Boki są równymi kątami pięciokąta. Odkryto nowy typ pięciokątów pokrywających samolot

Pięciokąt to figura geometryczna o pięciu kątach. Ponadto z punktu widzenia geometrii do kategorii pięciokątów zalicza się wszelkie wielokąty posiadające tę cechę, niezależnie od położenia ich boków.

Suma kątów pięciokąta

Pięciokąt to tak naprawdę wielokąt, dlatego do obliczenia sumy jego kątów można posłużyć się wzorem przyjętym do obliczenia określonej sumy w stosunku do wielokąta o dowolnej liczbie kątów. Powyższe traktuje sumę kątów wielokąta jako następującą równość: suma kątów = (n - 2) * 180°, gdzie n jest liczbą kątów w żądanym wielokącie.

Zatem w przypadku, gdy konkretnie mówimy o , wartość n w tym wzorze będzie równa 5. Zatem podstawiając podaną wartość n do wzoru, okazuje się, że suma kątów pięciokąta będzie wynosić wynosić 540°. Należy jednak mieć na uwadze, że zastosowanie tego wzoru w odniesieniu do konkretnego pięciokąta wiąże się z szeregiem ograniczeń.

Rodzaje pięciokątów

Faktem jest, że wskazany wzór, który ma, podobnie jak w przypadku innych typów tych figur geometrycznych, można zastosować tylko wtedy, gdy mówimy o tzw. Wielokącie wypukłym. To z kolei jest figurą geometryczną, która spełnia warunek: wszystkie jej punkty leżą po jednej stronie prostej przechodzącej pomiędzy dwoma sąsiednimi wierzchołkami.

Zatem istnieje cała kategoria pięciokątów, których suma kątów będzie się różnić od wskazanej wartości. Na przykład jednym z wariantów niewypukłego pięciokąta jest figura geometryczna w kształcie gwiazdy. Pięciokąt gwiazdowy można również uzyskać za pomocą całego zestawu przekątnych pięciokąta foremnego, czyli pięciokąta: w tym przypadku powstałą figurę geometryczną nazwiemy pentagramem, który ma równe kąty. W tym przypadku suma wskazanych kątów będzie wynosić 180°.

Sensacja w świecie matematyki. Odkryto nowy typ pięciokątów, które pokrywają płaszczyznę bez przerw i zakładek.

To dopiero piętnasty typ takich pięciokątów i pierwszy odkryty w ciągu ostatnich 30 lat.

Płaszczyzna pokryta jest trójkątami i czworokątami o dowolnym kształcie, ale w przypadku pięciokątów wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane i interesujące. Regularne pięciokąty nie mogą pokrywać płaszczyzny, ale niektóre nieregularne pięciokąty mogą. Poszukiwanie takich figur jest od stu lat jednym z najciekawszych problemów matematycznych. Poszukiwania rozpoczęły się w 1918 r., kiedy matematyk Karl Reinhard odkrył pięć pierwszych odpowiednich cyfr.

Przez długi czas wierzono, że Reinhard obliczył wszystkie możliwe wzory i że takich pięciokątów już nie ma, jednak w 1968 roku matematyk R.B. Kershner znalazł jeszcze trzy, a Richard James w 1975 roku zwiększył ich liczbę do dziewięciu. W tym samym roku 50-letnia amerykańska gospodyni domowa i miłośniczka matematyki Marjorie Rice opracowała własną metodę notacji i w ciągu kilku lat odkryła cztery kolejne pięciokąty. Wreszcie w 1985 roku Rolf Stein zwiększył liczbę figurek do czternastu.

Pięciokąty pozostają jedyną postacią, co do której pozostaje niepewność i tajemnica. W 1963 roku udowodniono, że istnieją tylko trzy rodzaje sześciokątów pokrywających samolot. Nie ma takich trójkątów wśród wypukłych siedmiokątnych, ośmiokątnych i tak dalej. Ale w przypadku Pentagonu nie wszystko jest jeszcze całkowicie jasne.

Do dziś znanych było jedynie 14 typów takich pięciokątów. Pokazano je na ilustracji. Wzory dla każdego z nich podane są w linku.

Przez 30 lat nikt nie mógł znaleźć niczego nowego i wreszcie długo oczekiwane odkrycie! Opracowała go grupa naukowców z Uniwersytetu Waszyngtońskiego: Casey Mann, Jennifer McLoud i David Von Derau. Tak wygląda ten mały przystojniak.

