Suma laturilor opuse ale unui trapez. Cerc circumscris și trapez

În acest articol vom încerca să reflectăm proprietățile unui trapez cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre caracteristicile și proprietățile generale ale unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și ale unui cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile discutate vă va ajuta să o sortați în locuri din cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele între ele (acestea sunt bazele). Și cele două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi coborâtă - perpendicular pe baze. Linia centrală și diagonalele sunt desenate. De asemenea, este posibil să desenați o bisectoare din orice unghi al trapezului.

Vom vorbi acum despre diferitele proprietăți asociate cu toate aceste elemente și combinațiile lor.

Proprietățile diagonalelor trapezoidale

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

1. Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este că segmentul HT se află pe linia mediană. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: ХТ = (a – b)/2.
2. În fața noastră este același ACME trapez. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să ne uităm la triunghiurile AOE și MOK, formate din segmente ale diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de asemănare k al triunghiurilor se exprimă prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
   Raportul ariilor triunghiurilor AOE și MOK este descris de coeficientul k 2 .
3. Același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiurile pe care le-au format segmentele diagonalelor împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO au dimensiuni egale - ariile lor sunt aceleași.
4. O altă proprietate a unui trapez implică construcția diagonalelor. Deci, dacă continuați laturile AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta la un anumit punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin mijlocul bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
   Dacă extindem acum linia XT, atunci aceasta va lega împreună punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și mijlocul bazelor X și T.
5. Prin punctul de intersecție al diagonalelor vom trasa un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică KM, X pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OX = KM/AE.
6. Acum, prin punctul de intersecție al diagonalelor, vom trasa un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea segmentului folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

1. Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
2. Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea Bisectoarei Trapezului

Selectați orice unghi al trapezului și trageți o bisectoare. Să luăm, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat singur construcția, puteți verifica cu ușurință dacă bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiurilor trapezoidale

1. Indiferent care dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor din pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0.
2. Să conectăm punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX poate fi calculată cu ușurință pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX = (AE – KM)/2.
3. Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unui unghi trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (echilateral).

1. Într-un trapez isoscel, unghiurile de la orice bază sunt egale.
2. Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce vorbim. Priviți cu atenție baza AE - vârful bazei opuse M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia de mijloc a unui trapez isoscel sunt egale.
3. Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
4. Numai în jurul unui trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0 - o condiție prealabilă pentru aceasta.
5. Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă trapez, acesta este isoscel.
6. Din caracteristicile unui trapez isoscel rezultă proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
7. Din nou, trageți segmentul TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
8. De data aceasta, coborâți înălțimea de la vârful opus al trapezului pe baza mai mare (să-i spunem a). Veți obține două segmente. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a + b)/2. O obținem pe a doua când scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, acolo unde centrul cercului este în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să vă faceți timp pentru a ridica un creion și a desena ceea ce va fi discutat mai jos. Astfel vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

1. Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare al diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, o diagonală se poate extinde din partea superioară a unui trapez în unghi drept pe lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
2. Diagonala și latura se pot întâlni și la un unghi ascuțit - atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
3. Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza sa mai mare, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latură.
4. Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½MOE.
5. Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza unui cerc circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Puteți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R = AE/2*sinAME. Într-un mod similar, formula poate fi scrisă pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
6. Metoda a doua: găsiți raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți potrivi un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Citiți mai multe despre el mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

1. Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
2. Pentru trapezul ACME, descris despre un cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
3. Din această proprietate a bazelor unui trapez, rezultă afirmația inversă: un cerc poate fi înscris într-un trapez a cărui sumă a bazelor este egală cu suma laturilor sale.
4. Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
5. Și încă o proprietate. Pentru a evita confuzia, desenează și tu acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, descris în jurul unui cerc. Conține diagonale care se intersectează în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și laturile laterale sunt dreptunghiulare.
   Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile laterale ale trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului coincide cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

1. Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile sale perpendiculară pe bază.
2. Înălțimea și latura unui trapez adiacent unui unghi drept sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
3. Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor unui trapez deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovada unor proprietăți ale trapezului

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

• Probabil ați ghicit deja că aici vom avea nevoie din nou de trapezul AKME - desenați un trapez isoscel. Desenați o linie dreaptă MT de la vârful M, paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde este AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că ACME trapez este isoscel:

• Mai întâi, să desenăm o linie dreaptă MX – MX || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază – MX || KE și KM || EX).

