Wzory najprostszych nierówności trygonometrycznych. Rozwiązywanie prostych nierówności trygonometrycznych

Rozwiązując nierówności zawierające funkcje trygonometryczne, sprowadza się je do najprostszych nierówności w postaci cos(t)>a, sint(t)=a i podobnych. I już najprostsze nierówności zostały rozwiązane. Przyjrzyjmy się różnym przykładom sposobów rozwiązywania prostych nierówności trygonometrycznych.

Przykład 1. Rozwiąż nierówność sin(t) > = -1/2.

Narysuj okrąg jednostkowy. Ponieważ sin(t) z definicji jest współrzędną y, zaznaczamy punkt y = -1/2 na osi Oy. Rysujemy przez nią linię prostą równoległą do osi Wołu. Na przecięciu prostej z wykresem okręgu jednostkowego zaznaczamy punkty Pt1 i Pt2. Łączymy początek współrzędnych z punktami Pt1 i Pt2 dwoma odcinkami.

Rozwiązaniem tej nierówności będą wszystkie punkty okręgu jednostkowego znajdujące się nad tymi punktami. Innymi słowy rozwiązaniem będzie łuk l. Teraz należy wskazać warunki, w jakich dowolny punkt będzie należeć do łuku l.

Pt1 leży w prawym półkolu, jego rzędna wynosi -1/2, wówczas t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Aby opisać punkt Pt1 można zapisać następujący wzór:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. W rezultacie otrzymujemy następującą nierówność dla t:

Zachowujemy nierówności. A ponieważ funkcja sinus jest okresowa, oznacza to, że rozwiązania będą powtarzane co 2*pi. Dodajemy ten warunek do powstałej nierówności dla t i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Przykład 2. Rozwiąż nierówność cos(t).<1/2.

Narysujmy okrąg jednostkowy. Ponieważ zgodnie z definicją cos(t) jest współrzędną x, zaznaczamy na wykresie punkt x = 1/2 na osi Ox.
Przez ten punkt rysujemy linię prostą równoległą do osi Oy. Na przecięciu prostej z wykresem okręgu jednostkowego zaznaczamy punkty Pt1 i Pt2. Łączymy początek współrzędnych z punktami Pt1 i Pt2 dwoma odcinkami.

Rozwiązaniem będą wszystkie punkty okręgu jednostkowego należące do łuku l. Znajdźmy punkty t1 i t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Otrzymaliśmy nierówność dla t: pi/3

Ponieważ cosinus jest funkcją okresową, rozwiązania będą powtarzane co 2*pi. Dodajemy ten warunek do powstałej nierówności dla t i zapisujemy odpowiedź.

Odpowiedź: pi/3+2*pi*n

Przykład 3. Rozwiąż nierówność tg(t)< = 1.

Okres styczny jest równy pi. Znajdźmy rozwiązania należące do prawego półkola przedziału (-pi/2;pi/2). Następnie korzystając z okresowości stycznej zapisujemy wszystkie rozwiązania tej nierówności. Narysujmy okrąg jednostkowy i zaznaczmy na nim linię stycznych.

Jeżeli t jest rozwiązaniem nierówności, to rzędna punktu T = tg(t) musi być mniejsza lub równa 1. Zbiór takich punktów będzie tworzył półprostą AT. Zbiór punktów Pt, który będzie odpowiadał punktom tego półprostego, to łuk l. Ponadto punkt P(-pi/2) nie należy do tego łuku.

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi

Instytucja edukacyjna

„Uniwersytet Państwowy Gomel

nazwany imieniem Franciszka Skaryny”

Wydział Matematyki

Katedra Algebry i Geometrii

Przyjęty do obrony

Głowa Departament Shemetkov L.A.

Równania i nierówności trygonometryczne

Praca na kursie

Wykonawca:

uczeń grupy M-51

CM. Gorski

Opiekun naukowy dr-mgr inż.,

Starszy wykładowca

V.G. Safonow

Gomel 2008

WSTĘP

PODSTAWOWE METODY ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ TRYGONOMETRYCZNYCH

Faktoryzacja

Rozwiązywanie równań poprzez zamianę iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę

Rozwiązywanie równań za pomocą wzorów trójargumentowych

Mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną

NIESTANDARDOWE RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE

NIERÓWNOŚCI TRYGONOMETRYCZNE

WYBÓR KORZENI

ZADANIA DO NIEZALEŻNEGO ROZWIĄZANIA

WNIOSEK

WYKAZ WYKORZYSTANYCH ŹRÓDEŁ

W starożytności trygonometria powstała w związku z potrzebami astronomii, geodezji i budownictwa, czyli miała charakter czysto geometryczny i była reprezentowana głównie<<исчисление хорд>>. Z biegiem czasu zaczęły się w nią wplatać momenty analityczne. W pierwszej połowie XVIII wieku nastąpiła gwałtowna zmiana, po której trygonometria przyjęła nowy kierunek i przesunęła się w stronę analizy matematycznej. W tym czasie relacje trygonometryczne zaczęto uważać za funkcje.

Równania trygonometryczne są jednym z najtrudniejszych tematów na szkolnych lekcjach matematyki. Równania trygonometryczne powstają przy rozwiązywaniu problemów z planimetrii, stereometrii, astronomii, fizyki i innych dziedzin. Równania i nierówności trygonometryczne pojawiają się rok po roku w scentralizowanych zadaniach testowych.

Najważniejsza różnica między równaniami trygonometrycznymi a równaniami algebraicznymi polega na tym, że równania algebraiczne mają skończoną liczbę pierwiastków, podczas gdy równania trygonometryczne mają nieskończoną liczbę, co znacznie komplikuje wybór pierwiastków. Inną specyficzną cechą równań trygonometrycznych jest niepowtarzalna forma zapisu odpowiedzi.

Niniejsza praca poświęcona jest metodom rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych.

Praca składa się z 6 rozdziałów.

W pierwszej części przedstawiono podstawowe informacje teoretyczne: definicję i własności funkcji trygonometrycznych i odwrotnych funkcji trygonometrycznych; tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych argumentów; wyrażanie funkcji trygonometrycznych w postaci innych funkcji trygonometrycznych, co jest bardzo ważne przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych, zwłaszcza zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne; Oprócz podstawowych wzorów trygonometrycznych, dobrze znanych z kursu szkolnego, podane są wzory upraszczające wyrażenia zawierające odwrotne funkcje trygonometryczne.

W drugiej części omówiono podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Rozważane jest rozwiązanie elementarnych równań trygonometrycznych, metoda faktoryzacji oraz metody redukcji równań trygonometrycznych do algebraicznych. Z uwagi na fakt, że rozwiązania równań trygonometrycznych można zapisać na kilka sposobów, a postać tych rozwiązań nie pozwala od razu określić, czy rozwiązania te są takie same, czy różne, co może<<сбить с толку>> przy rozwiązywaniu testów uwzględnia się ogólny schemat rozwiązywania równań trygonometrycznych i szczegółowo rozważa się transformację grup ogólnych rozwiązań równań trygonometrycznych.

