Az átlagérték analitikai szempontból a legértékesebb, és a statisztikai mutatók univerzális kifejezési formája. A legelterjedtebb átlagnak - a számtani átlagnak - számos matematikai tulajdonsága van, amelyek a számításánál felhasználhatók. Ugyanakkor a fajlagos átlag kiszámításakor mindig célszerű annak logikai képletére hagyatkozni, amely az attribútum térfogatának a sokaság térfogatához viszonyított aránya. Minden átlaghoz csak egy valós kezdeti összefüggés van, amelynek megvalósítása a rendelkezésre álló adatoktól függően eltérő átlagokat igényelhet. Mindazonáltal minden olyan esetben, amikor az átlagolt érték természetéből adódóan súlyok jelenléte következik, lehetetlen ezek súlyozatlan képleteit használni a súlyozott átlagképletek helyett.

Az átlagérték az attribútumnak a sokaságra legjellemzőbb értéke és a sokaság attribútumának nagysága egyenlő arányban elosztva a sokaság egységei között.

A karakterisztikát, amelyre az átlagértéket számítjuk, nevezzük átlagolva .

Az átlagérték abszolút vagy relatív értékek összehasonlításával számított mutató. Az átlagértéket jelöljük

Az átlagérték a vizsgált jelenséget befolyásoló összes tényező hatását tükrözi, és ezek eredője. Más szóval, az egyedi eltérések kioltása és az esetek befolyásának kiküszöbölése, az átlagérték, amely ennek a cselekvésnek az eredményeinek általános mértékét tükrözi, a vizsgált jelenség általános mintájaként működik.

Az átlagértékek használatának feltételei:

Ø a vizsgált populáció homogenitása. Ha egy véletlenszerű tényező hatásának kitett populáció egyes elemei a vizsgált jellemző értékei jelentősen eltérnek a többitől, akkor ezek az elemek befolyásolják a populáció átlagának nagyságát. Ebben az esetben az átlag nem a sokaságra jellemző attribútum értékét fejezi ki. Ha a vizsgált jelenség heterogén, akkor megköveteli a homogén elemeket tartalmazó csoportokra bontását. Ebben az esetben csoportátlagokat számítanak ki - csoportátlagokat, amelyek a jelenség legjellemzőbb értékét fejezik ki minden csoportban, majd kiszámítják az összes elemre az összesített átlagértéket, amely a jelenség egészét jellemzi. Kiszámítása a csoportátlagok átlagaként történik, súlyozva az egyes csoportokban szereplő populációs elemek számával;

Ø összesen elegendő számú egység;

Ø a jellemző maximális és minimális értéke a vizsgált sokaságban.

Átlagos érték (mutató)egy jellemző általánosított mennyiségi jellemzője szisztematikus aggregátumban meghatározott hely és idő körülményei között.

A statisztikákban az átlagok következő formáit (típusait), amelyeket teljesítménynek és strukturálisnak neveznek, használják:

Ø számtani átlaga(egyszerű és súlyozott);

egyszerű

Az átlagérték egy általános mutató, amely egy jelenség tipikus szintjét jellemzi. Egy jellemző értékét fejezi ki a sokaság egységére vetítve.

Az átlagos érték:

1) az attribútum legjellemzőbb értéke a sokaságra;

2) a sokaságattribútum mennyisége, egyenlően elosztva a sokaság egységei között.

Azt a jellemzőt, amelyre az átlagértéket számítják, a statisztikában „átlagoltnak” nevezik.

Az átlag mindig egy tulajdonság mennyiségi változását általánosítja, azaz. átlagértékekben a populáció egységei közötti, véletlenszerű körülményekből adódó egyéni különbségek megszűnnek. Az átlaggal ellentétben a populáció egyedi egységének jellemző szintjét jellemző abszolút érték nem teszi lehetővé a jellemző értékeinek összehasonlítását a különböző populációkhoz tartozó egységek között. Tehát, ha össze kell hasonlítani két vállalkozás munkavállalóinak javadalmazási szintjét, akkor ez alapján nem lehet összehasonlítani a különböző vállalkozások két alkalmazottját. Az összehasonlításra kiválasztott munkavállalók javadalmazása nem feltétlenül jellemző ezekre a vállalkozásokra. Ha összehasonlítjuk a vizsgált vállalkozások béralapjainak nagyságát, akkor az alkalmazottak számát nem vesszük figyelembe, így nem lehet megállapítani, hogy hol magasabb a bérszint. Végső soron csak átlagos mutatókat lehet összehasonlítani, pl. Mennyit keres átlagosan egy alkalmazott egy vállalkozásnál? Szükség van tehát az átlagérték kiszámítására, mint a sokaságra általánosító jellemzőre.

Fontos megjegyezni, hogy az átlagolási folyamat során az attribútumszintek összértéke vagy annak végső értéke (dinamikus sorozat átlagszintjeinek számítása esetén) változatlan maradjon. Más szóval, az átlagérték kiszámításakor a vizsgált jellemző térfogata nem torzulhat, és az átlag kiszámításakor összeállított kifejezéseknek szükségszerűen értelmet kell adniuk.