∆AMX este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, deci MAE = MXE.

S-a dovedit că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM = KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE = MXE. Putem concluziona că AK = ME și de aici rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de revizuire

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura laterală KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu baza mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la baza mai mare a trapezului. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Aceasta înseamnă că în total dau 180 0. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezoidale).

Să luăm acum în considerare ∆ANC dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără dovezi suplimentare). Din aceasta vom găsi înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este un catet care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KH = ½AB = 4 cm.

Găsim aria trapezului folosind formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile date cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți o schiță detaliată a tuturor proprietăților generale ale unui trapez. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă-l singur și distribuie link-ul prietenilor tăi!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În acest articol vom încerca să reflectăm proprietățile unui trapez cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre caracteristicile și proprietățile generale ale unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și ale unui cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile discutate vă va ajuta să o sortați în locuri din cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele între ele (acestea sunt bazele). Și cele două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi coborâtă - perpendicular pe baze. Linia centrală și diagonalele sunt desenate. De asemenea, este posibil să desenați o bisectoare din orice unghi al trapezului.

Vom vorbi acum despre diferitele proprietăți asociate cu toate aceste elemente și combinațiile lor.

Proprietățile diagonalelor trapezoidale

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

1. Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este că segmentul HT se află pe linia mediană. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: ХТ = (a – b)/2.
2. În fața noastră este același ACME trapez. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să ne uităm la triunghiurile AOE și MOK, formate din segmente ale diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de asemănare k al triunghiurilor se exprimă prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
   Raportul ariilor triunghiurilor AOE și MOK este descris de coeficientul k 2 .
3. Același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiurile pe care le-au format segmentele diagonalelor împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO au dimensiuni egale - ariile lor sunt aceleași.
4. O altă proprietate a unui trapez implică construcția diagonalelor. Deci, dacă continuați laturile AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta la un anumit punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin mijlocul bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
   Dacă extindem acum linia XT, atunci aceasta va lega împreună punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și mijlocul bazelor X și T.
5. Prin punctul de intersecție al diagonalelor vom trasa un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică KM, X pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OX = KM/AE.
6. Acum, prin punctul de intersecție al diagonalelor, vom trasa un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea segmentului folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

1. Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
2. Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea Bisectoarei Trapezului

Selectați orice unghi al trapezului și trageți o bisectoare. Să luăm, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat singur construcția, puteți verifica cu ușurință dacă bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiurilor trapezoidale

1. Indiferent care dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor din pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0.
2. Să conectăm punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX poate fi calculată cu ușurință pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX = (AE – KM)/2.
3. Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unui unghi trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (echilateral).

1. Într-un trapez isoscel, unghiurile de la orice bază sunt egale.
2. Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce vorbim. Priviți cu atenție baza AE - vârful bazei opuse M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia de mijloc a unui trapez isoscel sunt egale.
3. Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
4. Numai în jurul unui trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0 - o condiție prealabilă pentru aceasta.
5. Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă trapez, acesta este isoscel.
6. Din caracteristicile unui trapez isoscel rezultă proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
7. Din nou, trageți segmentul TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
8. De data aceasta, coborâți înălțimea de la vârful opus al trapezului pe baza mai mare (să-i spunem a). Veți obține două segmente. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a + b)/2. O obținem pe a doua când scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, acolo unde centrul cercului este în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să vă faceți timp pentru a ridica un creion și a desena ceea ce va fi discutat mai jos. Astfel vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

1. Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare al diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, o diagonală se poate extinde din partea superioară a unui trapez în unghi drept pe lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
2. Diagonala și latura se pot întâlni și la un unghi ascuțit - atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
3. Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza sa mai mare, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latură.
4. Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½MOE.
5. Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza unui cerc circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Puteți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R = AE/2*sinAME. Într-un mod similar, formula poate fi scrisă pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
6. Metoda a doua: găsiți raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți potrivi un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Citiți mai multe despre el mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

1. Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
2. Pentru trapezul ACME, descris despre un cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
3. Din această proprietate a bazelor unui trapez, rezultă afirmația inversă: un cerc poate fi înscris într-un trapez a cărui sumă a bazelor este egală cu suma laturilor sale.
4. Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
5. Și încă o proprietate. Pentru a evita confuzia, desenează și tu acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, descris în jurul unui cerc. Conține diagonale care se intersectează în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și laturile laterale sunt dreptunghiulare.
   Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile laterale ale trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului coincide cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă unul dintre unghiurile sale este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

1. Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile sale perpendiculară pe bază.
2. Înălțimea și latura unui trapez adiacent unui unghi drept sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
3. Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor unui trapez deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovada unor proprietăți ale trapezului

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

• Probabil ați ghicit deja că aici vom avea nevoie din nou de trapezul AKME - desenați un trapez isoscel. Desenați o linie dreaptă MT de la vârful M, paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde este AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că ACME trapez este isoscel:

• Mai întâi, să desenăm o linie dreaptă MX – MX || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază – MX || KE și KM || EX).

∆AMX este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, deci MAE = MXE.

S-a dovedit că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM = KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE = MXE. Putem concluziona că AK = ME și de aici rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de revizuire

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura laterală KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu baza mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la baza mai mare a trapezului. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Aceasta înseamnă că în total dau 180 0. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezoidale).

Să luăm acum în considerare ∆ANC dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără dovezi suplimentare). Din aceasta vom găsi înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este un catet care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KH = ½AB = 4 cm.

Găsim aria trapezului folosind formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile date cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți o schiță detaliată a tuturor proprietăților generale ale unui trapez. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă-l singur și distribuie link-ul prietenilor tăi!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Pensiunea FGKOU „MKK” pentru elevii Ministerului Apărării al Federației Ruse”

"APROBAT"

Şeful unei discipline separate

(matematică, informatică și TIC)

Yu. V. Krylova _____________

„___” ____________ 2015

« Trapezul și proprietățile sale»

Dezvoltarea metodologică

profesor de matematică

Şatalina Elena Dmitrievna

Revizuit și

la ședința PMO din data de _______________

Protocol nr.______

Moscova

2015

Cuprins

Introducere 2

Definitii 3

Proprietățile unui trapez isoscel 4

Cercuri înscrise și circumscrise 7

Proprietățile trapezelor înscrise și circumscrise 8

Valori medii în trapez 12

Proprietățile unui trapez arbitrar 15

Semne de trapez 18

Construcții suplimentare în trapez 20

Zona trapezoidală 25

10. Concluzie

Bibliografie

Aplicație

Dovada unor proprietăți ale trapezului 27

Sarcini pentru munca independentă

Probleme pe tema „Trapez” de complexitate crescută

Test de screening pe tema „Trapezoid”

Introducere

Această lucrare este dedicată unei figuri geometrice numită trapez. „O figură obișnuită”, spui, dar nu este așa. Este plin de multe secrete și mistere; dacă te uiți mai atent și îl studiezi mai departe, vei descoperi o mulțime de lucruri noi în lumea geometriei; probleme care nu au fost rezolvate până acum ți se vor părea ușoare.

Trapez - cuvântul grecesc trapez - „masă”. Împrumutarea în secolul al XVIII-lea din lat. limba, unde trapezul este greaca. Este un patrulater ale cărui două laturi opuse sunt paralele. Trapezul a fost întâlnit pentru prima dată de savantul grec antic Posidonius (secolul al II-lea î.Hr.). Există multe figuri diferite în viața noastră. În clasa a VII-a, ne-am familiarizat îndeaproape cu triunghiul; în clasa a VIII-a, conform programului școlar, am început să studiem trapezul. Această cifră ne-a interesat, iar în manual este inadmisibil de puțin scris despre ea. Prin urmare, am decis să luăm această chestiune în mâinile noastre și să găsim informații despre trapez. proprietățile sale.

Lucrarea examinează proprietăți familiare studenților din materialul tratat în manual, dar în mare parte proprietăți necunoscute care sunt necesare pentru rezolvarea problemelor complexe. Cu cât este mai mare numărul de probleme rezolvate, cu atât apar mai multe întrebări la rezolvarea lor. Răspunsul la aceste întrebări pare uneori un mister; învățând noi proprietăți ale trapezului, metode neobișnuite de rezolvare a problemelor, precum și tehnica construcțiilor suplimentare, descoperim treptat secretele trapezului. Pe Internet, dacă îl tastați într-un motor de căutare, există foarte puțină literatură despre metode de rezolvare a problemelor pe tema „trapez”. În procesul de lucru la proiect s-a găsit o cantitate mare de informații care îi vor ajuta pe studenți într-un studiu aprofundat al geometriei.

