Exemple:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cum se rezolvă ecuații exponențiale

Când rezolvăm orice ecuație exponențială, ne străduim să o aducem la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), și apoi facem tranziția la egalitatea exponenților, adică:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

De exemplu:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Important! Din aceeași logică, urmează două cerințe pentru o astfel de tranziție:
- număr în stânga și dreapta ar trebui să fie la fel;
- gradele din stânga și din dreapta trebuie să fie „pure”, adică să nu existe înmulțiri, împărțiri etc.

De exemplu:

Pentru a reduce ecuația la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) și sunt utilizate.

Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Soluţie:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Știm că \(27 = 3^3\). Ținând cont de acest lucru, transformăm ecuația.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Prin proprietatea rădăcinii \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obținem că \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Apoi, folosind proprietatea gradului \((a^b)^c=a^(bc)\), obținem \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		De asemenea, știm că \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplicând aceasta în partea stângă, obținem: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Acum amintiți-vă că: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Această formulă poate fi folosită și în direcția opusă: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Apoi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplicând proprietatea \((a^b)^c=a^(bc)\) în partea dreaptă, obținem: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Și acum bazele noastre sunt egale și nu există coeficienți de interferență etc. Deci putem face tranziția.
		Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Soluţie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Folosim din nou proprietatea puterii \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) în direcția opusă. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Acum amintiți-vă că \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Folosind proprietățile gradelor, transformăm: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Privim cu atenție ecuația și vedem că înlocuirea \(t=2^x\) se sugerează de la sine. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Cu toate acestea, am găsit valorile lui \(t\) și avem nevoie de \(x\). Ne întoarcem la X, făcând o înlocuire inversă. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Să transformăm a doua ecuație folosind proprietatea puterii negative... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...si decidem pana la raspuns. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Răspuns : \(-1; 1\). Întrebarea rămâne - cum să înțelegeți când să folosiți ce metodă? Acest lucru vine cu experiență. Până când l-ați dezvoltat, utilizați recomandarea generală pentru rezolvarea problemelor complexe - „dacă nu știi ce să faci, fă ce poți”. Adică, căutați cum puteți transforma ecuația în principiu și încercați să o faceți - ce se întâmplă dacă ce se întâmplă? Principalul lucru este să faci doar transformări bazate pe matematică. Ecuații exponențiale fără soluții Să ne uităm la încă două situații care deseori îi încurcă pe elevi: - un număr pozitiv la putere este egal cu zero, de exemplu, \(2^x=0\); - un număr pozitiv este egal cu o putere a unui număr negativ, de exemplu, \(2^x=-4\). Să încercăm să rezolvăm prin forță brută. Dacă x este un număr pozitiv, atunci pe măsură ce x crește, întreaga putere \(2^x\) va crește doar: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) De asemenea de către. X-urile negative rămân. Reamintind proprietatea \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificăm: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) În ciuda faptului că numărul devine mai mic cu fiecare pas, nu va ajunge niciodată la zero. Deci gradul negativ nu ne-a salvat. Ajungem la o concluzie logica: Un număr pozitiv în orice grad va rămâne un număr pozitiv. Astfel, ambele ecuații de mai sus nu au soluții. Ecuații exponențiale cu baze diferite În practică, uneori întâlnim ecuații exponențiale cu baze diferite care nu sunt reductibile între ele și, în același timp, cu aceiași exponenți. Ele arată astfel: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere pozitive. De exemplu: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Astfel de ecuații pot fi rezolvate cu ușurință prin împărțirea la oricare dintre laturile ecuației (de obicei împărțită la partea dreaptă, adică la \(b^(f(x))\). Puteți împărți în acest fel deoarece un număr pozitiv este pozitivă pentru orice putere (adică nu împărțim la zero) obținem: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Soluţie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Aici nu vom putea transforma un cinci într-un trei sau invers (cel puțin fără a folosi ). Aceasta înseamnă că nu putem ajunge la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Cu toate acestea, indicatorii sunt aceiași. Să împărțim ecuația la partea dreaptă, adică la \(3^(x+7)\) (putem face acest lucru pentru că știm că trei nu vor fi zero în niciun grad). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Acum amintiți-vă proprietatea \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) și utilizați-o din stânga în direcția opusă. În dreapta, pur și simplu reducem fracția. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) S-ar părea că lucrurile nu s-au îmbunătățit cu nimic. Dar amintiți-vă încă o proprietate a puterii: \(a^0=1\), cu alte cuvinte: „orice număr până la puterea zero este egal cu \(1\).” Este adevărat și invers: „unul poate fi reprezentat ca orice număr la puterea zero”. Să profităm de acest lucru făcând baza din dreapta la fel cu cea din stânga. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Să scăpăm de baze. Scriem un răspuns. Răspuns : \(-7\). Uneori, „asemănarea” exponenților nu este evidentă, dar utilizarea pricepută a proprietăților exponenților rezolvă această problemă. Exemplu . Rezolvați ecuația exponențială \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Soluţie: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ecuația arată foarte trist... Nu numai că bazele nu pot fi reduse la același număr (șapte nu vor fi în niciun caz egal cu \(\frac(1)(3)\)), dar și exponenții sunt diferiți. .. Totuși, să folosim exponentul stânga deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Amintindu-ne de proprietatea \((a^b)^c=a^(b·c)\) , transformăm din stânga: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Acum, amintindu-ne de proprietatea gradului negativ \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformăm din dreapta: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluia! Indicatorii sunt aceiași! Acționând conform schemei deja cunoscute nouă, rezolvăm înainte de răspuns. Răspuns : \(2\).

