Forme geometrice plate și volumetrice. Figuri geometrice

Un punct și o dreaptă sunt figurile geometrice de bază pe un plan.

Omul de știință grec antic Euclid a spus: „un punct” este ceva care nu are părți.” Cuvântul „punct” tradus din latină înseamnă rezultatul unei atingeri instantanee, o injecție. Un punct este baza pentru construirea oricărei figuri geometrice.

O linie dreaptă sau pur și simplu o linie dreaptă este o linie de-a lungul căreia distanța dintre două puncte este cea mai scurtă. O linie dreaptă este infinită și este imposibil să descrii întreaga linie dreaptă și să o măsori.

Punctele sunt notate cu litere latine majuscule A, B, C, D, E etc., iar liniile drepte cu aceleași litere, dar litere mici a, b, c, d, e etc. O linie dreaptă poate fi de asemenea notată prin două litere corespunzătoare punctelor întinse pe ea. De exemplu, linia dreaptă a poate fi desemnată AB.

Putem spune că punctele AB se află pe linia a sau aparțin dreptei a. Și putem spune că dreapta a trece prin punctele A și B.

Cele mai simple figuri geometrice dintr-un plan sunt un segment, o rază, o linie întreruptă.

Un segment este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii, limitate de două puncte selectate. Aceste puncte sunt capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale.

O rază sau semilinie este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate pe o parte a unui punct dat. Acest punct se numește punctul de pornire al semiliniei sau începutul razei. Grinda are un punct de plecare, dar nu are un sfârșit.

Jumătățile sau razele sunt desemnate prin două litere latine mici: inițiala și orice altă literă corespunzătoare unui punct aparținând semiliniei. În acest caz, punctul de plecare este plasat pe primul loc.

Rezultă că linia dreaptă este infinită: nu are nici început, nici sfârșit; o rază are doar un început, dar nu are sfârșit, dar un segment are un început și un sfârșit. Prin urmare, putem măsura doar un segment.

Mai multe segmente care sunt conectate secvențial între ele, astfel încât segmentele (învecinate) care au un punct comun să nu fie situate pe aceeași linie dreaptă să reprezinte o linie întreruptă.

O linie întreruptă poate fi închisă sau deschisă. Dacă sfârșitul ultimului segment coincide cu începutul primului, avem o linie întreruptă închisă; dacă nu, este o linie deschisă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Kandinskyși-a sistematizat opiniile despre pictură într-o carte „Arătați și liniați într-un avion”(1926). Studiind formele geometrice, artistul a descoperit că acestea ar putea fi folosite pentru a spori sau a slăbi proprietățile culorii. Pentru această pictură, el a folosit o paletă dezactivată, orientată către culorile situate într-o parte a spectrului.

Citate din carte:
LINIA
O linie geometrică este un obiect invizibil. Este urma unui punct în mișcare, adică produsul său. A apărut din mișcare - și anume, ca urmare a distrugerii celui mai înalt și autonom restul punctului. Aici a fost un salt de la statică la dinamică.
Astfel, linia este cel mai mare opus al elementului primar pictural - punctul. Și cu cea mai mare precizie poate fi desemnat ca element secundar.

ASPECT
Forțele venite din exterior care transformă un punct într-o dreaptă pot fi diferite. Varietatea liniilor depinde de numărul acestor forțe și de combinațiile lor.
În cele din urmă, [originea] tuturor formelor de linie poate fi redusă la două cazuri:
1. aplicarea unei forţe şi
2. aplicarea a două forțe:
a) efecte alternative simple sau multiple ale ambelor forțe;
b) acţiunea simultană a ambelor forţe.