W trzeciej części omówiono niestandardowe równania trygonometryczne, których rozwiązania opierają się na podejściu funkcjonalnym.

W czwartej części omówiono nierówności trygonometryczne. Szczegółowo omówiono metody rozwiązywania elementarnych nierówności trygonometrycznych, zarówno na okręgu jednostkowym, jak i metodą graficzną. Opisano proces rozwiązywania nieelementarnych nierówności trygonometrycznych poprzez nierówności elementarne oraz dobrze znaną uczniom metodę przedziałów.

W piątej części przedstawiono najtrudniejsze zadania: gdy konieczne jest nie tylko rozwiązanie równania trygonometrycznego, ale także wybranie ze znalezionych pierwiastków spełniających jakiś warunek. W tej sekcji znajdują się rozwiązania typowych zadań związanych z wyborem katalogu głównego. Podano informacje teoretyczne niezbędne do wyboru pierwiastków: dzielenie zbioru liczb całkowitych na rozłączne podzbiory, rozwiązywanie równań na liczbach całkowitych (diafantyna).

W części szóstej przedstawiono zadania do samodzielnego rozwiązania, przedstawione w formie testu. 20 zadań testowych zawiera najtrudniejsze zadania, jakie można napotkać podczas testów scentralizowanych.

Elementarne równania trygonometryczne

Elementarne równania trygonometryczne to równania postaci , gdzie --- jedna z funkcji trygonometrycznych: , , , .

Elementarne równania trygonometryczne mają nieskończoną liczbę pierwiastków. Na przykład równanie spełniają następujące wartości: , , itp. Ogólny wzór, za pomocą którego znajdują się wszystkie pierwiastki równania, gdzie , jest następujący:

Tutaj może przyjmować dowolne wartości całkowite, każda z nich odpowiada konkretnemu pierwiastkowi równania; w tym wzorze (a także w innych wzorach, za pomocą których rozwiązuje się elementarne równania trygonometryczne). parametr. Zwykle piszą, podkreślając w ten sposób, że parametr może przyjmować dowolne wartości całkowite.

Rozwiązania równania , gdzie , można znaleźć za pomocą wzoru

Równanie rozwiązuje się za pomocą wzoru

a równanie wynika ze wzoru

Zwróćmy szczególną uwagę na szczególne przypadki elementarnych równań trygonometrycznych, których rozwiązanie można zapisać bez korzystania ze wzorów ogólnych:

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych ważną rolę odgrywa okres funkcji trygonometrycznych. Dlatego przedstawiamy dwa przydatne twierdzenia:

Twierdzenie Jeżeli --- jest to główny okres funkcji, to liczba jest głównym okresem funkcji.

Okresy funkcji i mówi się, że są współmierne, jeśli istnieją liczby naturalne i że .

Twierdzenie Jeżeli funkcje okresowe i , są współmierne i , to mają wspólny okres, którym jest okres funkcji , , .

Twierdzenie stwierdza, że ​​okres funkcji , , , jest i niekoniecznie jest okresem głównym. Na przykład główny okres funkcji i --- oraz główny okres ich produktu ---.

Wprowadzenie argumentu pomocniczego

Standardowym sposobem przekształcania wyrażeń formularza jest następująca technika: niech --- kąt podany przez równości , . Dla każdego taki kąt istnieje. Zatem . Jeśli , lub , , w innych przypadkach.

Schemat rozwiązywania równań trygonometrycznych

Podstawowy schemat, którym będziemy się kierować przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, jest następujący:

rozwiązanie danego równania sprowadza się do rozwiązywania równań elementarnych. Rozwiązanie oznacza: przekształcenia, faktoryzację, podstawienie niewiadomych. Główną zasadą jest nie tracić korzeni. Oznacza to, że przechodząc do kolejnego równania(ów) nie boimy się pojawienia się dodatkowych (obcych) pierwiastków, a jedynie dbamy o to, aby każde kolejne równanie naszego „łańcucha” (lub układu równań w przypadku rozgałęzienia ) jest konsekwencją poprzedniego. Jedną z możliwych metod wyboru korzeni jest testowanie. Zauważmy od razu, że w przypadku równań trygonometrycznych trudności związane z wybieraniem pierwiastków i sprawdzaniem z reguły gwałtownie rosną w porównaniu z równaniami algebraicznymi. Przecież musimy sprawdzić szereg składający się z nieskończonej liczby wyrazów.

Na szczególną uwagę zasługuje zastępowanie niewiadomych przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych. W większości przypadków po niezbędnym podstawieniu otrzymuje się równanie algebraiczne. Co więcej, równania nie są na tyle rzadkie, że choć z wyglądu mają trygonometrię, w istocie takie nie są, gdyż po pierwszym kroku - zmianie zmiennych - zamieniają się w algebraiczne, a powrót do trygonometrii następuje dopiero po etapie rozwiązywania elementarnych równania trygonometryczne.

Przypomnijmy jeszcze raz: podstawiania niewiadomego należy dokonać przy pierwszej okazji, powstałe równanie po podstawieniu należy rozwiązać do końca, łącznie z etapem wybierania pierwiastków, a dopiero potem wrócić do pierwotnej niewiadomej.

Jedną z cech równań trygonometrycznych jest to, że w wielu przypadkach można zapisać odpowiedź różne sposoby. Nawet rozwiązać równanie odpowiedź można zapisać następująco:

1) w formie dwóch serii: , , ;

2) w formie standardowej, będącej kombinacją powyższych szeregów: , ;

3) ponieważ , to odpowiedź można zapisać w formularzu , . (W dalszej części obecność parametru , lub w rekordzie odpowiedzi automatycznie oznacza, że ​​parametr ten akceptuje wszystkie możliwe wartości całkowite. Zostaną określone wyjątki.)

Oczywiście trzy wymienione przypadki nie wyczerpują wszystkich możliwości zapisania odpowiedzi na rozważane równanie (jest ich nieskończenie wiele).

Na przykład, gdy równość jest prawdziwa . Dlatego w pierwszych dwóch przypadkach, jeśli , możemy zastąpić przez .

Zwykle odpowiedź zapisuje się na podstawie punktu 2. Warto pamiętać o następującym zaleceniu: jeśli praca nie kończy się na rozwiązaniu równania, należy jeszcze przeprowadzić badania i wybrać pierwiastki, wówczas najwygodniejsza forma zapisu wskazano w punkcie 1. (Podobne zalecenie należy podać dla równania.)

Rozważmy przykład ilustrujący to, co zostało powiedziane.

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Najbardziej oczywisty sposób jest następujący. Równanie to dzieli się na dwa: i . Rozwiązując każde z nich i łącząc otrzymane odpowiedzi, znajdujemy .