Az átlag kiszámítása az egyik általános általánosítási technika; az átlagmutató tagadja azt, ami a vizsgált sokaság összes egységére jellemző (tipikus), ugyanakkor figyelmen kívül hagyja az egyes egységek különbségeit. Minden jelenségben és annak fejlődésében ott van a véletlen és a szükség kombinációja. Átlagok számításakor a nagy számok törvényének hatására a véletlenszerűség kialszik és kiegyenlítődik, így el lehet vonni a jelenség lényegtelen jellemzőitől, a jellemző mennyiségi értékeitől minden konkrét esetben. . Az egyéni értékek és ingadozások véletlenszerűségétől való elvonatkoztatás képessége az átlagok tudományos értéke, mint az aggregátumok általánosító jellemzői.

Ahhoz, hogy az átlag valóban reprezentatív legyen, bizonyos elvek figyelembevételével kell kiszámítani.

Maradjunk néhány általános alapelvnél az átlagok használatára vonatkozóan.

1. A minőségileg homogén egységekből álló populációk átlagát meg kell határozni.

2. Az átlagot kellően nagy számú egységből álló sokaságra kell kiszámítani.

3. Az átlagot olyan populációra kell kiszámítani, amelynek egységei normális, természetes állapotban vannak.

4. Az átlagot a vizsgált mutató gazdasági tartalmának figyelembevételével kell kiszámítani.

5.2. Az átlagok típusai és számítási módszerei

Tekintsük most az átlagértékek típusait, számításuk jellemzőit és alkalmazási területeit. Az átlagértékek két nagy osztályba sorolhatók: teljesítményátlagok, szerkezeti átlagok.

A hatványértékek közé tartoznak a legismertebb és leggyakrabban használt típusok, mint a geometriai átlag, a számtani átlag és a négyzetközép.

A módusz és a medián strukturális átlagnak tekinthető.

Koncentráljunk a teljesítményátlagokra. A teljesítményátlagok a forrásadatok megjelenítésétől függően lehetnek egyszerűek vagy súlyozottak. Egyszerű átlag Kiszámítása nem csoportosított adatok alapján történik, és általános formája a következő:

,

ahol X i az átlagolandó jellemző változata (értéke);

n – szám opció.

Súlyozott átlag csoportosított adatok alapján számítják ki és általános megjelenésű

,

ahol X i az átlagolt jellemző változata (értéke), vagy annak az intervallumnak a középső értéke, amelyben a változatot mérik;

m – átlagos fokszámindex;

f i – gyakoriság, amely azt mutatja, hogy az átlagolt karakterisztika i-e értéke hányszor fordul elő.

Ha minden típusú átlagot kiszámít ugyanazokra a kezdeti adatokra, akkor ezek értékei eltérőek lesznek. Itt az átlagok többségének szabálya érvényes: az m kitevő növekedésével a megfelelő átlagérték is nő:

A statisztikai gyakorlatban az aritmetikai átlagokat és a harmonikus súlyozott átlagokat gyakrabban használják, mint más típusú súlyozott átlagokat.

A hatalmi eszközök típusai

Egyfajta hatalom átlagos	Index fok (m)	Számítási képlet
		Egyszerű	Súlyozott
Harmonikus
Geometriai
Számtan
Négyzetes
Kocka alakú

A harmonikus átlag bonyolultabb szerkezetű, mint a számtani átlag. A harmonikus átlagot akkor használjuk a számításokhoz, amikor nem a sokaság egységeit - a jellemző hordozóit - használjuk súlyként, hanem ezeknek az egységeknek a szorzatát a jellemző értékeivel (azaz m = Xf). Az átlagos harmonikus egyszerűhöz kell folyamodni például az átlagos munka-, idő-, anyagköltség meghatározása termelési egységenként, egy részenként két (három, négy stb.) vállalkozás, gyártásban dolgozó munkavállalók esetében. azonos típusú termékről, ugyanarról a részről, termékről.

Az átlagérték számítási képletével szemben támasztott fő követelmény az, hogy a számítás minden szakaszának valódi ésszerű indoklása legyen; a kapott átlagértéknek ki kell cserélnie az egyes objektumok attribútumának egyedi értékeit anélkül, hogy megszakítaná az egyedi és az összegző mutatók közötti kapcsolatot. Vagyis az átlagértéket úgy kell kiszámítani, hogy amikor az átlagolt mutató minden egyes értékét az átlagértékével helyettesítjük, valamilyen végső összegző mutató, amely így vagy úgy kapcsolódik az átlagolt mutatóhoz, változatlan maradjon. Ezt az összeget ún meghatározó mivel az egyedi értékekkel való kapcsolatának jellege határozza meg az átlagérték kiszámításának konkrét képletét. Mutassuk meg ezt a szabályt a geometriai átlag példáján.

Geometriai középképlet

leggyakrabban az átlagos érték egyéni relatív dinamika alapján történő kiszámításakor használják.

A geometriai átlagot akkor használjuk, ha megadjuk a lánc relatív dinamikájának sorozatát, jelezve például a termelési volumen növekedését az előző évi szinthez képest: i 1, i 2, i 3,…, i n. Nyilvánvalóan az elmúlt évi termelés volumenét annak kezdeti szintje (q 0), majd az évek során bekövetkezett növekedés határozza meg:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×… × i n .

Ha q n-t választjuk meghatározó mutatónak, és a dinamikai mutatók egyedi értékeit átlagosra cseréljük, akkor az összefüggéshez jutunk.

Innen

Az átlagértékek speciális típusát - a strukturális átlagokat - alkalmazzák az attribútumértékek eloszlási sorozatának belső szerkezetének vizsgálatára, valamint az átlagérték (hatványtípus) becslésére, ha a rendelkezésre álló statisztikai adatok szerint számítás nem végezhető el (például ha a vizsgált példában nem szerepelt adat sem a termelés volumenéről, sem a költségek összegéről vállalkozáscsoportonként).