Echipament:

• calculator,
• proiector multimedia,
• ecran,
• Anexa 1(Prezentare în diapozitive PowerPoint) „Metode pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale”
• Anexa 2(Rezolvarea unei ecuații precum „Trei baze diferite ale puterilor” ​​în Word)
• Anexa 3(fișe în Word pentru lucrări practice).
• Anexa 4(fișă în Word pentru teme).

În timpul orelor

1. Etapa organizatorică

• mesajul subiectului lecției (scris la tablă),
• necesitatea unei lecții generale în clasele 10-11:

Etapa de pregătire a elevilor pentru învățarea activă

Repetiţie

Definiție.

O ecuație exponențială este o ecuație care conține o variabilă cu un exponent (răspunde elevul).

Nota profesorului. Ecuațiile exponențiale aparțin clasei ecuațiilor transcendentale. Acest nume nepronunțat sugerează că astfel de ecuații, în general, nu pot fi rezolvate sub formă de formule.

Ele pot fi rezolvate doar aproximativ prin metode numerice pe computere. Dar cum rămâne cu sarcinile de examen? Trucul este că examinatorul încadrează problema în așa fel încât să permită o soluție analitică. Cu alte cuvinte, puteți (și ar trebui!) să efectuați transformări identice care reduc această ecuație exponențială la cea mai simplă ecuație exponențială. Aceasta cea mai simpla ecuatie se numeste: cea mai simplă ecuație exponențială. Se rezolvă prin logaritm.

Situația cu rezolvarea unei ecuații exponențiale amintește de călătoria printr-un labirint, care a fost inventat special de autorul problemei. Din aceste argumente foarte generale rezultă recomandări foarte specifice.

Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale trebuie:

1. Nu numai că cunoașteți în mod activ toate identitățile exponențiale, dar găsiți și seturile de valori variabile pe care sunt definite aceste identități, astfel încât atunci când utilizați aceste identități să nu obțineți rădăcini inutile și, cu atât mai mult, să nu pierdeți soluții la ecuație.