Inny sposób. Od , następnie zastąpienie i użycie wzorów na zmniejszenie stopnia. Po małych przekształceniach otrzymujemy , skąd .

Na pierwszy rzut oka druga formuła nie ma żadnych szczególnych przewag nad pierwszą. Jeśli jednak weźmiemy np. to okazuje się, że tj. równanie ma rozwiązanie, natomiast pierwsza metoda prowadzi nas do odpowiedzi . „Zobacz” i udowodnij równość nie takie proste.

Odpowiedź. .

Przekształcanie i łączenie grup ogólnych rozwiązań równań trygonometrycznych

Rozważymy postęp arytmetyczny rozciągający się w nieskończoność w obu kierunkach. Członkowie tej progresji można podzielić na dwie grupy członków, umiejscowione po prawej i lewej stronie pewnego członka zwanego centralnym lub zerowym członkiem progresji.

Ustalając jeden z wyrazów postępu nieskończonego z liczbą zerową, będziemy musieli przeprowadzić podwójną numerację dla wszystkich pozostałych wyrazów: dodatnią dla wyrazów znajdujących się po prawej stronie i ujemną dla wyrazów znajdujących się na lewo od zera.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli różnica ciągu jest wyrazem zerowym, wzór na dowolny (ty) wyraz nieskończonego postępu arytmetycznego jest następujący:

Przekształcenia formuł dla dowolnego wyrazu nieskończonego ciągu arytmetycznego

1. Jeśli dodasz lub odejmiesz różnicę progresji do członu zerowego, wówczas postęp się nie zmieni, a jedynie przesunie się wyraz zerowy, tj. Zmianie ulegnie liczba członków.

2. Jeżeli współczynnik wartości zmiennej zostanie pomnożony przez , wówczas spowoduje to jedynie przegrupowanie prawej i lewej grupy prętów.

3. Jeżeli kolejne wyrazy nieskończonego postępu

na przykład , , ..., , sprawiają, że centralne wyrazy progresji z tą samą różnicą są równe:

wówczas progresja i seria progresji wyrażają te same liczby.

Przykład Wiersz można zastąpić trzema wierszami: , , .

4. Jeżeli ciągi nieskończone o tej samej różnicy mają jako wyrazy centralne liczby tworzące postęp arytmetyczny z różnicą, to szeregi te można zastąpić jednym postępem z różnicą, a wyrazem centralnym jest równy któremukolwiek z wyrazów centralnych tych ciągów, tj. Jeśli

następnie te progresje są łączone w jeden:

Przykład ... obydwa są połączone w jedną grupę, ponieważ .

Aby przekształcić grupy mające wspólne rozwiązania w grupy nie mające wspólnych rozwiązań, grupy te rozkłada się na grupy o wspólnym okresie, a następnie próbuje połączyć powstałe grupy, wykluczając grupy powtarzające się.

Faktoryzacja

Metoda faktoryzacji jest następująca: jeśli

wówczas każde rozwiązanie równania

jest rozwiązaniem układu równań

Twierdzenie odwrotne jest, ogólnie rzecz biorąc, fałszywe: nie każde rozwiązanie populacji jest rozwiązaniem równania. Tłumaczy się to tym, że rozwiązania poszczególnych równań nie mogą należeć do dziedziny definicji funkcji.

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej, przedstawiamy równanie w postaci

Odpowiedź. ; .

Zamiana sumy funkcji trygonometrycznych na iloczyn

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Stosując wzór, otrzymujemy równoważne równanie

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. W takim przypadku przed zastosowaniem wzorów na sumę funkcji trygonometrycznych należy skorzystać ze wzoru redukcyjnego . W rezultacie otrzymujemy równoważne równanie

Odpowiedź. , .

Rozwiązywanie równań poprzez zamianę iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę

Przy rozwiązywaniu szeregu równań stosuje się formuły.

Przykład Rozwiązać równanie

Rozwiązanie.

Odpowiedź. , .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Stosując wzór otrzymujemy równoważne równanie:

Odpowiedź. .

Rozwiązywanie równań za pomocą wzorów redukcyjnych

Przy rozwiązywaniu szerokiego zakresu równań trygonometrycznych kluczową rolę odgrywają formuły.

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Stosując wzór, otrzymujemy równoważne równanie.

Odpowiedź. ; .

Rozwiązywanie równań za pomocą wzorów trójargumentowych

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Stosując wzór, otrzymujemy równanie

Odpowiedź. ; .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Stosując wzory na redukcję stopnia otrzymujemy: . Po zastosowaniu otrzymujemy:

Odpowiedź. ; .

Równość funkcji trygonometrycznych o tej samej nazwie

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Odpowiedź. , .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Przekształćmy równanie.

Odpowiedź. .

Przykład Wiadomo, że i spełniają równanie

Znajdź kwotę.

Rozwiązanie. Z równania wynika, że

Odpowiedź. .

Rozważmy sumy postaci

Kwoty te można przeliczyć na produkt, mnożąc je i dzieląc przez, a następnie otrzymujemy

Technikę tę można zastosować do rozwiązania niektórych równań trygonometrycznych, ale należy pamiętać, że w rezultacie mogą pojawić się obce pierwiastki. Podsumujmy te formuły:

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Można zauważyć, że zbiór jest rozwiązaniem pierwotnego równania. Dlatego pomnożenie lewej i prawej strony równania przez nie doprowadzi do pojawienia się dodatkowych pierwiastków.

Mamy .

Odpowiedź. ; .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Pomnóżmy lewą i prawą stronę równania przez i zastosujmy wzory na przeliczenie iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę, otrzymamy

To równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań i , skąd i .

Ponieważ pierwiastki równania nie są pierwiastkami równania, powinniśmy wykluczyć . Oznacza to, że w zestawie należy wykluczyć .

Odpowiedź. I , .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Przekształćmy wyrażenie:

Równanie zostanie zapisane jako:

Odpowiedź. .

Sprowadzanie równań trygonometrycznych do algebraicznych

Można zredukować do kwadratu

Jeżeli równanie ma postać

następnie zamiana prowadzi do kwadratu, ponieważ () I.

Jeżeli zamiast terminu jest , wówczas wymaganą zamianą będzie .

Równanie

sprowadza się do równania kwadratowego

prezentacja jako . Łatwo sprawdzić, dla których , nie są pierwiastkami równania i dokonując podstawienia równanie sprowadza się do równania kwadratowego.

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Przesuńmy to na lewą stronę, zamieńmy na i wyraźmy poprzez i.

Po uproszczeniu otrzymujemy: . Podziel wyraz przez wyraz i dokonaj zamiany:

Wracając do , znajdujemy .

Równania jednorodne względem ,

Rozważmy równanie postaci

gdzie , , , ..., , są liczbami rzeczywistymi. W każdym wyrazie po lewej stronie równania stopnie jednomianów są równe, to znaczy suma stopni sinusa i cosinusa jest taka sama i równa. To równanie nazywa się jednorodny względem i , a liczba jest wywoływana wskaźnik jednorodności .