DREPT
Dacă o forță care vine din exterior mișcă un punct în orice direcție, atunci apare primul tip de linie, iar direcția aleasă rămâne neschimbată, iar linia însăși tinde să se miște pe o cale dreaptă la nesfârșit.
Aceasta este o linie dreaptă, reprezentând în tensiunea sa cea mai comprimată formă a posibilității infinite de mișcare.
...
Dintre liniile drepte, distingem trei tipuri, în raport cu care toate celelalte drepte sunt doar abateri.
1. Cea mai simplă formă a unei linii drepte este linia orizontală. În înțelegerea umană, aceasta corespunde unei linii sau suprafețe pe care o persoană stă sau se mișcă. Deci, orizontalul este o bază portantă rece care poate fi extinsă pe un plan în diferite direcții. Răceala și planeitatea sunt principalele sunete ale acestei linii, putând fi definită ca cea mai scurtă formă de posibilitate nelimitată de mișcare la rece.
2. Complet opus acestei linii, atât exterior cât și intern, este o verticală în unghi drept față de ea, în care planeitatea este înlocuită cu înălțimea, adică rece de căldură. Astfel, verticala este cea mai scurtă formă de posibilitate caldă nelimitată de mișcare.
3. Al treilea tip tipic de linie dreaptă este o diagonală, care se abate schematic la un unghi egal față de ambele de mai sus și are astfel o gravitație egală față de ambele, ceea ce determină sunetul său intern, combinația uniformă de frig și căldură. Deci: cea mai scurtă formă de posibilitate nelimitată de mișcare cald-rece.. .

1. Conceptul de figură geometrică.

3. Drepte paralele și perpendiculare.

4. Triunghiuri.

5. Cadrilatere.

6. Poligoane.

7. Cerc și cerc.

8. Construirea unor figuri geometrice pe un plan.

9. Transformări ale formelor geometrice. Conceptul de transformare

Literatura principală;

literatură suplimentară

Conceptul de figură geometrică

Figura geometrică definit ca orice set de puncte.

Segment, linie dreaptă, cerc, minge- figuri geometrice.

Dacă toate punctele unei figuri geometrice aparțin unui singur plan, se numește apartament .

De exemplu, un segment, un dreptunghi sunt figuri plate. Sunt cifre care nu sunt plate. Acesta este, de exemplu, un cub, o minge, o piramidă.

Deoarece conceptul de figură geometrică este definit prin conceptul de mulțime, putem spune că o figură este inclusă în alta (sau conținută în alta), putem lua în considerare unirea, intersecția și diferența de figuri.

De exemplu, combinând două raze ABȘi MK(Fig. 1) este drept KV, iar intersecția lor este un segment A.M.

K A M V

Figurile convexe sunt un plan, o linie dreaptă, o rază, un segment și un punct. Este ușor de verificat dacă figura convexă este un cerc (Fig. 3). Dacă continuăm segmentul XY până când acesta se intersectează cu cercul, obținem o coardă AB. Deoarece coarda este cuprinsă într-un cerc, segmentul XY este și el conținut în cerc și, prin urmare, cercul este o figură convexă.

Pentru poligoane, se cunoaște o altă definiție: un poligon se numește convex dacă se află pe o parte a fiecărei linii care conține latura sa .

Deoarece echivalența acestei definiții și cea dată mai sus pentru un poligon a fost dovedită, le putem folosi pe ambele.

Pe baza acestor concepte, să luăm în considerare și alte figuri geometrice studiate la cursul de planimetrie școlară. Să luăm în considerare definițiile și proprietățile lor de bază, acceptându-le fără dovezi. Cunoașterea acestui material și abilitatea de a-l aplica la rezolvarea unor probleme geometrice simple este baza pe care este posibilă construirea unei metodologii de predare a elementelor de geometrie pentru elevii de școală elementară.

Unghiuri

Să vă reamintim că un unghi este o figură geometrică care constă dintr-un punct și două raze care emană din acest punct.

Razele sunt numite laturile unghiului, iar începutul lor comun este vârful său.

Un unghi este desemnat în diferite moduri: fie vârful său, fie laturile sale, fie sunt indicate trei puncte: vârful și două puncte de pe laturile unghiului: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

Unghiul este numit extins , dacă laturile sale se află pe aceeași linie dreaptă.

Un unghi care este jumătate de unghi drept se numește direct. Se numește un unghi mai mic decât un unghi drept picant. Se numește un unghi mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept prost .