2. Cunoașteți în mod activ toate identitățile exponențiale.

3. În mod clar, în detaliu și fără erori, efectuați transformări matematice ale ecuațiilor (transferați termeni dintr-o parte a ecuației în alta, fără a uita să schimbați semnul, aduceți fracțiile la un numitor comun etc.). Aceasta se numește cultură matematică. În același timp, calculele în sine ar trebui făcute automat manual, iar capul ar trebui să se gândească la firul general de ghidare al soluției. Transformările trebuie făcute cât mai atent și detaliat posibil. Numai acest lucru va garanta o decizie corectă, fără erori. Și amintiți-vă: o mică eroare aritmetică poate crea pur și simplu o ecuație transcendentală care, în principiu, nu poate fi rezolvată analitic. Se dovedește că ți-ai pierdut drumul și te-ai lovit de peretele labirintului.

4. Cunoașteți metode de rezolvare a problemelor (adică cunoașteți toate căile prin labirintul de soluții). Pentru a naviga corect în fiecare etapă, va trebui (conștient sau intuitiv!):

• defini tip de ecuație;
• amintiți-vă tipul corespunzător metoda de rezolvare sarcini.

Etapa de generalizare şi sistematizare a materialului studiat.

Profesorul, împreună cu elevii folosind un computer, realizează o trecere în revistă a tuturor tipurilor de ecuații exponențiale și a metodelor de rezolvare a acestora și întocmește o diagramă generală. (Se folosește programul informatic educațional al lui L.Ya. Borevsky „Curs de matematică – 2000”, autorul prezentării PowerPoint este T.N. Kuptsova.)

Orez. 1. Figura prezintă o diagramă generală a tuturor tipurilor de ecuații exponențiale.

După cum se poate observa din această diagramă, strategia de rezolvare a ecuațiilor exponențiale este de a reduce ecuația exponențială dată la ecuație, în primul rând, cu aceleaşi baze de grade , și apoi – și cu aceiaşi indicatori de grad.

După ce ați primit o ecuație cu aceleași baze și exponenți, înlocuiți acest exponent cu o nouă variabilă și obțineți o ecuație algebrică simplă (de obicei fracțional-rațională sau pătratică) în raport cu această nouă variabilă.

După ce am rezolvat această ecuație și a făcut înlocuirea inversă, ajungeți la un set de ecuații exponențiale simple care pot fi rezolvate în formă generală folosind logaritmi.

Ecuațiile în care se găsesc numai produsele puterilor (parțiale). Folosind identități exponențiale, este posibil să se reducă aceste ecuații imediat la o bază, în special, la cea mai simplă ecuație exponențială.

Să ne uităm la cum să rezolvăm o ecuație exponențială cu trei baze diferite.

(Dacă profesorul are programul educațional pentru calculator de L.Ya. Borevsky „Cursul de matematică - 2000”, atunci în mod firesc lucrăm cu discul, dacă nu, puteți face o imprimare a acestui tip de ecuație de pe acesta pentru fiecare birou, prezentat mai jos.)

Orez. 2. Planul de rezolvare a ecuației.

Orez. 3.Începeți să rezolvați ecuația

Orez. 4. Terminați de rezolvat ecuația.

Făcând lucrări practice

Determinați tipul de ecuație și rezolvați-o.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Rezumând lecția

Notarea pentru lecție.

Sfârșitul lecției

Pentru profesor

Practicați schema de răspunsuri.

Exercițiu: din lista de ecuații, selectați ecuații de tipul specificat (introduceți numărul răspunsului în tabel):

1. Trei baze de grade diferite
2. Două baze diferite - exponenți diferiți
3. Bazele puterilor - puterile unui număr
4. Aceleași baze – exponenți diferiți
5. Aceleași baze de grade - aceiași indicatori de grade
6. Produsul puterilor
7. Două baze de grade diferite - aceiași indicatori
8. Cele mai simple ecuații exponențiale

1. (produsul puterilor)

2. (aceleași baze – exponenți diferiți)

Rezolvarea majorității problemelor matematice într-un fel sau altul implică transformarea expresiilor numerice, algebrice sau funcționale. Cele de mai sus se aplică în special deciziei. În versiunile examenului de stat unificat la matematică, acest tip de problemă include, în special, sarcina C3. Învățarea rezolvării sarcinilor C3 este importantă nu numai în scopul promovării cu succes a Examenului de stat unificat, ci și pentru motivul că această abilitate va fi utilă atunci când studiezi un curs de matematică în liceu.