A mutatókat leggyakrabban szerkezeti átlagként használják divat – az attribútum leggyakrabban ismételt értéke – és mediánok – egy jellemző értéke, amely két egyenlő részre osztja az értékek rendezett sorozatát. Ennek eredményeként a sokaságban lévő egységek egyik felénél az attribútum értéke nem haladja meg a medián szintet, a másik felében pedig nem kisebb annál.

Ha a vizsgált jellemző diszkrét értékekkel rendelkezik, akkor a módusz és a medián kiszámítása nem okoz különösebb nehézséget. Ha az X attribútum értékeire vonatkozó adatokat a változás rendezett intervallumainak (intervallumsorok) formájában mutatjuk be, akkor a módusz és a medián kiszámítása némileg bonyolultabbá válik. Mivel a medián érték a teljes sokaságot két egyenlő részre osztja, így az X karakterisztika egyik intervallumába kerül. Interpolációval a medián értéke ebben a medián intervallumban található:

,

ahol X Me a medián intervallum alsó határa;

h Me – értéke;

(összeg m)/2 – az átlagérték számítási képleteiben (abszolút vagy relatív értelemben) súlyozásként használt mutató mennyiségének fele vagy fele;

S Me-1 – a medián intervallum kezdete előtt felhalmozott megfigyelések (vagy a súlyozási attribútum mennyisége) összege;

m Me – a megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a medián intervallumban (abszolút vagy relatív értékben is).

Egy karakterisztika modális értékének egy intervallumsorozat adatai alapján történő kiszámításakor ügyelni kell arra, hogy az intervallumok azonosak legyenek, hiszen ettől függ az X karakterisztika értékeinek ismételhetőségi mutatója. egyenlő intervallumú intervallumsorozat, a módus nagyságát a következőképpen határozzuk meg

,

ahol X Mo a modális intervallum alsó értéke;

m Mo – megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a modális intervallumban (abszolút vagy relatív értelemben);

m Mo-1 – ugyanaz a modálist megelőző intervallumra;

m Mo+1 – ugyanaz a modálist követő intervallumra;

h – a jellemző változási intervallumának értéke csoportonként.

1. FELADAT

Az ipari vállalkozások csoportjára vonatkozóan a tárgyévre az alábbi adatok állnak rendelkezésre

№ vállalkozások	Termék mennyisége, millió rubel.		Átlagos létszám, fő.	Profit, ezer rubel
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

A termékek cseréjéhez a vállalkozásokat a következő időközönként kell csoportosítani:

legfeljebb 200 millió rubel


200-400 millió rubel.


1. 400-600 millió rubel.
   

   Minden csoportra és az összesre együtt határozza meg a vállalkozások számát, a termelés volumenét, az átlagos foglalkoztatottak számát, az egy alkalmazottra jutó átlagos kibocsátást. Mutassa be a csoportosítási eredményeket statisztikai táblázat formájában! Fogalmazzon meg egy következtetést.
   

   MEGOLDÁS
   

   A vállalkozásokat termékcsere szerint csoportosítjuk, az egyszerű átlagképlet segítségével kiszámítjuk a vállalkozások számát, a termelés volumenét és az átlagos foglalkoztatottak számát. A csoportosítás és a számítások eredményeit táblázatban foglaljuk össze.
   

   Csoportok termékmennyiség szerint	№ vállalkozások	Termék mennyisége, millió rubel.	A tárgyi eszközök átlagos éves költsége, millió rubel.	Közepes alvás szaftos számú alkalmazott, ember.	Profit, ezer rubel	Egy alkalmazottra jutó átlagos kibocsátás
   1 csoport legfeljebb 200 millió rubel	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Átlagos szint		198,3			24,9
   2. csoport 200-400 millió rubel.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Átlagos szint		282,3	37,6	1530	64,0
   3 csoport 400-tól 600 millió	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Átlagos szint		512,9	34,4	1421	120,9
   Összesítve		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Átlagban		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Következtetés. Így a vizsgált sokaságban a termelési mennyiséget tekintve a vállalkozások a harmadik csoportba kerültek a legtöbben - hét, vagyis a vállalkozások fele. Ebbe a csoportba tartozik a tárgyi eszközök éves átlagos bekerülési értéke is, valamint a nagy átlagos foglalkoztatotti létszám - 9974 fő, az első csoport vállalkozásai a legkevésbé jövedelmezőek.
   

   2. FELADAT
   

   A társaság vállalkozásairól az alábbi adatok állnak rendelkezésre
   

   A társaságba bevont vállalkozás száma	I negyed		II negyed
   	Termék kimenet, ezer rubel.		A munkások által ledolgozott embernapok	Átlagos termelés egy dolgozóra naponta, dörzsölje.
   	59390,13

Amikor az átlagokról kezdenek beszélni, az emberek leggyakrabban arra emlékeznek, hogyan fejezték be az iskolát és léptek be egy oktatási intézménybe. Ezután a bizonyítvány alapján kiszámították az átlagpontszámot: az összes osztályzatot (jó és nem is jó) összeadták, a kapott összeget elosztották a számukkal. Így számítjuk ki az átlag legegyszerűbb típusát, amelyet egyszerű számtani átlagnak nevezünk. A gyakorlatban a statisztikában különféle típusú átlagokat használnak: számtani, harmonikus, geometriai, másodfokú, szerkezeti átlagokat. Az adatok természetétől és a vizsgálat céljaitól függően az egyik vagy másik típust használják.