Pe lângă conceptul de unghi prezentat mai sus, în geometrie este luat în considerare conceptul de unghi plan.

Un unghi plan este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană din același punct.

Unghiurile luate în considerare în planimetrie nu depășesc unghiul desfășurat.

Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii suplimentare.

Suma unghiurilor adiacente este 180°. Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din definiția unghiurilor adiacente.

Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COB, precum și unghiurile AOC și D0B, sunt verticale (Fig. 4).

O figură este un set arbitrar de puncte dintr-un plan. Un punct, o linie dreaptă, un segment, o rază, un triunghi, un cerc, un pătrat și așa mai departe sunt toate exemple de forme geometrice.

Principalele figuri geometrice dintr-un plan sunt un punct și o dreaptă. Aceste figuri nu sunt definite în geometrie.

Figurile geometrice nedefinite dintr-un plan sunt un punct și o dreaptă.

Punctele sunt de obicei desemnate cu majuscule latine: A, B, C, D.... Liniile directe sunt desemnate cu litere latine mici: a, b, c, d....

Figuri studiate prin planimetrie:

3. Paralelogram (cazuri speciale: pătrat, dreptunghi, romb)

4. Trapez

5. Circumferința

6. Triunghi

7. Poligon

În geometrie, topologie și ramurile conexe ale matematicii, un punct este un obiect abstract din spațiu care nu are nici volum, arie, lungime și nici alte caracteristici similare de dimensiuni mari. Astfel, un punct este un obiect cu dimensiune zero. Un punct este unul dintre conceptele fundamentale în matematică.

Un punct este unul dintre conceptele fundamentale ale geometriei, deci „punct” nu are definiție. Euclid a definit un punct ca fiind ceva ce nu poate fi împărțit.

De asemenea, în geometrie nu există o definiție a „dreaptă” (adică o linie dreaptă).

O linie dreaptă este unul dintre conceptele de bază ale geometriei.

O linie dreaptă geometrică (linie dreaptă) este un obiect geometric extins, necurbat, care nu este închis pe ambele părți, a cărui secțiune transversală tinde spre zero, iar proiecția longitudinală pe plan dă un punct.

Într-o prezentare sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinată doar indirect de axiomele geometriei.

Dacă baza pentru construirea geometriei este conceptul de distanță dintre două puncte din spațiu, atunci o linie dreaptă poate fi definită ca o linie de-a lungul căreia calea este egală cu distanța dintre două puncte.

3) Paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi, adică se află pe drepte paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt dreptunghiul, pătratul și rombul.

Cazuri speciale:

Un pătrat este un patrulater regulat sau un romb, în ​​care toate unghiurile sunt drepte, sau un paralelogram, în care toate laturile și unghiurile sunt egale.

Un pătrat poate fi definit ca:

§ un dreptunghi ale cărui două laturi adiacente sunt egale

§ un romb în care toate unghiurile sunt drepte (orice pătrat este un romb, dar nu orice romb este un pătrat).

Un dreptunghi este un paralelogram în care toate unghiurile sunt unghiuri drepte (egale cu 90 de grade).

Un romb este un paralelogram cu toate laturile egale. Un romb cu unghiuri drepte se numește pătrat.

4) Trapez

Un trapez este un patrulater cu exact o pereche de laturi opuse paralele.

Uneori, un trapez este definit ca un patrulater în care o pereche de laturi opuse sunt paralele (cealaltă nu este specificată), caz în care un paralelogram este un caz special al unui trapez. În special, există un concept ca un trapez curbiliniu.

Trapez dreptunghiular

5) Circumferința

Un cerc este locul geometric al punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat, numit centru, la o distanță dată diferită de zero, numită raza lui.

6) Triunghi

Triunghiul este cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (unghiuri) și 3 laturi; parte a planului delimitată de trei puncte și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.

Dacă toate cele trei puncte ale unui triunghi se află pe aceeași dreaptă, acesta se numește degenerat.

