Bezpośrednia zależność proporcjonalna. §36 Modelowanie zależności pomiędzy wielkościami

Analiza regresji

Przetwarzanie wyników eksperymentów z wykorzystaniem metody

Badając procesy funkcjonowania złożonych układów, trzeba mieć do czynienia z wieloma jednocześnie działającymi zmiennymi losowymi. Aby zrozumieć mechanizm zjawisk, związki przyczynowo-skutkowe pomiędzy elementami układu itp., na podstawie uzyskanych obserwacji staramy się ustalić zależności pomiędzy tymi wielkościami.

Na przykład w analizie matematycznej zależność między dwiema wielkościami wyraża się za pomocą pojęcia funkcji

gdzie każda wartość jednej zmiennej odpowiada tylko jednej wartości drugiej. Ta zależność nazywa się funkcjonalny.

Sytuacja z pojęciem zależności zmiennych losowych jest znacznie bardziej skomplikowana. Z reguły pomiędzy zmiennymi losowymi (czynnikami losowymi), które determinują funkcjonowanie złożonych systemów, zwykle istnieje takie powiązanie, w którym wraz ze zmianą jednej wartości zmienia się rozkład drugiej. To połączenie nazywa się stochastyczny, Lub probabilistyczny. W tym przypadku wielkość zmiany czynnika losowego Y, odpowiadające zmianie wartości X, można podzielić na dwa elementy. Pierwsza wiąże się z uzależnieniem. Y z X, a drugi z wpływem „własnych” składników losowych Y I X. Jeśli brakuje pierwszego składnika, to zmienne losowe Y I X są niezależne. Jeśli brakuje drugiego składnika, to Y I X zależą funkcjonalnie. Jeżeli występują oba składniki, związek między nimi określa siłę lub bliskość powiązania pomiędzy zmiennymi losowymi Y I X.

Istnieją różne wskaźniki charakteryzujące pewne aspekty relacji stochastycznej. Zatem liniowa zależność między zmiennymi losowymi X I Y określa współczynnik korelacji.

gdzie są matematyczne oczekiwania zmiennych losowych X i Y.

– odchylenia standardowe zmiennych losowych X I Y.

Liniowa probabilistyczna zależność zmiennych losowych polega na tym, że gdy jedna zmienna losowa rośnie, druga ma tendencję do zwiększania się (lub zmniejszania) zgodnie z prawem liniowym. Jeśli zmienne losowe X I Y są połączone ścisłą liniową zależnością funkcjonalną, np.

y=b 0 + b 1 x 1,

wówczas współczynnik korelacji będzie równy ; a znak odpowiada znakowi współczynnika b 1.Jeśli wartości X I Y są połączone dowolną zależnością stochastyczną, wówczas współczynnik korelacji będzie się zmieniać w obrębie

Należy podkreślić, że dla niezależnych zmiennych losowych współczynnik korelacji wynosi zero. Współczynnik korelacji jako wskaźnik zależności pomiędzy zmiennymi losowymi ma jednak poważne wady. Po pierwsze z równości R= 0 nie oznacza niezależności zmiennych losowych X I Y(z wyjątkiem zmiennych losowych podlegających prawu rozkładu normalnego, dla których R= 0 oznacza jednocześnie brak jakiejkolwiek zależności). Po drugie, wartości ekstremalne również nie są zbyt przydatne, ponieważ nie odpowiadają żadnej zależności funkcjonalnej, a jedynie ściśle liniowej.

Pełny opis zależności Y z X, a ponadto wyrażone w dokładnych zależnościach funkcjonalnych, można uzyskać, znając funkcję dystrybucji warunkowej.

Należy zaznaczyć, że w tym przypadku jedną z obserwowanych zmiennych uważa się za nielosową. Poprzez jednoczesne ustalenie wartości dwóch zmiennych losowych X I Y, porównując ich wartości, wszystkie błędy możemy przypisać tylko wartości Y. Zatem błąd obserwacji będzie składał się z własnego losowego błędu wielkości Y oraz z błędu porównania wynikającego z faktu, że z wartością Y porównywane wartości nie są dokładnie tą samą wartością X co faktycznie miało miejsce.

