الجمع والطرح والضرب وتقسيم القوى. الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2020) ماذا يعني بدرجة

يتم استخدام القوة لتبسيط عملية ضرب الرقم في نفسه. على سبيل المثال، بدلاً من الكتابة، يمكنك الكتابة 4 5 (\displaystyle 4^(5))(يرد شرح لهذا التحول في القسم الأول من هذه المقالة). تسهل الدرجات كتابة تعبيرات أو معادلات طويلة أو معقدة؛ من السهل أيضًا جمع القوى وطرحها، مما ينتج عنه تعبير أو معادلة مبسطة (على سبيل المثال، 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

ملحوظة:إذا كنت بحاجة إلى حل معادلة أسية (في مثل هذه المعادلة يكون المجهول في الأس)، فاقرأ.

خطوات

حل المسائل البسيطة بالدرجات

اضرب أساس الأس في نفسه عدة مرات مساوية للأس.إذا كنت بحاجة إلى حل مسألة قوة يدويًا، فأعد كتابة القوة كعملية ضرب، حيث يتم ضرب أساس القوة في نفسه. على سبيل المثال، نظرا لدرجة 3 4 (\displaystyle 3^(4)). في هذه الحالة، يجب ضرب أساس القوة 3 في نفسه 4 مرات: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). فيما يلي أمثلة أخرى:

أولا، اضرب الرقمين الأولين.على سبيل المثال، 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). لا تقلق - عملية الحساب ليست معقدة كما تبدو للوهلة الأولى. قم أولاً بضرب الأربعتين الأوليين ثم استبدلهما بالنتيجة. مثله:

اضرب النتيجة (16 في مثالنا) بالرقم التالي.كل نتيجة لاحقة سوف تزيد بشكل متناسب. في مثالنا، اضرب 16 في 4. هكذا:

حل المشاكل التالية.تحقق من إجابتك باستخدام الآلة الحاسبة.

في الآلة الحاسبة، ابحث عن المفتاح المسمى "exp" أو " س ن (\displaystyle x^(n)) "، أو"^".باستخدام هذا المفتاح سوف تقوم برفع رقم إلى قوة. يكاد يكون من المستحيل حساب الدرجة باستخدام مؤشر كبير يدويًا (على سبيل المثال، الدرجة 9 15 (\displaystyle 9^(15)))، ولكن الآلة الحاسبة يمكنها التعامل بسهولة مع هذه المهمة. في Windows 7، يمكن تحويل الآلة الحاسبة القياسية إلى الوضع الهندسي؛ للقيام بذلك، انقر فوق "عرض" -> "الهندسة". للتبديل إلى الوضع العادي، انقر فوق "عرض" -> "عادي".

• تحقق من إجابتك باستخدام جوجل. باستخدام المفتاح "^" الموجود على لوحة مفاتيح الكمبيوتر، أدخل التعبير في محرك البحث، والذي سيعرض على الفور الإجابة الصحيحة (وربما يقترح تعبيرات مشابهة لتدرسها).

الجمع والطرح وضرب القوى

1. لا يمكنك جمع الدرجات وطرحها إلا إذا كانت لها نفس الأساسات.إذا كنت بحاجة إلى جمع قوى بنفس الأساس والأسس، فيمكنك استبدال عملية الجمع بعملية الضرب. على سبيل المثال، نظرا للتعبير 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). تذكر أن درجة 4 5 (\displaystyle 4^(5))يمكن تمثيلها في النموذج 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); هكذا، 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(حيث 1 +1 =2). أي أن تحسب عدد الدرجات المتشابهة، ثم تضرب تلك الدرجة في هذا العدد. في مثالنا، ارفع 4 إلى القوة الخامسة، ثم اضرب النتيجة الناتجة في 2. تذكر أنه يمكن استبدال عملية الجمع بعملية الضرب، على سبيل المثال، 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). فيما يلي أمثلة أخرى:

