea unor astfel de dreptunghiuri. De exemplu, numărul 15 poate forma un dreptunghi de 3 × 5.

Prin urmare, deși 15 este, fără îndoială, un număr impar, este un număr compus și poate fi reprezentat ca trei rânduri a câte cinci pietre fiecare. La fel, orice intrare din tabelul înmulțirii produce propriul grup dreptunghiular de pietricele.

Dar unele numere, cum ar fi 2, 3, 5 și 7, sunt complet fără speranță. Nu puteți așeza nimic din ele decât să le aranjați sub forma unei linii simple (un rând). Acești oameni ciudați încăpățânați sunt numerele prime celebre.

Deci vedem că numerele pot avea structuri ciudate care le conferă un anumit caracter. Dar pentru a înțelege întreaga gamă a comportamentului lor, trebuie să te dai înapoi de la numerele individuale și să observi ce se întâmplă în timpul interacțiunii lor.

De exemplu, în loc să adăugăm doar două numere impare, să adăugăm toate secvențele posibile de numere impare, începând cu 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

În mod surprinzător, aceste sume se dovedesc întotdeauna a fi pătrate perfecte. (Am spus deja că 4 și 9 pot fi reprezentate ca pătrate, iar pentru 16 = 4 × 4 și 25 = 5 × 5 acest lucru este, de asemenea, adevărat.) Un calcul rapid arată că această regulă este valabilă și pentru numerele impare mai mari și , aparent , tinde spre infinit. Dar care este legătura dintre numerele impare cu pietrele lor „în plus” și numerele clasice simetrice care formează pătrate? Asezand pietricelele corect, o putem face evidenta, care este semnul distinctiv al unei dovezi elegante. {5}

Cheia acesteia este observația că numerele impare pot fi reprezentate ca unghiuri echilaterale, a căror suprapunere succesivă formează un pătrat!

Un mod similar de raționament este prezentat într-o altă carte publicată recent. Romanul fermecător al lui Yoko Ogawa The Housekeeper and the Professor spune povestea unei tinere istețe, dar needucate, și a fiului ei de zece ani. O femeie a fost angajată să îngrijească un matematician în vârstă a cărui memorie de scurtă durată, din cauza unei leziuni cerebrale traumatice, păstrează doar informații despre ultimele 80 de minute din viață. Pierdut în prezent, singur în căsuța lui mizerabilă, fără decât numere, profesorul încearcă să comunice cu menajera singurul mod pe care îl știe: întrebând-o de mărimea pantofilor sau de data nașterii și discutând cu ea despre cheltuielile ei. Profesorul ia o plăcere deosebită și fiului menajerului, căruia îi spune Ruth (Rădăcină) deoarece băiatul are capul plat deasupra, iar acest lucru îi amintește de notația matematică pentru rădăcina pătrată √.

Într-o zi, profesorul îi dă băiatului o sarcină simplă - să găsească suma tuturor numerelor de la 1 la 10. După ce Ruth adună cu grijă toate numerele și revine cu răspunsul (55), profesorul îi cere să caute un cale mai usoara. Va fi capabil să găsească răspunsul? fără adunare obișnuită de numere? Ruth lovește un scaun și țipă: „Nu este corect!”

Încetul cu încetul, menajera se lasă atrasă și ea în lumea numerelor și încearcă în secret să rezolve singură această problemă. „Nu înțeleg de ce sunt atât de interesată de un puzzle pentru copii care nu are nicio utilitate practică”, spune ea. „La început am vrut să-i fac pe plac profesorului, dar treptat această lecție s-a transformat într-o luptă între mine și numere. Când m-am trezit dimineața, deja mă aștepta ecuația:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

În 2010, Steven Strogatz a scris o serie de articole despre elementele de bază ale matematicii pentru The New York Times. Articolele au provocat o furtună de încântare. Fiecare rubrică a devenit cea mai populară poveste din ziar și a atras sute de comentarii. Cititorii au cerut mai multe, iar Stephen nu a dezamăgit - a apărut această carte, care a inclus atât părți deja publicate, cât și capitole complet noi.