Jednak znalezienie funkcji rozkładu warunkowego z reguły okazuje się bardzo trudnym zadaniem. Najprostszym sposobem na zbadanie relacji pomiędzy X I Y z rozkładem normalnym Y, ponieważ jest całkowicie zdeterminowany przez matematyczne oczekiwania i wariancję. W tym przypadku do opisania zależności Y z X nie ma potrzeby budowania funkcji rozkładu warunkowego, wystarczy wskazać sposób zmiany parametru X matematyczne oczekiwanie i wariancja zmiany ilości Y.

Dochodzimy zatem do konieczności znalezienia tylko dwóch funkcji:

(3.2)

Warunkowa zależność wariancji D z parametru X jest nazywany schodastyczny zależności. Charakteryzuje zmianę dokładności techniki obserwacji w przypadku zmiany parametru i jest stosowany dość rzadko.

Zależność warunkowego oczekiwania matematycznego M z X jest nazywany regresja, daje prawdziwą zależność wielkości X I U, pozbawiony wszystkich przypadkowych warstw. Dlatego idealnym celem każdego badania zmiennych zależnych jest znalezienie równania regresji, a wariancja służy jedynie do oceny dokładności uzyskanego wyniku.

Zależność jednej zmiennej losowej od wartości przyjętych przez inną zmienną losową (cechę fizyczną) w statystyce nazywa się zwykle regresją. Jeśli tej zależności nadać postać analityczną, wówczas tę formę reprezentacji reprezentuje równanie regresji.

Procedura znajdowania rzekomego związku między różnymi zbiorami liczbowymi zwykle obejmuje następujące kroki:

ustalenie znaczenia powiązania między nimi;

możliwość przedstawienia tej zależności w postaci wyrażenia matematycznego (równanie regresji).

Pierwszy etap tej analizy statystycznej dotyczy identyfikacji tzw. korelacji, czyli zależności korelacyjnej. Korelację uważa się za znak wskazujący na związek szeregu ciągów liczbowych. Innymi słowy, korelacja charakteryzuje siłę związku w danych. Jeśli dotyczy to relacji pomiędzy dwiema tablicami liczbowymi xi i yi, wówczas taką korelację nazywamy parami.

Szukając zależności korelacyjnej, bada się prawdopodobny związek jednej wartości mierzonej x (dla pewnego ograniczonego zakresu jej zmian, np. od x1 do xn) z inną wartością mierzoną y (również zmieniającą się w pewnym przedziale y1...yn). zwykle ujawnione. W tym przypadku będziemy mieli do czynienia z dwoma ciągami liczbowymi, pomiędzy którymi musimy ustalić istnienie powiązania statystycznego (korelacyjnego). Na tym etapie zadaniem nie jest jeszcze ustalenie, czy jedna z tych zmiennych losowych jest funkcją, a druga argumentem. Znalezienie między nimi zależności ilościowej w postaci określonego wyrażenia analitycznego y = f(x) to zadanie na inną analizę, czyli regresję.

Jednakże analiza korelacji pozwala wnioskować o sile związku pomiędzy parami danych x i y, natomiast analiza regresji służy do przewidywania jednej zmiennej (y) na podstawie drugiej (x). Innymi słowy, w tym przypadku starają się zidentyfikować związek przyczynowo-skutkowy pomiędzy analizowanymi populacjami.

Ściśle rzecz biorąc, zwyczajowo rozróżnia się dwa rodzaje powiązań między zbiorami liczbowymi – może to być zależność funkcjonalna lub statystyczna (losowa). W przypadku połączenia funkcjonalnego każda wartość czynnika wpływającego (argumentu) odpowiada ściśle określonej wartości innego wskaźnika (funkcji), ᴛ.ᴇ. zmiana wynikowej charakterystyki jest całkowicie zdeterminowana działaniem cechy silniowej.

Analitycznie zależność funkcjonalną przedstawia się w postaci: y = f(x).

W przypadku zależności statystycznej wartość jednego czynnika odpowiada jakiejś przybliżonej wartości badanego parametru, jego dokładna wartość jest nieprzewidywalna, nieprzewidywalna, dlatego otrzymane wskaźniki okazują się zmiennymi losowymi. Oznacza to, że zmiana efektywnego atrybutu y wynika z wpływu atrybutu czynnika x tylko częściowo, ponieważ możliwy jest także wpływ innych czynników, których udział oznacza się jako є: y = f(x) + є.

