Exemple de soluții de inducție matematică pentru manechine. Aplicarea metodei inducţiei matematice în rezolvarea problemelor

Pentru a face acest lucru, verificați mai întâi adevărul afirmației numărul 1 - bază de inducție, și atunci se demonstrează că dacă afirmația cu număr este adevărată n, atunci este adevărată și următoarea afirmație cu număr n + 1 - etapa de inducție, sau tranziție de inducție.

Dovada prin inducție poate fi prezentată clar sub forma așa-zisului principiul domino. Lasă orice număr de plăci de domino să fie așezate într-un rând în așa fel încât fiecare piesă de domino, la cădere, să răstoarne în mod necesar piatra de domino care o urmează (aceasta este tranziția inductivă). Apoi, dacă împingem primul os (aceasta este baza inducției), atunci toate oasele din rând vor cădea.

Baza logică pentru această metodă de demonstrare este așa-numita axioma inducției, a cincea dintre axiomele lui Peano care definesc numerele naturale. Corectitudinea metodei de inducție este echivalentă cu faptul că în orice submulțime de numere naturale există un element minim.

Există și o variație, așa-numitul principiu al inducției matematice complete. Iată formula sa strictă:

Principiul inducției matematice complete este, de asemenea, echivalent cu axioma de inducție din axiomele lui Peano.

Exemple

Sarcină. Pentru a dovedi asta, orice ar fi firesc nși reală q≠ 1, egalitatea este valabilă

Dovada. Inductie activata n.

Baza, n = 1:

Tranziție: Să ne prefacem că

,

Q.E.D.

Un comentariu: corectitudinea afirmatiei P nîn această dovadă – la fel ca adevărul egalității

Vezi si

Variații și generalizări

Literatură

• N. Ya. Vilenkin Inducţie. Combinatorică. Manual pentru profesori. M., Educaţia, 1976.-48 p.
• L. I. Golovina, I. M. Yaglom Inductie în geometrie, „Prelegeri populare de matematică”, Numărul 21, Fizmatgiz 1961.-100 p.
• R. Courant, G. Robbins"Ce este matematica?" Capitolul I, § 2.
• I. S. Sominsky Metoda inducției matematice. „Prelegeri populare de matematică”, Numărul 3, Editura „Nauka” 1965.-58 p.

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „Metoda de inducție matematică” în alte dicționare:

Inducția matematică în matematică este una dintre metodele de demonstrare. Folosit pentru a demonstra adevărul unei anumite afirmații pentru toate numerele naturale. Pentru a face acest lucru, adevărul afirmației cu numărul 1 este verificat mai întâi pe baza inducției, apoi... ... Wikipedia

O metodă de construire a unei teorii, în care aceasta se bazează pe anumite prevederi ale acesteia - axiome sau postulate - din care toate celelalte prevederi ale teoriei (teoreme) sunt deduse prin raționament, numite dovezi m i. Reguli conform Crimeei... ... Enciclopedie filosofică

Inducția (lat. inductio guidance) este procesul de inferență logică bazat pe trecerea de la o situație particulară la una generală. Inferența inductive leagă anumite premise cu concluzia nu atât prin legile logicii, cât mai degrabă prin unele ...... Wikipedia

METODĂ GENETICĂ- o modalitate de definire a conținutului și esenței subiectului studiat nu prin convenție, idealizare sau concluzie logică, ci prin studierea originii acestuia (pe baza studiului motivelor care au dus la apariția lui, mecanismul de formare). Lat...... Filosofia științei: Glosar de termeni de bază

O metodă de construire a unei teorii științifice în care se bazează pe unele prevederi inițiale (judecăți) ale unei axiome (vezi axioma) sau postulate, din care trebuie deduse toate celelalte afirmații ale acestei științe (teoreme (vezi teorema)). ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

metoda axiomatica- METODA AXIOMATICĂ (din greacă axioma) este o poziție acceptată - o metodă de construire a unei teorii științifice, în care doar axiome, postulate și enunțuri derivate anterior din acestea sunt folosite în demonstrații. Pentru prima dată demonstrat clar... ... Enciclopedia Epistemologiei și Filosofia Științei

Una dintre metodele de eroare teoretică pentru estimarea cantităților necunoscute din rezultatele măsurătorilor care conțin erori aleatoare. N.K.M. este, de asemenea, folosit pentru a aproxima reprezentarea unei anumite funcții prin alte funcții (mai simple) și adesea se dovedește a fi... Enciclopedie matematică

Inducția matematică este una dintre metodele de demonstrare matematică, folosită pentru a demonstra adevărul unei anumite afirmații pentru toate numerele naturale. Pentru a face acest lucru, verificați mai întâi... Wikipedia

Acest termen are alte semnificații, vezi Inducție. Inducția (lat. inductio guidance) este procesul de inferență logică bazat pe trecerea de la o situație particulară la una generală. Inferența inductive conectează anumite premise... ... Wikipedia

Folosind metoda inducției matematice, dovediți că pentru orice natural n sunt valabile următoarele egalități:
A) ;
b) .

Soluţie.

a) Când n= 1 egalitatea este adevărată. Presupunând valabilitatea egalității la n, să-i arătăm valabilitatea chiar și atunci când n+ 1. Într-adevăr,

Q.E.D.

b) Când n= 1 validitatea egalității este evidentă. Din ipoteza valabilitatii sale la n ar trebui să

Având în vedere egalitatea 1 + 2 + ... + n = n(n+ 1)/2, obținem

1 3 + 2 3 + ... + n 3 + (n + 1) 3 = (1 + 2 + ... + n + (n + 1)) 2 ,

adică afirmația este adevărată și atunci când n + 1.

Exemplul 1. Demonstrați următoarele egalități

Unde n DESPRE N.

Soluţie. a) Când n= 1 egalitatea va lua forma 1=1, prin urmare, P(1) este adevărat. Să presupunem că această egalitate este adevărată, adică este valabilă

. Este necesar să verificăm (demonstrăm) căP(n+ 1), adică Adevărat. Deoarece (folosind ipoteza de inducție)înțelegem că este, P(n+ 1) este o afirmație adevărată.

Astfel, conform metodei inducției matematice, egalitatea originală este valabilă pentru orice natural n.