„Odkryliśmy ten kształt, przeszukując komputerowo dużą, ale ograniczoną liczbę odmian” – mówi Casey Mann. „Oczywiście jesteśmy bardzo podekscytowani i trochę zaskoczeni, że udało nam się odkryć nowy typ pięciokąta”.

Odkrycie wydaje się czysto abstrakcyjne, ale faktycznie może mieć praktyczne zastosowania. Na przykład przy produkcji płytek wykończeniowych.

Poszukiwania nowych pięciokątów pokrywających samolot z pewnością będą kontynuowane.

Słownik objaśniający Ożegowa stwierdza, że ​​pięciokąt jest ograniczony pięcioma przecinającymi się liniami tworzącymi pięć kątów wewnętrznych, a także dowolnym obiektem o podobnym kształcie. Jeśli dany wielokąt ma wszystkie te same boki i kąty, nazywa się go foremnym (pięciokątem).

Co jest interesującego w pięciokącie foremnym?

To właśnie w takiej formie powstał znany budynek Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych. Z trójwymiarowych regularnych wielościanów tylko dwunastościan ma ściany w kształcie pięciokąta. A w naturze absolutnie nie ma kryształów, których twarze przypominałyby regularny pięciokąt. Ponadto figura ta jest wielokątem o minimalnej liczbie kątów, którego nie można użyć do pokrycia obszaru. Tylko pięciokąt ma taką samą liczbę przekątnych, jak liczba boków. Zgadzam się, to interesujące!

Podstawowe właściwości i wzory

Używając wzorów dla dowolnego wielokąta foremnego, możesz określić wszystkie niezbędne parametry pięciokąta.

• Kąt środkowy α = 360 / n = 360/5 =72°.
• Kąt wewnętrzny β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Odpowiednio suma kątów wewnętrznych wynosi 540°.
• Stosunek przekątnej do boku wynosi (1+√5)/2, czyli (około 1,618).
• Długość boku pięciokąta foremnego można obliczyć za pomocą jednego z trzech wzorów, w zależności od tego, który parametr jest już znany:

• jeśli wokół niego opisano okrąg i znany jest jego promień R, to a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• w przypadku, gdy okrąg o promieniu r jest wpisany w pięciokąt foremny, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• zdarza się, że zamiast promieni znana jest wartość przekątnej D, wówczas bok wyznacza się w następujący sposób: a ≈ D/1,618.

• Pole pięciokąta foremnego określa się ponownie w zależności od tego, jaki parametr znamy:
• jeśli istnieje okrąg wpisany lub opisany, wówczas stosuje się jedną z dwóch formuł:

S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r lub S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;

• Pole można również wyznaczyć znając tylko długość boku a:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Regularny pięciokąt: konstrukcja

Tę figurę geometryczną można konstruować na różne sposoby. Przykładowo wpasuj go w okrąg o zadanym promieniu lub zbuduj na podstawie danego boku. Sekwencja działań została opisana w Elementach Euklidesa około 300 roku p.n.e. W każdym razie będziemy potrzebować kompasu i linijki. Rozważmy metodę konstrukcji wykorzystującą dany okrąg.

1. Wybierz dowolny promień i narysuj okrąg, zaznaczając jego środek punktem O.

2. Na linii okręgu wybierz punkt, który będzie jednym z wierzchołków naszego pięciokąta. Niech to będzie punkt A. Połącz punkty O i A linią prostą.

3. Narysuj linię przechodzącą przez punkt O prostopadle do linii OA. Oznacz przecięcie tej prostej z linią okręgu jako punkt B.

4. W połowie drogi pomiędzy punktami O i B skonstruuj punkt C.

5. Narysuj teraz okrąg, którego środek będzie w punkcie C i który przejdzie przez punkt A. Miejscem jego przecięcia z prostą OB (będzie wewnątrz pierwszego okręgu) będzie punkt D.

6. Skonstruuj okrąg przechodzący przez D, którego środek będzie w punkcie A. Miejsca jego przecięcia z pierwotnym okręgiem należy oznaczyć punktami E i F.

7. Skonstruuj teraz okrąg, którego środek będzie w punkcie E. Należy to zrobić tak, aby przechodził przez punkt A. Należy zaznaczyć jego drugie przecięcie z pierwotnym okręgiem

8. Na koniec skonstruuj okrąg przechodzący przez A ze środkiem w punkcie F. Oznacz drugie przecięcie pierwotnego okręgu punktem H.

