Tételek az ábrák területeiről. Egy téglalap területe

Történelmi információk

A Kijevi Ruszban a fennmaradt forrásokból ítélve nem voltak olyan területmértékek, mint a négyzetméretek. Bár az ókori orosz építészeknek és földmérőknek volt elképzelésük róluk.

A földterületek méretének meghatározásához területi mérésekre volt szükség. A telkek nem mindig voltak egyértelműen lehatárolhatók, nem érintették egymást, vagy nem voltak határtáblák.

Az ókori Ruszban az adózás során tisztán hagyományos mértékegységeket használtak, amelyek a munka- vagy mezőgazdasági eszközöket jellemezték, valamint a munkaerő-képességen alapuló intézkedéseket. Innen ered a mezőgazdasági intézkedések (adózási egységek) elnevezése, mint „ház” (család) vagy „füst”, „ralo”, „eke”, „obzha” stb. Az intézkedések munkaerő jellege „eke” és „obzha”, ill. kapcsolatuk egyértelmű a novgorodiak fennmaradt válaszából III. Iván kérésére 1478-ban: „Három obzhi - eke, és obzha - 1 személy 1 lókiáltásért (eke); és aki 3 lovon van és a harmadik ordít, különben eke."

A geometriai értelemben vett bizonytalanság ellenére a „vetési” intézkedések kényelmesebbnek bizonyultak a gazdálkodók számára, emellett objektívebben és pontosabban határozták meg az adó mértékét.

A kaszáknál széles körben alkalmazták a „hozammérőket” – szénabálákat. Néha halmokat használtak a vetésterület mérésére.

Minden „munka”, „betakarítás” és „vetés” intézkedés tartalmazta a szubjektivitás és az önkény elemeit, amelyek közvetlenül ezeknek az intézkedéseknek a gyakorlatában nyilvánultak meg.

Rusz feudális feldarabolódása során a „ház” (füst), az „eke” és az „obzsa” volt a terület mértéke. De számuk fejedelemségtől függően különbözött. Az intézkedések elnevezésében is voltak eltérések. Novgorodban például a „korobya”-t (az a terület, amelyen egy doboz rozsot vetettek - térfogatmérték) használták vetési mértékként.

A szénakazal területét a szénakazal alapján becsülték meg (a rét azon területe, amelyen szénakazalt lehet nyírni). Ezek az intézkedések lehetővé tették a hozam meghatározását, de nem adtak teljes képet a földterületek alakjáról és méretéről.

A 13. század közepén a tatárok nagyszabású földterület-leltárt végeztek. A leltárak az egyéni háztartás („ház” vagy „füst”), mint mértékegység alapján készültek.

A 14. század végi ókori írás emlékeiben a földterület geometriai mértékét említik - a tizedet. Kezdetben "kerek" tizedet használtak - egy négyzet, amelynek oldala egy tized verszt (50 öl) egyenlő, innen származik a "tized" elnevezés. A 15. század közepétől kezdték el a tizedet a szántóföldekre is alkalmazni, nem csak a szénaföldekre. Ettől a pillanattól kezdve beszélhetünk a szó metrológiai értelmében vett valóban mértékek használatáról a földmérési gyakorlatban.

Nehéznek bizonyult a negyedről a tizedre való áttérés, mert a negyed a ténylegesen elvetett gabona alapján történt, ez mindenki számára egyértelmű volt, ráadásul az írnokkönyvekben rögzítették a földterületek negyedekben történő meghatározását.

területmérték bizonyítási képlet

Egy sokszög területe és tulajdonságai

A sokszög területe a sík azon részének a mérete, amelyet a sokszög elfoglal. A területek mérése a kiválasztott mértékegység segítségével történik, ugyanúgy, mint a szegmensek hosszának mérése. A területek mértékegysége egy négyzet, amelynek oldala megegyezik a szakaszok mértékegységével. Négyzetcentiméter cm2-vel jelöltük. Hasonlóan definiálva négyzetméter (m2), négyzetmilliméter(mm 2) stb.

A kiválasztott területegységnél minden sokszög területe pozitív számként van kifejezve. Ez a szám azt mutatja meg, hogy egy mértékegység és részei hányszor illeszkednek egy adott sokszögbe.

Általában csak a sokszöghez tartozó szakaszok egy részét mérik, majd bizonyos képletek segítségével kiszámítják a területet.

Ezeknek a képleteknek a származtatása a területek tulajdonságain alapul, amelyeket most megvizsgálunk.