Oczywiste jest, że jeśli , to równanie będzie miało postać:

których rozwiązaniami są wartości, przy których , tj. liczby , . Drugie równanie zapisane w nawiasach jest również jednorodne, ale stopnie są o 1 niższe.

Jeśli , to liczby te nie są pierwiastkami równania.

Gdy otrzymamy: , a lewa strona równania (1) przyjmuje wartość .

Zatem dla , i , dlatego możemy podzielić obie strony równania przez . W rezultacie otrzymujemy równanie:

które przez podstawienie można łatwo sprowadzić do postaci algebraicznej:

Równania jednorodne ze wskaźnikiem jednorodności 1. Kiedy mamy równanie .

Jeśli , to równanie to jest równoważne równaniu , , skąd , .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Równanie to jest jednorodne pierwszego stopnia. Dzielimy obie części przez otrzymamy: , , , .

Odpowiedź. .

Przykład Kiedy otrzymamy jednorodne równanie postaci

Rozwiązanie.

Jeśli , to podziel obie strony równania przez , otrzymamy równanie , które można łatwo sprowadzić do kwadratu przez podstawienie: . Jeśli , to równanie ma pierwiastki rzeczywiste , . Oryginalne równanie będzie miało dwie grupy rozwiązań: , , .

Jeśli , to równanie nie ma rozwiązań.

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Równanie to jest jednorodne drugiego stopnia. Dzielimy obie strony równania przez , otrzymujemy: . Niech więc , , . , , ; . .

Odpowiedź. .

Równanie sprowadza się do równania postaci

Aby to zrobić, wystarczy użyć tożsamości

W szczególności równanie zostaje zredukowane do jednorodnego, jeśli zastąpimy je przez , wówczas otrzymujemy równoważne równanie:

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Przekształćmy równanie na jednorodne:

Podzielmy obie strony równania przez , otrzymujemy równanie:

Niech , a następnie dochodzimy do równania kwadratowego: , , , , .

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu, biorąc pod uwagę, że mają one wartości dodatnie: , ,

Niech tak będzie, wtedy otrzymamy , , .

Odpowiedź. .

Równania rozwiązywane za pomocą tożsamości

Przydatna jest znajomość następujących wzorów:

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Używając, otrzymujemy

Odpowiedź.

Oferujemy nie same wzory, ale metodę ich wyprowadzania:

stąd,

Podobnie, .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Przekształćmy wyrażenie:

Równanie zostanie zapisane jako:

Akceptując, otrzymujemy. , . Stąd

Odpowiedź. .

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Równanie trygonometryczne postaci

gdzie --- funkcję wymierną za pomocą wzorów - jak również za pomocą wzorów - można sprowadzić do równania wymiernego ze względu na argumenty , , , , po czym równanie można sprowadzić do wymiernego algebraicznego równanie w zakresie stosowania wzorów uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego

Należy zauważyć, że użycie wzorów może prowadzić do zawężenia OD pierwotnego równania, ponieważ nie jest ona zdefiniowana w punktach, dlatego w takich przypadkach należy sprawdzić, czy kąty są pierwiastkami pierwotnego równania .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania. Stosując wzory i dokonując podstawienia, otrzymujemy

skąd i dlatego.

Równania postaci

Równania postaci , gdzie --- wielomian, rozwiązuje się poprzez zmianę niewiadomych

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Dokonując zamiany i biorąc pod uwagę to, otrzymujemy

Gdzie , . --- obcy korzeń, ponieważ . Pierwiastki równania Czy .

Korzystanie z ograniczeń funkcji

W praktyce testowania scentralizowanego nierzadko można spotkać równania, których rozwiązanie opiera się na ograniczonych funkcjach i . Na przykład:

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Ponieważ , , to lewa strona nie przekracza i jest równa , jeśli

Aby znaleźć wartości spełniające oba równania, postępujemy w następujący sposób. Rozwiążmy jedno z nich, następnie spośród znalezionych wartości wybierzemy te, które spełniają drugie.

Zacznijmy od drugiego: , . Następnie , .

Oczywiste jest, że tylko dla liczb parzystych będzie .

Odpowiedź. .

Inny pomysł realizuje się poprzez rozwiązanie następującego równania:

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Skorzystajmy z własności funkcji wykładniczej: , .

Dodając te nierówności wyraz po wyrazie mamy:

Dlatego lewa strona tego równania jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwie równości:

tzn. może przyjmować wartości , , lub może przyjmować wartości , .

Odpowiedź. , .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie., . Stąd, .

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Oznaczmy , to z definicji odwrotnej funkcji trygonometrycznej mamy I .

Skoro więc nierówność wynika z równania, tj. . Od i , następnie i . Jednak właśnie dlatego.

Jeśli i wtedy. Skoro już to ustalono, to .

Odpowiedź. , .

Przykład Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Zakres dopuszczalnych wartości równania wynosi .

Najpierw pokażemy, że funkcja

Dla każdego może przyjmować tylko wartości dodatnie.

Wyobraźmy sobie tę funkcję w następujący sposób: .

Od , wtedy ma to miejsce, tj. .

Aby zatem udowodnić nierówność, należy to wykazać . W tym celu skróćmy zatem obie strony tej nierówności do sześcianu

Wynikająca z tego nierówność liczbowa wskazuje, że . Jeśli weźmiemy to również pod uwagę , to lewa strona równania jest nieujemna.

Spójrzmy teraz na prawą stronę równania.

Ponieważ , To

Wiadomo jednak, że . Wynika z tego, tj. prawa strona równania nie przekracza . Udowodniono wcześniej, że lewa strona równania jest nieujemna, więc równość może nastąpić tylko wtedy, gdy obie strony są równe, a jest to możliwe tylko wtedy, gdy .

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Oznaczmy i . Stosując nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego otrzymujemy . Wynika, że . Z drugiej strony jest . Zatem równanie nie ma pierwiastków.

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie. Przepiszmy równanie jako:

Odpowiedź. .

Funkcjonalne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych i złożonych

Nie każde równanie w wyniku przekształceń daje się sprowadzić do równania tej czy innej postaci standardowej, dla której istnieje specyficzna metoda rozwiązania. W takich przypadkach przydatne okazuje się wykorzystanie takich właściwości funkcji, jak monotoniczność, ograniczenie, parzystość, okresowość itp. Jeśli więc jedna z funkcji maleje na przedziale, a druga rośnie, to jeśli równanie ma pierwiastek na tym przedziale, pierwiastek ten jest unikalny i wtedy można go np. znaleźć poprzez selekcję. Jeśli funkcja jest ograniczona powyżej i , a funkcja jest ograniczona poniżej i , to równanie jest równoważne układowi równań

Przykład Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Przekształćmy pierwotne równanie do postaci

i rozwiązać go jako kwadrat w stosunku do . Wtedy otrzymamy,

Rozwiążmy pierwsze równanie populacji. Biorąc pod uwagę ograniczony charakter funkcji dochodzimy do wniosku, że równanie może mieć tylko pierwiastek na odcinku. W tym przedziale funkcja rośnie i funkcja maleje. Dlatego jeśli to równanie ma pierwiastek, to jest unikalne. Znajdujemy poprzez selekcję.