átlagos érték a legelterjedtebb statisztikai mutató, melynek segítségével a hasonló jelenségek halmazának általános jellemzőjét adjuk meg valamelyik változó jellemző szerint. Egy jellemző népességegységre eső szintjét mutatja. Átlagértékek segítségével különböző jellemzők szerint hasonlítják össze a különböző populációkat, tanulmányozzák a társadalmi élet jelenségeinek, folyamatainak fejlődési mintázatait.

A statisztikában az átlagok két osztályát használják: teljesítmény (analitikai) és strukturális. Ez utóbbiak a variációs sorozatok szerkezetének jellemzésére szolgálnak, és a fejezetben lesz még szó róla. 8.

A teljesítményátlagok csoportjába tartoznak a számtani, harmonikus, geometriai és másodfokú átlagok. A számításukra szolgáló egyedi képletek leredukálhatók az összes teljesítményátlagra közös formára, nevezetesen

ahol m a hatványátlag kitevője: m = 1-nél megkapjuk a számtani közép kiszámításának képletét, ahol m = 0 - a mértani közép, m = -1 - a harmonikus átlag, m = 2 -vel - a másodfokú átlag ;

x i - opciók (az attribútum által felvett értékek);

f i - frekvenciák.

A teljesítményátlagok statisztikai elemzésben való felhasználásának fő feltétele a sokaság homogenitása, amely nem tartalmazhat kvantitatív értékükben élesen eltérő kiindulási adatokat (a szakirodalomban anomáliás megfigyeléseknek nevezik).

Mutassuk meg ennek a feltételnek a fontosságát a következő példával.

6.1. példa. Számítsuk ki egy kisvállalkozás alkalmazottainak átlagkeresetét.

6.1. táblázat. Az alkalmazottak bére

Nem.	Fizetés, dörzsölje.	Nem.	Fizetés, dörzsölje.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Az átlagbér kiszámításához össze kell adni a vállalkozás összes alkalmazottjának felhalmozott bérét (azaz meg kell találni a béralapot), és el kell osztani az alkalmazottak számával:

Most adjunk hozzá egy személyt (a vállalkozás igazgatóját), de 50 000 rubel fizetéssel. Ebben az esetben a számított átlag teljesen más lesz:

Amint látjuk, meghaladja a 7000 rubelt stb. nagyobb, mint az összes attribútumérték, egyetlen megfigyelés kivételével.

Hogy a gyakorlatban ilyen esetek ne forduljanak elő, és az átlag ne veszítse el értelmét (a 6.1. példában már nem tölti be azt a populáció általánosító jellemzőjét, amilyennek lennie kellene), az átlag számításánál rendellenes, élesen A kiugró megfigyeléseket ki kell zárni az elemzésből, és a témakörök homogénné teszik a populációt, vagy homogén csoportokra osztják a sokaságot, és kiszámítják az egyes csoportok átlagértékeit, és nem az összátlagot, hanem a csoport átlagértékeit elemzik.

6.1. A számtani átlag és tulajdonságai

A számtani átlag kiszámítása egyszerű vagy súlyozott értékként történik.

A 6.1 táblázatban szereplő adatok szerinti átlagkereset kiszámításakor az attribútum összes értékét összeadtuk, és elosztottuk a számukkal. Számításaink előrehaladását az egyszerű számtani középképlet formájában írjuk fel

ahol x i - opciók (a jellemző egyedi értékei);

n az egységek száma az aggregátumban.

6.2. példa. Most csoportosítsuk adatainkat a 6.1-es példa táblázatából stb. Szerkesszük meg a dolgozók bérszint szerinti megoszlásának diszkrét variációs sorozatát. A csoportosítás eredményeit a táblázat tartalmazza.

Írjuk fel tömörebb formában az átlagos bérszint kiszámítására szolgáló kifejezést:

A 6.2. példában a súlyozott számtani átlag képletet alkalmaztuk

ahol f i olyan gyakoriságok, amelyek azt mutatják, hogy az x i y attribútum értéke hányszor fordul elő populációs egységekben.

Célszerű a számtani súlyozott átlagot táblázatban kiszámítani, az alábbiak szerint (6.3. táblázat):

6.3. táblázat. A számtani átlag kiszámítása diszkrét sorozatban

Kezdeti adatok	Becsült mutató
fizetés, dörzsölje.	alkalmazottak száma, fő	béralap, dörzsölje.
x i	f i	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Teljes	20	132 080

Megjegyzendő, hogy az egyszerű számtani átlagot olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az adatok nincsenek csoportosítva vagy csoportosítva, de minden gyakoriság egyenlő.

A megfigyelési eredményeket gyakran intervallum eloszlási sorozatok formájában mutatják be (lásd a 6.4. példában szereplő táblázatot). Ekkor az átlag kiszámításakor az intervallumok felezőpontjait x i-nek vesszük. Ha az első és az utolsó intervallum nyitott (nincs egyik határa), akkor feltételesen „zárva” vannak, a szomszédos intervallum értékét véve ennek az intervallumnak az értékének stb. az elsőt a második értéke alapján zárják, az utolsót pedig az utolsó előtti értéke szerint.