Trapez.

Definiții

Trapez – un patrulater în care doar o pereche de laturi este paralelă (și cealaltă pereche de laturi nu este paralelă).

Laturile paralele ale unui trapez se numesc motive. Celelalte două sunt părțile laterale .
Dacă laturile sunt egale, se numește trapez isoscel

Un trapez care are unghiuri drepte pe laturile sale se numește dreptunghiular

Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numeștelinia mediană a trapezului.

Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.

2 . Proprietățile unui trapez isoscel

3. Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.

4

1
0. Proiecția laturii laterale a unui trapez isoscel pe baza mai mare este egală cu jumătate din diferența bazelor, iar proiecția diagonalei este egală cu suma bazelor.

3. Cerc înscris și circumscris

Dacă suma bazelor unui trapez este egală cu suma laturilor, atunci poate fi înscris un cerc în el.

E
Dacă trapezul este isoscel, atunci poate fi descris un cerc în jurul lui.

4 . Proprietățile trapezelor înscrise și circumscrise

2.Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez isoscel, atunci

suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor. Prin urmare, lungimea laturii este egală cu lungimea liniei mediane a trapezului.

4 . Dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci laturile din centrul său sunt vizibile la un unghi de 90°.

Dacă un cerc este înscris într-un trapez și atinge una dintre laturi, acesta îl împarte în segmente m si n , atunci raza cercului înscris este egală cu media geometrică a acestor segmente.

1

0 . Dacă un cerc este construit pe baza mai mică a unui trapez ca diametru, trece prin punctele medii ale diagonalelor și atinge baza inferioară, atunci unghiurile trapezului sunt 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Valori medii într-un trapez

Medie geometrică

În orice trapez cu baze A Și b Pentru A > binegalitatea este adevărată :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Proprietățile unui trapez arbitrar

1
. Punctele de mijloc ale diagonalelor unui trapez și punctele de mijloc ale laturilor laterale se află pe aceeași linie dreaptă.

2. Bisectoarele unghiurilor adiacente uneia dintre laturile laterale ale trapezului sunt perpendiculare și se intersectează într-un punct situat pe linia mediană a trapezului, adică atunci când se intersectează, se formează un triunghi dreptunghic cu o ipotenuză egală cu lateralul. latură.

3. Segmentele unei drepte paralele cu bazele trapezului, care intersectează laturile laterale și diagonalele trapezului, închise între latura laterală și diagonală, sunt egale.

Punctul de intersecție al continuării laturilor unui trapez arbitrar, punctul de intersecție al diagonalelor sale și punctele medii ale bazelor se află pe aceeași linie dreaptă.

5. Când diagonalele unui trapez arbitrar se intersectează, se formează patru triunghiuri cu un vârf comun, iar triunghiurile adiacente bazelor sunt similare, iar triunghiurile adiacente laturilor au dimensiuni egale (adică au suprafețe egale).

6. Suma pătratelor diagonalelor unui trapez arbitrar este egală cu suma pătratelor laturilor laterale adăugate la dublul produsului bazelor.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. Într-un trapez dreptunghiular, diferența dintre pătratele diagonalelor este egală cu diferența dintre pătratele bazelor d 1 2 - d 2 2 = A 2 – b 2

8 . Liniile drepte care intersectează laturile unui unghi decupează segmentele proporționale din laturile unghiului.

9. Un segment paralel cu bazele și care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor este împărțit la jumătate de acesta din urmă.

7. Semne ale unui trapez

8 . Construcții suplimentare în trapez

1. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor este linia mediană a trapezului.

2
. Un segment paralel cu una dintre laturile laterale ale unui trapez, al cărui capăt coincide cu mijlocul celeilalte laturi laterale, celălalt aparține liniei drepte care conține baza.

3
. Dacă toate laturile unui trapez sunt date, o linie dreaptă paralelă cu latura este trasată prin vârful bazei mai mici. Rezultă un triunghi cu laturile egale cu laturile laterale ale trapezului și diferența de baze. Folosind formula lui Heron, găsiți aria triunghiului, apoi înălțimea triunghiului, care este egală cu înălțimea trapezului.