Nota 2. Acest exemplu ar fi putut fi rezolvat altfel. Într-adevăr, suma este 1 + 2 + 3 + ... + n este suma primelor n termenii unei progresii aritmetice cu primul termen A 1 = 1 și diferență d= 1. În virtutea binecunoscutei formule , primim

b) Când n= 1 egalitatea va lua forma: 2 1 - 1 = 1 2 sau 1=1, adică P(1) este adevărat. Să presupunem că egalitatea

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2 și să demonstreze că se întâmplăP(n + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n+ 1) 2 sau 1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

Folosind ipoteza de inducție, obținem

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n 2 + (2n + 1) = (n + 1) 2 .

Prin urmare, P(n+ 1) este adevărată și, prin urmare, egalitatea necesară este dovedită.

Nota 3. Acest exemplu poate fi rezolvat (asemănător celui anterior) fără a folosi metoda inducției matematice.

c) Când n= 1 egalitatea este adevărată: 1=1. Să presupunem că egalitatea este adevărată

si arata ca adică adevărulP(n) implică adevărP(n+ 1). Într-adevăr,și, din 2 n 2 + 7 n + 6 = (2 n + 3)(n+ 2), obținem și, prin urmare, egalitatea originală este valabilă pentru orice naturaln.

d) Când n= 1 egalitatea este adevărată: 1=1. Să presupunem că are loc

și vom demonstra asta

Într-adevăr,

e) Aprobare P(1) adevărat: 2=2. Să presupunem că egalitatea

este adevărat și vom demonstra că implică egalitateaÎntr-adevăr,

În consecință, egalitatea originală este valabilă pentru orice natural n.

f) P(1) adevărat: 1/3 = 1/3. Să fie egalitate P(n):

. Să arătăm că ultima egalitate implică următoarele:

Într-adevăr, având în vedere că P(n) ține, obținem

Astfel, egalitatea este dovedită.

g) Când n= 1 avem A + b = b + Ași, prin urmare, egalitatea este justă.

Fie valabilă formula binomială a lui Newton pentru n = k, acesta este,

Apoi Folosind egalitatea primim

Exemplul 2. Demonstrați inegalitățile

a) Inegalitatea Bernoulli: (1 + a) n ≥ 1 + n a , a > -1, n DESPRE N.

b) X 1 + X 2 + ... + X n ≥ n, Dacă X 1 X 2 · ... · X n= 1 și X i > 0, .

c) Inegalitatea lui Cauchy față de media aritmetică și media geometrică Unde X i > 0, , n ≥ 2.

d) păcatul 2 n a + cos 2 n a ≤ 1, n DESPRE N.

e)

f) 2 n > n 3 , n DESPRE N, n ≥ 10.

Soluţie. a) Când n= 1 obținem inegalitatea adevărată

1 + a ≥ 1 + a . Să presupunem că există o inegalitate

(1 + a) n ≥ 1 + n A

(1)

şi vom arăta că atunci are loc şi(1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a.

Într-adevăr, deoarece a > -1 implică a + 1 > 0, atunci înmulțind ambele părți ale inegalității (1) cu (a + 1), obținem

(1 + a) n(1 + a) ≥ (1 + n a )(1 + a ) sau (1 + a ) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a + n a 2 Din moment ce n a 2 ≥ 0, prin urmare(1 + a) n + 1 ≥ 1 + (n+ 1)a + n a 2 ≥ 1 + ( n+ 1)a.

Astfel, dacă P(n) este adevărat, atunci P(n+ 1) este adevărată, prin urmare, conform principiului inducției matematice, inegalitatea lui Bernoulli este adevărată.

b) Când n= 1 obținem X 1 = 1 și deci X 1 ≥ 1 adică P(1) este o declarație corectă. Să ne prefacem că P(n) este adevărat, adică dacă adica, X 1 ,X 2 ,...,X n - n numere pozitive al căror produs este egal cu unu, X 1 X 2 ·...· X n= 1 și X 1 + X 2 + ... + X n ≥ n.

Să arătăm că această propoziție atrage după sine adevărul: dacă X 1 ,X 2 ,...,X n ,X n+1 - (n+ 1) numere pozitive astfel încât X 1 X 2 ·...· X n · X n+1 = 1, atunci X 1 + X 2 + ... + X n + X n + 1 ≥n + 1.

Luați în considerare următoarele două cazuri:

1) X 1 = X 2 = ... = X n = X n+1 = 1. Atunci suma acestor numere este ( n+ 1), iar inegalitatea cerută este satisfăcută;

2) cel puțin un număr este diferit de unul, fie, de exemplu, mai mare decât unu. Apoi, de când X 1 X 2 · ... · X n · X n+ 1 = 1, mai există cel puțin un număr diferit de unul (mai precis, mai puțin de unul). Lăsa X n+ 1 > 1 și X n < 1. Рассмотрим n numere pozitive

X 1 ,X 2 ,...,X n-1 ,(X n · X n+1). Produsul acestor numere este egal cu unu și, conform ipotezei, X 1 + X 2 + ... + X n-1 + X n X n + 1 ≥ n. Ultima inegalitate este rescrisă după cum urmează: X 1 + X 2 + ... + X n-1 + X n X n+1 + X n + X n+1 ≥ n + X n + X n+1 sau X 1 + X 2 + ... + X n-1 + X n + X n+1 ≥ n + X n + X n+1 - X n X n+1 .

Deoarece

(1 - X n)(X n+1 - 1) > 0, atunci n + X n + X n+1 - X n X n+1 = n + 1 + X n+1 (1 - X n) - 1 + X n =
= n + 1 + X n+1 (1 - X n) - (1 - X n) = n + 1 + (1 - X n)(X n+1 - 1) ≥ n+ 1. Prin urmare, X 1 + X 2 + ... + X n + X n+1 ≥ n+1, adică dacă P(n) este adevărat, atunciP(n+ 1) corect. Inegalitatea a fost dovedită.