7) Poligon

Un poligon este o figură geometrică, definită ca o linie întreruptă închisă. Există trei definiții diferite:

§ Avioane închise linii întrerupte;

§ Planificați polilinii închise fără autointersecții;

§ Părţi ale planului delimitate prin linii întrerupte.

Vârfurile poligonului sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului.

2.1. Forme geometrice pe un plan

În ultimii ani, a existat o tendință de a include o cantitate semnificativă de material geometric în cursul inițial de matematică. Dar pentru a prezenta elevilor diverse figuri geometrice și pentru a le învăța cum să descrie corect, are nevoie de o pregătire matematică adecvată. Profesorul trebuie să fie familiarizat cu ideile principale ale cursului de geometrie, să cunoască proprietățile de bază ale figurilor geometrice și să fie capabil să le construiască.

Când înfățișați o figură plată, nu apar probleme geometrice. Desenul servește fie ca o copie exactă a originalului, fie reprezintă o figură similară cu acesta. Privind imaginea unui cerc din desen, obținem aceeași impresie vizuală ca și cum ne-am uita la cercul original.

Prin urmare, studiul geometriei începe cu planimetrie.

Planimetria este o ramură a geometriei în care sunt studiate figurile de pe un plan.

O figură geometrică este definită ca orice set de puncte.

Un segment, o linie dreaptă, un cerc sunt forme geometrice.

Dacă toate punctele unei figuri geometrice aparțin unui singur plan, acesta se numește plat.

De exemplu, un segment, un dreptunghi sunt figuri plate.

Sunt cifre care nu sunt plate. Acesta este, de exemplu, un cub, o minge, o piramidă.

Deoarece conceptul de figură geometrică este definit prin conceptul de mulțime, putem spune că o figură este inclusă în alta; putem lua în considerare uniunea, intersecția și diferența figurilor.

De exemplu, unirea a două raze AB și MK este linia dreaptă KB, iar intersecția lor este segmentul AM.

Există figuri convexe și neconvexe. O figură se numește convexă dacă, împreună cu oricare dintre două puncte ale sale, conține și un segment care le leagă.

Figura F1 este convexă, iar figura F2 este neconvexă.

Figurile convexe sunt un plan, o linie dreaptă, o rază, un segment și un punct. Nu este greu de verificat că figura convexă este un cerc.

Dacă continuăm segmentul XY până când acesta se intersectează cu cercul, obținem coarda AB. Deoarece coarda este conținută într-un cerc, segmentul XY este și el conținut în cerc și, prin urmare, cercul este o figură convexă.

Proprietățile de bază ale celor mai simple figuri de pe plan sunt exprimate în următoarele axiome:

1. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și nu îi aparțin.

Prin oricare două puncte poți trage o linie dreaptă și doar una.

Această axiomă exprimă proprietatea de bază de a aparține punctelor și dreptelor de pe plan.

2. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și doar unul se află între celelalte două.

Această axiomă exprimă proprietatea de bază a locației punctelor pe o dreaptă.

3. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.

Evident, axioma 3 exprimă principala proprietate de măsurare a segmentelor.

Această propoziție exprimă proprietatea de bază a locației punctelor în raport cu o dreaptă pe un plan.

5. Fiecare unghi are o anumită măsură de grad mai mare decât zero. Unghiul de desfășurare este de 180°. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.

Această axiomă exprimă proprietatea de bază a măsurării unghiurilor.

6. Pe orice jumătate de linie de la punctul său de pornire, puteți reprezenta un segment de o lungime dată și numai unul.

7. Din orice semi-linie, într-un semiplan dat, puteți pune un unghi cu o anumită măsură de grad mai mică de 180 O și doar unul.

Aceste axiome reflectă proprietățile de bază ale trasării unghiurilor și segmentelor.

Proprietățile de bază ale celor mai simple figuri includ existența unui triunghi egal cu cel dat.

8. Oricare ar fi triunghiul, există un triunghi egal într-o locație dată relativ la o semi-linie dată.

Proprietățile de bază ale dreptelor paralele sunt exprimate prin următoarea axiomă.

9. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, nu poate fi trasată pe plan mai mult de o dreaptă paralelă cu cea dată.

Să ne uităm la câteva forme geometrice care sunt studiate în școala elementară.

Un unghi este o figură geometrică care constă dintr-un punct și două raze care emană din acest punct. Razele sunt numite laturile unghiului, iar începutul lor comun este vârful său.

Un unghi se numește dezvoltat dacă laturile lui se află pe aceeași linie dreaptă.

Un unghi care este jumătate de unghi drept se numește unghi drept. Un unghi mai mic decât un unghi drept se numește acut. Un unghi mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept se numește unghi obtuz.

Pe lângă conceptul de unghi prezentat mai sus, în geometrie este luat în considerare conceptul de unghi plan.

Un unghi plan este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană dintr-un punct.

Există două unghiuri plane formate din două raze cu o origine comună. Ele sunt numite suplimentare. Figura prezintă două unghiuri plane cu laturile OA și OB, unul dintre ele este umbrit.

Unghiurile pot fi adiacente sau verticale.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.

Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare ale laturilor celuilalt.

Unghiurile AOD și SOV, precum și unghiurile AOS și DOV sunt verticale.

Unghiurile verticale sunt egale.

Drepte paralele și perpendiculare.

Două drepte dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează.

Dacă linia a este paralelă cu dreapta b, atunci scrieți a II c.

Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept.

Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta b, atunci scrieți a b.

Triunghiuri.

Un triunghi este o figură geometrică care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași linie și trei segmente în perechi care le unesc.

Orice triunghi împarte planul în două părți: interioară și externă.

În orice triunghi se disting următoarele elemente: laturi, unghiuri, altitudini, bisectoare, mediane, linii mediane.

Altitudinea unui triunghi coborât de la un vârf dat este perpendiculara trasă de la acest vârf pe linia care conține latura opusă.

Bisectoarea unui triunghi este bisectoarea unui unghi al unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă.

Mediana unui triunghi desenat dintr-un vârf dat este segmentul care leagă acest vârf cu punctul de mijloc al laturii opuse.

Linia mediană a unui triunghi este segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.

Cadrilatere.

Un patrulater este o figură care constă din patru puncte și patru segmente consecutive care le unesc și niciunul dintre aceste puncte nu trebuie să se afle pe aceeași linie, iar segmentele care le leagă nu trebuie să se intersecteze. Aceste puncte sunt numite vârfuri ale triunghiului, iar segmentele care le leagă sunt numite laturile sale.

Laturile unui patrulater care pornesc de la același vârf se numesc opuse.

Într-un patrulater ABCD, vârfurile A și B sunt adiacente, iar vârfurile A și C sunt opuse; laturile AB și BC sunt adiacente, BC și AD sunt opuse; segmentele AC și WD sunt diagonalele acestui patrulater.

Patrulaterele pot fi convexe sau neconvexe. Astfel, patrulaterul ABCD este convex, iar patrulaterul KRMT este neconvex.

Printre patrulatere convexe se disting paralelogramele și trapezele.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele.

Un trapez este un patrulater ale cărui doar două laturi opuse sunt paralele. Aceste laturi paralele se numesc bazele trapezului. Celelalte două laturi se numesc laterale. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linia mediană a trapezului.

BC și AD – bazele trapezului; AB și CD – părțile laterale; CM – linia mediană a trapezului.

Dintre numeroasele paralelograme se disting dreptunghiuri și romburi.

Un dreptunghi este un paralelogram ale cărui unghiuri sunt corecte.

Un romb este un paralelogram în care toate laturile sunt egale.

Pătratele sunt selectate din mai multe dreptunghiuri.

Un pătrat este un dreptunghi ale cărui laturi sunt toate egale.

Cerc.

Un cerc este o figură care constă din toate punctele planului echidistante de un punct dat, care se numește centru.

Distanța de la puncte la centrul său se numește rază. Un segment care leagă două puncte dintr-un cerc se numește coardă. Coarda care trece prin centru se numește diametru. OA – raza, CD – coarda, AB – diametru.