4

. Înălțimea unui trapez isoscel, trasă de la vârful bazei mai mici, împarte baza mai mare în segmente, dintre care unul este egal cu jumătate din diferența bazelor, iar celălalt la jumătate din suma bazelor trapezului, adică linia mediană a trapezului.

5. Înălțimile trapezului, coborâte de la vârfurile unei baze, se decupează pe o linie dreaptă care conține cealaltă bază, un segment egal cu prima bază.

6
. Un segment paralel cu una dintre diagonalele trapezului este trasat printr-un vârf - un punct care este capătul celeilalte diagonale. Rezultatul este un triunghi cu două laturi egale cu diagonalele trapezului, iar al treilea egal cu suma bazelor

7
.Segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor este egal cu jumătate din diferența bazelor trapezului.

8. Bisectoarele unghiurilor adiacente uneia dintre laturile laterale ale trapezului sunt perpendiculare și se intersectează într-un punct situat pe linia mediană a trapezului, adică atunci când se intersectează, se formează un triunghi dreptunghic cu o ipotenuză egală cu lateralul. latură.

9. Bisectoarea unui unghi trapez taie un triunghi isoscel.

1
0. Diagonalele unui trapez arbitrar, atunci când se intersectează, formează două triunghiuri similare cu un coeficient de asemănare egal cu raportul bazelor și două triunghiuri egale adiacente laturilor laterale.

1
1. Diagonalele unui trapez arbitrar, atunci când se intersectează, formează două triunghiuri similare cu un coeficient de asemănare egal cu raportul bazelor și două triunghiuri egale adiacente laturilor laterale.

1
2. Continuarea laturilor trapezului până la intersecție face posibilă luarea în considerare a triunghiurilor similare.

13. Dacă un cerc este înscris într-un trapez isoscel, atunci calculați înălțimea trapezului - media geometrică a produsului bazelor trapezului sau de două ori media geometrică a produsului segmentelor laturii laterale în care acesta se împarte la punctul de tangență.

9. Aria unui trapez

1 . Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea S = ½( A + b) h sau

P

Aria unui trapez este egală cu produsul dintre linia mediană a trapezului și înălțimea acestuia S = m h .

2. Aria unui trapez este egală cu produsul unei laturi și o perpendiculară trasă de la mijlocul celeilalte laturi la linia care conține prima latură.

Aria unui trapez isoscel cu raza cercului înscris egală cu rși unghiul de la bazăα :

10. Concluzie

UNDE, CUM SI PENTRU CE SE UTILIZA TRAPEZUL?

Trapezul în sport: Trapezul este cu siguranță o invenție progresivă a omenirii. Este conceput pentru a ne ușura mâinile și pentru a face windsurferul o odihnă confortabilă și ușoară. Mersul pe o placă scurtă nu are deloc sens fără un trapez, deoarece fără acesta este imposibil să distribuiți corect tracțiunea între pas și picioare și să accelerați eficient.

Trapezul la modă: Trapezul în îmbrăcăminte era popular încă din Evul Mediu, în epoca romanică din secolele IX-XI. La acea vreme, baza îmbrăcămintei pentru femei erau tunicile până la podea; spre partea de jos, tunica s-a extins foarte mult, ceea ce a creat un efect de trapez. Reînvierea siluetei a avut loc în 1961 și a devenit un imn către tinerețe, independență și rafinament. Fragilul model Leslie Hornby, cunoscut sub numele de Twiggy, a jucat un rol uriaș în popularizarea trapezului. O fată scundă, cu o constituție anorexică și cu ochi uriași a devenit un simbol al epocii, iar ținutele ei preferate erau rochiile scurte în linie.

Trapez în natură: Trapezul se găsește și în natură. Oamenii au un mușchi trapez, iar unii oameni au o față în formă de trapez. Petalele de flori, constelațiile și, desigur, Muntele Kilimanjaro au, de asemenea, o formă trapezoidală.

Trapezul în viața de zi cu zi: Trapezul este folosit și în viața de zi cu zi, deoarece forma sa este practică. Se găsește în astfel de obiecte precum: cupă de excavator, masă, șurub, mașină.