Nota 4. Semnul egal este valabil dacă și numai dacă X 1 = X 2 = ... = X n = 1.

c) Fie X 1 ,X 2 ,...,X n- numere pozitive arbitrare. Luați în considerare următoarele n numere pozitive:

Deoarece produsul lor este egal cu unu: conform inegalităţii anterior demonstrate b), rezultă că Unde

Nota 5. Egalitatea este valabilă dacă și numai dacă X 1 = X 2 = ... = X n .

d) P(1) este o afirmație corectă: sin 2 a + cos 2 a = 1. Să presupunem că P(n) este o afirmație adevărată:

Păcatul 2 n a + cos 2 n a ≤ 1 și arată ce se întâmplăP(n+ 1). Într-adevăr, păcatul 2( n+ 1) a + cos 2( n+ 1) a = sin 2 n a sin 2 a + cos 2 n a cos 2 a< sin 2n a + cos 2 n a ≤ 1 (dacă sin 2 a ≤ 1, atunci cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1, apoi sin 2 a < 1). Таким образом, для любого n DESPRE N păcatul 2 n a + cos 2 n ≤ 1 iar semnul de egalitate se realizează numai atunci cândn = 1.

e) Când n= 1 afirmație este adevărată: 1< 3 / 2 .

Să presupunem că și vom demonstra asta

Deoarece
luand in considerare P(n), primim

f) Ținând cont de observația 1, să verificăm P(10): 2 10 > 10 3, 1024 > 1000, prin urmare, pentru n= 10 afirmația este adevărată. Să presupunem că 2 n > n 3 (n> 10) și dovediți P(n+ 1), adică 2 n+1 > (n + 1) 3 .

De cand n> 10 avem sau , urmează că

2n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n+ 1 sau n 3 > 3n 2 + 3n + 1. Având în vedere inegalitatea (2 n > n 3), obținem 2 n+1 = 2 n·2 = 2 n + 2 n > n 3 + n 3 > n 3 + 3n 2 + 3n + 1 = (n + 1) 3 .

Astfel, după metoda inducției matematice, pentru orice natural n DESPRE N, n≥ 10 avem 2 n > n 3 .

Exemplul 3. Demonstrează asta pentru oricine n DESPRE N

Soluţie. A) P(1) este o afirmație adevărată (0 este împărțit la 6). Lăsa P(n) este corect, adică n(2n 2 - 3n + 1) = n(n - 1)(2n- 1) este divizibil cu 6. Să arătăm că atunci se întâmplă P(n+ 1), adică ( n + 1)n(2n+ 1) este divizibil cu 6. Într-adevăr, deoarece

Si cum n(n - 1)(2 n- 1), și 6 n 2 sunt divizibile cu 6, atunci suma lor esten(n + 1)(2 n+ 1) este divizibil cu 6.

Prin urmare, P(n+ 1) este o afirmație corectă și, prin urmare n(2n 2 - 3n+ 1) divizibil cu 6 pentru oricare n DESPRE N.

b) Să verificăm P(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11, prin urmare, P(1) este o declarație corectă. Ar trebui demonstrat că dacă 6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 este împărțit la 11 ( P(n)), apoi 6 2 n + 3 n+2 + 3 n de asemenea divizibil cu 11 ( P(n+ 1)). Într-adevăr, din moment ce

6 2n + 3 n+2 + 3 n = 6 2n-2+2 + 3 n+1+1 + 3 n-1+1 = = 6 2 6 2 n-2 + 3 3 n+1 + 3 3 n-1 = 3·(6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1) + 33 6 2 n-2 și ca 6 2 n-2 + 3 n+1 + 3 n-1 și 33 6 2 n-2 sunt divizibile cu 11, atunci suma lor este 6 2n + 3 n+2 + 3 n este divizibil cu 11. Enunţul este dovedit. Inducția în geometrie

Exemplul 4. Calculați partea corectă a 2 n-un triunghi înscris într-un cerc de rază R.

Metoda demonstrației bazată pe axioma 4 a lui Peano este folosită pentru a demonstra multe proprietăți matematice și diverse afirmații. Baza pentru aceasta este următoarea teoremă.

Teorema. Dacă afirmaţia A(n) cu variabila naturala n adevărat pentru n= 1 si din faptul ca este adevarat pt n = k, rezultă că este adevărat pentru următorul număr n=k, apoi afirmația A(n) n.

Dovada. Să notăm prin M mulţimea acelor şi numai a acelor numere naturale pentru care enunţul A(n) Adevărat. Atunci din condițiile teoremei avem: 1) 1 M; 2) kMkM. De aici, pe baza axiomei 4, tragem concluzia că M =N, adică afirmație A(n) adevărat pentru orice natură n.

Metoda de demonstrare bazată pe această teoremă se numește prin metoda inducției matematice, iar axioma este axioma inducției. Această dovadă constă din două părți:

1) dovediți că afirmația A(n) adevărat pentru n= A(1);

2) presupunem că afirmația A(n) adevărat pentru n = k, și, pe baza acestei presupuneri, să demonstreze că afirmația Un) adevărat pentru n = k + 1, adică că afirmația este adevărată A(k) A(k + 1).

Dacă A( 1) A(k) A(k + 1) - afirmație adevărată, apoi concluzionează că afirmația Un) adevărat pentru orice număr natural n.

Dovada prin metoda inducției matematice poate începe nu numai cu confirmarea adevărului afirmației pentru n= 1, dar și din orice număr natural m. În acest caz declarația A(n) va fi dovedit pentru toate numerele naturale nm.

Problemă: Să demonstrăm că pentru orice număr natural egalitatea 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n.

Soluţie. Egalitatea 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n este o formulă care poate fi folosită pentru a găsi suma primelor numere naturale impare consecutive. De exemplu, 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (suma conține 4 termeni), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (suma conține 6 termeni); dacă această sumă conține 20 de termeni de tipul indicat, atunci este egală cu 20 = 400 etc. După ce am demonstrat adevărul acestei egalități, vom putea găsi suma oricărui număr de termeni de tipul specificat folosind formula.

1) Să verificăm adevărul acestei egalități pentru n= 1. Când n= 1 partea stângă a egalității este formată dintr-un termen egal cu 1, partea dreaptă este egală cu 1= 1. Deoarece 1 = 1, atunci pentru n= 1 această egalitate este adevărată.

2) Să presupunem că această egalitate este adevărată pentru n = k, adică că 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Pe baza acestei presupuneri, demonstrăm că este adevărat pentru n = k + 1, adică 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Să ne uităm la partea stângă a ultimei egalități.

Prin presupunere, suma primelor k termeni este egal cu kși prin urmare 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Expresie k+ 2k + 1 este identic cu expresia ( k + 1).