Un unghi central într-un cerc este un unghi plan cu un vârf în centru. Partea de cerc situată în interiorul unui unghi plan se numește arc de cerc corespunzător acestui unghi central.

Conform manualelor noi în programe noi M.I. Moreau, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. În clasa a IV-a, Stepanova primește probleme de construcție care nu erau incluse anterior în programa de matematică a școlii elementare. Acestea sunt sarcini precum:

Construiți o perpendiculară pe o dreaptă;

Împărțiți segmentul în jumătate;

Construiți un triunghi pe trei laturi;

Construiți un triunghi regulat, un triunghi isoscel;

Construiți un hexagon;

Construiți un pătrat folosind proprietățile diagonalelor unui pătrat;

Construiți un dreptunghi folosind proprietatea diagonalelor dreptunghiulare.

Să luăm în considerare construcția figurilor geometrice pe un plan.

Ramura geometriei care studiază construcțiile geometrice se numește geometrie constructivă. Conceptul principal de geometrie constructivă este conceptul de „construire a unei figuri”. Propozițiile principale sunt formate sub formă de axiome și se reduc la următoarele.

1. Fiecare figură dată este construită.

2. Dacă se construiesc două (sau mai multe) figuri, atunci se construiește și uniunea acestor figuri.

3. Dacă sunt construite două figuri, atunci este posibil să se determine dacă intersecția lor va fi un set gol sau nu.

4. Dacă intersecția a două figuri construite nu este goală, atunci este construită.

5. Dacă se construiesc două figuri, atunci este posibil să se determine dacă diferența lor este un set gol sau nu.

6. Dacă diferența dintre două figuri construite nu este o mulțime goală, atunci este construită.

7. Puteți desena un punct aparținând figurii construite.

8. Puteți construi un punct care nu aparține figurii construite.

Pentru a construi figuri geometrice care au unele dintre proprietățile specificate, se folosesc diverse instrumente de desen. Cele mai simple dintre ele sunt: ​​o riglă cu o singură față (denumită în continuare pur și simplu o riglă), o riglă cu două fețe, un pătrat, o busolă etc.

Diferitele instrumente de desen vă permit să efectuați diferite construcții. Proprietățile instrumentelor de desen utilizate pentru construcțiile geometrice sunt exprimate și sub formă de axiome.

Deoarece cursul de geometrie școlară se ocupă de construcția figurilor geometrice folosind un compas și o riglă, ne vom concentra și pe luarea în considerare a construcțiilor de bază realizate de aceste desene particulare cu unelte.

Deci, folosind o riglă puteți efectua următoarele construcții geometrice.

1. construiți un segment care leagă două puncte construite;

2. construiți o linie dreaptă care trece prin două puncte construite;

3. construiește o rază care emană din punctul construit și care trece prin punctul construit.

Busola vă permite să efectuați următoarele construcții geometrice:

1. construiți un cerc dacă s-au construit centrul și un segment egal cu raza cercului;

2. construiți oricare dintre cele două arce suplimentare ale unui cerc dacă sunt construite centrul cercului și capetele acestor arce.

Sarcini elementare de construcție.

Problemele de construcție sunt probabil cele mai vechi probleme matematice; ele ajută la înțelegerea mai bună a proprietăților formelor geometrice și contribuie la dezvoltarea abilităților grafice.

Problema construcției se consideră rezolvată dacă se indică metoda de construire a figurii și se dovedește că în urma efectuării construcțiilor specificate se obține efectiv o figură cu proprietățile cerute.

Să ne uităm la câteva probleme elementare de construcție.

1. Construiți pe un segment drept CD dat egal cu un segment AB dat.

Posibilitatea construcției rezultă doar din axioma întârzierii unui segment. Folosind o busolă și o riglă, se efectuează după cum urmează. Să fie date o dreaptă a și un segment AB. Marcăm un punct C pe o dreaptă și construim un cerc cu centru în punctul C cu o dreaptă și notăm D. Obținem un segment CD egal cu AB.

2. Printr-un punct dat, trasează o dreaptă perpendiculară pe dreapta dată.

Să fie date punctele O și dreapta a. Există două cazuri posibile:

1. Punctul O se află pe linia a;

2. Punctul O nu se află pe linia a.

În primul caz, notăm un punct C care nu se află pe dreapta a. Din punctul C ca centru desenăm un cerc de rază arbitrară. Fie A și B punctele sale de intersecție. Din punctele A și B descriem un cerc de aceeași rază. Fie punctul O punctul de intersecție al acestora, diferit de C. Atunci semi-linia CO este bisectoarea unghiului desfășurat, precum și perpendiculara pe dreapta a.

În al doilea caz, din punctul O ca din centru trasăm un cerc care intersectează linia dreaptă a, iar apoi din punctele A și B cu aceeași rază mai desenăm două cercuri. Fie O punctul de intersecție a acestora, situat într-un semiplan diferit de cel în care se află punctul O. Dreapta OO/ este perpendiculară pe dreapta dată a. Să demonstrăm.

Să notăm cu C punctul de intersecție al dreptelor AB și OO/. Triunghiurile AOB și AO/B sunt egale pe trei laturi. Prin urmare, unghiul OAC este egal cu unghiul O/AC, cele două laturi sunt egale și unghiul dintre ele. Prin urmare, unghiurile ASO și ASO/ sunt egale. Și deoarece unghiurile sunt adiacente, sunt unghiuri drepte. Astfel, OS este perpendicular pe linia a.

3. Printr-un punct dat, trasează o dreaptă paralelă cu cea dată.

Să fie date o dreaptă a și un punct A în afara acestei drepte. Să luăm un punct B de pe dreapta a și să-l conectăm cu punctul A. Prin punctul A trasăm o dreaptă C, formând cu AB același unghi pe care AB îl formează cu o dreaptă dată a, dar pe partea opusă față de AB. Linia dreaptă construită va fi paralelă cu dreapta a, care rezultă din egalitatea unghiurilor transversale formate la intersecția dreptelor a și cu secantei AB.

4. Construiți o tangentă la cercul care trece printr-un punct dat de pe acesta.

Dat: 1) cercul X (O, h)

2) punctul A x

Construcție: tangentă AB.

Constructie.

2. cercul X (A, h), unde h este o rază arbitrară (axioma 1 a busolei)

3. punctele M și N ale intersecției cercului x 1 și dreptei AO, adică (M, N) = x 1 AO (axioma generală 4)

4. cerc x (M, r 2), unde r 2 este o rază arbitrară astfel încât r 2 r 1 (axioma 1 a busolei)

Și în exterior - cu comportamentul tău deschis și în interior - cu procesele și sentimentele tale mentale. Concluzii privind prima secțiune Pentru desfășurarea tuturor proceselor cognitive ale unui elev de școală primară, trebuie îndeplinite următoarele condiții: 1. Activitățile educaționale trebuie să aibă un scop, să trezească și să mențină un interes constant în rândul elevilor; 2. Extindeți și dezvoltați interesele cognitive ale...

Întregul test în ansamblu, ceea ce indică faptul că nivelurile lor de dezvoltare a operațiilor mentale de comparație și generalizare sunt mai mari decât cele ale școlarilor cu performanțe slabe. Dacă analizăm datele individuale ale subtestelor, atunci dificultățile de a răspunde la întrebări individuale indică o competență slabă în aceste operațiuni logice. Aceste dificultăți sunt cel mai adesea întâlnite în rândul școlarilor cu performanțe slabe. Acest...

Şcolar junior. Obiectul de studiu: dezvoltarea gândirii imaginative în rândul elevilor de clasa a II-a ai gimnaziului nr.1025. Metoda: testare. Capitolul 1. Fundamentele teoretice ale studiului gândirii imaginative 1.1. Conceptul de gândire Cunoașterea noastră despre realitatea înconjurătoare începe cu senzații și percepții și trece la gândire. Funcția gândirii este de a extinde granițele cunoașterii depășind...