Trapezul este un simbol al arhitecturii Inca. Forma stilistică dominantă în arhitectura incasă este simplă, dar grațioasă - trapezul. Are nu numai o semnificație funcțională, ci și un design artistic strict limitat. Ușile, ferestrele și nișele de perete trapezoidale se găsesc în clădiri de toate tipurile, atât în ​​temple, cât și în clădiri mai mici de construcție mai brută, ca să spunem așa. Trapezul se găsește și în arhitectura modernă. Această formă de clădiri este neobișnuită, așa că astfel de clădiri atrag întotdeauna privirile trecătorilor.

Trapezul în tehnologie: Trapezul este utilizat în proiectarea pieselor în tehnologia spațială și aviație. De exemplu, unele panouri solare de pe stațiile spațiale au forma unui trapez deoarece au o suprafață mare, ceea ce înseamnă că acumulează mai multă energie solară.

În secolul 21, oamenii practic nu se mai gândesc la semnificația formelor geometrice în viața lor. Nu le pasă deloc ce formă au biroul, ochelarii sau telefonul lor. Pur și simplu aleg forma care este practică. Dar utilizarea obiectului, scopul său și rezultatul lucrării pot depinde de forma cutare sau cutare lucru. Astăzi v-am prezentat una dintre cele mai mari realizări ale omenirii - trapezul. Am deschis ușa către lumea minunată a figurilor, v-am povestit secretele trapezului și v-am arătat că geometria este peste tot în jurul nostru.

Bibliografie

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Teoria și problemele matematicii. Cartea 1 Ghid de studiu pentru solicitanți M.1998 Editura MPEI.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Facultatea de Formare Preuniversitară GUVS. Matematică. Manual educațional și metodologic 4 parte M2004

Gordin R.K. Planimetrie. Cartea cu probleme.

Ivanov A.A. Ivanov A.P., Matematică: un ghid pentru pregătirea pentru examenul unificat de stat și admiterea la universități - M: Editura MIPT, 2003-288p. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse, Instituția Educațională Buget de Stat Federal de Educație Suplimentară pentru Copii „ZFTSH Institutul de Fizică și Tehnologie din Moscova (Universitatea de Stat)”. Matematică. Planimetrie. Temele nr.2 pentru clasele a X-a (anul universitar 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetrie (partea 1), Enciclopedia Matematică a Participantului. M., Editura Universității Deschise din Rusia 1992.

Sharygin I.F. Probleme selectate de geometrie pentru examenele de concurs la universități (1987-1990) Revista Lvov „Quantor” 1991.

Enciclopedia „Avanta Plus”, Matematică M., World of Encyclopedias Avanta 2009.

Aplicație

1. Dovada unor proprietăți ale trapezului.

1. O linie dreaptă care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez paralel cu bazele sale intersectează laturile laterale ale trapezului în puncteleK Și L . Demonstrați că dacă bazele unui trapez sunt egale A Și b , Acea lungimea segmentului KL egală cu media geometrică a bazelor trapezului. Dovada

LăsaDESPRE - punctul de intersecție al diagonalelor,ANUNȚ = un soare = b . Direct KL paralel cu bazaANUNȚ , prin urmare,K DESPRE║ ANUNȚ , triunghiuriÎN K DESPRE ȘiRĂU sunt asemănătoare, prin urmare

(1)

(2)

Să înlocuim (2) în (1), obținem KO =

De asemenea L.O.= Atunci K L = K.O. + L.O. =

ÎN Pentru orice trapez, punctul de mijloc al bazelor, punctul de intersecție al diagonalelor și punctul de intersecție al continuării laturilor laterale se află pe aceeași linie dreaptă.

Dovada: Lăsați prelungirile laturilor să se intersecteze în punctLA. Prin punctLA și punctDESPRE intersecții diagonalehai sa tragem o linie dreapta CO.

K

Să demonstrăm că această linie împarte bazele în jumătate.

DESPRE semnificativVM = x, MS = y, UN = Și, ND = v . Avem:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

X

B

C

Y

∆ MK C ~ ∆NKD → →

Lucrare de proiect „Proprietăți interesante ale unui trapez” Completată de: elevii clasei a X-a Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Școala Gimnazială s. N.Batako Şef: Gagieva A.O. 20 noiembrie 2015

Scopul lucrării: Pentru a lua în considerare proprietățile trapezului, care nu sunt studiate la cursul de geometrie școlară, dar la rezolvarea problemelor geometrice ale examenului de stat unificat din partea extinsă C 4, poate fi necesar să cunoașteți și să fiți capabil să aplica exact aceste proprietati.