Prin urmare, adevărul acestei egalități pentru n = k + 1 a fost dovedit.

Astfel, această egalitate este adevărată pentru n= 1 si din adevarul ei pt n = k trebuie să fie adevărat pentru n = k + 1.

Acest lucru demonstrează că această egalitate este adevărată pentru orice număr natural.

Folosind metoda inducției matematice, puteți demonstra adevărul nu numai al egalităților, ci și al inegalităților.

Sarcină. Demonstrează că, unde nN.

Soluţie. Să verificăm adevărul inegalității la n= 1. Avem - adevărata inegalitate.

Să presupunem că inegalitatea este adevărată pentru n = k, acestea. - inegalitatea adevărată. Să demonstrăm, pe baza presupunerii, că este adevărat și pentru n = k + 1, adică (*).

Să transformăm partea stângă a inegalității (*), ținând cont de faptul că: .

Dar , care înseamnă .

Deci, această inegalitate este adevărată pentru n= 1 și, din faptul că inegalitatea este adevărată pentru unii n= k, am constatat că este valabil și pentru n= k + 1.

Astfel, folosind axioma 4, am demonstrat că această inegalitate este adevărată pentru orice număr natural.

Alte afirmații pot fi dovedite folosind metoda inducției matematice.

Sarcină. Demonstrați că pentru orice număr natural afirmația este adevărată.

Soluţie. Să verificăm adevărul afirmației când n= 1: -afirmatie adevarata.

Să presupunem că această afirmație este adevărată pentru n = k: . Să arătăm, folosind aceasta, adevărul afirmației când n = k + 1: .

Să transformăm expresia: . Să găsim diferența kȘi k+ 1 membri. Dacă se dovedește că diferența rezultată este un multiplu al lui 7 și, prin presupunere, subtrahendul este divizibil cu 7, atunci minuendul este, de asemenea, un multiplu al lui 7:

Prin urmare, produsul este un multiplu de 7 și .

Astfel, această afirmație este adevărată pentru n= 1 si din adevarul ei pt n = k trebuie să fie adevărat pentru n = k + 1.

Aceasta dovedește că această afirmație este adevărată pentru orice număr natural.

Sarcină. Demonstrați asta pentru orice număr natural n 2 afirmația (7-1)24 este adevărată.

Soluţie. 1) Să verificăm adevărul afirmației când n= 2: - afirmație adevărată.

Cunoașterea adevărată în orice moment s-a bazat pe stabilirea unui model și pe dovedirea veridicității acestuia în anumite circumstanțe. Într-o perioadă atât de lungă de existență a raționamentului logic, au fost date formulări de reguli și Aristotel a întocmit chiar o listă de „raționament corect”. Din punct de vedere istoric, s-a obișnuit să se împartă toate inferențe în două tipuri - de la concret la multiplu (inducție) și invers (deducție). Trebuie remarcat faptul că tipurile de dovezi de la particular la general și de la general la particular există numai în conjuncție și nu pot fi interschimbate.

Inductia in matematica

Termenul „inducție” are rădăcini latine și este tradus literal ca „îndrumare”. La un studiu mai atent, se poate evidenția structura cuvântului, și anume prefixul latin - in- (indică o acțiune îndreptată spre interior sau fiind în interior) și -ducție - introducere. Este de remarcat faptul că există două tipuri - inducție completă și incompletă. Forma completă este caracterizată de concluzii extrase din studiul tuturor obiectelor unei anumite clase.

Incomplete - concluzii care se aplică tuturor disciplinelor clasei, dar se fac pe baza studiului doar a unor unități.

Inducția matematică completă este o inferență bazată pe o concluzie generală despre întreaga clasă a oricăror obiecte care sunt conectate funcțional prin relațiile unei serii naturale de numere bazate pe cunoașterea acestei conexiuni funcționale. În acest caz, procesul de proba are loc în trei etape:

• prima dovedeşte corectitudinea poziţiei inducţiei matematice. Exemplu: f = 1, inducție;
• etapa următoare se bazează pe presupunerea că poziţia este valabilă pentru toate numerele naturale. Adică f=h este o ipoteză inductivă;
• la a treia etapă se dovedește validitatea poziției pentru numărul f=h+1, pe baza corectitudinii poziției punctului anterior - aceasta este o tranziție de inducție, sau o etapă de inducție matematică. Un exemplu este așa-numitul dacă prima piatră dintr-un rând cade (bază), apoi toate pietrele din rând cad (tranziție).

Atat in gluma cat si in serios

Pentru ușurință de înțelegere, exemple de soluții folosind metoda inducției matematice sunt prezentate sub formă de probleme de glumă. Aceasta este sarcina „Coada politicoasă”:

• Regulile de conduită interzic unui bărbat să ia o tură în fața unei femei (într-o astfel de situație, i se permite să meargă înainte). Pe baza acestei afirmații, dacă ultimul din rând este un bărbat, atunci toți ceilalți sunt bărbat.

Un exemplu izbitor al metodei de inducție matematică este problema „zborului fără dimensiuni”:

• Este necesar să se demonstreze că în microbuz pot încăpea orice număr de persoane. Este adevărat că o persoană poate încăpea în interiorul unui vehicul fără dificultate (bază). Dar oricât de plin este microbuzul, pe el va încăpea întotdeauna 1 pasager (pas de inducție).

Cercuri familiare

Exemplele de rezolvare a problemelor și ecuațiilor prin inducție matematică sunt destul de comune. Ca o ilustrare a acestei abordări, luați în considerare următoarea problemă.

Condiție: sunt h cercuri pe plan. Se cere să se demonstreze că, pentru orice aranjament de figuri, harta pe care o formează poate fi colorată corect cu două culori.

Soluţie: când h=1 adevărul enunțului este evident, deci demonstrația se va construi pentru numărul de cercuri h+1.

Să acceptăm ipoteza că afirmația este valabilă pentru orice hartă și că există h+1 cercuri pe plan. Prin eliminarea unuia dintre cercuri din total, puteți obține o hartă colorată corect cu două culori (alb și negru).

La restaurarea unui cerc șters, culoarea fiecărei zone se schimbă la opus (în acest caz, în interiorul cercului). Rezultatul este o hartă colorată corect în două culori, ceea ce trebuia dovedit.

