Umiejętność obliczania objętości figur przestrzennych jest ważna przy rozwiązywaniu szeregu praktycznych problemów z geometrii. Jedną z najczęstszych postaci jest piramida. W tym artykule rozważymy zarówno piramidy pełne, jak i ścięte.

Piramida jako figura trójwymiarowa

Wszyscy wiedzą o egipskich piramidach, więc dobrze wiedzą, o jakiej figurze będziemy mówić. Jednak egipskie konstrukcje kamienne są tylko szczególnym przypadkiem ogromnej klasy piramid.

W ogólnym przypadku rozważanym obiektem geometrycznym jest podstawa wielokątna, której każdy wierzchołek jest połączony z pewnym punktem w przestrzeni, który nie należy do płaszczyzny podstawy. Definicja ta prowadzi do figury składającej się z jednego n-kątów i n trójkątów.

Każda piramida składa się z n+1 ścian, 2*n krawędzi i n+1 wierzchołków. Ponieważ dana figura jest wielościanem doskonałym, liczby zaznaczonych elementów odpowiadają równości Eulera:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Wielokąt znajdujący się u podstawy nadaje nazwę piramidzie, na przykład trójkątnej, pięciokątnej i tak dalej. Zestaw piramid o różnych podstawach pokazano na poniższym zdjęciu.

Punkt, w którym spotyka się n trójkątów figury, nazywa się wierzchołkiem piramidy. Jeśli prostopadła zostanie opuszczona z niej na podstawę i przetnie ją w środku geometrycznym, wówczas taką figurę nazwiemy linią prostą. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, powstaje nachylona piramida.

Figura prawa, której podstawa jest utworzona przez równoboczny (równokątny) n-gon, nazywa się regularną.

Wzór na objętość piramidy

Aby obliczyć objętość piramidy, skorzystamy z rachunku całkowego. Aby to zrobić, dzielimy figurę, przecinając płaszczyzny równoległe do podstawy na nieskończoną liczbę cienkich warstw. Poniższy rysunek przedstawia czworokątną piramidę o wysokości h i długości boku L, w której czworokąt wyznacza cienką warstwę przekroju.

Powierzchnię każdej takiej warstwy można obliczyć ze wzoru:

A(z) = ZA 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Tutaj A 0 to obszar podstawy, z to wartość współrzędnej pionowej. Można zauważyć, że jeśli z = 0, to wzór podaje wartość A 0 .

Aby otrzymać wzór na objętość ostrosłupa należy obliczyć całkę po całej wysokości figury, czyli:

V = ∫ godz. 0 (A(z)*dz).

Podstawiając zależność A(z) i obliczając funkcję pierwotną, dochodzimy do wyrażenia:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| godz. 0 = 1/3*A 0 *godz.

Otrzymaliśmy wzór na objętość piramidy. Aby znaleźć wartość V, wystarczy pomnożyć wysokość figury przez pole podstawy, a następnie podzielić wynik przez trzy.

Należy zauważyć, że wynikowe wyrażenie obowiązuje przy obliczaniu objętości piramidy dowolnego typu. Oznacza to, że może być nachylony, a jego podstawą może być dowolny n-gon.

i jego objętość

Ogólny wzór na objętość uzyskany w powyższym akapicie można doprecyzować w przypadku piramidy o regularnej podstawie. Pole takiej podstawy oblicza się za pomocą następującego wzoru:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Tutaj L jest długością boku wielokąta foremnego o n wierzchołkach. Symbol pi jest liczbą pi.

Podstawiając wyrażenie na A 0 do wzoru ogólnego, otrzymujemy objętość regularnej piramidy:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na przykład w przypadku piramidy trójkątnej formuła ta daje w wyniku następujące wyrażenie:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

W przypadku regularnej piramidy czworokątnej wzór na objętość ma postać:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Wyznaczanie objętości regularnych piramid wymaga znajomości boku ich podstawy i wysokości figury.

Ścięta piramida

Załóżmy, że wzięliśmy dowolną piramidę i odcięliśmy część jej powierzchni bocznej zawierającej wierzchołek. Pozostała figura nazywana jest piramidą ściętą. Składa się już z dwóch n-gonalnych podstaw i n łączących je trapezów. Jeśli płaszczyzna cięcia była równoległa do podstawy figury, wówczas powstaje ścięta piramida o podobnych równoległych podstawach. Oznacza to, że długości boków jednego z nich można uzyskać, mnożąc długości drugiego przez pewien współczynnik k.

Powyższy rysunek przedstawia obcięty regularny, widać, że jego górna podstawa, podobnie jak dolna, jest utworzona przez sześciokąt foremny.