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie

Rozwiązanie. Niech i , wówczas pierwotne równanie można zapisać jako równanie funkcyjne. Ponieważ funkcja jest nieparzysta, to . W tym przypadku otrzymujemy równanie.

Ponieważ , i jest monotoniczny na , równanie jest równoważne równaniu, tj. , który ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Z twierdzenia o pochodnej funkcji zespolonej wynika, że ​​funkcja malejący (funkcja malejąca, rosnąca, malejąca). Z tego jasno wynika, że ​​funkcja zdefiniowany na , malejący. Zatem to równanie ma co najwyżej jeden pierwiastek. Ponieważ , To

Odpowiedź. .

Przykład Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Rozważmy równanie na trzech przedziałach.

a) Niech . Wtedy w tym zbiorze pierwotne równanie jest równoważne równaniu . Który nie ma rozwiązań na przedziale, ponieważ , , A . Na przedziale pierwotne równanie również nie ma pierwiastków, ponieważ , A .

b) Niech . Wtedy w tym zbiorze pierwotne równanie jest równoważne równaniu

którego pierwiastkami na przedziale są liczby , , , .

c) Niech . Wtedy w tym zbiorze pierwotne równanie jest równoważne równaniu

Który nie ma rozwiązań na przedziale, ponieważ , i . Na przedziale równanie również nie ma rozwiązań, ponieważ , , A .

Odpowiedź. , , , .

Metoda symetrii

Metoda symetrii jest wygodna w użyciu, gdy sformułowanie zadania wymaga jednoznacznego rozwiązania równania, nierówności, układu itp. lub dokładne wskazanie liczby rozwiązań. W takim przypadku należy wykryć jakąkolwiek symetrię danych wyrażeń.

Należy również wziąć pod uwagę różnorodność różnych możliwych typów symetrii.

Równie ważne jest ścisłe trzymanie się logicznych etapów rozumowania opartego na symetrii.

Zazwyczaj symetria pozwala nam ustalić tylko niezbędne warunki, a następnie musimy sprawdzić ich wystarczalność.

Przykład Znajdź wszystkie wartości parametru, dla których równanie ma jednoznaczne rozwiązanie.

Rozwiązanie. Zauważ, że i są funkcjami parzystymi, więc lewa strona równania jest funkcją parzystą.

Oznacza to, że jeśli istnieje rozwiązanie równania, to równanie również istnieje. Jeśli jest to jedyne rozwiązanie równania, to niezbędny , .

Wybierzemy możliwy wartości, wymagając, aby był to pierwiastek równania.

Zauważmy od razu, że inne wartości nie mogą spełniać warunków problemu.

Nie wiadomo jednak jeszcze, czy wszyscy wybrani rzeczywiście spełniają warunki zadania.

Adekwatność.

1), równanie przyjmie postać .

2), równanie przyjmie postać:

Jest oczywiste, że dla każdego i . Dlatego ostatnie równanie jest równoważne układowi:

W ten sposób udowodniliśmy, że dla , równanie ma unikalne rozwiązanie.

Odpowiedź. .

Rozwiązanie z eksploracją funkcji

Przykład Udowodnić, że wszystkie rozwiązania równania

Wszystkie liczby.

Rozwiązanie. Główny okres pierwotnego równania wynosi . Dlatego najpierw przeanalizujemy to równanie na przedziale.

Przekształćmy równanie do postaci:

Korzystając z mikrokalkulatora otrzymujemy:

Jeżeli , to z poprzednich równości otrzymujemy:

Po rozwiązaniu otrzymanego równania otrzymujemy: .

Przeprowadzone obliczenia pozwalają przyjąć, że pierwiastkami równania należącego do odcinka są , i .

Bezpośrednie testy potwierdzają tę hipotezę. W ten sposób udowodniono, że pierwiastki równania są tylko liczbami całkowitymi , .

Przykład Rozwiązać równanie .

Rozwiązanie. Znajdźmy główny okres równania. Funkcja ma okres podstawowy równy . Główny okres funkcji wynosi . Najmniejsza wspólna wielokrotność i jest równa . Dlatego główny okres równania wynosi . Pozwalać .

Oczywiście jest to rozwiązanie równania. Na przerwie. Funkcja jest ujemna. Zatem pozostałych pierwiastków równania należy szukać jedynie na przedziałach x i .

Za pomocą mikrokalkulatora najpierw znajdujemy przybliżone wartości pierwiastków równania. W tym celu sporządzamy tabelę wartości funkcji w odstępach i ; tj. w odstępach i .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Z tabeli łatwo wyprowadzić następujące hipotezy: pierwiastkami równania należącego do odcinka są liczby: ; ; . Bezpośrednie testy potwierdzają tę hipotezę.

Odpowiedź. ; ; .

Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych za pomocą okręgu jednostkowego

Rozwiązując nierówności trygonometryczne postaci , gdzie jest jedna z funkcji trygonometrycznych, wygodnie jest użyć koła trygonometrycznego, aby jak najdokładniej przedstawić rozwiązania nierówności i zapisać odpowiedź. Główną metodą rozwiązywania nierówności trygonometrycznych jest zredukowanie ich do najprostszych nierówności typu. Spójrzmy na przykład rozwiązania takich nierówności.

Przykład Rozwiąż nierówność.

Rozwiązanie. Narysujmy okrąg trygonometryczny i zaznaczmy na nim punkty, dla których rzędna przekracza .

Rozwiązaniem tej nierówności będzie . Oczywiste jest również, że jeśli dana liczba różni się od dowolnej liczby z określonego przedziału o , to również będzie nie mniejsza niż . Dlatego wystarczy dodać do końców znalezionego segmentu rozwiązania. Wreszcie stwierdzamy, że rozwiązania pierwotnej nierówności będą wszystkie .

Odpowiedź. .

Do rozwiązywania nierówności za pomocą stycznych i cotangensów przydatna jest koncepcja linii stycznych i cotangensów. Są to proste i odpowiednio (na rysunku (1) i (2)) styczne do okręgu trygonometrycznego.

Łatwo zauważyć, że jeśli skonstruujemy półprostą, której początek znajduje się w początku współrzędnych, tworząc kąt z dodatnim kierunkiem osi odciętych, to długość odcinka od punktu do punktu przecięcia tego promienia z linia styczna jest dokładnie równa tangensowi kąta, jaki ten promień tworzy z osią odciętych. Podobna obserwacja ma miejsce w przypadku cotangensu.

Przykład Rozwiąż nierówność.