Exemple cu numere naturale

Aplicarea metodei inducției matematice este prezentată clar mai jos.

Exemple de soluții:

Demonstrați că pentru orice h următoarea egalitate este corectă:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Fie h=1, ceea ce înseamnă:

R1 =12 =1(1+1)(2+1)/6=1

De aici rezultă că pentru h=1 afirmația este corectă.

2. Presupunând că h=d, se obține ecuația:

R1 =d2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. Presupunând că h=d+1, rezultă:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Astfel, validitatea egalității pentru h=d+1 a fost dovedită, prin urmare afirmația este adevărată pentru orice număr natural, așa cum se arată în exemplul de soluție prin inducție matematică.

Sarcină

Condiție: se cere demonstrarea că pentru orice valoare a lui h expresia 7 h -1 este divizibil cu 6 fără rest.

Soluţie:

1. Să spunem h=1, în acest caz:

R 1 =7 1 -1=6 (adică împărțit la 6 fără rest)

Prin urmare, pentru h=1 afirmația este adevărată;

2. Fie h=d și 7 d -1 împărțite la 6 fără rest;

3. Dovada validității enunțului pentru h=d+1 este formula:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

În acest caz, primul termen este divizibil cu 6 conform ipotezei primului punct, iar al doilea termen este egal cu 6. Afirmația că 7 h -1 este divizibil cu 6 fără rest pentru orice h natural este adevărată.

Erori de judecată

Adesea raționamentul incorect este folosit în dovezi din cauza inexactității construcțiilor logice folosite. Acest lucru se întâmplă în principal atunci când structura și logica dovezii sunt încălcate. Un exemplu de raționament incorect este ilustrația următoare.

Sarcină

Condiție: se cere dovada că orice morman de pietre nu este un morman.

Soluţie:

1. Să spunem h=1, în acest caz există 1 piatră în grămadă și afirmația este adevărată (bază);

2. Să fie adevărat pentru h=d că un morman de pietre nu este un morman (presupune);

3. Fie h=d+1, din care rezultă că atunci când se mai adaugă o piatră, mulțimea nu va fi o grămadă. Concluzia sugerează în sine că ipoteza este valabilă pentru toate h naturale.

Greșeala este că nu există o definiție a câte pietre formează o grămadă. O astfel de omisiune se numește o generalizare pripită în metoda inducției matematice. Un exemplu arată clar acest lucru.

Inducția și legile logicii

Din punct de vedere istoric, ei „merc întotdeauna mână în mână”. Discipline științifice precum logica și filozofia le descriu sub formă de contrarii.

Din punctul de vedere al legii logicii, definițiile inductive se bazează pe fapte, iar veridicitatea premiselor nu determină corectitudinea enunțului rezultat. Adesea, concluziile sunt obținute cu un anumit grad de probabilitate și plauzibilitate, care, în mod firesc, trebuie verificate și confirmate prin cercetări suplimentare. Un exemplu de inducție în logică ar fi următoarea afirmație:

Este o secetă în Estonia, o secetă în Letonia, o secetă în Lituania.

Estonia, Letonia și Lituania sunt state baltice. Există secetă în toate statele baltice.

Din exemplu putem concluziona că nu se pot obține informații noi sau adevăruri folosind metoda inducției. Tot ce se poate conta este o posibilă veridicitate a concluziilor. Mai mult, adevărul premiselor nu garantează aceleași concluzii. Cu toate acestea, acest fapt nu înseamnă că inducția lâncește pe marginea deducției: un număr imens de prevederi și legi științifice sunt fundamentate prin metoda inducției. Un exemplu este aceeași matematică, biologie și alte științe. Acest lucru se datorează în mare parte metodei de inducție completă, dar în unele cazuri este aplicabilă și inducția parțială.

Vârsta venerabilă a inducției i-a permis să pătrundă aproape în toate sferele activității umane - aceasta este știința, economia și concluziile de zi cu zi.

Inducerea în comunitatea științifică

Metoda de inducție necesită o atitudine scrupuloasă, deoarece prea mult depinde de numărul de părți ale întregului studiat: cu cât numărul studiat este mai mare, cu atât rezultatul este mai fiabil. Pe baza acestei caracteristici, legile științifice obținute prin inducție sunt testate îndelung la nivelul ipotezelor probabilistice pentru a izola și a studia toate elementele structurale, conexiunile și influențele posibile.

În știință, o concluzie inductivă se bazează pe caracteristici semnificative, cu excepția prevederilor aleatorii. Acest fapt este important în legătură cu specificul cunoștințelor științifice. Acest lucru se vede clar în exemplele de inducție în știință.

Există două tipuri de inducție în lumea științifică (în legătură cu metoda de studiu):

1. inductie-selecție (sau selecție);
2. inductie – excludere (eliminare).

Primul tip se distinge prin selecția metodică (scrupuloasă) a eșantioanelor unei clase (subclase) din diferitele sale zone.

Un exemplu de acest tip de inducție este următorul: argintul (sau sărurile de argint) purifică apa. Concluzia se bazează pe mulți ani de observații (un fel de selecție de confirmări și respingeri - selecție).

Al doilea tip de inducție se bazează pe concluzii care stabilesc relații cauzale și exclud circumstanțe care nu corespund proprietăților sale, și anume universalitatea, aderarea la succesiunea temporală, necesitatea și neambiguitatea.

Inducția și deducția din poziția de filozofie

Privind înapoi din punct de vedere istoric, termenul de inducție a fost menționat pentru prima dată de Socrate. Aristotel a descris exemple de inducție în filozofie într-un dicționar terminologic mai aproximativ, dar problema inducției incomplete rămâne deschisă. După persecutarea silogismului aristotelic, metoda inductivă a început să fie recunoscută drept rodnică și singura posibilă în știința naturii. Bacon este considerat părintele inducției ca metodă specială independentă, dar nu a reușit să separe inducția de metoda deductivă, așa cum au cerut contemporanii săi.

Inducția a fost dezvoltată în continuare de J. Mill, care a considerat teoria inductivă din perspectiva a patru metode principale: acord, diferență, reziduuri și modificări corespunzătoare. Nu este surprinzător că astăzi metodele enumerate, atunci când sunt examinate în detaliu, sunt deductive.