9. Teraz pozostaje tylko połączyć wierzchołki A, E, G, H, F. Nasz pięciokąt foremny będzie gotowy!

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5$

{2}};

Zwykły pięciokąt(Grecki πενταγωνον ) - figura geometryczna, wielokąt foremny z pięcioma bokami.

Nieruchomości

• Dwunastościan jest jedynym wielościanem foremnym, którego ściany są pięciokątami foremnymi.
• Pentagon, budynek Departamentu Obrony USA, ma kształt foremnego pięciokąta.
• Pięciokąt foremny to wielokąt foremny o najmniejszej liczbie kątów, którego nie można umieścić na płaszczyźnie.
• W naturze nie ma kryształów o twarzach w kształcie pięciokąta foremnego.
• Pięciokąt ze wszystkimi jego przekątnymi jest rzutem 4-simpleksu.

Zobacz też

Napisz recenzję na temat artykułu „Zwykły Pentagon”

Notatki

Według liczby boków Prawidłowy Trójkąty Czworoboki Zobacz też

Wielokąty Wielokąty gwiazdowe Parkiety w samolocie Regularne wielościany i parkiety kuliste Wielościany Keplera-Poinsota Plaster miodu Wielościany czterowymiarowe

Fragment charakteryzujący Regularny Pentagon

Petya nie wiedział, jak długo to trwało: dobrze się bawił, nieustannie był zaskoczony swoją przyjemnością i żałował, że nie miał komu tego powiedzieć. Obudził go delikatny głos Lichaczewa.
- Gotowy, Wysoki Sądzie, podzielicie strażnika na dwie części.
Petya obudziła się.
- Już świta, naprawdę, świta! - Krzyknął.
Niewidoczne wcześniej konie stały się widoczne aż po ogony, a przez nagie gałęzie prześwitało wodniste światło. Petya otrząsnął się, podskoczył, wyjął z kieszeni rubla i dał Lichaczowowi, pomachał, przymierzył szablę i włożył do pochwy. Kozacy odwiązali konie i zacisnęli popręgi.
„Oto dowódca” – powiedział Lichaczow. Denisow wyszedł z wartowni i wołając Petyę, kazał im się przygotować.