Matematica pătrunde totul în această lume, inclusiv pe noi înșine, dar, din păcate, puțini oameni înțeleg acest limbaj universal suficient de bine pentru a-i aprecia înțelepciunea și frumusețea. Steven Strogatz este profesorul de matematică la care ai visat în liceu. Un profesor care este capabil să aprindă o scânteie de interes și să insufle o dragoste pe tot parcursul vieții pentru materia sa. În această carte incredibil de ușoară și distractivă, el ne oferă tuturor o a doua șansă de a cunoaște matematica. În fiecare scurt capitol, veți descoperi ceva nou, de la motivul pentru care sunt necesare numere în primul rând până la subiecte precum geometria, calculul integral, statistica și infinitul. Autorul explică idei matematice grozave simplu și elegant, cu exemple strălucitoare pe care oricine le poate înțelege. Această carte este pentru toată lumea. Cei care sunt puțin familiarizați cu matematica se vor familiariza îndeaproape cu ea, iar cei care iubesc matematica vor citi cu plăcere despre „regina științelor”.

Prefaţă

Am un prieten care, în ciuda meșteșugului său (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții din psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce începem să vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că nu numai că aceste simboluri matematice ciudate îi sfidează înțelegerea, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul respingerii lui la matematică este mult mai profund. Habar nu va avea ce fac matematicienii în general și ce înseamnă aceștia când spun că o anumită demonstrație este elegantă. Uneori glumim că trebuie doar să mă așez și să încep să-l învăț de la elementele de bază, literalmente 1 + 1 = 2, și să merg cât mai adânc în matematică.

Și deși această idee pare o nebunie, exact asta voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică superioară, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să poată profita în sfârșit de ea. Și de data aceasta nu va trebui să stai la un birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar te va ajuta să înțelegi ce studiază această disciplină și de ce este atât de fascinantă pentru cei care o înțeleg.

Vom explora modul în care slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea calculului de bază. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - Teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să repoziționați o saltea astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie schimbați înainte de a se căsători - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea unda sinusoidală pe spatele zebrei, puteți auzi ecouri ale teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne influențează viața astăzi, de exemplu, atunci când căutăm restaurante folosind computerul sau încercăm cel puțin să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înfricoșătoare ale pieței de valori.

— Citiți online cartea „Plăcerea lui X” de Stephen Strogatz —

O serie de 15 articole sub titlul general „Fundamentals of Mathematics” a apărut online la sfârșitul lunii ianuarie 2010. Ca răspuns la publicarea lor, au venit scrisori și comentarii de la cititori de toate vârstele, inclusiv mulți studenți și profesori. Au fost și oameni pur și simplu curioși care, dintr-un motiv sau altul, „și-au pierdut drumul” în înțelegerea științei matematice; acum simțeau că au ratat ceva care merită și voiau să încerce din nou. Am fost deosebit de mulțumit de recunoștința părinților mei pentru că, cu ajutorul meu, ei au putut să explice matematica copiilor lor, iar ei înșiși au început să o înțeleagă mai bine. Se părea că până și colegii și tovarășii mei, admiratori înfocați ai acestei științe, le-a făcut plăcere să citească articolele, cu excepția acelor momente în care se întreceau pentru a oferi tot felul de recomandări pentru a-mi îmbunătăți ideea.

În ciuda credinței populare, există un interes clar pentru matematică în societate, deși se acordă puțină atenție acestui fenomen. Tot ce auzim este frica de matematică, și totuși mulți ar dori să încerce să o înțeleagă mai bine. Și odată ce se întâmplă acest lucru, va fi dificil să le smulgi.

Această carte vă va introduce în cele mai complexe și avansate idei din lumea matematicii. Capitolele sunt mici, ușor de citit și nu depind în mod deosebit unul de celălalt. Printre acestea se numără și cele incluse în acea primă serie de articole din New York Times. Așadar, de îndată ce simți o ușoară foame matematică, nu ezita să iei următorul capitol. Dacă doriți să înțelegeți problema care vă interesează mai detaliat, atunci la sfârșitul cărții există note cu informații suplimentare și recomandări despre ce altceva puteți citi despre ea.