Realizarea inconsecvenței teoriilor lui Bacon și Mill i-a determinat pe oamenii de știință să studieze baza probabilistică a inducției. Cu toate acestea, chiar și aici au existat câteva extreme: s-au încercat să reducă inducția la teoria probabilității cu toate consecințele care au urmat.

Inducția primește un vot de încredere prin aplicarea practică în anumite domenii și datorită acurateței metrice a bazei inductive. Un exemplu de inducție și deducție în filosofie poate fi considerat Legea gravitației universale. La data descoperirii legii, Newton a putut să o verifice cu o precizie de 4%. Și când a fost verificată mai mult de două sute de ani mai târziu, corectitudinea a fost confirmată cu o precizie de 0,0001 la sută, deși verificarea a fost efectuată prin aceleași generalizări inductive.

Filosofia modernă acordă mai multă atenție deducției, care este dictată de dorința logică de a deriva noi cunoștințe (sau adevăruri) din ceea ce este deja cunoscut, fără a recurge la experiență sau intuiție, ci folosind raționamentul „pur”. Când ne referim la premise adevărate în metoda deductivă, în toate cazurile rezultatul este o afirmație adevărată.

Această caracteristică foarte importantă nu trebuie să umbrească valoarea metodei inductive. Întrucât inducția, bazată pe realizările experienței, devine și un mijloc de prelucrare a acesteia (inclusiv generalizare și sistematizare).

Aplicarea inducției în economie

Inducția și deducția au fost folosite de mult timp ca metode de studiere a economiei și de prognoză a dezvoltării acesteia.

Gama de utilizare a metodei de inducție este destul de largă: studierea îndeplinirii indicatorilor de prognoză (profituri, amortizare etc.) și o evaluare generală a stării întreprinderii; formarea unei politici eficiente de promovare a întreprinderii bazată pe fapte și relațiile dintre acestea.

Aceeași metodă de inducție este utilizată în „hărțile Shewhart”, unde, în ipoteza divizării proceselor în controlate și incontrolabile, se afirmă că cadrul procesului controlat este inactiv.

De remarcat că legile științifice sunt fundamentate și confirmate prin metoda inducției, iar din moment ce economia este o știință care folosește adesea analiza matematică, teoria riscului și statistica, nu este deloc surprinzător faptul că inducția se află pe lista principalelor metode.

Un exemplu de inducție și deducție în economie este următoarea situație. O creștere a prețului alimentelor (din coșul consumatorului) și al bunurilor esențiale îl împinge pe consumator să se gândească la costul ridicat în curs de dezvoltare în stat (inducție). Totodata, din faptul preturilor mari, folosind metode matematice, se pot deriva indicatori de crestere a preturilor pentru bunuri individuale sau categorii de marfuri (deducere).

Cel mai adesea, personalul de conducere, managerii și economiștii apelează la metoda inducției. Pentru a putea prezice cu suficientă veridicitate dezvoltarea unei întreprinderi, comportamentul pieței și consecințele concurenței, este necesară o abordare inductiv-deductivă a analizei și procesării informațiilor.

Un exemplu clar de inducție în economie legat de judecăți eronate:

• profitul companiei a scăzut cu 30%;
  o companie concurentă și-a extins linia de produse;
  nimic altceva nu s-a schimbat;
• politica de producție a unei companii concurente a determinat o reducere a profiturilor cu 30%;
• prin urmare, aceeași politică de producție trebuie implementată.

Exemplul este o ilustrare colorată a modului în care utilizarea ineptă a metodei de inducție contribuie la ruinarea unei întreprinderi.

Deducția și inducția în psihologie

Întrucât există o metodă, atunci, în mod logic, există și gândire organizată corespunzător (pentru a folosi metoda). Psihologia ca știință care studiază procesele mentale, formarea, dezvoltarea, relațiile, interacțiunile lor, acordă atenție gândirii „deductive”, ca una dintre formele de manifestare a deducției și inducției. Din păcate, pe paginile de psihologie de pe Internet nu există practic nicio justificare pentru integritatea metodei deductiv-inductive. Deși psihologii profesioniști întâlnesc mai des manifestări de inducție, sau mai degrabă, concluzii eronate.

Un exemplu de inducție în psihologie, ca o ilustrare a judecăților eronate, este afirmația: mama mea înșală, prin urmare, toate femeile sunt înșelătoare. Puteți aduna și mai multe exemple „eronate” de inducție din viață:

• un elev este incapabil de nimic dacă ia o notă proastă la matematică;
• este un prost;
• el este destept;
• Pot face orice;

Și multe alte judecăți de valoare bazate pe premise complet aleatorii și, uneori, nesemnificative.

Trebuie remarcat: atunci când eroarea judecății unei persoane ajunge la punctul de absurditate, pentru psihoterapeut apare o frontieră a muncii. Un exemplu de inducție la o întâlnire cu un specialist:

„Pacientul este absolut sigur că culoarea roșie este doar periculoasă pentru el sub orice formă. Drept urmare, persoana a exclus această schemă de culori din viața sa - pe cât posibil. Există multe oportunități pentru o ședere confortabilă acasă. Puteți refuza toate articolele roșii sau le puteți înlocui cu analogi realizate într-o schemă de culori diferită. Dar în locuri publice, la serviciu, într-un magazin - este imposibil. Când un pacient se găsește într-o situație stresantă, de fiecare dată se confruntă cu „un val” de stări emoționale complet diferite, care pot reprezenta un pericol pentru ceilalți.”

Acest exemplu de inducție și inducție inconștientă se numește „idei fixe”. Dacă acest lucru se întâmplă unei persoane sănătoase mintal, putem vorbi despre o lipsă de organizare a activității mentale. O modalitate de a scăpa de stările obsesive poate fi dezvoltarea elementară a gândirii deductive. În alte cazuri, psihiatrii lucrează cu astfel de pacienți.

Exemplele de inducție de mai sus indică faptul că „necunoașterea legii nu te scutește de consecințele (judecăților eronate)”.

Psihologii, care lucrează pe tema gândirii deductive, au întocmit o listă de recomandări menite să ajute oamenii să stăpânească această metodă.

Primul punct este rezolvarea problemelor. După cum se vede, forma de inducție folosită în matematică poate fi considerată „clasică”, iar utilizarea acestei metode contribuie la „disciplina” minții.