Szybko w półmroku rozebrano konie, zaciągnięto popręgi i posegregowano drużyny. Denisow stał w wartowni i wydawał ostatnie rozkazy. Piechota oddziału, uderzając na odległość trzydziestu metrów, pomaszerowała naprzód drogą i szybko zniknęła między drzewami we mgle przedświtu. Ezaul rozkazał coś Kozakom. Petya trzymał konia na wodzach, niecierpliwie czekając na rozkaz dosiadania. Obmyty zimną wodą twarz, zwłaszcza oczy, płonęły ogniem, po plecach przebiegł mu dreszcz, a coś w całym ciele drżało szybko i równomiernie.
- Cóż, czy wszystko jest dla ciebie gotowe? - powiedział Denisow. - Daj nam konie.
Sprowadzono konie. Denisow rozgniewał się na Kozaka, ponieważ popręgi były słabe, i zbeształ go, usiadł. Petya chwycił strzemię. Koń z przyzwyczajenia chciał ugryźć go w nogę, ale Petya, nie czując jego ciężaru, szybko wskoczył na siodło i oglądając się na huzarów, którzy poruszali się w ciemności, podjechał do Denisowa.
- Wasilij Fiodorowicz, powierzysz mi coś? Proszę... na litość boską... - powiedział. Wydawało się, że Denisow zapomniał o istnieniu Petyi. Spojrzał na niego.
„Proszę cię o jedno” – powiedział surowo – „abyś był mi posłuszny i nigdzie się nie wtrącał”.
Przez całą podróż Denisow nie odezwał się ani słowem do Petyi i jechał w milczeniu. Kiedy dotarliśmy na skraj lasu, pole wyraźnie się rozjaśniło. Denisow rozmawiał szeptem z esaulem, a Kozacy zaczęli przejeżdżać obok Petyi i Denisowa. Kiedy wszyscy przeszli, Denisow dosiadł konia i zjechał w dół. Siedząc na zadzie i ślizgając się, konie wraz z jeźdźcami zjechały do ​​wąwozu. Petya jechała obok Denisowa. Drżenie całego jego ciała nasiliło się. Robiło się coraz jaśniej, tylko mgła zasłaniała odległe obiekty. Schodząc i oglądając się za siebie, Denisow skinął głową stojącemu obok Kozakowi.
- Sygnał! - powiedział.
Kozak podniósł rękę i rozległ się strzał. I w tej samej chwili z przodu rozległ się tętent galopujących koni, krzyki z różnych stron i kolejne strzały.
W tej samej chwili, gdy rozległy się pierwsze odgłosy tupania i krzyków, Petya, uderzając konia i puszczając wodze, nie słuchając krzyczącego na niego Denisowa, pogalopował do przodu. Petyi wydawało się, że nagle wzeszło jasno jak w środku dnia, w chwili, gdy rozległ się strzał. Pogalopował w stronę mostu. Kozacy galopowali drogą przed nami. Na moście spotkał opóźnionego Kozaka i jechał dalej. Kilku ludzi z przodu – musieli to być Francuzi – biegło z prawej strony drogi na lewą. Jeden wpadł w błoto pod nogami konia Petyi.
Kozacy tłoczyli się wokół jednej chaty, coś robiąc. Ze środka tłumu rozległ się straszny krzyk. Petya podbiegł do tego tłumu i pierwszą rzeczą, którą zobaczył, była blada twarz Francuza z drżącą dolną szczęką, trzymającego się drzewca lancy wycelowanej w niego.
„Hurra!… Chłopaki… nasi…” – krzyknął Petya i dając lejce przegrzanemu koniowi, pogalopował ulicą.
Z przodu słychać było strzały. Kozacy, husaria i obdarci jeńcy rosyjscy, biegnący z obu stron drogi, krzyczeli coś głośno i niezdarnie. Przystojny Francuz bez kapelusza, z czerwoną, marszczącą twarz, w niebieskim palcie, walczył bagnetem z huzarami. Kiedy Petya galopował w górę, Francuz już upadł. Znowu się spóźniłem, Petya błysnął w głowie i pogalopował tam, gdzie słychać było częste strzały. Na dziedzińcu dworu, w którym wczoraj wieczorem przebywał z Dołochowem, rozległy się strzały. Francuzi usiedli tam za płotem w gęstym, zarośniętym krzakami ogrodzie i strzelali do Kozaków stłoczonych przy bramie. Zbliżając się do bramy, Petya w dymie prochowym zobaczył Dołochowa o bladej, zielonkawej twarzy, krzyczącego coś do ludzi. „Jedź objazdem! Poczekaj na piechotę!” - krzyknął, podczas gdy Petya podjechał do niego.
„Czekaj?.. Hurra!…” krzyknął Petya i bez wahania ani minuty pogalopował do miejsca, z którego słychać było strzały i gdzie dym prochowy był gęstszy. Słychać było salwę, zapiszczały puste kule i trafiły w coś. Kozacy i Dołochow galopowali za Petyą przez bramy domu. Francuzi w unoszącym się gęstym dymie jedni rzucili broń i wybiegli z krzaków na spotkanie Kozaków, inni zbiegli w dół do stawu. Pietia galopował na koniu po dworskim podwórzu i zamiast trzymać lejce, dziwnie i szybko machał obiema rękami i opadał coraz dalej z siodła na bok. Koń, wbiegając w tlący się w porannym świetle ogień, odpoczął, a Petya ciężko upadł na mokrą ziemię. Kozacy widzieli, jak szybko drżały mu ręce i nogi, mimo że głowa się nie poruszała. Kula przebiła mu głowę.
Po rozmowie ze starszym oficerem francuskim, który wyszedł do niego zza domu z szalikiem na mieczu i oznajmił, że się poddają, Dołochow zsiadł z konia i podszedł do Petyi, która leżała bez ruchu z wyciągniętymi ramionami.
„Gotowi” - powiedział marszcząc brwi i przeszedł przez bramę na spotkanie Denisowa, który zbliżał się do niego.
- Zabity?! - krzyknął Denisow, widząc z daleka znajomą, niewątpliwie martwą pozycję, w której leżało ciało Petyi.
„Gotowi” – ​​powtórzył Dołochow, jakby wymówienie tego słowa sprawiało mu przyjemność, i szybko podszedł do więźniów, których otaczali zsiadani Kozacy. - Nie weźmiemy tego! – krzyknął do Denisowa.