Wzór, który można wyprowadzić za pomocą rachunku całkowego podobnego do powyższego, to:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdzie A 0 i A 1 to odpowiednio obszary dolnej (dużej) i górnej (małej) podstawy. Zmienna h oznacza wysokość ściętej piramidy.

Objętość piramidy Cheopsa

Interesujące jest rozwiązanie problemu określenia objętości, jaką zawiera w sobie największa egipska piramida.

W 1984 roku brytyjscy egiptolodzy Mark Lehner i Jon Goodman ustalili dokładne wymiary piramidy Cheopsa. Jej pierwotna wysokość wynosiła 146,50 m (obecnie ok. 137 m). Średnia długość każdego z czterech boków budowli wynosiła 230,363 m. Podstawa piramidy jest kwadratowa z dużą precyzją.

Na podstawie podanych liczb określmy objętość tego kamiennego olbrzyma. Ponieważ piramida jest regularna czworokątna, obowiązuje dla niej wzór:

Podstawiając liczby otrzymujemy:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objętość piramidy Cheopsa wynosi prawie 2,6 miliona m3. Dla porównania zauważamy, że basen olimpijski ma objętość 2,5 tys. m 3. Oznacza to, że aby wypełnić całą piramidę Cheopsa, będziesz potrzebować ponad 1000 takich pul!

jest wielościanem utworzonym przez podstawę piramidy i odcinek do niej równoległy. Można powiedzieć, że piramida ścięta to piramida z odciętym wierzchołkiem. Liczba ta ma wiele unikalnych właściwości:

• Boczne ściany piramidy są trapezami;
• Boczne krawędzie regularnej ściętej piramidy są tej samej długości i nachylone do podstawy pod tym samym kątem;
• Podstawy są podobnymi wielokątami;
• W regularnej ściętej piramidzie ściany są identycznymi trapezami równoramiennymi, których powierzchnia jest równa. Są również nachylone do podstawy pod jednym kątem.

Wzór na pole powierzchni bocznej ściętej piramidy jest sumą pól jej boków:

Ponieważ boki ściętej piramidy są trapezami, aby obliczyć parametry, będziesz musiał użyć wzoru obszar trapezu. W przypadku zwykłej ściętej piramidy można zastosować inny wzór do obliczenia pola. Ponieważ wszystkie jego boki, ściany i kąty u podstawy są równe, możliwe jest zastosowanie obwodów podstawy i apothemu, a także wyprowadzenie pola z kąta u podstawy.

Jeśli zgodnie z warunkami piramidy ściętej foremnej podany jest apotem (wysokość boku) i długości boków podstawy, to pole można obliczyć poprzez półprodukt sumy obwodów podstawy i apotem:

Spójrzmy na przykład obliczenia pola powierzchni bocznej ściętej piramidy.
Biorąc pod uwagę regularną pięciokątną piramidę. Apotem l= 5 cm, długość krawędzi dużej podstawy wynosi A= 6 cm, a krawędź znajduje się przy mniejszej podstawie B= 4 cm Oblicz obszar ściętej piramidy.

Najpierw znajdźmy obwody podstaw. Ponieważ mamy piramidę pięciokątną, rozumiemy, że podstawy są pięciokątami. Oznacza to, że podstawy zawierają figurę o pięciu identycznych bokach. Obliczmy obwód większej podstawy:

W ten sam sposób wyznaczamy obwód mniejszej podstawy:

Teraz możemy obliczyć powierzchnię regularnej ściętej piramidy. Podstaw dane do wzoru:

W ten sposób obliczyliśmy obszar regularnej ściętej piramidy poprzez obwody i apotem.

Innym sposobem obliczenia pola powierzchni bocznej regularnej piramidy jest wzór przez kąty u podstawy i obszar tych samych podstaw.

Spójrzmy na przykładowe obliczenia. Pamiętamy, że ten wzór dotyczy tylko zwykłej ściętej piramidy.

Niech zostanie podana regularna czworokątna piramida. Krawędź podstawy dolnej ma długość a = 6 cm, a krawędź podstawy górnej b = 4 cm, a kąt dwuścienny u podstawy wynosi β = 60°. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy.

Najpierw obliczmy pole podstaw. Ponieważ piramida jest regularna, wszystkie krawędzie podstaw są sobie równe. Biorąc pod uwagę, że podstawa jest czworokątem, rozumiemy, że konieczne będzie obliczenie obszar placu. Jest to iloczyn szerokości i długości, ale po podniesieniu do kwadratu wartości te są takie same. Znajdźmy obszar większej podstawy:


Teraz używamy znalezionych wartości do obliczenia pola powierzchni bocznej.