Când finalizați sarcinile C3, trebuie să rezolvați diferite tipuri de ecuații și inegalități. Printre acestea se numără raționale, iraționale, exponențiale, logaritmice, trigonometrice, care conțin module (valori absolute), precum și combinate. Acest articol discută principalele tipuri de ecuații exponențiale și inegalități, precum și diferite metode de rezolvare a acestora. Citiți despre rezolvarea altor tipuri de ecuații și inegalități în secțiunea „” din articolele dedicate metodelor de rezolvare a problemelor C3 de la Examenul de stat unificat la matematică.

Înainte de a începe să analizăm specific ecuații exponențiale și inegalități, în calitate de tutore de matematică, vă sugerez să periați ceva material teoretic de care vom avea nevoie.

Functie exponentiala

Ce este o funcție exponențială?

Funcția formei y = un x, Unde A> 0 și A≠ 1 este numit functie exponentiala.

De bază proprietățile funcției exponențiale y = un x:

Graficul unei funcții exponențiale

Graficul funcției exponențiale este exponent:

Grafice ale funcțiilor exponențiale (exponenți)

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

Indicativ se numesc ecuatii in care variabila necunoscuta se gaseste numai in exponenti ai unor puteri.

Pentru solutii ecuații exponențiale trebuie să cunoașteți și să fiți capabil să utilizați următoarea teoremă simplă:

Teorema 1. Ecuație exponențială A f(X) = A g(X) (Unde A > 0, A≠ 1) este echivalentă cu ecuația f(X) = g(X).

În plus, este util să ne amintim formulele și operațiile de bază cu grade:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Exemplul 1. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Folosim formulele de mai sus și înlocuirea:

Ecuația devine atunci:

Discriminantul ecuației patratice rezultate este pozitiv:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini. Le gasim:

Trecând la înlocuirea inversă, obținem:

A doua ecuație nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială este strict pozitivă în întregul domeniu de definiție. Să o rezolvăm pe a doua:

Ținând cont de cele spuse în teorema 1, trecem la ecuația echivalentă: X= 3. Acesta va fi răspunsul la sarcină.

Răspuns: X = 3.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația:

Soluţie: Ecuația nu are restricții în domeniul valorilor permise, deoarece expresia radicală are sens pentru orice valoare X(functie exponentiala y = 9 4 -X pozitiv și nu egal cu zero).

Rezolvăm ecuația prin transformări echivalente folosind regulile de înmulțire și împărțire a puterilor:

Ultima tranziție a fost efectuată în conformitate cu teorema 1.

Răspuns:X= 6.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația:

Soluţie: ambele părți ale ecuației inițiale pot fi împărțite la 0,2 X. Această tranziție va fi echivalentă, deoarece această expresie este mai mare decât zero pentru orice valoare X(funcția exponențială este strict pozitivă în domeniul său de definire). Atunci ecuația ia forma:

Răspuns: X = 0.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația la una elementară prin transformări echivalente folosind regulile de împărțire și înmulțire a puterilor date la începutul articolului:

Împărțirea ambelor părți ale ecuației la 4 X, ca în exemplul anterior, este o transformare echivalentă, deoarece această expresie nu este egală cu zero pentru nicio valoare X.

Răspuns: X = 0.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația:

Soluţie: funcţie y = 3X, aflat în partea stângă a ecuației, este în creștere. Funcţie y = —X-2/3 din partea dreaptă a ecuației este în scădere. Aceasta înseamnă că dacă graficele acestor funcții se intersectează, atunci cel mult un punct. În acest caz, este ușor de ghicit că graficele se intersectează în punctul respectiv X= -1. Nu vor exista alte rădăcini.

Răspuns: X = -1.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația:

Soluţie: simplificăm ecuația prin transformări echivalente, ținând cont peste tot că funcția exponențială este strict mai mare decât zero pentru orice valoare Xși folosind regulile de calcul a produsului și a coeficientului de puteri date la începutul articolului:

Răspuns: X = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale

Indicativ se numesc inegalităţi în care variabila necunoscută este cuprinsă numai în exponenţii unor puteri.