Plăcerea lui X - Steven Strogatz (descărcare)

(versiune introductivă)

Și, în sfârșit, vă sugerăm să vizionați un videoclip interesant

Stephen Strogatz

Plăcerea de a X. O călătorie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, publicare în rusă, design. Mann, Ivanov și Ferber LLC, 2014

Toate drepturile rezervate. Nicio parte a versiunii electronice a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau prin orice mijloc, inclusiv postarea pe Internet sau în rețelele corporative, pentru uz privat sau public, fără permisiunea scrisă a proprietarului drepturilor de autor.

Suportul juridic pentru editura este oferit de firma de avocatura Vegas-Lex.

* * *

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Conștiință flexibilă

Carol Dweck

Fizica bursei

James Weatherall

Prefaţă

Am un prieten care, în ciuda meșteșugului său (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții din psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce începem să vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că nu numai că aceste simboluri matematice ciudate îi sfidează înțelegerea, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul respingerii lui la matematică este mult mai profund. Habar nu va avea ce fac matematicienii în general și ce înseamnă aceștia când spun că o anumită demonstrație este elegantă. Uneori glumim că trebuie doar să mă așez și să încep să-l învăț de la elementele de bază, literalmente 1 + 1 = 2, și să merg cât mai adânc în matematică.

Și deși această idee pare o nebunie, exact asta voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică superioară, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să poată profita în sfârșit de ea. Și de data aceasta nu va trebui să stai la un birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar te va ajuta să înțelegi ce studiază această disciplină și de ce este atât de fascinantă pentru cei care o înțeleg.

Vom explora modul în care slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea calculului de bază. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - Teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să repoziționați o saltea astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie schimbați înainte de a se căsători - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea unda sinusoidală pe spatele zebrei, puteți auzi ecouri ale teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne influențează viața astăzi, de exemplu, atunci când căutăm restaurante folosind computerul sau încercăm cel puțin să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înfricoșătoare ale pieței de valori.

O serie de 15 articole sub titlul general „Fundamentals of Mathematics” a apărut online la sfârșitul lunii ianuarie 2010. Ca răspuns la publicarea lor, au venit scrisori și comentarii de la cititori de toate vârstele, inclusiv mulți studenți și profesori. Au fost și oameni pur și simplu curioși care, dintr-un motiv sau altul, „și-au pierdut drumul” în înțelegerea științei matematice; acum simțeau că au ratat ceva care merită și ar dori să încerce din nou. Am fost deosebit de mulțumit de recunoștința părinților mei pentru că, cu ajutorul meu, ei au putut să explice matematica copiilor lor, iar ei înșiși au început să o înțeleagă mai bine. Se părea că până și colegii și tovarășii mei, admiratori înfocați ai acestei științe, le-a făcut plăcere să citească articolele, cu excepția acelor momente în care se întreceau pentru a oferi tot felul de recomandări pentru a-mi îmbunătăți ideea.

În ciuda credinței populare, există un interes clar pentru matematică în societate, deși se acordă puțină atenție acestui fenomen. Tot ce auzim este frica de matematică, și totuși mulți ar dori să încerce să o înțeleagă mai bine. Și odată ce se întâmplă acest lucru, va fi dificil să le smulgi.

Această carte vă va introduce în cele mai complexe și avansate idei din lumea matematicii. Capitolele sunt mici, ușor de citit și nu depind în mod deosebit unul de celălalt. Printre acestea se numără și cele incluse în acea primă serie de articole din New York Times. Așadar, de îndată ce simți o ușoară foame matematică, nu ezita să iei următorul capitol. Dacă doriți să înțelegeți problema care vă interesează mai detaliat, atunci la sfârșitul cărții există note cu informații suplimentare și recomandări despre ce altceva puteți citi despre ea.