Z natury połączenia korelacyjne są połączeniami korelacyjnymi. Przykładem korelacji wskaźników aktywności handlowej jest np. zależność wysokości kosztów dystrybucji od wielkości obrotów handlowych. W tym względzie oprócz cechy czynnika x (wielkość obrotu) na efektywną cechę y (wysokość kosztów dystrybucji) wpływają inne czynniki, w tym nieuwzględnione, które generują wkład є.

Do ilościowego określenia istnienia zależności pomiędzy badanymi zbiorami zmiennych losowych wykorzystuje się specjalny wskaźnik statystyczny – współczynnik korelacji r.

Jeżeli przyjąć, że zależność tę można opisać równaniem liniowym typu y=a+bx (gdzie a i b są stałymi), wówczas zwyczajowo mówi się o istnieniu korelacji liniowej.

Współczynnik r jest wielkością bezwymiarową i może zmieniać się w zakresie od 0 do ±1. Im wartość współczynnika jest bliższa jedności (bez względu na znak), tym z większą pewnością można stwierdzić, że istnieje liniowa zależność pomiędzy dwoma rozważanymi zbiorami zmiennych. Innymi słowy, wartość którejkolwiek z tych zmiennych losowych (y) zależy w istotny sposób od wartości drugiej (x).

Jeśli okaże się, że r = 1 (lub -1), to mamy do czynienia z klasycznym przypadkiem zależności czysto funkcjonalnej (ᴛ.ᴇ. realizuje się idealna zależność).

Analizując dwuwymiarowy wykres rozrzutu, można znaleźć różne zależności. Najprostszą opcją jest zależność liniowa, która wyraża się w tym, że punkty są rozmieszczone losowo wzdłuż linii prostej. Diagram pokazuje brak zależności, jeśli punkty są rozmieszczone losowo i nie można wykryć żadnego nachylenia (ani w górę, ani w dół) podczas poruszania się od lewej do prawej.

Jeśli punkty na nim są zgrupowane wzdłuż linii zakrzywionej, wówczas wykres punktowy charakteryzuje się zależnością nieliniową. Takie sytuacje są całkiem możliwe