   عند ضرب القوى بنفس الأساس، يتم إضافة أسسها (لا يتغير الأساس).على سبيل المثال، نظرا للتعبير × 2 ∗ × 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). في هذه الحالة، تحتاج فقط إلى إضافة المؤشرات، مع ترك القاعدة دون تغيير. هكذا، x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). وفيما يلي شرح مرئي لهذه القاعدة:

   عند رفع قوة إلى قوة، يتم ضرب الأسس.على سبيل المثال، نظرا لدرجة (× 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5)). وبما أن الأسس مضروبة، إذن (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). المغزى من هذه القاعدة هو أنك تضرب بالقوى (x 2) (\displaystyle (x^(2)))على نفسه خمس مرات. مثله:

   يجب تحويل القوة ذات الأس السالب إلى كسر (قوة عكسية).لا يهم إذا كنت لا تعرف ما هي الدرجة المتبادلة. إذا حصلت على درجة ذات أس سلبي، على سبيل المثال. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))، اكتب هذه الدرجة في مقام الكسر (ضع 1 في البسط)، واجعل الأس موجبًا. في مثالنا: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). فيما يلي أمثلة أخرى:

   عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها (لا يتغير الأساس).عملية القسمة هي عكس عملية الضرب. على سبيل المثال، نظرا للتعبير 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). اطرح الأس في المقام من الأس في البسط (لا تغير الأساس). هكذا، 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

   فيما يلي بعض التعبيرات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل المسائل المتعلقة بالأسس.تغطي التعبيرات الواردة المواد المعروضة في هذا القسم. لمعرفة الإجابة، ما عليك سوى تحديد المساحة الفارغة بعد علامة التساوي.

حل المسائل مع الأسس الكسرية

درجة مع مؤشر كسور (على سبيل المثال، × 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) ) يتم تحويلها إلى عملية استخراج الجذر.في مثالنا: × 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = س (\displaystyle (\sqrt (x))). هنا لا يهم الرقم الموجود في مقام الأس الكسري. على سبيل المثال، × 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- هو الجذر الرابع لـ "x" أي × 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

ومن الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى وذلك بإضافتها واحدة تلو الأخرى مع علاماتها.

إذن، مجموع أ 3 و ب 2 هو أ 3 + ب 2.
مجموع أ 3 - ب ن و ح 5 - د 4 هو أ 3 - ب ن + ح 5 - د 4.

احتمال القوى المتساوية للمتغيرات المتطابقةيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن، مجموع 2a 2 و 3a 2 يساوي 5a 2.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا أخذت مربعين أ، أو ثلاثة مربعات أ، أو خمسة مربعات أ.

لكن درجات متغيرات مختلفةو درجات مختلفة متغيرات متطابقة، فيجب تأليفها بإضافتها مع علاماتها.

إذن، مجموع 2 و 3 هو مجموع 2 + أ 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يساوي ضعف مربع a، بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحوتتم القوى بنفس طريقة الجمع، إلا أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2أ4 - (-6أ4) = 8أ4
3س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 = -ح 2 ب 6
5(أ - ح) 6 - 2(أ - ح) 6 = 3(أ - ح) 6

مضاعفة القوى

يمكن ضرب الأعداد ذات القوى كغيرها من الكميات، وذلك بكتابتها واحدة تلو الأخرى، مع وجود علامة الضرب بينها أو بدونها.

وبالتالي، فإن نتيجة ضرب 3 في ب 2 هي 3 ب 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3أ 6 ص 2 ⋅ (-2س) = -6أ 6 ص 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير عن طريق إضافة متغيرات متطابقة.
سيأخذ التعبير الشكل: a 5 b 5 y 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) بالقوى، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي اثنين منها، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي كميةدرجات المصطلحات.

إذن، أ 2 .أ 3 = أ.أأ = أأأ = أ 5 .