Rozwiązanie. Oznaczmy , wtedy nierówność przyjmie najprostszą postać: . Rozważmy przedział długości równy najmniejszemu dodatniemu okresowi (LPP) stycznej. Na tym odcinku, korzystając z linii stycznych, ustalamy, że . Przypomnijmy sobie teraz, co trzeba dodać, skoro NPP funkcjonuje. Więc, . Wracając do zmiennej, otrzymujemy to.

Odpowiedź. .

Nierówności wygodnie jest rozwiązywać za pomocą odwrotnych funkcji trygonometrycznych, korzystając z wykresów odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.

Graficzne rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych

Należy zauważyć, że jeśli jest funkcją okresową, to aby rozwiązać nierówność, należy znaleźć jej rozwiązanie na odcinku, którego długość jest równa okresowi funkcji. Wszystkie rozwiązania pierwotnej nierówności będą składać się ze znalezionych wartości, a także wszystkich tych, które różnią się od znalezionych dowolną całkowitą liczbą okresów funkcji.

Rozważmy rozwiązanie nierówności ().

Ponieważ , to nierówność nie ma rozwiązań. Jeżeli , to zbiór rozwiązań nierówności jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Pozwalać . Funkcja sinus ma najmniejszy okres dodatni, dlatego nierówność można najpierw rozwiązać na odcinku długości, na przykład na odcinku. Budujemy wykresy funkcji i (). są dane przez nierówności postaci: i skąd,

W pracy rozważono metody rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych, zarówno prostych, jak i na poziomie olimpijskim. Rozważono główne metody rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych, zarówno specyficzne – charakterystyczne tylko dla równań i nierówności trygonometrycznych – jak i ogólne funkcjonalne metody rozwiązywania równań i nierówności w odniesieniu do równań trygonometrycznych.

W pracy przedstawiono podstawowe informacje teoretyczne: definicję i własności funkcji trygonometrycznych i odwrotnych funkcji trygonometrycznych; wyrażanie funkcji trygonometrycznych w postaci innych funkcji trygonometrycznych, co jest bardzo ważne przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych, zwłaszcza zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne; Oprócz podstawowych wzorów trygonometrycznych, dobrze znanych z kursu szkolnego, podane są wzory upraszczające wyrażenia zawierające odwrotne funkcje trygonometryczne. Rozważane jest rozwiązanie elementarnych równań trygonometrycznych, metoda faktoryzacji oraz metody redukcji równań trygonometrycznych do algebraicznych. Ze względu na fakt, że rozwiązania równań trygonometrycznych można zapisać na kilka sposobów, a postać tych rozwiązań nie pozwala od razu określić, czy rozwiązania te są takie same, czy różne, rozważa się ogólny schemat rozwiązywania równań trygonometrycznych i transformację szczegółowo rozpatrywane są grupy rozwiązań ogólnych równań trygonometrycznych. Szczegółowo omówiono metody rozwiązywania elementarnych nierówności trygonometrycznych, zarówno na okręgu jednostkowym, jak i metodą graficzną. Opisano proces rozwiązywania nieelementarnych nierówności trygonometrycznych poprzez nierówności elementarne oraz dobrze znaną uczniom metodę przedziałów. Podano rozwiązania typowych zadań wybierania korzeni. Podano informacje teoretyczne niezbędne do wyboru pierwiastków: dzielenie zbioru liczb całkowitych na rozłączne podzbiory, rozwiązywanie równań na liczbach całkowitych (diafantyna).

Wyniki tej pracy mogą zostać wykorzystane jako materiał edukacyjny w przygotowaniu zajęć i prac dyplomowych, w przygotowaniu przedmiotów do wyboru dla uczniów, a praca może być również wykorzystana w przygotowaniu uczniów do egzaminów wstępnych i testów scentralizowanych.

Wygodski Ya.Ya., Podręcznik matematyki elementarnej. /Wygodski Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970.

Igudisman O., Matematyka na egzaminie ustnym / Igudisman O. --- M.: Iris Press, Rolf, 2001.

Azarow A.I., równania/Azarow A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.

Litwinienko V.N., Warsztaty z matematyki elementarnej / Litwinienko V.N. --- M.: Edukacja, 1991.

Sharygin I.F., Fakultatywny kurs matematyki: rozwiązywanie problemów / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Edukacja, 1991.

Bardushkin V., Równania trygonometryczne. Wybór korzenia/B. Barduszkin, A. Prokofiew.// Matematyka, nr 12, 2005 s. 23-27.

Wasilewski A.B., Zadania do zajęć pozalekcyjnych z matematyki/Wasilewski A.B. --- Mn.: Asveta Ludowa. 1988. --- 176 s.

Sapunov P. I., Transformacja i suma grup ogólnych rozwiązań równań trygonometrycznych / Sapunov P. I. // Edukacja matematyczna, nr 3, 1935.

Borodin P., Trygonometria. Materiały z egzaminów wstępnych na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym [tekst]/P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematyka nr 1, 2005 s. 36-48.

Samusenko A.V., Matematyka: Typowe błędy kandydatów: Podręcznik referencyjny / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Mn.: Szkoła wyższa, 1991.

Azarov A.I., Funkcjonalne i graficzne metody rozwiązywania problemów egzaminacyjnych / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.

Najprostsze nierówności trygonometryczne postaci sin x>a są podstawą do rozwiązywania bardziej złożonych nierówności trygonometrycznych.

Rozważmy rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych postaci sin x>a na okręgu jednostkowym.

1) o godzinie 0

Używając skojarzenia cosinus-bun (oba zaczynają się od co-, oba są „okrągłe”), pamiętamy, że cosinus to odpowiednio x, a sinus to y. Stąd budujemy wykres y=a - linia prosta równoległa do osi wołu. Jeśli nierówność jest ścisła, przebija się punkty przecięcia okręgu jednostkowego z prostą y=a, jeśli nierówność nie jest ścisła, zamalowujemy punkty (jak łatwo zapamiętać, kiedy punkt został przebity, a kiedy jest zacieniony, patrz). Największą trudność w rozwiązaniu najprostszych nierówności trygonometrycznych sprawia prawidłowe znalezienie punktów przecięcia okręgu jednostkowego i prostej y=a.

Pierwszy punkt jest łatwy do znalezienia - jest to arcsin a. Wyznaczamy ścieżkę, którą przejdziemy od pierwszego punktu do drugiego. Na linii y=a sinx=a, powyżej, nad linią sin x>a, a poniżej pod linią sin x a, potrzebujemy górnej ścieżki. Zatem od pierwszego punktu arcsin a do drugiego idziemy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to znaczy w kierunku zwiększania kąta. Nie docieramy do celu. Jak wiele tracimy? Na Arcsinie A. Ponieważ nie osiągnęliśmy n, drugi punkt jest mniejszy niż n, co oznacza, że ​​aby go znaleźć, musimy odjąć arcsina od n. Rozwiązaniem nierówności sin x>a w tym przypadku jest przedział od arcsin a do n-arcsin a. Ponieważ okres sinusa wynosi 2n, aby uwzględnić wszystkie rozwiązania nierówności (a jest nieskończona liczba takich przedziałów), na każdym końcu przedziału dodajemy 2n, gdzie n jest liczbą całkowitą (n należy do do Z).