6.3. példa. Az egyik népességcsoport mintavételes felmérésének eredménye alapján kiszámítjuk az egy főre jutó átlagos monetáris jövedelem összegét.

A fenti táblázatban az első intervallum közepe 500. Valóban, a második intervallum értéke 1000 (2000-1000); akkor az első alsó határa 0 (1000-1000), a közepe pedig 500. Ugyanezt tesszük az utolsó intervallummal is. Középnek 25 000-et veszünk: az utolsó előtti intervallum értéke 10 000 (20 000-10 000), majd felső határa 30 000 (20 000 + 10 000), a középső ennek megfelelően 25 000.

6.4. táblázat. A számtani átlag kiszámítása intervallumsorozatban

Átlagos egy főre jutó készpénzjövedelem, dörzsölje. havonta	Népesség összesen, % f i	Intervallum felezőpontjai x i	x i f i
1000-ig	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 és több	10,4	25 000	260 000
Teljes	100,0	-	892 850

Ekkor az egy főre jutó havi átlagjövedelem lesz

5. előadás Átlagértékek

Az átlag fogalma a statisztikában

A számtani átlag és tulajdonságai

Más típusú teljesítmény átlagok

Mód és medián

Kvartilisek és decilisek

Az átlagértékeket széles körben használják a statisztikákban. Az átlagértékek a kereskedelmi tevékenység minőségi mutatóit jellemzik: elosztási költségek, nyereség, jövedelmezőség stb.

Átlagos- Ez az egyik elterjedt általánosítási technika. Az átlag lényegének helyes megértése meghatározza annak különleges jelentőségét a piacgazdaságban, amikor az átlag az egyénen és a véletlenen keresztül lehetővé teszi az általános és a szükséges azonosítását, a gazdasági fejlődés mintáinak trendjének azonosítását.

átlagos érték- általánosító mutatók ezek, amelyekben a vizsgált jelenség általános feltételeinek és mintázatainak hatásai fejeződnek ki.

átlagos érték (statisztikában) – a társadalmi jelenségek népességegységre jutó jellemző nagyságát vagy szintjét jellemző általános mutató, minden más tényező változatlansága mellett.

Az átlagok módszerével a következőket lehet megoldani: fő célok:

1. A jelenségek fejlettségi szintjének jellemzői.

2. Két vagy több szint összehasonlítása.

3. Társadalmi-gazdasági jelenségek összefüggéseinek vizsgálata.

4. Társadalmi-gazdasági jelenségek térbeli elhelyezkedésének elemzése.

A statisztikai átlagokat a megfelelően statisztikailag szervezett tömegmegfigyelés (folyamatos és szelektív) tömegadatai alapján számítjuk ki. A statisztikai átlag azonban akkor lesz objektív és tipikus, ha egy minőségileg homogén populációra (tömegjelenségekre) vonatkozó tömegadatokból számítjuk. Például, ha kiszámítja a szövetkezeti és állami tulajdonú vállalatok átlagbérét, és kiterjeszti az eredményt a teljes népességre, akkor az átlag fiktív, mivel heterogén sokaságra számítják, és az ilyen átlag értelmét veszti.

Az átlag segítségével egy-egy jellemző értékében az egyes megfigyelési egységekben ilyen vagy olyan okból felmerülő különbségek kisimulnak. Például egy értékesítő átlagos termelékenysége sok okból függ: végzettség, szolgálati idő, életkor, szolgáltatási forma, egészségi állapot stb.

Az átlag lényege abban rejlik, hogy kiküszöböli a populáció egyes egységeinek jellemző értékeinek véletlenszerű tényezők hatására bekövetkező eltéréseit, és figyelembe veszi a fő tényezők hatásából adódó változásokat. Ez lehetővé teszi, hogy az átlag tükrözze a tulajdonság tipikus szintjét, és elvonatkoztasson az egyes egységekben rejlő egyéni jellemzőktől.

Az átlagérték a vizsgált jellemző értékeit tükrözi, ezért ugyanabban a dimenzióban mérik, mint ez a jellemző.

Minden átlagérték bármely jellemző szerint jellemzi a vizsgált populációt. Annak érdekében, hogy a vizsgált populációt számos alapvető jellemző alapján teljes és átfogó megértsük, általában szükség van egy olyan átlagértékrendszerre, amely képes leírni a jelenséget különböző szemszögekből.

Különböző átlagok vannak:

Számtani átlaga;

Geometriai átlag;

Harmonikus átlag;

Átlagos négyzet;

Átlagos kronologikus.

5.1. Az átlag fogalma

Átlagos érték - Ez egy általános mutató, amely a jelenség tipikus szintjét jellemzi. Egy jellemző értékét fejezi ki a sokaság egységére vetítve.

Az átlag mindig egy tulajdonság mennyiségi változását általánosítja, azaz. átlagértékekben a populáció egységei közötti, véletlenszerű körülményekből adódó egyéni különbségek megszűnnek. Az átlaggal ellentétben a populáció egyedi egységének jellemző szintjét jellemző abszolút érték nem teszi lehetővé a jellemző értékeinek összehasonlítását a különböző populációkhoz tartozó egységek között. Tehát, ha össze kell hasonlítani két vállalkozás munkavállalóinak javadalmazási szintjét, akkor ez alapján nem lehet összehasonlítani a különböző vállalkozások két alkalmazottját. Az összehasonlításra kiválasztott munkavállalók javadalmazása nem feltétlenül jellemző ezekre a vállalkozásokra. Ha összehasonlítjuk a vizsgált vállalkozások béralapjainak nagyságát, akkor az alkalmazottak számát nem vesszük figyelembe, így nem lehet megállapítani, hogy hol magasabb a bérszint. Végső soron csak átlagos mutatókat lehet összehasonlítani, pl. Mennyit keres átlagosan egy alkalmazott egy vállalkozásnál? Szükség van tehát az átlagérték kiszámítására, mint a sokaságra általánosító jellemzőre.