Podsumowanie lekcji informatyki i ICT w klasie 11

Samarin Aleksander Aleksandrowicz, nauczyciel informatyki w szkole średniej Savinskaya, wieś Savino, obwód iwanowski.
Temat:„Modelowanie zależności między wielkościami”.
Opis materiału: To podsumowanie lekcji będzie przydatne dla nauczycieli informatyki i ICT realizujących programy kształcenia ogólnego w klasie 11. W trakcie zajęć studenci zapoznają się z modelowaniem matematycznym i metodami modelowania wielkości. Ta lekcja stanowi wprowadzenie do tematu „Technologie modelowania informacji”.
Cel: stwarzanie dzieciom warunków do zdobywania wiedzy z zakresu modelowania matematycznego i doskonalenia umiejętności posługiwania się programem Microsoft Excel.
Zadania:
- rozwijać wiedzę z zakresu modelowania matematycznego;
- utrwalić umiejętności obsługi programu Microsoft Excel.
Planowane wyniki:
Temat:
- formułować pomysły dotyczące modelowania matematycznego;
- formułowanie pomysłów na temat metod modelowania funkcjonalnego, tabelarycznego i graficznego.
Metatemat:
- rozwijanie umiejętności i umiejętności wykorzystania technologii informacyjno-komunikacyjnych do tworzenia modeli tabelarycznych i graficznych;
- rozwijać umiejętności racjonalnego wykorzystania dostępnych narzędzi.
Osobisty:
- rozumieć rolę wiedzy podstawowej jako podstawy nowoczesnych technologii informatycznych.
Podczas zajęć:
Moment organizacyjny i aktualizacja wiedzy
Nauczyciel:"Cześć chłopaki. Dziś rozpoczynamy nowy duży temat „Technologie modelowania informacji”. Ale najpierw zapiszmy pracę domową § 36, przygotujmy ustnie pytanie 1.3, pytanie nr 2 pisemnie w zeszycie.” Zadanie domowe jest wyświetlane na ekranie.
Dzieci otwierają pamiętniki i zapisują zadanie. Nauczyciel wyjaśnia zadanie domowe.
Nauczyciel:„Chłopaki, przypomnijmy sobie, czym jest „Model”, „Symulacja”, „Modelowanie komputerowe”. Na ekranie wyświetlany jest slajd „Pamiętajmy”.
Dzieci:„Model to obiekt zastępczy, który pod pewnymi warunkami może zastąpić obiekt pierwotny. Model odwzorowuje właściwości i cechy oryginału, które nas interesują.
Modelowanie to konstruowanie modeli przeznaczonych do badania i badania obiektów, procesów lub zjawisk.
Modelowanie komputerowe to modelowanie realizowane przy użyciu technologii komputerowej.”
Nauczyciel:„Jak myślisz, czym jest modelowanie matematyczne? Co to reprezentuje?
Dzieci:„Są to modele zbudowane przy użyciu wzorów matematycznych”.
Nauczyciel:„Podaj przykłady modelu matematycznego”.
Dzieci podają przykłady różnych formuł.
Nauczyciel:„Spójrzmy na przykład. Przykłady są wyświetlane na ekranie.
„Czas upadku ciała zależy od jego początkowej wysokości. Częstość występowania astmy oskrzelowej wśród mieszkańców miast zależy od stężenia szkodliwych zanieczyszczeń w powietrzu miejskim.” Slajd pokazuje zależność jednych wielkości od innych. Temat naszej dzisiejszej lekcji brzmi: „Modelowanie zależności między wielkościami”. Temat lekcji „Modelowanie zależności między wielkościami” jest wyświetlany na ekranie.
Dzieci zapisują temat w zeszycie.
Nauka nowego materiału
Nauczyciel:„Aby zaimplementować model matematyczny na komputerze, należy opanować techniki przedstawiania zależności między wielkościami. Przyjrzyjmy się różnym metodom reprezentowania zależności. Wszelkie badania należy rozpocząć od określenia cech ilościowych badanego obiektu. Takie cechy nazywane są ilościami. Definicja „ilości” jest wyświetlana na ekranie.
Przypomnijmy, jakie trzy podstawowe właściwości ma wielkość?
Dzieci:„Nazwa, wartość, typ”
Nauczyciel:"Prawidłowy. Nazwa wielkości może być semantyczna lub symboliczna. Na przykład „czas” jest nazwą semantyczną, a „t” jest nazwą symboliczną. Chłopaki, podaj przykłady nazw semantycznych i symbolicznych. Rodzaje nazw i ich przykłady są wyświetlane na ekranie.
Przykłady dzieci.
Nauczyciel:„Jeśli wartość wielkości się nie zmienia, nazywa się ją wielkością stałą lub stałą. Przykładem stałej jest prędkość światła w próżni – c = 2,998*10^8m/s. Wartości są wyświetlane na ekranie.
Jakie stałe ilości znacie?”
Odpowiedzi dzieci.
Nauczyciel: Jak myślisz, co jest zmienną?
Odpowiedzi dzieci.
Nauczyciel: Zatem ilość zmienna to ilość, której wartość może się zmieniać. Na przykład przy opisie procesu spadania ciała zmiennymi wielkościami są wysokość H i czas spadania t.
Trzecią właściwością wielkości jest jej typ. Typ definiuje zbiór wartości, jakie może przyjąć wartość. Podstawowe typy wartości: numeryczne, symboliczne, logiczne. Rozważymy ilości typu numerycznego. Na ekranie wyświetlane są główne typy wielkości.