هنا 5 هي قوة نتيجة الضرب، وتساوي 2 + 3، مجموع قوى الحدود.

إذًا، a n .a m = a m+n .

بالنسبة لـ n، يتم أخذ a كعامل عدة مرات مثل قوة n؛

ويتم أخذ m كعامل عدة مرات بقدر ما تساوي الدرجة m؛

لهذا السبب، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأساس عن طريق جمع أسس القوى.

إذن أ 2 .أ 6 = أ 2+6 = أ 8 . و x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

أو:
4أ ن ⋅ 2أ ن = 8أ 2ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن+1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: س 4 - ص 4.
اضرب (س 3 + س - 5) ⋅ (2س 3 + س + 1).

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعداد التي لها أسس سلبي.

1. إذن، أ -2 .أ -3 = أ -5 . يمكن كتابة هذا بالشكل (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. أ -ن .أ م = أ م-ن .

إذا تم ضرب أ + ب في أ - ب، ستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع رقمين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مربعاتهما أو الفرق بينهما.

إذا قمت بضرب مجموع وفرق رقمين مرفوع ل مربع، ستكون النتيجة مساوية لمجموع هذه الأرقام أو الفرق بينها الرابعدرجات.

إذن (أ - ص).(أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2)⋅(أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4)⋅(أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأرقام ذات القوى مثل الأرقام الأخرى، عن طريق الطرح من المقسوم، أو عن طريق وضعها في صورة كسر.

وبالتالي، فإن 3 ب 2 مقسومًا على ب 2 يساوي أ 3.

أو:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

كتابة 5 مقسومًا على 3 تبدو كالتالي $\frac(a^5)(a^3)$. ولكن هذا يساوي 2 . في سلسلة من الأرقام
أ +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
يمكن قسمة أي عدد على آخر، وسيكون الأس مساوياً لـ اختلافمؤشرات الأعداد القابلة للقسمة.

عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها..

لذا، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. أي $\frac(yyy)(yy) = y$.

و n+1:a = a n+1-1 = a n . وهذا يعني أن $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

أو:
ص 2 م: ص م = ص م
8أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12(ب + ص) ن: 3(ب + ص) 3 = 4(ب + ص) ن-3

القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام ذات سلبيقيم الدرجات.
نتيجة قسمة -5 على -3 هي -2.
وأيضًا $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(أأ)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 أو $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

من الضروري إتقان الضرب وتقسيم القوى بشكل جيد للغاية، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(5a^4)(3a^2)$ الإجابة: $\frac(5a^2)(3)$.

2. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(6x^6)(3x^5)$. الإجابة: $\frac(2x)(1)$ أو 2x.

3. اختصر الأسس a 2 /a 3 وa -3 /a -4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 البسط الأول.
أ 3 .أ -3 هو 0 = 1، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. اختصر الأسس 2a 4 /5a 3 و2 /a 4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
الجواب: 2أ 3 /5أ 7 و5أ 5 /5أ 7 أو 2أ 3 /5أ 2 و5/5أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب)/ب 4 في (أ - ب)/3.

6. اضرب (أ 5 + 1)/س 2 في (ب 2 - 1)/(س + أ).

7. اضرب b 4 /a -2 ب h -3 /x و n /y -3 .

8. اقسم 4 /ص 3 على 3 /ص 2 . الجواب: أ/ي.

9. قسّم (ح 3 - 1)/د 4 على (د ن + 1)/س.

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى الأس صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن هذه الأرقام لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

1. لا تنس الخصائص المعتادة للدرجات:

2. . وهنا نتذكر أننا نسينا أن نتعلم جدول الدرجات:

بعد كل شيء - هذا أو. تم العثور على الحل تلقائيًا: .