Pisaliśmy już, że pitagorejczycy postrzegali świat jako zorganizowany według praw harmonii liczbowej. Odkryli, że postrzeganie harmonii w muzyce jest powiązane z pewnymi relacjami między liczbami (patrz Harmonia Pitagorasa); Okazuje się jednak, że wizualna harmonia wiąże się także z pewnymi relacjami pomiędzy różnymi segmentami. Pod tym względem najbardziej znana jest złota proporcja – metoda podziału odcinka na dwie nierówne części, w której cały odcinek odnosi się do większej części, tak jak większy ma się do mniejszego:

Rzeźbiarz Polikleitos opracował ideę kanonu (reguły) przedstawiania proporcjonalnego ciała ludzkiego i wyraźnie ucieleśniał swój kanon w posągu „Doriphorus” („Włócznik”), zwanym po prostu „Kanonem”. Złoty podział jest obecny w obfitości w proporcjach posągu. Na przykład stosunek wysokości dolnej i górnej części, na który pępek dzieli posąg, jest równy złotemu podziałowi; z kolei nasada szyi dzieli górną część również w złotej proporcji; kolana dzielą dolną część w złotej proporcji itp.

W okresie renesansu naukowcy i artyści zainteresowali się złotym podziałem. Włoski matematyk Luca Pacioli zadedykował mu swoją książkę „Boska proporcja”. A jego przyjaciel, wielki Leonardo da Vinci, jest właścicielem terminu „złoty podział” (starożytni nazywali go zwykle „podziałem odcinka na stosunek skrajny i średni”). „Złoty podział” często pojawia się w dziełach Rafaela, Michała Anioła i Dürera.

Johannes Kepler, któremu nie są obce pitagorejskie idee dotyczące leżącej u podstaw numerycznej harmonii Wszechświata, powiedział, że geometria ma dwa skarby – twierdzenie Pitagorasa i złoty podział; pierwszą można porównać do miarki złota, drugą do drogocennego kamienia.

Udowodniono eksperymentalnie, że np. spośród prostokątów o różnych proporcjach oko ludzkie preferuje te, w których stosunek ten jest równy złotemu podziałowi. Arkusze papieru, tabliczki czekolady, karty kredytowe itp. bardzo często wykonywane są w kształcie właśnie takich prostokątów.

Aby podzielić dany odcinek AB w proporcji złotej proporcji, należy przywrócić prostopadłą przez jeden z jego końców, powiedzmy przez punkt B, położyć na nim odcinek BD = AB /2, narysować odcinek AD, umieścić na nim odcinek DE = AB /2 i na koniec zaznacz punkt C na odcinku AB tak, że AC = AE. Punkt C podzieli odcinek AB w złotej proporcji.

Udowodnijmy to. Według twierdzenia Pitagorasa (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2 lub

AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, a ponieważ BD = DE = AB /2 i AE = AC, to

AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,

skąd AC 2 = AB (AB – AC).

Ponieważ AB – AC = BC, mamy

AC 2 = AB ∙ BC, skąd

Powyższa konstrukcja pozwala nam znaleźć wartość liczbową złotego podziału. Jest równy stosunkowi całego odcinka AB do odcinka

Zatem złoty podział wyraża się liczbą Liczba ta wynosi około 1,618. Często nazywa się ją liczbą Fidiasza i oznacza się ją grecką literą Φ:

Φ =

Niech dwa segmenty będą powiązane w złotym stosunku: a / b = Φ. Ponieważ wzór wówczas je spełnia, okazuje się, że Φ spełnia równość lub Rzeczywiście, nie jest trudno to sprawdzić Liczba ta jest czasami nazywana małą liczbą Fidiasów (a Φ jest wówczas dużą liczbą Fidiasów) i jest oznaczana przez φ. Jest to w przybliżeniu równe 0,618.