Znając kilka prostych wzorów, z łatwością obliczyliśmy pole trapezu bocznego ostrosłupa ściętego, stosując różne wartości.

Wielościan, w którym jedna ze ścian jest wielokątem, a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami o wspólnym wierzchołku, nazywa się piramidą.

Te trójkąty tworzące piramidę nazywane są boczne twarze, a pozostały wielokąt to podstawa piramidy.

U podstawy piramidy leży figura geometryczna - n-gon. W tym przypadku nazywana jest również piramida n-węgiel.

Nazywa się piramidą trójkątną, której wszystkie krawędzie są równe czworościan.

Nazywa się krawędzie piramidy, które nie należą do podstawy boczny, a ich wspólnym punktem jest wierzchołek piramidy. Pozostałe krawędzie piramidy nazywane są zwykle strony podstawy.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli ma u podstawy wielokąt foremny i wszystkie krawędzie boczne są sobie równe.

Nazywa się odległość wierzchołka piramidy od płaszczyzny podstawy wysokość piramidy. Można powiedzieć, że wysokość piramidy to odcinek prostopadły do ​​podstawy, którego końce znajdują się na szczycie piramidy i na płaszczyźnie podstawy.

Dla każdej piramidy obowiązują następujące wzory:

1) S pełny = S strona + S główny, Gdzie

S total – całkowita powierzchnia piramidy;

Strona S – powierzchnia powierzchni bocznej, tj. suma pól wszystkich bocznych ścian piramidy;

S główny – obszar podstawy piramidy.

2) V = 1/3 S podstawa N, Gdzie

V – objętość piramidy;

H – wysokość piramidy.

Dla zwykła piramida występuje:

Strona S = 1/2 P główna godz, Gdzie

P główny – obwód podstawy piramidy;

h jest długością apothemu, to znaczy długością wysokości ściany bocznej obniżonej od szczytu piramidy.

Nazywa się część piramidy ujęta pomiędzy dwiema płaszczyznami - płaszczyzną podstawy i płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy ścięta piramida.

Nazywa się podstawę piramidy i przekrój piramidy przez płaszczyznę równoległą powodówścięta piramida. Pozostałe twarze są wywoływane boczny. Nazywa się odległość między płaszczyznami podstaw wysokośćścięta piramida. Nazywa się krawędzie, które nie należą do podstaw boczny.

Dodatkowo podstawa w kształcie ściętej piramidy podobne n-gony. Jeśli podstawy ściętej piramidy są foremnymi wielokątami, a wszystkie boczne krawędzie są sobie równe, wówczas nazywa się taką ściętą piramidę prawidłowy.

Dla dowolnie ścięta piramida obowiązują następujące formuły:

1) S pełny = S bok + S 1 + S 2, Gdzie

S total – powierzchnia całkowita;

Strona S – powierzchnia powierzchni bocznej, tj. suma pól wszystkich bocznych ścian ściętej piramidy, które są trapezami;

S 1, S 2 – obszary bazowe;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) H, Gdzie

V – objętość ostrosłupa ściętego;

H – wysokość ostrosłupa ściętego.

Dla regularna ścięta piramida mamy też:

Strona S = 1/2(P 1 + P 2) h, Gdzie

P 1, P 2 – obwody podstaw;

h – apotem (wysokość ściany bocznej, która jest trapezem).

Rozważmy kilka problemów związanych ze ściętą piramidą.

Zadanie 1.

W trójkątnej ściętej piramidzie o wysokości równej 10 boki jednej z podstaw wynoszą 27, 29 i 52. Określ objętość ściętej piramidy, jeśli obwód drugiej podstawy wynosi 72.

Rozwiązanie.

Rozważmy piramidę ściętą ABCA 1 B 1 C 1 pokazaną na rysunku Rysunek 1.

1. Objętość ściętej piramidy można obliczyć za pomocą wzoru

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), gdzie S 1 jest polem jednej z podstaw, można znaleźć za pomocą wzoru Herona

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

ponieważ Zadanie podaje długości trzech boków trójkąta.

Mamy: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Piramida jest ścięta, co oznacza, że ​​u jej podstaw leżą podobne wielokąty. W naszym przypadku trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A 1 B 1 C 1. Ponadto współczynnik podobieństwa można znaleźć jako stosunek obwodów rozważanych trójkątów, a stosunek ich pól będzie równy kwadratowi współczynnika podobieństwa. Zatem mamy:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Stąd S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Zatem V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Odpowiedź: 1900.

Zadanie 2.