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

لكن بحكم التعريف فهي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:

1. حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
2. تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
3. الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
4. صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتبين أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فمن الممكن أن تنطبق القاعدة 3. ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه في حد ذاته، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
3. لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

درجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

• تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
• تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
• الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

يمكن العثور عليها باستخدام الضرب. على سبيل المثال: 5+5+5+5+5+5=5x6. يقال أن مثل هذا التعبير هو أن مجموع الحدود المتساوية مطوي في المنتج. والعكس صحيح، إذا قرأنا هذه المساواة من اليمين إلى اليسار، فسنجد أننا قمنا بتوسيع مجموع الحدود المتساوية. وبالمثل، يمكنك طي حاصل ضرب عدة عوامل متساوية 5x5x5x5x5x5=5 6.

أي أنه بدلًا من ضرب ستة عوامل متطابقة 5x5x5x5x5x5، يكتبون 5 6 ويقولون "خمسة أس ستة".

التعبير 5 6 هو قوة الرقم، حيث:

5 - قاعدة الدرجة

6 - الأس.

تسمى الإجراءات التي يتم من خلالها تقليل حاصل ضرب العوامل المتساوية إلى قوة رفع إلى قوة.

بشكل عام، يتم كتابة الدرجة ذات الأساس "a" والأس "n" على النحو التالي

رفع الرقم a إلى القوة n يعني إيجاد حاصل ضرب عوامل n، كل عامل منها يساوي a

إذا كان أساس الدرجة "a" يساوي 1، فإن قيمة الدرجة لأي عدد طبيعي n ستكون مساوية لـ 1. على سبيل المثال، 1 5 = 1، 1 256 = 1

إذا قمت برفع الرقم "أ" إلى الدرجة الأولى، ثم نحصل على الرقم a نفسه: أ 1 = أ

إذا قمت برفع أي رقم ل درجة الصفر، ثم نتيجة للحسابات نحصل على واحدة. 0 = 1

تعتبر القوى الثانية والثالثة للرقم خاصة. وقد جاءوا لهم بأسماء: الدرجة الثانية تسمى تربيع الرقم، ثالث - مكعبهذا العدد.

يمكن رفع أي رقم إلى قوة موجبة أو سالبة أو صفر. وفي هذه الحالة، لا تنطبق القواعد التالية:

عند إيجاد قوة رقم موجب، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.

عند حساب صفر للقوة الطبيعية، نحصل على صفر.

س م · س ن = س م + ن

على سبيل المثال: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

ل تقسيم السلطات على نفس الأسسنحن لا نغير الأساس، بل نطرح الأسس:

س م / س ن = س م - ن ، أين، م > ن،

على سبيل المثال: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

عند الحساب رفع قوة إلى قوةنحن لا نغير الأساس، بل نضرب الأسس في بعضها البعض.

(ماكينة الصراف الآلي ) ن = ذ م ن

على سبيل المثال: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · ذ) ن = س ن · ذ م ,

على سبيل المثال:(2 3) 3 = 2 ن 3 م،

عند إجراء العمليات الحسابية وفقا ل رفع الكسر إلى قوةنرفع بسط ومقام الكسر إلى قوة معينة

(س / ص) ن = س ن / ذ ن

على سبيل المثال: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

تسلسل العمليات الحسابية عند العمل مع التعبيرات التي تحتوي على درجة.

عند إجراء عمليات حسابية للتعبيرات بدون أقواس، ولكن تحتوي على قوى، أولاً وقبل كل شيء، يتم إجراء عمليات الأس، ثم الضرب والقسمة، وعندها فقط عمليات الجمع والطرح.

إذا كنت بحاجة إلى حساب تعبير يحتوي على أقواس، فقم أولاً بإجراء العمليات الحسابية الموجودة بين الأقواس بالترتيب المشار إليه أعلاه، ثم قم بالإجراءات المتبقية بنفس الترتيب من اليسار إلى اليمين.

على نطاق واسع جدًا في الحسابات العملية، يتم استخدام جداول القوى الجاهزة لتبسيط العمليات الحسابية.