Az átlag kiszámítása az egyik általános általánosítási technika; az átlagmutató tagadja azt, ami a vizsgált sokaság összes egységére jellemző (tipikus), ugyanakkor figyelmen kívül hagyja az egyes egységek különbségeit. Minden jelenségben és annak fejlődésében ott van a véletlen és a szükség kombinációja. Átlagok számításakor a nagy számok törvényének hatására a véletlenszerűség kialszik és kiegyenlítődik, így el lehet vonni a jelenség lényegtelen jellemzőitől, a jellemző mennyiségi értékeitől minden konkrét esetben. . Az egyéni értékek és ingadozások véletlenszerűségétől való elvonatkoztatás képessége az átlagok tudományos értéke, mint az aggregátumok általánosító jellemzői.

Ahhoz, hogy az átlag valóban reprezentatív legyen, bizonyos elvek figyelembevételével kell kiszámítani.

Maradjunk néhány általános alapelvnél az átlagok használatára vonatkozóan.
1. A minőségileg homogén egységekből álló populációk átlagát meg kell határozni.
2. Az átlagot kellően nagy számú egységből álló sokaságra kell kiszámítani.
3. Az átlagot olyan populációra kell kiszámítani, amelynek egységei normális, természetes állapotban vannak.
4. Az átlagot a vizsgált mutató gazdasági tartalmának figyelembevételével kell kiszámítani.

5.2. Az átlagok típusai és számítási módszerei

Tekintsük most az átlagértékek típusait, számításuk jellemzőit és alkalmazási területeit. Az átlagértékek két nagy osztályba sorolhatók: teljesítményátlagok, szerkezeti átlagok.

NAK NEK teljesítmény átlag Ide tartoznak a legismertebb és leggyakrabban használt típusok, mint a geometriai átlag, a számtani átlag és a másodfokú átlag.

Mint szerkezeti átlagok módot és mediánt veszik figyelembe.

Koncentráljunk a teljesítményátlagokra. A teljesítményátlagok a forrásadatok megjelenítésétől függően lehetnek egyszerűek vagy súlyozottak. Egyszerű átlag Kiszámítása nem csoportosított adatok alapján történik, és általános formája a következő:

ahol X i az átlagolandó jellemző változata (értéke);

n – szám opció.

Súlyozott átlag csoportosított adatok alapján számítják ki és általános megjelenésű

,

ahol X i az átlagolt jellemző változata (értéke), vagy annak az intervallumnak a középső értéke, amelyben a változatot mérik;
m – átlagos fokszámindex;
f i – gyakoriság, amely azt mutatja, hogy az átlagolt karakterisztika i-e értéke hányszor fordul elő.

Példaként hozzuk a tanulók átlagéletkorának kiszámítását egy 20 fős csoportban:

Az átlagéletkort az egyszerű átlagképlet segítségével számítjuk ki:

Csoportosítsuk a forrásadatokat. A következő terjesztési sorozatokat kapjuk:

A csoportosítás eredményeként új mutatót - gyakoriságot - kapunk, amely az X éves tanulók számát jelzi. Ezért a csoportba tartozó tanulók átlagéletkorát a súlyozott átlag képlet segítségével számítjuk ki:

A teljesítményátlagok számítására szolgáló általános képleteknek van kitevője (m). A szükséges értéktől függően a következő típusú teljesítményátlagokat különböztetjük meg:
harmonikus átlag, ha m = -1;
mértani átlag, ha m –> 0;
számtani átlag, ha m = 1;
négyzetes középérték, ha m = 2;
átlagos köbméter, ha m = 3.

A teljesítményátlagok képleteit a táblázat tartalmazza. 4.4.

Ha minden típusú átlagot kiszámít ugyanazokra a kezdeti adatokra, akkor ezek értékei eltérőek lesznek. Itt az átlagok többségének szabálya érvényes: az m kitevő növekedésével a megfelelő átlagérték is nő:

A statisztikai gyakorlatban az aritmetikai átlagokat és a harmonikus súlyozott átlagokat gyakrabban használják, mint más típusú súlyozott átlagokat.

5.1. táblázat

A hatalmi eszközök típusai

Egyfajta hatalom átlagos	Index fok (m)	Számítási képlet
		Egyszerű	Súlyozott
Harmonikus	-1
Geometriai	0
Számtan	1
Négyzetes	2
Kocka alakú	3

A harmonikus átlag bonyolultabb szerkezetű, mint a számtani átlag. A harmonikus átlagot akkor használjuk a számításokhoz, amikor nem a sokaság egységeit - a jellemző hordozóit - használjuk súlyként, hanem ezeknek az egységeknek a szorzatát a jellemző értékeivel (azaz m = Xf). Az átlagos harmonikus egyszerűhöz kell folyamodni például az átlagos munka-, idő-, anyagköltség meghatározása termelési egységenként, egy részenként két (három, négy stb.) vállalkozás, gyártásban dolgozó munkavállalók esetében. azonos típusú termékről, ugyanarról a részről, termékről.