Proprietățile unui trapez: Dacă un trapez este împărțit cu o dreaptă paralelă cu bazele sale egale cu a și b, în ​​două trapeze egale. Atunci segmentul acestei linii, cuprins între laturile laterale, este egal cu un B to

Proprietatea unui segment care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor unui trapez. Segmentul paralel cu bazele care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor este egal cu: a în c

Proprietățile unui trapez: Un segment de dreaptă paralel cu bazele unui trapez, închis în interiorul trapezului, este împărțit în trei părți de diagonalele sale. Apoi, segmentele adiacente laturilor sunt egale între ele. MP=OK R M O K

Proprietățile unui trapez isoscel: Dacă un cerc poate fi înscris într-un trapez, atunci raza cercului este media proporțională cu segmentele în care punctul tangent împarte latura. O S V A D. E O

Proprietățile unui trapez isoscel: Dacă centrul cercului circumscris se află la baza trapezului, atunci diagonala sa este perpendiculară pe latura O A B C D

Proprietățile unui trapez isoscel: Un cerc poate fi înscris într-un trapez isoscel dacă latura laterală este egală cu linia sa mediană. S V A D h

1) Dacă enunțul problemei spune că un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, puteți folosi următoarele proprietăți: 1. Suma bazelor trapezului este egală cu suma laturilor. 2. Distanțele de la vârful trapezului la punctele tangente ale cercului înscris sunt egale. 3. Înălțimea unui trapez dreptunghiular este egală cu latura sa mai mică și egală cu diametrul cercului înscris. 4. Centrul cercului înscris este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor trapezului. 5. Dacă punctul tangent împarte latura în segmente m și n, atunci raza cercului înscris este egală cu

Proprietățile unui trapez dreptunghiular în care este înscris un cerc: 1) Un patrulater format din centrul cercului înscris, punctele de contact și vârful trapezului - un pătrat a cărui latură este egală cu raza. (AMOE și BKOM sunt pătrate cu latura r). 2) Dacă un cerc este înscris într-un trapez dreptunghiular, atunci aria trapezului este egală cu produsul bazelor sale: S=AD*BC

Dovada: Aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor sale și înălțimea sa: Notăm CF=m, FD=n. Deoarece distanțele de la vârfuri la punctele tangente sunt egale, înălțimea trapezului este egală cu două raze ale cercului înscris și

I. Bisectoarele unghiurilor de pe latura laterală a trapezului se intersectează la un unghi de 90º. 1)∠ABC+∠BAD=180º (ca internă unilaterală cu AD∥BC și secanta AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (deoarece bisectoarele bisectează unghiurile). 3) Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este 180º, în triunghiul ABK avem: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, deci ∠AKB=180-90=90º. Concluzie: Bisectoarele unghiului de pe partea laterală a unui trapez se intersectează în unghi drept. Această afirmație este folosită atunci când se rezolvă probleme pe un trapez în care este înscris un cerc.

I I. Punctul de intersecție al bisectoarelor trapezului adiacent laturii laterale se află pe linia mediană a trapezului. Fie bisectoarea unghiului ABC să intersecteze latura AD în punctul S. Atunci triunghiul ABS este isoscel cu baza BS. Aceasta înseamnă că bisectoarea sa AK este, de asemenea, o mediană, adică punctul K este punctul de mijloc al BS. Dacă M și N sunt punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, atunci MN este linia mediană a trapezului și MN∥AD. Deoarece M și K sunt punctele medii ale AB și BS, atunci MK este linia mediană a triunghiului ABS și MK∥AS. Deoarece doar o singură dreaptă paralelă cu aceasta poate fi trasată prin punctul M, punctul K se află pe linia mediană a trapezului.

III. Punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor ascuțite de la baza unui trapez aparține unei alte baze. În acest caz, triunghiurile ABK și DCK sunt isoscele cu bazele AK și, respectiv, DK. Astfel, BC=BK+KC=AB+CD. Concluzie: Dacă bisectoarele unghiurilor ascuțite ale unui trapez se intersectează într-un punct aparținând bazei mai mici, atunci baza mai mică este egală cu suma laturilor laterale ale trapezului. Un trapez isoscel în acest caz are o bază mai mică de două ori mai mare decât latura sa.