Pentru solutii inegalități exponențiale este necesară cunoașterea următoarei teoreme:

Teorema 2. Dacă A> 1, apoi inegalitatea A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate de același sens: f(X) > g(X). Daca 0< A < 1, то показательное неравенство A f(X) > A g(X) este echivalentă cu o inegalitate cu sens invers: f(X) < g(X).

Exemplul 7. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Să prezentăm inegalitatea inițială sub forma:

Să împărțim ambele părți ale acestei inegalități la 3 2 X, în acest caz (datorită pozitivității funcției y= 3 2X) semnul inegalității nu se va schimba:

Să folosim înlocuirea:

Atunci inegalitatea va lua forma:

Deci, soluția inegalității este intervalul:

Trecând la substituția inversă, obținem:

Datorită pozitivității funcției exponențiale, inegalitatea din stânga este satisfăcută automat. Folosind proprietatea binecunoscută a logaritmului, trecem la inegalitatea echivalentă:

Deoarece baza gradului este un număr mai mare decât unu, echivalentul (prin teorema 2) este trecerea la următoarea inegalitate:

Deci, în sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 8. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie: Folosind proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor, rescriem inegalitatea sub forma:

Să introducem o nouă variabilă:

Ținând cont de această substituție, inegalitatea ia forma:

Înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu 7, obținem următoarea inegalitate echivalentă:

Deci, următoarele valori ale variabilei satisfac inegalitatea t:

Apoi, trecând la substituția inversă, obținem:

Deoarece baza gradului aici este mai mare decât unu, trecerea la inegalitate va fi echivalentă (prin teorema 2):

În sfârșit, obținem Răspuns:

Exemplul 9. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Împărțim ambele părți ale inegalității prin expresia:

Este întotdeauna mai mare decât zero (datorită pozitivității funcției exponențiale), deci nu este nevoie să schimbați semnul inegalității. Primim:

t situat în intervalul:

Trecând la substituția inversă, aflăm că inegalitatea inițială se împarte în două cazuri:

Prima inegalitate nu are soluții datorită pozitivității funcției exponențiale. Să o rezolvăm pe a doua:

Exemplul 10. Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ramuri de parabolă y = 2X+2-X 2 sunt îndreptate în jos, de aceea este limitată de sus de valoarea pe care o atinge la vârful său:

Ramuri de parabolă y = X 2 -2X+2 din indicator sunt îndreptați în sus, ceea ce înseamnă că este limitat de jos de valoarea pe care o atinge la vârful său:

În același timp, funcția se dovedește a fi mărginită de jos y = 3 X 2 -2X+2, care se află în partea dreaptă a ecuației. Ea atinge cea mai mică valoare în același punct cu parabola din exponent, iar această valoare este 3 1 = 3. Deci, inegalitatea inițială poate fi adevărată numai dacă funcția din stânga și funcția din dreapta iau valoarea , egal cu 3 (intersecția intervalelor de valori ale acestor funcții este doar acest număr). Această condiție este îndeplinită într-un singur punct X = 1.

Răspuns: X= 1.

Pentru a învăța să decidă ecuații exponențiale și inegalități, este necesar să ne antrenăm constant în rezolvarea lor. Diverse materiale didactice, cărți de probleme la matematică elementară, culegeri de probleme competitive, cursuri de matematică la școală, precum și lecții individuale cu un tutore profesionist vă pot ajuta în această sarcină dificilă. Vă doresc din suflet succes în pregătirea dumneavoastră și rezultate excelente la examen.

Serghei Valerievici

P.S. Dragi oaspeți! Vă rugăm să nu scrieți solicitări pentru a vă rezolva ecuațiile în comentarii. Din păcate, nu am absolut timp pentru asta. Astfel de mesaje vor fi șterse. Vă rugăm să citiți articolul. Poate că în el veți găsi răspunsuri la întrebări care nu v-au permis să vă rezolvați singur sarcina.