2) a=0, czyli grzech x>0

W tym przypadku pierwszym punktem przedziału jest 0, drugim jest n. Do obu końców przedziału, biorąc pod uwagę okres sinusa, dodajemy 2n.

3) dla a=-1, czyli sinx>-1

W tym przypadku pierwszym punktem jest p/2 i aby dostać się do drugiego, okrążamy cały okrąg w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Dochodzimy do punktu -p/2+2p=3p/2. Aby uwzględnić wszystkie przedziały będące rozwiązaniami tej nierówności, do obu końców dodajemy 2n.

4) sinx>-a, przy 0

Pierwszym punktem jest jak zwykle arcsin(-a)=-arcsina. Aby dostać się do drugiego punktu, idziemy górną drogą, czyli w kierunku zwiększania kąta.

Tym razem wykraczamy poza n. Jak długo będziemy? Na Arcsinie X. Oznacza to, że drugi punkt to n+arcsin x. Dlaczego nie ma minusa? Ponieważ minus w zapisie -arcsin a oznacza ruch zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a my poszliśmy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Na koniec dodaj 2 pn na każdym końcu przedziału.

5) sinx>a, jeśli a>1.

Okrąg jednostkowy leży całkowicie pod prostą y=a. Nie ma ani jednego punktu powyżej linii prostej. Zatem nie ma rozwiązań.

6) sinx>-a, gdzie a>1.

W tym przypadku cały okrąg jednostkowy leży całkowicie nad prostą y=a. Zatem dowolny punkt spełnia warunek sinx>a. Oznacza to, że x jest dowolną liczbą.

I tutaj x jest dowolną liczbą, ponieważ w rozwiązaniu uwzględnione są punkty -n/2+2nn, w przeciwieństwie do ścisłej nierówności sinx>-1. Nie ma potrzeby niczego wykluczać.

Jedynym punktem na okręgu spełniającym ten warunek jest n/2. Uwzględniając okres sinusa, rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór punktów x=n/2+2n.

Na przykład rozwiąż nierówność sinx>-1/2:

1. Jeśli argument jest złożony (inny niż X), a następnie zastąp go T.

2. Budujemy w jednej płaszczyźnie współrzędnych zabawka wykresy funkcji y=koszt I y=a.

3. Znajdujemy takie dwa sąsiednie punkty przecięcia wykresów, pomiędzy którymi się znajduje powyżej prostej y=a. Znajdujemy odcięte tych punktów.

4. Napisz podwójną nierówność dla argumentu T, biorąc pod uwagę okres cosinusa ( T będzie pomiędzy znalezionymi odciętymi).

5. Dokonaj odwrotnego podstawienia (powróć do pierwotnego argumentu) i wyraź wartość X z podwójnej nierówności zapisujemy odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.

Przykład 1.

Następnie zgodnie z algorytmem określamy te wartości argumentu T, w którym znajduje się sinusoida wyższy prosty. Zapiszmy te wartości jako podwójną nierówność, biorąc pod uwagę okresowość funkcji cosinus, a następnie wróćmy do pierwotnego argumentu X.

Przykład 2.

Wybór zakresu wartości T, w którym sinusoida znajduje się nad linią prostą.

Wartości zapisujemy w postaci podwójnej nierówności T, spełniający warunek. Nie zapominaj, że najmniejszy okres funkcji y=koszt równa się 2π. Wracając do zmiennej X, stopniowo upraszczając wszystkie części podwójnej nierówności.

Odpowiedź piszemy w postaci zamkniętego przedziału liczbowego, ponieważ nierówność nie była ścisła.

Przykład 3.

Nas będzie interesował zakres wartości T, w którym punkty sinusoidy będą leżeć nad linią prostą.

Wartości T zapisz to w postaci podwójnej nierówności, przepisz te same wartości dla 2x i ekspresowe X. Zapiszmy odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.

I jeszcze raz formuła koszt>a.

Jeśli koszt>a, (-1≤A≤1), wówczas - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Zastosuj wzory do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, a zaoszczędzisz czas na testowaniu egzaminacyjnym.

I teraz formuła , którego powinieneś użyć na egzaminie UNT lub Unified State Examination przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznej postaci koszt

Jeśli koszt , (-1≤A≤1), wówczas arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Zastosuj tę formułę do rozwiązania nierówności omawianych w tym artykule, a otrzymasz odpowiedź znacznie szybciej i bez żadnych wykresów!

Biorąc pod uwagę okresowość funkcji sinus, piszemy podwójną nierówność dla wartości argumentu T, spełniając ostatnią nierówność. Wróćmy do pierwotnej zmiennej. Przekształćmy wynikową podwójną nierówność i wyrażmy zmienną X. Zapiszmy odpowiedź w formie przedziału.

Rozwiążmy drugą nierówność:

Rozwiązując drugą nierówność, musieliśmy przekształcić lewą stronę tej nierówności za pomocą wzoru na sinus z podwójnym argumentem, aby otrzymać nierówność postaci: sint≥a. Następnie postępowaliśmy zgodnie z algorytmem.

Rozwiązujemy trzecią nierówność:

Drodzy absolwenci i kandydaci! Należy pamiętać, że metody rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, takie jak podana powyżej metoda graficzna i prawdopodobnie znana Ci metoda rozwiązywania za pomocą jednostkowego okręgu trygonometrycznego (okręgu trygonometrycznego) mają zastosowanie tylko w pierwszych etapach studiowania działu trygonometrii „Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych.” Myślę, że pamiętasz, że najpierw rozwiązałeś najprostsze równania trygonometryczne za pomocą wykresów lub koła. Jednak teraz nie pomyślałbyś o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych w ten sposób. Jak je rozwiązać? Zgadza się, zgodnie ze wzorami. Zatem nierówności trygonometryczne należy rozwiązywać za pomocą wzorów, zwłaszcza podczas testowania, kiedy każda minuta jest cenna. Rozwiąż więc trzy nierówności z tej lekcji, korzystając z odpowiedniego wzoru.

Jeśli sin>a, gdzie -1≤ A≤1, zatem arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Naucz się formuł!

I na koniec: czy wiesz, że matematyka to definicje, reguły i WZORY?!

Oczywiście, że tak! A najbardziej zaciekawieni, po przestudiowaniu tego artykułu i obejrzeniu wideo, wykrzyknęli: „Jak długo i trudno! Czy istnieje wzór, który pozwala rozwiązać takie nierówności bez użycia wykresów i okręgów?” Tak, oczywiście, że istnieje!