Złoty podział wyraża się jako liczbę niewymierną. Wynika to z irracjonalności (gdyby złoty podział był wymierny, to liczba = 2Φ – 1 też byłaby wymierna), a irracjonalność można udowodnić w podobny sposób jak irracjonalność.Ponadto irracjonalność Φ dość łatwo wykazać za pomocą geometryczna ilustracja algorytmu Euklidesa. Załóżmy, że mamy prostokąt a 1 × a 2, którego boki są powiązane w złotym stosunku. Umieszczając mniejszy bok na większym, otrzymamy kwadrat, a pozostały prostokąt będzie podobny do pierwotnego prostokąta: Stosując na nim tę samą operację, ponownie otrzymamy kwadrat i prostokąt podobny do oryginału itp. ( Co ciekawe, prostokąty pierwszy, trzeci, piąty itd. mają wspólną przekątną, podobnie jak drugi, czwarty, szósty itd. Te dwie przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie należącym do wszystkich prostokątów).

Ponieważ ten algorytm nigdy się nie kończy, segmenty 1 i 2 nie mają wspólnej miary. Kepler powiedział, że złoty podział stale się reprodukuje. Często występuje w żywej naturze w strukturze takich organizmów, których części są w przybliżeniu podobne do całości - na przykład w muszlach, w układzie liści na pędach itp.

Ryż. 5. Zlew

Wreszcie złoty podział pozwala nam zbudować pięciokąt foremny. (Wiesz, jak bez niczyjej pomocy budować regularne trygony i czworokąty, prawda? Rysując wokół nich okręgi i dzieląc boki na pół, nie jest trudno zbudować foremne wielokąty z 2 n i 3 ∙ 2 n wierzchołkami). Jeśli przedłużysz boki pięciokąta foremnego do punktów przecięcia z przedłużeniami sąsiednich boków, otrzymasz piękną pięcioramienną gwiazdę. Jest to starożytny mistyczny symbol, popularny zwłaszcza wśród pitagorejczyków: nazywa się go „pentagramem” lub „pentalfa”, czyli dosłownie „pięć liter” lub „pięć alfa” - był postrzegany jako kombinacja pięciu litery „alfa” (A) . Pentagram był uważany za symbol zdrowia - harmonii w człowieku - i służył jako znak identyfikacyjny wśród pitagorejczyków. (Na przykład, gdy za granicą jeden z pitagorejczyków leżał na łożu śmierci i nie miał pieniędzy, aby zapłacić człowiekowi, który opiekował się nim aż do śmierci, kazał narysować pentagram na drzwiach swojego domu. Kilka lata później inny pitagorejczyk zobaczył ten znak, a właściciel otrzymał hojną nagrodę). Okazuje się, że w pentagramie poszczególne linie dzielą się wzajemnie w stosunku do złotego podziału. W rzeczywistości trójkąty ACD i ABE są podobne, AB : AC = AE : AD. Ale AD = BC i AE = AC, a zatem AB: AC = AC: BC. Okazuje się, że każdy z 10 segmentów zewnętrznego konturu gwiazdy odnosi się w złotej proporcji do dowolnego z 5 segmentów tworzących mały wewnętrzny pięciokąt.

Nawiasem mówiąc, z podobieństwa tych samych trójkątów ACD i ABE wynika, że ​​trójkąt ACD jest równoramienny, a CD = AD. Oznacza to, że przekątna pięciokąta foremnego odnosi się do jego boku, również w złotej proporcji. Wszystkie pięć przekątnych pięciokąta foremnego tworzy kolejny pentagram, w którym wszystkie relacje powtarzają się ponownie.

Jeśli chcesz zbudować pięciokąt foremny o boku a 1, musisz podzielić odcinek a 1 w złotej proporcji na odcinki a 2 i 3, a następnie zbudować trójkąt równoramienny o bokach a 1, a 1 i (a 1 + 2). Dwa odcinki o długości a 1 utworzą dwa boki żądanego pięciokąta, a odcinek o długości a 1 + a 2 = a 1 /Φ jest jego przekątną. Konstruując inne trójkąty, nie jest trudno znaleźć pozostałe wierzchołki pięciokąta.

W średniowieczu pentagram był symbolem Wenus: planeta ta zbliża się do Ziemi w pięciu punktach, tworząc pięciokąt.

Trójkąt równoramienny, którego boki odnoszą się do podstawy w złotym stosunku - na przykład trójkąt utworzony przez dwie przekątne i bok pięciokąta foremnego - ma jeszcze jedną interesującą właściwość: dwusieczne jego kątów u podstawy są równe samej podstawie .

Taki trójkąt często znajduje się w kompozycji różnych dzieł sztuki - na przykład w słynnej „La Gioconda” Leonarda da Vinci.