Prelegere: „Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale.”

1 . Ecuații exponențiale.

Ecuațiile care conțin necunoscute în exponenți se numesc ecuații exponențiale. Cea mai simplă dintre ele este ecuația ax = b, unde a > 0, a ≠ 1.

1) La b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pentru b > 0, folosind monotonitatea funcției și teorema rădăcinii, ecuația are o rădăcină unică. Pentru a-l găsi, b trebuie reprezentat sub forma b = aс, аx = bс ó x = c sau x = logab.

Ecuațiile exponențiale prin transformări algebrice conduc la ecuații standard, care se rezolvă folosind următoarele metode:

1) metoda de reducere la o bază;

2) metoda de evaluare;

3) metoda grafica;

4) metoda de introducere a noilor variabile;

5) metoda factorizării;

6) ecuații exponențiale – putere;

7) demonstrativ cu un parametru.

2 . Metoda de reducere la o bază.

Metoda se bazează pe următoarea proprietate a gradelor: dacă două grade sunt egale și bazele lor sunt egale, atunci exponenții lor sunt egali, adică trebuie să încercați să reduceți ecuația la forma

Exemple. Rezolvați ecuația:

1 . 3x = 81;

Să reprezentăm partea dreaptă a ecuației sub forma 81 = 34 și să scriem ecuația echivalentă cu originalul 3 x = 34; x = 4. Răspuns: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">și să trecem la ecuația pentru exponenții 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Răspuns: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Rețineți că numerele 0,2, 0,04, √5 și 25 reprezintă puteri ale lui 5. Să profităm de acest lucru și să transformăm ecuația inițială după cum urmează:

, de unde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, din care găsim soluția x = -1. Raspunsul 1.

5. 3x = 5. Prin definiția logaritmului, x = log35. Răspuns: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Să rescriem ecuația sub forma 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, adică..png" width="181" height="49 src="> Prin urmare x – 4 =0, x = 4. Răspuns: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Folosind proprietățile puterilor, scriem ecuația sub forma 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 apoi 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, adică x+1 = 2, x =1. Raspunsul 1.

Banca cu probleme nr. 1.

Rezolvați ecuația:

Testul nr. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) fără rădăcini
	1) 7;1 2) fără rădăcini 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Testul nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) fără rădăcini 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda de evaluare.

Teorema rădăcinii: dacă funcția f(x) crește (descrește) pe intervalul I, numărul a este orice valoare luată de f pe acest interval, atunci ecuația f(x) = a are o singură rădăcină pe intervalul I.

La rezolvarea ecuațiilor folosind metoda de estimare se utilizează această teoremă și proprietățile de monotonitate ale funcției.

Exemple. Rezolvarea ecuațiilor: 1. 4x = 5 – x.

Soluţie. Să rescriem ecuația ca 4x +x = 5.

1. dacă x = 1, atunci 41+1 = 5, 5 = 5 este adevărat, ceea ce înseamnă că 1 este rădăcina ecuației.

Funcția f(x) = 4x – crește pe R, iar g(x) = x – crește pe R => h(x)= f(x)+g(x) crește pe R, ca suma funcțiilor crescătoare, atunci x = 1 este singura rădăcină a ecuației 4x = 5 – x. Raspunsul 1.

2.

Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma .

1. dacă x = -1, atunci , 3 = 3 este adevărat, ceea ce înseamnă că x = -1 este rădăcina ecuației.

2. dovedesc că el este singurul.

3. Funcția f(x) = - scade pe R, iar g(x) = - x – scade pe R=> h(x) = f(x)+g(x) – scade pe R, ca suma dintre functii in scadere. Aceasta înseamnă, conform teoremei rădăcinii, x = -1 este singura rădăcină a ecuației. Raspunsul 1.

Banca cu probleme nr. 2. Rezolvați ecuația

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda introducerii de noi variabile.

Metoda este descrisă în paragraful 2.1. Introducerea unei noi variabile (substituție) se realizează de obicei după transformări (simplificare) termenilor ecuației. Să ne uităm la exemple.