Pentru comoditatea cititorilor care preferă o abordare pas cu pas, am împărțit materialul în șase părți, în conformitate cu ordinea tradițională de studiu a subiectelor.

Partea I, Numerele, începe călătoria noastră cu aritmetica la grădiniță și școala primară. Arată cât de utile pot fi numerele și cât de eficiente sunt ele în descrierea lumii din jurul nostru.

Partea a II-a, „Ratorii”, mută atenția de la numerele în sine către relațiile dintre ele. Aceste idei se află în centrul algebrei și sunt primele instrumente pentru a descrie modul în care un lucru îl afectează pe altul, arătând relația cauză-efect a unei varietăți de lucruri: cerere și ofertă, stimul și răspuns - pe scurt, toate tipurile de relații care fac lumea atât de bogată și variată.

Partea a III-a „Figuri” vorbește nu despre numere și simboluri, ci despre figuri și spațiu - domeniul geometriei și trigonometriei. Aceste subiecte, împreună cu descrierea tuturor obiectelor observabile prin forme, raționament logic și dovezi, duc matematica la un nou nivel de precizie.

În partea a IV-a, Timpul pentru o schimbare, ne vom uita la calcul, cea mai interesantă și diversă ramură a matematicii. Calculul face posibilă prezicerea traiectoriei planetelor, ciclurile mareelor ​​și face posibilă înțelegerea și descrierea tuturor proceselor și fenomenelor care se schimbă periodic din Univers și din interiorul nostru. Un loc important în această parte este acordat studiului infinitului, a cărui pacificare a devenit o descoperire care a permis calculelor să funcționeze. Calculul a ajutat la rezolvarea multor probleme care au apărut în lumea antică, iar acest lucru a condus în cele din urmă la o revoluție în știință și în lumea modernă.

Partea a V-a, „Multe fețe ale datelor”, se ocupă de probabilități, statistici, rețele și știința datelor — domenii încă relativ tinere născute din aspectele mai puțin ordonate ale vieții noastre, cum ar fi oportunitatea și norocul, incertitudinea, riscul , variabilitate, haos și interdependență. Folosind instrumentele potrivite de matematică și tipurile adecvate de date, vom învăța să detectăm tipare în fluxul aleatoriei.

La sfârșitul călătoriei noastre din partea a VI-a, „Limitele posibilului”, ne vom apropia de limitele cunoștințelor matematice, regiunea de graniță dintre ceea ce este deja cunoscut și ceea ce este încă evaziv și necunoscut. Vom parcurge din nou subiectele în ordinea cu care suntem deja familiarizați: numere, rapoarte, cifre, modificări și infinit - dar, în același timp, vom analiza fiecare dintre ele mai în profunzime, în încarnarea sa modernă.

Sper că toate ideile descrise în această carte vă vor părea fascinante și vă vor face să exclamați de mai multe ori: „Wow!” Dar întotdeauna trebuie să începi de undeva, așa că să începem cu o activitate simplă, dar fascinantă precum numărarea.

Partea I. Numere

1. Elementele de bază ale numărului: Adăugarea peștelui

Cea mai bună demonstrație a conceptelor de numere pe care am văzut-o vreodată (cea mai clară și amuzantă explicație despre ce sunt numerele și de ce avem nevoie de ele) a fost într-un episod din popularul show pentru copii Sesame Street numit 123: Counting Together „(123 Counter with Me). Humphrey, un personaj bun, dar slab la minte, cu blană roz și nas verde, care lucrează la Hotelul Furry Feet, primește comenzi prin telefon de la oaspeții pinguin la ora prânzului. După ce le-a ascultat cu atenție, Humphrey dă ordinul bucătăriei: „Pește, pește, pește, pește, pește, pește”. Ceea ce vede îl determină pe Ernie să-i spună lui Humphrey despre virtuțile numărului șase.