Az átlagérték számítási képletével szemben támasztott fő követelmény az, hogy a számítás minden szakaszának valódi ésszerű indoklása legyen; a kapott átlagértéknek ki kell cserélnie az egyes objektumok attribútumának egyedi értékeit anélkül, hogy megszakítaná az egyedi és az összegző mutatók közötti kapcsolatot. Vagyis az átlagértéket úgy kell kiszámítani, hogy amikor az átlagolt mutató minden egyes értékét az átlagértékére cseréljük, valamilyen végső összegző mutató, amely így vagy úgy kapcsolódik az átlagolt értékhez, változatlan maradjon. Ezt az összeget ún meghatározó mivel az egyedi értékekkel való kapcsolatának jellege határozza meg az átlagérték kiszámításának konkrét képletét. Mutassuk meg ezt a szabályt a geometriai átlag példáján.

Geometriai középképlet

leggyakrabban az átlagos érték egyéni relatív dinamika alapján történő kiszámításakor használják.

A geometriai átlagot akkor használjuk, ha megadjuk a lánc relatív dinamikájának sorozatát, jelezve például a termelés növekedését az előző évi szinthez képest: i 1, i 2, i 3,..., i n. Nyilvánvalóan az elmúlt évi termelés volumenét annak kezdeti szintje (q 0), majd az évek során bekövetkezett növekedés határozza meg:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×... × i n .

Ha q n-t választjuk meghatározó mutatónak, és a dinamikai mutatók egyedi értékeit átlagosra cseréljük, akkor az összefüggéshez jutunk.

Innen

5.3. Strukturális átlagok

Az átlagértékek speciális típusát - a strukturális átlagokat - alkalmazzák az attribútumértékek eloszlási sorozatának belső szerkezetének vizsgálatára, valamint az átlagérték (hatványtípus) becslésére, ha a rendelkezésre álló statisztikai adatok szerint számítás nem végezhető el (például ha a vizsgált példában nem szerepelt adat sem a termelés volumenéről, sem a költségek összegéről vállalkozáscsoportonként).

A mutatókat leggyakrabban szerkezeti átlagként használják divat – az attribútum leggyakrabban ismételt értéke – és mediánok – egy jellemző értéke, amely két egyenlő részre osztja az értékek rendezett sorozatát. Ennek eredményeként a sokaságban lévő egységek egyik felénél az attribútum értéke nem haladja meg a medián szintet, a másik felében pedig nem kisebb annál.

Ha a vizsgált jellemző diszkrét értékekkel rendelkezik, akkor a módusz és a medián kiszámítása nem okoz különösebb nehézséget. Ha az X attribútum értékeire vonatkozó adatokat a változás rendezett intervallumainak (intervallumsorok) formájában mutatjuk be, akkor a módusz és a medián kiszámítása némileg bonyolultabbá válik. Mivel a medián érték a teljes sokaságot két egyenlő részre osztja, így az X karakterisztika egyik intervallumába kerül. Interpolációval a medián értéke ebben a medián intervallumban található:

,

ahol X Me a medián intervallum alsó határa;
h Me – értéke;
(összeg m)/2 – az átlagérték számítási képleteiben (abszolút vagy relatív értelemben) súlyozásként használt mutató mennyiségének fele vagy fele;
S Me-1 – a medián intervallum kezdete előtt felhalmozott megfigyelések (vagy a súlyozási attribútum mennyisége) összege;
m Me – a megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a medián intervallumban (abszolút vagy relatív értékben is).

Példánkban akár három medián érték is elérhető - a vállalkozások száma, a termelési mennyiség és a teljes termelési költség alapján:

Így a vállalkozások felében az egységnyi termelési költség meghaladja a 125,19 ezer rubelt, a teljes termékmennyiség felét több mint 124,79 ezer rubel termékenkénti költséggel állítják elő. és a teljes költség 50% -a akkor keletkezik, ha egy termék költsége meghaladja a 125,07 ezer rubelt. Vegye figyelembe azt is, hogy van egy bizonyos tendencia a költségek növekedésére, mivel Me 2 = 124,79 ezer rubel, és az átlagos szint 123,15 ezer rubel.

Egy karakterisztika modális értékének egy intervallumsorozat adatai alapján történő kiszámításakor ügyelni kell arra, hogy az intervallumok azonosak legyenek, hiszen ettől függ az X karakterisztika értékeinek ismételhetőségi mutatója. egyenlő intervallumú intervallumsorozat, a módus nagyságát a következőképpen határozzuk meg

ahol X Mo a modális intervallum alsó értéke;
m Mo – megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a modális intervallumban (abszolút vagy relatív értelemben);
m Mo -1 – ugyanaz a modálist megelőző intervallumra;
m Mo+1 – ugyanaz a modálist követő intervallumra;
h – a jellemző változási intervallumának értéke csoportonként.

Példánkban három modális értéket számíthatunk ki a vállalkozások számának, a termékek mennyiségének és a költségek nagyságának jellemzői alapján. A modális intervallum mindhárom esetben azonos, mivel ugyanarra az intervallumra a legnagyobb a vállalkozások száma, a termelés volumene és a termelési költségek összösszege:

Így leggyakrabban vannak olyan vállalkozások, amelyek költségszintje 126,75 ezer rubel, leggyakrabban a termékeket 126,69 ezer rubel költségszinttel állítják elő, és leggyakrabban a termelési költségeket 123,73 ezer rubel költségszint magyarázza.