Exemple. R Rezolvați ecuația: 1. .

Să rescriem altfel ecuația: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = „45”>

Soluţie. Să rescriem altfel ecuația:

Să desemnăm https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nu este potrivit.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ecuație irațională. Observăm că

Soluția ecuației este x = 2,5 ≤ 4, ceea ce înseamnă că 2,5 este rădăcina ecuației. Răspuns: 2.5.

Soluţie. Să rescriem ecuația sub forma și să împărțim ambele părți la 56x+6 ≠ 0. Obținem ecuația

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Rădăcinile ecuației pătratice sunt t1 = 1 și t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Soluţie . Să rescriem ecuația sub forma

și rețineți că este o ecuație omogenă de gradul doi.

Împărțiți ecuația la 42x, obținem

Să înlocuim https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Răspuns: 0; 0,5.

Banca cu probleme nr. 3. Rezolvați ecuația

b)

G)

Testul nr. 3 cu o alegere de răspunsuri. Nivel minim.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) fără rădăcini 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) fără rădăcini 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testul nr. 4 cu o alegere de răspunsuri. Nivel general.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) fără rădăcini

5. Metoda factorizării.

1. Rezolvați ecuația: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Soluție..png" width="169" height="69"> , de unde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Soluţie. Să punem 6x din paranteze în partea stângă a ecuației și 2x în partea dreaptă. Obținem ecuația 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Deoarece 2x >0 pentru tot x, putem împărți ambele părți ale acestei ecuații la 2x fără teama de a pierde soluții. Obținem 3x = 1ó x = 0.

3.

Soluţie. Să rezolvăm ecuația folosind metoda factorizării.

Să selectăm pătratul binomului

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 este rădăcina ecuației.

Ecuația x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testul nr. 6 Nivel general.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponențial – ecuații de putere.

Adiacente ecuațiilor exponențiale sunt așa-numitele ecuații de putere exponențială, adică ecuații de forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Dacă se știe că f(x)>0 și f(x) ≠ 1, atunci ecuația, ca și cea exponențială, se rezolvă prin echivalarea exponenților g(x) = f(x).

Dacă condiția nu exclude posibilitatea f(x)=0 și f(x)=1, atunci trebuie să luăm în considerare aceste cazuri atunci când rezolvăm o ecuație exponențială.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Soluţie. x2 +2x-8 – are sens pentru orice x, deoarece este un polinom, ceea ce înseamnă că ecuația este echivalentă cu totalitatea

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Ecuații exponențiale cu parametri.

1. Pentru ce valori ale parametrului p are o soluție unică ecuația 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1)?

Soluţie. Să introducem înlocuirea 2x = t, t > 0, atunci ecuația (1) va lua forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminantul ecuației (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ecuația (1) are o soluție unică dacă ecuația (2) are o rădăcină pozitivă. Acest lucru este posibil în următoarele cazuri.

1. Dacă D = 0, adică p = 1, atunci ecuația (2) va lua forma t2 – 2t + 1 = 0, deci t = 1, prin urmare, ecuația (1) are o soluție unică x = 0.

2. Dacă p1, atunci 9(p – 1)2 > 0, atunci ecuația (2) are două rădăcini diferite t1 = p, t2 = 4p – 3. Condițiile problemei sunt îndeplinite de o mulțime de sisteme

Înlocuind t1 și t2 în sisteme, avem

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Soluţie. Lăsa atunci ecuația (3) va lua forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Să găsim valorile parametrului a pentru care cel puțin o rădăcină a ecuației (4) satisface condiția t > 0.