Wróćmy teraz do np. upadku ciała na ziemię. Oznaczmy wszystkie wielkości zmienne, a także wskażmy ich wymiary (wymiary określają jednostki, w których przedstawiane są wartości wielkości). Zatem t (s) to czas upadku, N (m) to wysokość upadku. Będziemy reprezentować zależność, zaniedbując opór powietrza; przyspieszenie swobodnego spadania g (m/s2) będzie uważane za stałe. W tym przykładzie zależność między wielkościami jest całkowicie zdefiniowana: wartość H jednoznacznie określa wartość t. Przykład 1 jest wyświetlany na ekranie.
Przyjrzyjmy się teraz bliżej przykładowi dotyczącemu częstości występowania astmy oskrzelowej wśród mieszkańców miast. Zanieczyszczenia powietrza będziemy charakteryzować poprzez stężenie zanieczyszczeń – C (mg/m2), współczynnik zachorowalności – liczbę przewlekle chorych na astmę na 1000 mieszkańców danego miasta – P (pacjentów/tysiąc). W tym przykładzie związek między wartościami jest bardziej złożony, ponieważ przy tym samym poziomie zanieczyszczeń w różnych miesiącach w tym samym mieście wskaźnik zapadalności może być inny, ponieważ wpływają na niego również inne czynniki. Przykład 2 jest wyświetlany na ekranie.
Po rozważeniu tych dwóch przykładów dochodzimy do wniosku, że w pierwszym przypadku zależność jest funkcjonalna, natomiast w drugim już nie. Jeśli związek między wielkościami można przedstawić w formie matematycznej, wówczas mamy model matematyczny. Wynik jest wyświetlany na ekranie.
Model matematyczny to zbiór cech ilościowych pewnego obiektu (procesu) i powiązań między nimi, przedstawiony w języku matematyki. Pierwszy przykład odzwierciedla prawo fizyczne. Ta zależność jest podstawą. W bardziej złożonych problemach modele matematyczne są przedstawiane jako równanie lub układy równań. W drugim przykładzie zależność można przedstawić nie w formie funkcjonalnej, ale w innej (rozważymy to w kolejnych lekcjach). Wyświetlane na ekranie, co odzwierciedla Przykład 1.
Rozważmy przykład spadającego ciała w formie tabelarycznej i graficznej. Sprawdźmy doświadczalnie (w formie tabelarycznej i graficznej) prawo powszechnego upadku ciała. Rzucamy stalową kulkę z wysokości sześciu metrów, 9 metrów i tak dalej (po 3 metrach), mierząc początkową wysokość piłki i czas upadku. Na podstawie wyników utworzymy tabelę i narysujemy wykres. Wykres i tabela z przykładu 1 są wyświetlane na ekranie.
Jeśli każda para wartości H i t z tej tabeli zostanie podstawiona do wzoru z pierwszego przykładu, wówczas formuła zamieni się w równość. Oznacza to, że model działa dobrze.
W tym przykładzie rozważane są trzy metody modelowania wielkości: funkcjonalna (wzór), tabelaryczna i graficzna; jednakże jedynie wzór można nazwać matematycznym modelem procesu. Metody modelowania są rzutowane na ekran.
Kochani, jaka jest według Was najbardziej uniwersalna metoda modelowania? Na ekranie wyświetlane jest pytanie.
Wzór jest bardziej uniwersalny, pozwala określić czas upadku ciała z dowolnej wysokości; Mając formułę, możesz łatwo utworzyć tabelę i wykreślić wykres.
Modele informacyjne opisujące rozwój systemów w czasie nazywane są modelami dynamicznymi. W fizyce modele dynamiczne opisują ruch ciał, w biologii – rozwój organizmów lub populacji zwierząt, w chemii – przebieg reakcji chemicznych itp.”
Minuta wychowania fizycznego
Nauczyciel:„Teraz odpocznijmy trochę. Chłopaki, usiądźcie wygodnie na krześle, zrelaksujcie się, wyprostujcie ramiona, wygnijcie plecy, rozciągnijcie się, obróćcie głowę, „zwichnijcie nogami”. Teraz, nie odwracając głowy, spójrz w prawo, w lewo, w górę, w dół. Teraz przyjrzyj się ruchom mojej ręki. Nauczyciel porusza ręką w różnych kierunkach.
Praktyczna praca
Nauczyciel:„Chłopaki, teraz skonsolidujemy zdobytą wiedzę praktyczną pracą na komputerze”. Zadania do pracy praktycznej są wyświetlane na ekranie.
Ćwiczenia
Konstruować tabelaryczne i graficzne zależności prędkości od czasu
v=v0+a*t, jeśli wiadomo, że w t = 2 s, v = 8 m/s. Prędkość początkowa v0 wynosi 2 m/s.
Chłopaki wykonują zadanie w programie Microsoft Excel. Następnie praca jest weryfikowana. Prawidłowa odpowiedź do zadania praktycznego jest wyświetlana na ekranie.
Refleksja i podsumowanie
Nauczyciel:„Chłopaki, czego się dzisiaj nowego nauczyliście? Co było dla Ciebie trudne? Jakie trudności napotkałeś podczas wykonywania pracy praktycznej? Odbicie jest wyświetlane na ekranie.
Odpowiedzi dzieci.
Nauczyciel:„Dziękuję za pracę na zajęciach. Do widzenia".