W trójkątnej ściętej piramidzie przez bok górnej podstawy narysowano płaszczyznę równoległą do przeciwległej krawędzi bocznej. W jakim stosunku dzieli się objętość ściętego ostrosłupa, jeśli odpowiednie boki podstaw są w stosunku 1:2?

Rozwiązanie.

Rozważ ABCA 1 B 1 C 1 - ściętą piramidę pokazaną na Ryż. 2.

Ponieważ boki podstaw są w stosunku 1:2, pola podstaw są w stosunku 1:4 (trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A 1 B 1 C 1).

Zatem objętość ściętego ostrosłupa wynosi:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, gdzie S 2 – powierzchnia podstawy górnej, h – wysokość.

Ale objętość pryzmatu ADEA 1 B 1 C 1 wynosi V 1 = S 2 h, a zatem

V 2 = V – V 1 = 7/3 · godz · S 2 - godz · S 2 = 4/3 · godz · S 2.

Zatem V 2: V 1 = 3: 4.

Odpowiedź: 3:4.

Zadanie 3.

Boki podstaw regularnej czworokątnej ściętej piramidy są równe 2 i 1, a wysokość wynosi 3. Przez punkt przecięcia przekątnych piramidy, równolegle do podstaw piramidy, rysuje się płaszczyznę, dzieląc piramidę na dwie części. Znajdź objętość każdego z nich.

Rozwiązanie.

Rozważmy ściętą piramidę ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pokazaną na rysunku Ryż. 3.

Oznaczmy O 1 O 2 = x, wtedy OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Rozważmy trójkąt B 1 O 2 D 1 i trójkąt BO 2 D:

kąt B 1 O 2 D 1 jest równy kątowi BO 2 D w pionie;

kąt BDO 2 jest równy kątowi D 1 B 1 O 2 i kąt O 2 ВD jest równy kątowi B 1 D 1 O 2 leżącemu poprzecznie w B 1 D 1 || Odpowiednio BD i sieczne B₁D i BD₁.

Dlatego trójkąt B 1 O 2 D 1 jest podobny do trójkąta BO 2 D, a stosunek boków wynosi:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 lub 1/2 = x/(x – 3), skąd x = 1.

Rozważmy trójkąt B 1 D 1 B i trójkąt LO 2 B: kąt B jest wspólny, a w B 1 D 1 istnieje również para kątów jednostronnych || LM, co oznacza, że ​​trójkąt B 1 D 1 B jest podobny do trójkąta LO 2 B, z którego B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, tj.

LO 2 = 2/3 · B 1 re 1 , LN = 4/3 · B 1 re 1 .

Wtedy S KLMN = 16/9 · S ZA 1 B 1 do 1 re 1 = 16/9.

Zatem V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Odpowiedź: 152/27; 37/27.

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Piramida. Ścięta piramida

Piramida jest wielościanem, którego jedna z ścian jest wielokątem ( baza ), a wszystkie pozostałe ściany są trójkątami ze wspólnym wierzchołkiem ( boczne twarze ) (ryc. 15). Piramida nazywa się prawidłowy , jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy (ryc. 16). Nazywa się ostrosłupem trójkątnym, którego wszystkie krawędzie są równe czworościan .

Boczne żebro ostrosłupa to bok ściany bocznej, który nie należy do podstawy Wysokość piramida to odległość jej wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są sobie równe, wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Nazywa się wysokość ściany bocznej regularnej piramidy narysowanej od wierzchołka apotem . Przekrój ukośny nazywa się przekrojem piramidy płaszczyzną przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

Powierzchnia boczna piramida to suma pól wszystkich ścian bocznych. Całkowita powierzchnia nazywa się sumą pól wszystkich ścian bocznych i podstawy.

Twierdzenia

1. Jeżeli w piramidzie wszystkie boczne krawędzie są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

2. Jeżeli wszystkie boczne krawędzie piramidy mają tę samą długość, wówczas wierzchołek piramidy rzutuje się na środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy.

3. Jeżeli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, wówczas wierzchołek piramidy zostanie rzucony na środek okręgu wpisanego w podstawę.

Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, poprawny wzór to:

Gdzie V- tom;

Baza S– powierzchnia podstawy;

H– wysokość piramidy.

W przypadku zwykłej piramidy poprawne są następujące wzory:

Gdzie P– obwód podstawy;

h– apotem;

H- wysokość;

Pełny

Strona S

Baza S– powierzchnia podstawy;

V– objętość regularnej piramidy.

Ścięta piramida nazywana częścią piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy (ryc. 17). Regularna ścięta piramida nazywana częścią regularnej piramidy zamkniętą pomiędzy podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy piramidy.