Această carte este bine completată de:

Quanta

Scott Patterson

creier

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Conștiință flexibilă

Carol Dweck

Fizica bursei

James Weatherall

Bucuria de X

Un tur ghidat al matematicii, de la unu la infinit

Stephen Strogatz

Plăcerea de a X

O călătorie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume

Informații de la editor

Publicat pentru prima dată în limba rusă

Publicat cu permisiunea lui Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Plăcerea de a X. O călătorie fascinantă în lumea matematicii de la unul dintre cei mai buni profesori din lume / Stephen Strogatz; BANDĂ din engleza - M.: Mann, Ivanov și Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Această carte vă poate schimba radical atitudinea față de matematică. Este format din capitole scurte, în fiecare dintre ele vei descoperi ceva nou. Vei învăța cât de utile sunt numerele pentru a studia lumea din jurul tău, vei înțelege frumusețea geometriei, te vei familiariza cu grația calculului integral, te vei convinge de importanța statisticii și vei intra în contact cu infinitul . Autorul explică ideile matematice fundamentale simplu și elegant, cu exemple strălucitoare pe care oricine le poate înțelege.

Toate drepturile rezervate.

Nicio parte a acestei cărți nu poate fi reprodusă sub nicio formă fără permisiunea scrisă a deținătorilor drepturilor de autor.

Suportul juridic pentru editura este oferit de firma de avocatura Vegas-Lex.

© Steven Strogatz, 2012 Toate drepturile rezervate

© Traducere în rusă, publicare în rusă, design. Mann, Ivanov și Ferber LLC, 2014

Prefaţă

Am un prieten care, în ciuda meșteșugului său (este artist), este pasionat de știință. Ori de câte ori ne întâlnim, el vorbește cu entuziasm despre cele mai recente evoluții din psihologie sau mecanică cuantică. Dar de îndată ce începem să vorbim despre matematică, simte un tremur în genunchi, care îl supără foarte tare. Se plânge că nu numai că aceste simboluri matematice ciudate îi sfidează înțelegerea, dar uneori nici nu știe să le pronunțe.

De fapt, motivul respingerii lui la matematică este mult mai profund. Habar nu va avea ce fac matematicienii în general și ce înseamnă aceștia când spun că o anumită demonstrație este elegantă. Uneori glumim că trebuie doar să mă așez și să încep să-l învăț de la elementele de bază, literalmente 1 + 1 = 2, și să merg cât mai adânc în matematică.

Și deși această idee pare o nebunie, exact asta voi încerca să pun în aplicare în această carte. Vă voi ghida prin toate ramurile majore ale științei, de la aritmetică la matematică superioară, pentru ca cei care și-au dorit o a doua șansă să poată profita în sfârșit de ea. Și de data aceasta nu va trebui să stai la un birou. Această carte nu te va face un expert în matematică. Dar te va ajuta să înțelegi ce studiază această disciplină și de ce este atât de fascinantă pentru cei care o înțeleg.

Vom explora modul în care slam dunk-urile lui Michael Jordan pot ajuta la explicarea calculului de bază. Vă voi arăta o modalitate simplă și uimitoare de a înțelege teorema fundamentală a geometriei euclidiene - Teorema lui Pitagora. Vom încerca să ajungem la fundul unora dintre misterele vieții, mari și mici: și-a ucis Jay Simpson soția? cum să repoziționați o saltea astfel încât să reziste cât mai mult posibil; câți parteneri trebuie schimbați înainte de a se căsători - și vom vedea de ce unele infinite sunt mai mari decât altele.

Matematica este peste tot, trebuie doar să înveți să o recunoști. Puteți vedea unda sinusoidală pe spatele zebrei, puteți auzi ecouri ale teoremelor lui Euclid din Declarația de Independență; ce să spun, chiar și în rapoartele seci care au precedat Primul Război Mondial, sunt cifre negative. De asemenea, puteți vedea cum noile domenii ale matematicii ne influențează viața astăzi, de exemplu, atunci când căutăm restaurante folosind computerul sau încercăm cel puțin să înțelegem, sau mai bine zis, să supraviețuim fluctuațiilor înfricoșătoare ale pieței de valori.