I V. Punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor obtuze de la baza trapezului aparține unei alte baze. În acest caz, triunghiurile ABF și DCF sunt isoscele cu bazele BF și, respectiv, CF. Prin urmare AD=AF+FD=AB+CD. Concluzie: Dacă bisectoarele unghiurilor obtuze ale unui trapez se intersectează într-un punct aparținând bazei mai mari, atunci baza mai mare este egală cu suma laturilor laterale ale trapezului. În acest caz, un trapez isoscel are o bază mai mare, care este de două ori mai mare decât latura sa.

Dacă un trapez isoscel cu laturile a, b, c, d poate fi înscris și pot fi desenate cercuri în jurul lui, atunci aria trapezului este

Un trapez este o figură geometrică cu patru unghiuri. Când construiți un trapez, este important să țineți cont de faptul că două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două, dimpotrivă, nu sunt paralele una față de cealaltă. Acest cuvânt a venit în timpurile moderne din Grecia Antică și suna ca „trapedzion”, care însemna „masă”, „masă de sufragerie”.

Acest articol vorbește despre proprietățile unui trapez circumscris unui cerc. Ne vom uita, de asemenea, la tipurile și elementele acestei figuri.

Elemente, tipuri și caracteristici ale figurii geometrice trapez

Laturile paralele din această figură se numesc baze, iar cele care nu sunt paralele se numesc laturi. Cu condiția ca laturile să aibă aceeași lungime, trapezul este considerat isoscel. Un trapez ale cărui laturi sunt perpendiculare pe bază la un unghi de 90° se numește dreptunghiular.

Această figură aparent simplă are un număr considerabil de proprietăți inerente, subliniind caracteristicile sale:

1. Dacă desenați o linie de mijloc de-a lungul laturilor, aceasta va fi paralelă cu bazele. Acest segment va fi egal cu 1/2 din diferența bazelor.
2. Când construiți o bisectoare din orice colț al unui trapez, se formează un triunghi echilateral.
3. Din proprietățile unui trapez descris în jurul unui cerc, se știe că suma laturilor paralele trebuie să fie egală cu suma bazelor.
4. La construirea segmentelor diagonale, unde una dintre laturi este baza unui trapez, triunghiurile rezultate vor fi similare.
5. La construirea segmentelor diagonale, unde una dintre laturi este laterală, triunghiurile rezultate vor avea o suprafață egală.
6. Dacă continuăm liniile laterale și construim un segment din centrul bazei, atunci unghiul format va fi egal cu 90°. Segmentul care leagă bazele va fi egal cu 1/2 din diferența acestora.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Este posibil să încadrați un cerc într-un trapez doar cu o singură condiție. Această condiție este ca suma laturilor să fie egală cu suma bazelor. De exemplu, la construirea unui AFDM trapez, se aplică AF + DM = FD + AM. Numai în acest caz un cerc poate fi închis într-un trapez.

Deci, mai multe despre proprietățile unui trapez descris în jurul unui cerc:

1. Dacă un cerc este închis într-un trapez, atunci pentru a găsi lungimea dreptei sale care intersectează figura în jumătate, este necesar să găsim 1/2 din suma lungimilor laturilor.
2. Când se construiește un trapez circumscris unui cerc, ipotenuza formată este identică cu raza cercului, iar înălțimea trapezului este, de asemenea, diametrul cercului.
3. O altă proprietate a unui trapez isoscel circumscris unui cerc este că latura sa este imediat vizibilă din centrul cercului la un unghi de 90°.

Mai multe despre proprietățile unui trapez închis într-un cerc

Doar un trapez isoscel poate fi înscris într-un cerc. Aceasta înseamnă că este necesar să se îndeplinească condițiile în care trapezul AFDM construit va îndeplini următoarele cerințe: AF + DM = FD + MA.

Teorema lui Ptolemeu afirmă că într-un trapez închis într-un cerc, produsul diagonalelor este identic și egal cu suma laturilor opuse înmulțite. Aceasta înseamnă că atunci când se construiește un cerc circumscris trapezului AFDM, se aplică următoarele: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Destul de des la examenele școlare apar probleme care necesită rezolvarea problemelor cu un trapez. Un număr mare de teoreme trebuie memorate, dar dacă nu le puteți învăța imediat, nu contează. Cel mai bine este să recurgeți periodic la indicii din manuale, astfel încât aceste cunoștințe să se potrivească singure în capul vostru, fără prea multe dificultăți.