Powodyścięta piramida - podobne wielokąty. Boczne twarze – trapezy. Wysokość piramidy ściętej to odległość między jej podstawami. Przekątna ścięta piramida to odcinek łączący jej wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. Przekrój ukośny to przekrój ściętej piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany.

W przypadku piramidy ściętej obowiązują następujące wzory:

(4)

Gdzie S 1 , S 2 – obszary podstawy górnej i dolnej;

Pełny– powierzchnia całkowita;

Strona S– powierzchnia boczna;

H- wysokość;

V– objętość ściętej piramidy.

Dla regularnej piramidy ściętej wzór jest poprawny:

Gdzie P 1 , P 2 – obwody podstaw;

h– apotem w kształcie regularnej ściętej piramidy.

Przykład 1. W regularnej piramidzie trójkątnej kąt dwuścienny u podstawy wynosi 60°. Znajdź tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 18).

Piramida jest regularna, co oznacza, że ​​u podstawy znajduje się trójkąt równoboczny, a wszystkie ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi. Kąt dwuścienny u podstawy to kąt nachylenia bocznej ściany piramidy do płaszczyzny podstawy. Kąt liniowy to kąt A pomiędzy dwiema prostopadłymi: itd. Wierzchołek piramidy rzutowany jest na środek trójkąta (środek okręgu opisanego i okrąg wpisany w trójkąt ABC). Kąt nachylenia krawędzi bocznej (np S.B.) to kąt pomiędzy samą krawędzią a jej rzutem na płaszczyznę podstawy. Na żebro S.B. ten kąt będzie kątem SBD. Aby znaleźć styczną, musisz znać nogi WIĘC I O.B.. Niech długość odcinka BD równa się 3 A. Kropka O odcinek BD jest podzielony na części: i Od znajdujemy WIĘC: Z znajdujemy:

Odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź objętość regularnej ściętej czworokątnej piramidy, jeśli przekątne jej podstaw są równe cm i cm, a jej wysokość wynosi 4 cm.

Rozwiązanie. Aby znaleźć objętość ściętej piramidy, używamy wzoru (4). Aby znaleźć obszar podstaw, musisz znaleźć boki kwadratów podstawowych, znając ich przekątne. Boki podstaw wynoszą odpowiednio 2 cm i 8 cm, czyli pola podstaw i Podstawiając wszystkie dane do wzoru, obliczamy objętość ściętej piramidy:

Odpowiedź: 112cm3.

Przykład 3. Znajdź pole powierzchni bocznej regularnej trójkątnej ściętej piramidy, której boki podstaw wynoszą 10 cm i 4 cm, a wysokość piramidy wynosi 2 cm.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 19).

Boczna ściana tej piramidy jest trapezem równoramiennym. Aby obliczyć pole trapezu, musisz znać podstawę i wysokość. Podstawy podano według stanu, nieznana pozostaje tylko wysokość. Znajdziemy ją skąd A 1 mi prostopadle do punktu A 1 na płaszczyźnie dolnej podstawy, A 1 D– prostopadle od A 1 os AC. A 1 mi= 2 cm, ponieważ jest to wysokość piramidy. Znaleźć DE Zróbmy dodatkowy rysunek przedstawiający widok z góry (ryc. 20). Kropka O– rzut środków podstawy górnej i dolnej. ponieważ (patrz ryc. 20) i Z drugiej strony OK– promień wpisany w okrąg i OM– promień wpisany w okrąg:

MK = DE.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa z

Powierzchnia boczna:

Odpowiedź:

Przykład 4. U podstawy piramidy leży trapez równoramienny, którego podstawy A I B (A> B). Każda ściana boczna tworzy kąt równy płaszczyźnie podstawy piramidy J. Znajdź całkowitą powierzchnię piramidy.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 21). Całkowita powierzchnia piramidy SABCD równa sumie pól i pola trapezu ABCD.

Skorzystajmy ze stwierdzenia, że ​​jeśli wszystkie ściany piramidy są jednakowo nachylone do płaszczyzny podstawy, to wierzchołek jest rzutowany na środek okręgu wpisanego w podstawę. Kropka O– rzut wierzchołkowy S u podstawy piramidy. Trójkąt DARŃ jest rzutem ortogonalnym trójkąta CSD do płaszczyzny podstawy. Korzystając z twierdzenia o obszarze rzutu ortogonalnego figury płaskiej, otrzymujemy:

Podobnie to znaczy W ten sposób problem został zredukowany do znalezienia pola trapezu ABCD. Narysujmy trapez ABCD osobno (ryc. 22). Kropka O– środek okręgu wpisanego w trapez.

Ponieważ okrąg można wpisać w trapez, to lub Z twierdzenia Pitagorasa mamy