DO ROZWIĄZANIA NIERÓWNOŚCI FORMY: grzech (-1≤A≤1) obowiązuje wzór:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Zastosuj to do omawianych przykładów, a odpowiedź otrzymasz znacznie szybciej!

Wniosek: UCZ SIĘ FORMUŁ, Przyjaciele!

Strona 1 z 1 1

Większość uczniów nie lubi nierówności trygonometrycznych. Ale na próżno. Jak mawiał jeden z bohaterów,

„Po prostu nie wiesz, jak je ugotować”

Jak więc „gotować” i jak zgłosić nierówność z sinusem, dowiemy się w tym artykule. Rozwiążemy to najprościej - wykorzystując okrąg jednostkowy.

Przede wszystkim potrzebujemy następującego algorytmu.

Algorytm rozwiązywania nierówności z sinusem:

1. na osi sinusa wykreślamy liczbę $a$ i rysujemy linię prostą równoległą do osi cosinusa aż do przecięcia się z okręgiem;
2. punkty przecięcia tej linii z okręgiem zostaną zacienione, jeśli nierówność nie jest ścisła, i nie zacienione, jeśli nierówność jest ścisła;
3. obszar rozwiązania nierówności będzie znajdował się nad linią i do okręgu, jeśli nierówność zawiera znak „$>$”, oraz pod linią i do okręgu, jeśli nierówność zawiera znak „$<$”;
4. aby znaleźć punkty przecięcia, rozwiązujemy równanie trygonometryczne $\sin(x)=a$, otrzymujemy $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. ustawiając $n=0$, znajdujemy pierwszy punkt przecięcia (znajduje się on w pierwszej lub czwartej ćwiartce);
6. aby znaleźć drugi punkt, patrzymy, w którym kierunku przechodzimy przez obszar do drugiego punktu przecięcia: jeśli w kierunku dodatnim, to powinniśmy przyjąć $n=1$, a jeśli w kierunku ujemnym, to $n=- 1 $;
7. w odpowiedzi zapisuje się odstęp od mniejszego punktu przecięcia $+ 2\pi n$ do większego $+ 2\pi n$.

Ograniczenie algorytmu

Ważne: D dany algorytm nie działa dla nierówności postaci $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Szczególne przypadki rozwiązywania nierówności z sinusem

Warto również zwrócić uwagę na następujące przypadki, które znacznie wygodniej jest rozwiązać logicznie bez użycia powyższego algorytmu.

Przypadek specjalny 1. Rozwiąż nierówność:

$\sin(x)\równ. 1.$

Z uwagi na to, że zakres wartości funkcji trygonometrycznej $y=\sin(x)$ nie jest większy niż modulo $1$, to lewa strona nierówności w ogóle$x$ z dziedziny definicji (a dziedziną sinusa są wszystkie liczby rzeczywiste) wynosi nie więcej niż 1$. I dlatego w odpowiedzi piszemy: $x \in R$.

Konsekwencja:

$\sin(x)\geq -1.$

Przypadek specjalny 2. Rozwiąż nierówność:

$\grzech(x)< 1.$

Stosując argumenty podobne do przypadku specjalnego 1, stwierdzamy, że lewa strona nierówności jest mniejsza niż 1 $ dla wszystkich $x \in R$, z wyjątkiem punktów, które są rozwiązaniami równania $\sin(x) = 1$. Rozwiązując to równanie będziemy mieli:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

I dlatego w odpowiedzi piszemy: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Konsekwencja: nierówność rozwiązuje się w podobny sposób

$\sin(x) > -1.$

Przykłady rozwiązywania nierówności za pomocą algorytmu.

Przykład 1: Rozwiąż nierówność:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Zaznaczmy współrzędną $\frac(1)(2)$ na osi sinusa.
2. Narysujmy prostą równoległą do osi cosinus i przechodzącą przez ten punkt.
3. Zaznaczmy punkty przecięcia. Zostaną zacienione, ponieważ nierówność nie jest ścisła.
4. Znak nierówności to $\geq$, co oznacza, że ​​malujemy pole nad linią, czyli np. mniejsze półkole.
5. Znajdujemy pierwszy punkt przecięcia. Aby to zrobić, zamieniamy nierówność na równość i rozwiązujemy ją: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Następnie ustalamy $n=0$ i znajdujemy pierwszy punkt przecięcia: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Znajdujemy drugi punkt. Nasz obszar idzie w kierunku dodatnim od pierwszego punktu, co oznacza, że ​​ustawiamy $n$ równe $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Zatem rozwiązanie będzie miało postać:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Przykład 2: Rozwiąż nierówność:

$\grzech(x)< -\frac{1}{2}$

Zaznaczmy współrzędną $-\frac(1)(2)$ na osi sinusoidy i narysujmy prostą równoległą do osi cosinus i przechodzącą przez ten punkt. Zaznaczmy punkty przecięcia. Nie będą zacienione, ponieważ nierówność jest ścisła. Znak nierówności $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Zakładając dalej, że $n=0$, znajdujemy pierwszy punkt przecięcia: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Nasz obszar idzie w kierunku ujemnym od pierwszego punktu, co oznacza, że ​​ustawiamy $n$ równe $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Przykład 3: Rozwiąż nierówność:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Tego przykładu nie można rozwiązać natychmiast za pomocą algorytmu. Najpierw musisz go przekształcić. Robimy dokładnie to samo, co zrobilibyśmy z równaniem, ale nie zapominamy o znaku. Dzielenie lub mnożenie przez liczbę ujemną odwraca tę sytuację!

Przesuńmy więc wszystko, co nie zawiera funkcji trygonometrycznej, na prawą stronę. Otrzymujemy:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Podzielmy lewą i prawą stronę przez $-2$ (nie zapomnij o znaku!). Będzie miał:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Znów mamy nierówność, której nie możemy rozwiązać za pomocą algorytmu. Ale tutaj wystarczy zmienić zmienną:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Otrzymujemy nierówność trygonometryczną, którą można rozwiązać za pomocą algorytmu:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Nierówność ta została rozwiązana w przykładzie 1, więc zapożyczmy stamtąd odpowiedź:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Jednak decyzja jeszcze się nie zakończyła. Musimy wrócić do oryginalnej zmiennej.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Wyobraźmy sobie przedział jako system:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Po lewej stronie układu znajduje się wyrażenie ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), które należy do przedziału. Za pierwszą nierówność odpowiada lewa granica przedziału, a prawa granica za drugą. Ponadto ważną rolę odgrywają nawiasy: jeśli nawias jest kwadratowy, to nierówność zostanie złagodzona, a jeśli jest okrągły, to będzie ścisła. naszym zadaniem jest zdobycie $x$ po lewej stronie w obu nierównościach.

Przesuńmy $\frac(\pi)(6)$ z lewej strony na prawą, otrzymamy:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Upraszczając, będziemy mieli:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Mnożąc lewą i prawą stronę przez 4 $, otrzymujemy:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Składając układ w interwał otrzymujemy odpowiedź:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$