5.4. Változási mutatók

Az egyes vizsgált objektumok sajátos körülményeit, valamint saját fejlődésük jellemzőit (társadalmi, gazdasági stb.) a statisztikai mutatók megfelelő számszerű szintjei fejezik ki. És így, variáció, azok. az azonos mutató szintjei közötti eltérés a különböző objektumokban objektív jellegű, és segít megérteni a vizsgált jelenség lényegét.

A statisztikák változásának mérésére számos módszert alkalmaznak.

A legegyszerűbb a mutató kiszámítása variációs tartomány H a karakterisztika maximális (X max) és minimális (X min) megfigyelt értékeinek különbsége:

H=X max - X min.

A variációs tartomány azonban csak a tulajdonság szélső értékeit mutatja. A közbenső értékek ismételhetőségét itt nem vesszük figyelembe.

A szigorúbb jellemzők az attribútum átlagos szintjéhez viszonyított változékonyság mutatói. Ennek a típusnak a legegyszerűbb mutatója az átlagos lineáris eltérés L mint egy jellemző átlagos szintjétől való abszolút eltérésének számtani átlaga:

Ha az egyes X értékek megismételhetők, használja a súlyozott aritmetikai átlag képletet:

(Ne feledjük, hogy az átlagos szinttől való eltérések algebrai összege nulla.)

Az átlagos lineáris eltérés mutatóját széles körben használják a gyakorlatban. Segítségével elemzik például a dolgozók összetételét, a termelés ritmusát, az anyagellátás egységességét, anyagi ösztönző rendszereket dolgoznak ki. De sajnos ez a mutató bonyolítja a valószínűségi számításokat és bonyolítja a matematikai statisztikai módszerek használatát. Ezért a statisztikai tudományos kutatásokban a variáció mérésére leggyakrabban használt mutató az eltérések.

A karakterisztika (s 2) szórását a másodfokú hatványátlag alapján határozzuk meg:

.

Az s egyenlő mutatót nevezzük szórás.

Az általános statisztikaelméletben a szórásmutató az azonos nevű valószínűségelméleti mutató becslése, és (az eltérések négyzetes összegeként) a matematikai statisztikában a szórás becslése, amely lehetővé teszi ezen statisztika rendelkezéseinek alkalmazását. a társadalmi-gazdasági folyamatok elemzésére szolgáló elméleti diszciplínák.

Ha a variációt korlátlan sokaságból vett kis számú megfigyelésből becsüljük meg, akkor a jellemző átlagos értékét némi hibával határozzuk meg. A szórás számított értéke csökkenés felé tolódik el. A torzítatlan becsléshez az előzőleg megadott képletekkel kapott mintavarianciát meg kell szorozni n / (n - 1) értékkel. Ennek eredményeként kis számú megfigyeléssel (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Általában már n > (15÷20) esetén a torzított és a torzítatlan becslések közötti eltérés jelentéktelenné válik. Ugyanezen okból a torzítást általában nem veszik figyelembe az eltérések összeadásának képletében.

Ha több mintát veszünk az általános sokaságból, és minden alkalommal egy jellemző átlagértékét határozzuk meg, akkor az átlagok változékonyságának értékelése probléma merül fel. Variancia becslése átlagos érték csak egyetlen mintamegfigyelés alapján lehetséges a képlet segítségével

,

ahol n a minta mérete; s 2 – a mintaadatokból számított jellemző szórása.

Nagyságrend nak, nek hívják átlagos mintavételi hibaés az X attribútum minta átlagértékének valós átlagértékétől való eltérésének jellemzője. Az átlagos hibamutató a mintamegfigyelés eredményeinek megbízhatóságának értékelésére szolgál.

Relatív diszperziós mutatók. A vizsgált jellemző variabilitásának mértékének jellemzésére a változékonyság mutatóit relatív értékekben számítjuk ki. Lehetővé teszik a diszperzió jellegének összehasonlítását a különböző eloszlásokban (azonos jellemzők eltérő megfigyelési egységei két populációban, eltérő átlagértékekkel, különböző nevű populációk összehasonlításakor). A relatív szórásmérték mutatóinak kiszámítása az abszolút szórási mutató és a számtani átlag arányaként történik, szorozva 100%-kal.

1. Oszcillációs együttható tükrözi a jellemző szélső értékeinek relatív ingadozását az átlag körül

.

2. A relatív lineáris leállás az átlagos értéktől való abszolút eltérések előjelének átlagértékének arányát jellemzi.

.

3. Variációs együttható:

az átlagértékek tipikusságának felmérésére használt variabilitás leggyakoribb mérőszáma.

A statisztikákban a 30-35%-nál nagyobb variációs együtthatójú populációkat tekintik heterogénnek.

Ennek a változatosság-értékelési módszernek van egy jelentős hátránya is. Valóban, például a 15 év átlagos tapasztalattal rendelkező, s = 10 év szórással dolgozó munkavállalók eredeti populációja „öregedett” további 15 évvel. Most = 30 év, és a szórás még mindig 10. A korábban heterogén sokaság (10/15 × 100 = 66,7%), így idővel meglehetősen homogénnek bizonyul (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Statisztikai elméleti tanulmányok: Szo. Tudományos Trudov. – M.: Statisztika, 1974. 19–57.

Előző