Următoarea condiție pentru dezvoltarea gândirii deductive este lărgirea orizontului cuiva (cei care gândesc clar se exprimă clar). Această recomandare direcționează „suferința” către tezaururile științei și informațiilor (biblioteci, site-uri web, inițiative educaționale, călătorii etc.).

O mențiune specială trebuie făcută pentru așa-numita „inducție psihologică”. Acest termen, deși nu des, poate fi găsit pe Internet. Toate sursele nu oferă cel puțin o scurtă formulare a definiției acestui termen, ci se referă la „exemple din viață”, trecând în același timp drept un nou tip de inducție fie sugestie, fie unele forme de boală mintală, fie stări extreme ale psihicul uman. Din toate cele de mai sus, este clar că o încercare de a deriva un „termen nou” bazat pe premise false (adesea neadevărate) condamnă experimentatorul să obțină o declarație eronată (sau pripită).

Trebuie remarcat că referirea la experimentele din 1960 (fără a indica locația, numele experimentatorilor, eșantionul de subiecți și, cel mai important, scopul experimentului) pare, pentru a spune ușor, neconvingător, iar afirmația că creierul percepe informații ocolind toate organele de percepție (expresia „este afectat” s-ar potrivi mai organic în acest caz), ne face să ne gândim la credulitatea și necriticitatea autorului afirmației.

În loc de o concluzie

Nu degeaba regina științelor, matematica, folosește toate rezervele posibile ale metodei inducției și deducției. Exemplele luate în considerare ne permit să concluzionam că aplicarea superficială și ineptă (necugetată, după cum se spune) chiar și a celor mai precise și fiabile metode duce întotdeauna la rezultate eronate.

În conștiința de masă, metoda deducției este asociată cu celebrul Sherlock Holmes, care în construcțiile sale logice folosește mai des exemple de inducție, folosind deducția în situațiile potrivite.

Articolul a examinat exemple de aplicare a acestor metode în diferite științe și sfere ale activității umane.

Curs 6. Metoda inducţiei matematice.

Noile cunoștințe în știință și viață se obțin în moduri diferite, dar toate (dacă nu intri în detalii) sunt împărțite în două tipuri - trecerea de la general la specific și de la specific la general. Primul este deducția, al doilea este inducția. Raționamentul deductiv este ceea ce se numește în mod obișnuit în matematică. raționament logic, iar în știința matematică deducția este singura metodă legitimă de investigație. Regulile raționamentului logic au fost formulate în urmă cu două milenii și jumătate de către omul de știință grec antic Aristotel. El a creat o listă completă a celor mai simple raționamente corecte, silogisme– „blocuri de bază” ale logicii, indicând simultan un raționament tipic care este foarte asemănător cu cel corect, dar incorect (întâlnim adesea astfel de raționament „pseudologic” în mass-media).

Inducție (inducție - în latină îndrumare) este ilustrată clar de celebra legendă a modului în care Isaac Newton a formulat legea gravitației universale după ce i-a căzut un măr în cap. Un alt exemplu din fizică: într-un fenomen precum inducția electromagnetică, un câmp electric creează, „induce” un câmp magnetic. „Mărul lui Newton” este un exemplu tipic de situație în care unul sau mai multe cazuri speciale, adică observatii, „sugerează” o afirmație generală; o concluzie generală se trage pe baza unor cazuri particulare. Metoda inductivă este principala pentru obținerea tiparelor generale atât în ​​științele naturale, cât și în cele umane. Dar are un dezavantaj foarte semnificativ: pe baza unor exemple particulare, se poate trage o concluzie incorectă. Ipotezele care decurg din observații private nu sunt întotdeauna corecte. Să luăm în considerare un exemplu datorat lui Euler.

Vom calcula valoarea trinomului pentru unele prime valori n:

Rețineți că numerele obținute în urma calculelor sunt prime. Și se poate verifica direct asta pentru fiecare n Valoare polinomială de la 1 la 39
este un număr prim. Cu toate acestea, când n=40 obținem numărul 1681=41 2, care nu este prim. Astfel, ipoteza care ar putea apărea aici, adică ipoteza că pentru fiecare n număr
este simplu, se dovedește a fi fals.

Leibniz a dovedit în secolul al XVII-lea că pentru fiecare întreg pozitiv n număr
divizibil cu 3, număr
divizibil cu 5 etc. Pe baza acestui lucru, el a presupus că pentru orice ciudat kși orice natural n număr
impartit de k, dar curând am observat asta
nu este divizibil cu 9.

Exemplele luate în considerare ne permit să tragem o concluzie importantă: o declarație poate fi corectă într-o serie de cazuri speciale și, în același timp, nedreaptă în general. Problema validității unei afirmații în cazul general poate fi rezolvată folosind o metodă specială de raționament numită prin inductie matematica(inducție completă, inducție perfectă).

6.1. Principiul inducției matematice.

♦ Metoda inducţiei matematice se bazează pe principiul inducției matematice , care este după cum urmează:

1) se verifică validitatea acestei declarațiin=1 (bază de inducție) ,

2) se presupune valabilitatea acestei afirmaţii ptn= k, Undek– număr natural arbitrar 1(ipoteza de inducție) , iar ținând cont de această ipoteză, se stabilește valabilitatea acesteia ptn= k+1.

Dovada. Să presupunem contrariul, adică să presupunem că afirmația nu este adevărată pentru fiecare natural n. Apoi există un astfel de firesc m, Ce:

1) declarație pentru n=m nu e corect,

2) pentru toată lumea n, mai mic m, afirmația este adevărată (cu alte cuvinte, m este primul număr natural pentru care afirmația nu este adevărată).

Este evident că m>1, pentru că Pentru n=1 afirmația este adevărată (condiția 1). Prin urmare,
- numar natural. Se pare că pentru un număr natural
afirmația este adevărată, iar pentru următorul număr natural m este nedrept. Aceasta contrazice condiția 2. ■

Rețineți că demonstrația a folosit axioma că orice set de numere naturale conține cel mai mic număr.

O demonstrație bazată pe principiul inducției matematice se numește prin metoda inducţiei matematice complete .

 Exemplu6.1. Demonstrează asta pentru orice natură n număr
divizibil cu 3.

Soluţie.

1) Când n=1, deci A 1 este divizibil cu 3 și afirmația este adevărată când n=1.