Először is megjegyezzük, hogy ha két sokszög egyenlő, akkor a területek mértékegysége és részei ugyanannyiszor illeszkednek az ilyen sokszögekbe, ti. a következő ingatlan birtokol:

1. Az egyenlő sokszögek területe egyenlő

Továbbá álljon egy sokszög több sokszögből úgy, hogy e sokszögek közül bármelyik két belső tartományának ne legyen közös pontja. Nyilvánvaló, hogy a sík azon részének a mérete, amelyet a teljes sokszög elfoglal, a sík azon részei méreteinek összege, amelyeket az azt alkotó sokszögek foglalnak el. Így:

2. Ha egy sokszög több sokszögből áll, akkor a területe egyenlő ezen sokszögek területének összegével

Az 1 0 és 2 0 tulajdonságokat hívjuk meg területek alapvető tulajdonságai. A szegmensek hossza hasonló tulajdonságokkal rendelkezik.

Ezen tulajdonságok mellett szükségünk van még egy területtulajdonságra.

3. Egy négyzet területe megegyezik az oldalának négyzetével

Ennek a tulajdonságnak a rövid megfogalmazását a következőképpen kell érteni: ha egy négyzet oldalát a szakaszok választott mértékegységével a számmal fejezzük ki A, akkor ennek a négyzetnek a területét a szám fejezi ki a 2.

Négyzet alakú terület

Bizonyítsuk be, hogy egy a oldalú négyzet S területe egyenlő a 2-vel.

Kezdjük azzal, hogy a =

, ahol n egy egész szám. Vegyünk egy 1-es oldalú négyzetet és osszuk el n 2 egyenlő négyzetre az a) ábrán látható módon (az n=5 ábrán). Mivel a nagy négyzet területe 1, ezért minden kis négyzet területe . Minden kis négyzet oldala egyenlő, azaz. egyenlő A. Tehát = (1. képlet)

Most legyen a szám A egy végső tizedes tört, amely n tizedesjegyet tartalmaz (pontosabban a szám A lehet egész szám, és akkor n=0). Ekkor az m= szám

egész. Osszuk ezt az a oldalú négyzetet m 2 egyenlő négyzetekre a b) ábra szerint (az m=7 ábrán)
Ezenkívül egy adott négyzet minden oldala m egyenlő részre lesz osztva, és ezért bármely kis négyzet oldala egyenlő

Az 1. képlet szerint egy kis négyzet területe:

. Ezért ennek a négyzetnek az S területe egyenlő

Végül hagyja a számot A végtelen tizedes törtet jelent. Tekintsük azt a számot, amelyből a kapott A a tizedesvessző utáni összes tizedesjegy elvetésével (n+1) – th. A szám óta A eltér A n nem több, mint

, Azt , ahol

Nyilvánvaló, hogy egy adott négyzet S területe az oldalsó négyzet területe között van

A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témakört, amely szükséges a matematika egységes államvizsga 60-65 ponttal történő sikeres letételéhez. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.

Minden szükséges elmélet. Az egységes államvizsga gyors megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.

A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.

Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.

Egy geometriai alakzat területe- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az ábra méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
   Egy háromszög területe egyenlő egy háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a felével
   
2. A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
   
3. A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete oldalhosszonként
   Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
2. Képlet egy négyzet területének az átlós hossz mentén
   Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza.

Párhuzamos terület képletek

1. A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Egy paralelogramma területe
2. A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
   Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával.
   

   a b sin α

ahol S a paralelogramma területe,
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Egy rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Egy rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hossza alapján
   Egy rombusz területeátlói hosszának a felével egyenlő.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,
   

A világgeometria fejlődésének legősibb fogalmai számos egyenes vonalú alakzat területére vonatkozó fogalmak, köztük: téglalap, paralelogramma, háromszög és trapéz. Az ie 7. században az egyiptomiak tudták, hogyan kell kiszámítani a téglalap területét. Megszorozták a hosszúságot a szélességgel.

A babiloni aritmetika és algebra is meglehetősen fejlett volt, amint azt az ásatások során talált ékírásos táblák bizonyítják. A babiloni geometriának volt elképzelése a párhuzamos vonalak által metszett szegmensek arányosságáról, valamint a Pitagorasz-tételről, sőt egyes alakzatok térfogatának és területeinek kiszámításáról is. Ugyanakkor a babilóniaiak a mindennapi élet konkrét tárgyait térbeli alakként fogadták el. Például kerek épületek építésénél hozzávetőlegesen három átmérőjéből számították ki a kerületet. Kiszámolták a téglalap területét a megtett lépések számával. Nyilvánvalóan abban az időben az ilyen értékmeghatározások meglehetősen elfogadhatóak voltak. Az ilyen alkalmazott geometria a világ számos népére jellemző volt, és széles körben alkalmazták különféle vitás hétköznapi kérdések megoldásában.

Korának kiemelkedő tudósa, Arkhimédész a kimerülési módszert alkalmazta az alakzatok területére vonatkozó tételek bizonyítására. