Formula generală pentru sinus în trigonometrie. Formule de trigonometrie

Informații de referință privind funcțiile trigonometrice sinus (sin x) și cosinus (cos x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de sinusuri și cosinusuri, derivate, integrale, expansiuni în serie, secante, cosecante. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiția geometrică a sinusului și cosinusului

|BD|- lungimea arcului de cerc cu centru într-un punct A.
α - unghi exprimat în radiani.

Definiție
Sinus (sin α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Cosinus (cos α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea ipotenuzei |AC|.

Notatii acceptate

;
;
.

;
;
.

Graficul funcției sinus, y = sin x

Graficul funcției cosinus, y = cos x

Proprietățile sinusului și cosinusului

Periodicitate

Funcțiile y = sin xși y = cos x periodic cu punct 2π.

Paritate

Funcția sinus este impară. Funcția cosinus este pară.

Domeniul definirii si valorilor, extrema, crestere, scadere

Funcțiile sinus și cosinus sunt continue în domeniul lor de definiție, adică pentru tot x (vezi dovada continuității). Principalele lor proprietăți sunt prezentate în tabel (n - întreg).

	y = sin x	y = cos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Crescând
Descendentă
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	y = 1

Formule de bază

Suma pătratelor sinusului și cosinusului

Formule pentru sinus și cosinus din sumă și diferență

;
;

Formule pentru produsul sinusurilor și cosinusurilor

Formule de sumă și diferență

Exprimarea sinusului prin cosinus

;
;
;
.

Exprimarea cosinusului prin sinus

;
;
;
.

Exprimarea prin tangentă

; .

Când avem:
; .

La:
; .

Tabelul sinusurilor și cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor

Acest tabel arată valorile sinusurilor și cosinusurilor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii prin variabile complexe

;

formula lui Euler

{ -∞ < x < +∞ }

Secant, cosecant

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale sinusului și cosinusului sunt arcsinus și, respectiv, arccosinus.

Arcsin, arcsin

Arccosine, arccos

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

În acest articol vom arunca o privire cuprinzătoare. Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o conexiune între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și permit cuiva să găsească oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Să enumerăm imediat principalele identități trigonometrice pe care le vom analiza în acest articol. Să le scriem într-un tabel, iar mai jos vom oferi rezultatul acestor formule și vom oferi explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori nu vorbesc despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică principală după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile. Și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom vorbi despre asta mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea este de interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică principală, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită când conversia expresiilor trigonometrice. Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este utilizată în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi de vedere și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită unei asemenea evidențe a identităților și Tangenta și cotangenta sunt adesea definite nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

În încheierea acestui paragraf, trebuie menționat că identitățile și au loc pentru toate unghiurile la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice , altul decât (altfel numitorul va avea zero și nu am definit împărțirea la zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că este valabil pentru orice alt unghi decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi făcută puțin diferit. De cand , Acea .

Deci, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt .

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD| - lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .

Cotangent ( ctg α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tan x

Cotangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:
.
De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:
;
;
.

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate

Funcțiile y = tg xși y = ctg x sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).

	y = tg x	y = ctg x
Domeniul de aplicare și continuitatea
Gama de valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Crescând		-
Descendentă	-
Extreme	-	-
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y = 0	-

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xȘi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, . Aceasta produce următoarele formule.

La .

la .
Unde Bn- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg

, Unde n- întreg.

Arccotangent, arcctg

, Unde n- întreg.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Aceasta este ultima și cea mai importantă lecție necesară pentru a rezolva problemele B11. Știm deja cum să convertim unghiurile dintr-o măsură în radian într-o măsură de grade (vezi lecția „Măsura radianilor și gradului unui unghi”) și știm, de asemenea, să determinăm semnul unei funcții trigonometrice, concentrându-ne pe sferturile de coordonate ( vezi lecția „Semne ale funcțiilor trigonometrice”).

Singurul lucru care rămâne de făcut este să calculați valoarea funcției în sine - chiar numărul care este scris în răspuns. Aici vine în ajutor identitatea trigonometrică de bază.

Identitatea trigonometrică de bază. Pentru orice unghi α este adevărată următoarea afirmație:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Această formulă raportează sinusul și cosinusul unui unghi. Acum, cunoscând sinusul, putem găsi cu ușurință cosinusul - și invers. Este suficient să luați rădăcina pătrată:

Observați semnul „±” în fața rădăcinilor. Cert este că din identitatea trigonometrică de bază nu este clar care au fost sinusul și cosinusul original: pozitiv sau negativ. La urma urmei, pătratul este o funcție uniformă care „arde” toate minusurile (dacă au existat).

De aceea, în toate problemele B11, care se găsesc în Examenul de stat unificat la matematică, există în mod necesar condiții suplimentare care ajută la scăparea de incertitudine cu semne. De obicei, aceasta este o indicație a sfertului de coordonate, prin care semnul poate fi determinat.

Un cititor atent va întreba probabil: „Ce zici de tangentă și cotangentă?” Este imposibil să se calculeze direct aceste funcții din formulele de mai sus. Cu toate acestea, există consecințe importante din identitatea trigonometrică de bază, care conține deja tangente și cotangente. Și anume:

Un corolar important: pentru orice unghi α, identitatea trigonometrică de bază poate fi rescrisă după cum urmează:

Aceste ecuații sunt ușor de derivate din identitatea principală - este suficient să împărțim ambele părți la cos 2 α (pentru a obține tangenta) sau la sin 2 α (pentru a obține cotangente).

Să ne uităm la toate acestea cu exemple specifice. Mai jos sunt problemele reale B11, care sunt preluate din versiunile de probă ale Examenului de stat unificat la matematică 2012.

Știm cosinusul, dar nu cunoaștem sinusul. Identitatea trigonometrică principală (în forma sa „pură”) conectează doar aceste funcții, așa că vom lucra cu ea. Avem:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Pentru a rezolva problema, rămâne să găsiți semnul sinusului. Deoarece unghiul α ∈ (π /2; π ), atunci în măsură de grade se scrie astfel: α ∈ (90°; 180°).

În consecință, unghiul α se află în sfertul de coordonate II - toate sinusurile de acolo sunt pozitive. Prin urmare sin α = 0,1.

Deci, cunoaștem sinusul, dar trebuie să găsim cosinusul. Ambele funcții sunt în identitatea trigonometrică de bază. Să înlocuim:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Rămâne să ne ocupăm de semnul din fața fracției. Ce să alegi: plus sau minus? După condiție, unghiul α aparține intervalului (π 3π /2). Să convertim unghiurile din măsurile radianilor în grade - obținem: α ∈ (180°; 270°).

Evident, acesta este trimestrul de coordonate III, unde toate cosinusurile sunt negative. Prin urmare cos α = −0,5.

Sarcină. Găsiți tan α dacă se cunoaște următoarele:

Tangenta și cosinusul sunt legate prin ecuația care urmează din identitatea trigonometrică de bază:

Se obține: tan α = ±3. Semnul tangentei este determinat de unghiul α. Se știe că α ∈ (3π /2; 2π ). Să convertim unghiurile din măsurile radianilor în grade - obținem α ∈ (270°; 360°).

Evident, acesta este trimestrul de coordonate IV, unde toate tangentele sunt negative. Prin urmare tan α = −3.

Sarcină. Găsiți cos α dacă se cunoaște următoarele:

Din nou, sinusul este cunoscut și cosinusul este necunoscut. Să notăm principala identitate trigonometrică:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Semnul este determinat de unghi. Avem: α ∈ (3π /2; 2π ). Să convertim unghiurile din grade în radiani: α ∈ (270°; 360°) este sfert de coordonate IV, cosinusurile de acolo sunt pozitive. Prin urmare, cos α = 0,6.

Sarcină. Aflați sin α dacă se știe următoarele:

Să scriem o formulă care decurge din identitatea trigonometrică de bază și conectează direct sinusul și cotangenta:

De aici obținem că sin 2 α = 1/25, adică. sin α = ±1/5 = ±0,2. Se știe că unghiul α ∈ (0; π /2). În grad de măsură, aceasta se scrie astfel: α ∈ (0°; 90°) - I sfert de coordonate.

Deci, unghiul este în cadranul de coordonate I - toate funcțiile trigonometrice de acolo sunt pozitive, deci sin α = 0,2.