2) Să presupunem că afirmația este adevărată pentru n=k,
, adică acel număr
este divizibil cu 3 și stabilim că atunci când n=k Numărul +1 este divizibil cu 3.

Într-adevăr,

Deoarece Fiecare termen este divizibil cu 3, apoi și suma lor este divizibil cu 3. ■ 

 Exemplu6.2. Demonstrați că suma primelor n numerele naturale impare sunt egale cu pătratul numărului lor, adică.

Soluţie. Să folosim metoda inducției matematice complete.

1) Verificăm validitatea acestei afirmații când n=1: 1=1 2 – acest lucru este adevărat.

2) Să presupunem că suma primului k (
) de numere impare este egal cu pătratul numărului acestor numere, adică. Pe baza acestei egalităţi, stabilim că suma primelor k+1 numere impare este egal cu
, acesta este .

Ne folosim presupunerea și obținem

. ■ 

Metoda inducției matematice complete este folosită pentru a demonstra unele inegalități. Să demonstrăm inegalitatea lui Bernoulli.

 Exemplu6.3. Demonstrează că atunci când
și orice natural n inegalitatea este adevărată
(inegalitatea lui Bernoulli).

Soluţie. 1) Când n=1 obținem
, ceea ce este adevărat.

2) Presupunem că atunci când n=k exista inegalitate
(*). Folosind această presupunere, demonstrăm că
. Rețineți că atunci când
această inegalitate este valabilă și, prin urmare, este suficient să luăm în considerare cazul
.

Să înmulțim ambele părți ale inegalității (*) cu numărul
si obtinem:

Adică (1+
.■ 

Dovada prin metoda inducție matematică incompletă vreo afirmatie in functie de n, Unde
se desfășoară într-un mod similar, dar la început se stabilește corectitudinea pentru cea mai mică valoare n.

Unele probleme nu menționează în mod explicit o afirmație care poate fi dovedită prin inducție matematică. În astfel de cazuri, trebuie să stabiliți singur modelul și să faceți o ipoteză despre validitatea acestui model, apoi să utilizați metoda de inducție matematică pentru a testa ipoteza propusă.

 Exemplu6.4. Găsiți suma
.

Soluţie. Să găsim sumele S 1 , S 2 , S 3. Avem
,
,
. Emitem ipoteza că pentru orice natural n formula este valabila
. Pentru a testa această ipoteză, vom folosi metoda inducției matematice complete.

1) Când n=1 ipoteza este corectă, deoarece
.

2) Să presupunem că ipoteza este adevărată pentru n=k,
, acesta este
. Folosind această formulă, stabilim că ipoteza este adevărată chiar și atunci când n=k+1, adică

Într-adevăr,

Deci, pe baza presupunerii că ipoteza este adevărată când n=k,
, s-a dovedit că este adevărat și pentru n=k+1, iar pe baza principiului inducției matematice concluzionăm că formula este valabilă pentru orice număr natural n. ■ 

 Exemplu6.5. În matematică, se dovedește că suma a două funcții uniform continue este o funcție uniform continuă. Pe baza acestei afirmații, trebuie să demonstrați că suma oricărui număr
a funcțiilor uniform continue este o funcție uniform continuă. Dar din moment ce nu am introdus încă conceptul de „funcție uniformă continuă”, să punem problema mai abstract: să se știe că suma a două funcții care au o anumită proprietate S, în sine are proprietatea S. Să demonstrăm că suma oricărui număr de funcții are proprietatea S.

Soluţie. Baza inducției aici este conținută în formularea problemei în sine. După ce am făcut ipoteza de inducție, luați în considerare
funcții f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 care au proprietatea S. Apoi . În partea dreaptă, primul termen are proprietatea S prin ipoteza de inducție, al doilea termen are proprietatea S după condiție. În consecință, suma lor are proprietatea S– pentru doi termeni baza de inducție „funcționează”.

Aceasta dovedește afirmația și o vom folosi în continuare. ■ 

 Exemplu6.6. Găsiți totul natural n, pentru care inegalitatea este adevărată

.

Soluţie. Sa luam in considerare n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Avem: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Astfel, putem face o ipoteză: inegalitatea
are loc pentru toată lumea
. Pentru a demonstra adevărul acestei ipoteze, vom folosi principiul inducției matematice incomplete.

1) După cum sa stabilit mai sus, această ipoteză este adevărată atunci când n=5.

2) Să presupunem că este adevărat pentru n=k,
, adică inegalitatea este adevărată
. Folosind această ipoteză, demonstrăm că inegalitatea
.

Deoarece
iar la
exista inegalitate

la
,

atunci obținem asta
. Deci, adevărul ipotezei la n=k+1 rezultă din ipoteza că este adevărat când n=k,
.

Din paragrafe. 1 și 2, pe baza principiului inducției matematice incomplete, rezultă că inegalitatea
adevărat pentru fiecare natural
. ■ 

 Exemplu6.7. Demonstrați asta pentru orice număr natural n formula de diferentiere este valabila
.

Soluţie. La n=1 această formulă arată ca
, sau 1=1, adică este corect. Făcând ipoteza de inducție, avem:

Q.E.D. ■ 

 Exemplu6.8. Demonstrați că setul format din n elemente, are subseturi

Soluţie. Un set format dintr-un element A, are două subseturi. Acest lucru este adevărat deoarece toate submulțimile sale sunt mulțimea goală și mulțimea goală în sine, iar 2 1 =2.

Să presupunem că fiecare set de n elemente are subseturi Dacă mulţimea A este formată din n+1 elemente, apoi fixăm un element în el - îl notăm d, și împărțiți toate submulțimile în două clase - cele care nu conțin dşi conţinând d. Toate submulțimile din prima clasă sunt submulțimi ale mulțimii B obținute de la A prin îndepărtarea unui element d.

Setul B este format din n elemente, și deci, prin inducție, el are submulțimi, deci în prima clasă subseturi

Dar în a doua clasă există același număr de submulțimi: fiecare dintre ele este obținută dintr-un submulțime din prima clasă prin adăugarea unui element. d. Prin urmare, în total mulțimea A
subseturi

Astfel afirmația este dovedită. Rețineți că este valabil și pentru o mulțime formată din 0 elemente - mulțimea goală: are o singură submulțime - ea însăși și 2 0 = 1. ■ 