Să introducem funcția f(t) = t2 – 6t – a. Următoarele cazuri sunt posibile.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Cazul 2. Ecuația (4) are o soluție pozitivă unică dacă

D = 0, dacă a = – 9, atunci ecuația (4) va lua forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Cazul 3. Ecuația (4) are două rădăcini, dar una dintre ele nu satisface inegalitatea t > 0. Acest lucru este posibil dacă

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Astfel, pentru a 0, ecuația (4) are o singură rădăcină pozitivă . Atunci ecuația (3) are o soluție unică

Când un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

în cazul în care o< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
dacă a = – 9, atunci x = – 1;

dacă a  0, atunci

Să comparăm metodele de rezolvare a ecuațiilor (1) și (3). Rețineți că atunci când rezolvarea ecuației (1) a fost redusă la o ecuație pătratică, al cărei discriminant este un pătrat perfect; Astfel, rădăcinile ecuației (2) au fost imediat calculate folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, iar apoi s-au tras concluzii cu privire la aceste rădăcini. Ecuația (3) a fost redusă la o ecuație pătratică (4), al cărei discriminant nu este un pătrat perfect, prin urmare, la rezolvarea ecuației (3), este recomandabil să folosiți teoreme privind locația rădăcinilor unui trinom pătratic. și un model grafic. Rețineți că ecuația (4) poate fi rezolvată folosind teorema lui Vieta.

Să rezolvăm ecuații mai complexe.

Problema 3: Rezolvați ecuația

Soluţie. ODZ: x1, x2.

Să introducem un înlocuitor. Fie 2x = t, t > 0, apoi, ca urmare a transformărilor, ecuația va lua forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Să găsim valorile lui a pentru care cel puțin o rădăcină a lui ecuația (*) îndeplinește condiția t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Răspuns: dacă a > – 13, a  11, a  5, atunci dacă a – 13,

a = 11, a = 5, atunci nu există rădăcini.

Bibliografie.

1. Fundamentele Guzeev ale tehnologiei educaționale.

2. Tehnologia Guzeev: de la recepție la filozofie.

M. „Directorul școlii” nr. 4, 1996

3. Guzeev și forme organizaționale de formare.

4. Guzeev și practica tehnologiei educaționale integrale.

M. „Educația publică”, 2001

5. Guzeev din formele unei lecții - seminar.

Matematica la scoala nr 2, 1987 p. 9 – 11.

6. Tehnologii educaționale Seleuko.

M. „Învăţământul public”, 1998

7. școlari Episheva să studieze matematica.

M. „Iluminismul”, 1990

8. Ivanova pregătește lecții - ateliere.

Matematica la scoala nr.6, 1990 p. 37 – 40.

9. Modelul lui Smirnov de predare a matematicii.

Matematica la scoala nr.1, 1997 p. 32 – 36.

10. Tarasenko moduri de organizare a lucrărilor practice.

Matematica la scoala nr.1, 1993 p. 27 – 28.

11. Despre unul dintre tipurile de muncă individuală.

Matematica la scoala nr 2, 1994, p. 63 – 64.

12. Khazankin abilitățile creative ale școlarilor.

Matematica la scoala nr.2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Editura, 1997

14. şi altele.Algebra şi începuturile analizei. Materiale didactice pt

15. Sarcini Krivonogov în matematică.

M. „Primul septembrie”, 2002

16. Cerkasov. Manual pentru elevii de liceu și

intrarea la universitati. „A S T - școala de presă”, 2002

17. Zhevnyak pentru cei care intră în universități.

„Revista Minsk și Federația Rusă”, 1996

18. Scris D. Ne pregătim pentru examenul la matematică. M. Rolf, 1999

19. etc.Învăţarea rezolvării ecuaţiilor şi inegalităţilor.

M. „Intelectul – Centru”, 2003

20. etc.Materiale educaţionale şi de instruire pentru pregătirea pentru EGE.

M. „Intelligence – Centru”, 2003 și 2004.

21 și altele.Opțiuni CMM. Centrul de testare al Ministerului Apărării al Federației Ruse, 2002, 2003.

22. Ecuații Goldberg. „Quantum” nr. 3, 1971

23. Volovich M. Cum se preda cu succes matematica.

Matematică, 1997 Nr. 3.

24 Okunev pentru lecție, copii! M. Educaţie, 1988

25. Yakimanskaya - învățarea orientată la școală.

26. Liimets lucreaza in clasa. M. Cunoașterea, 1975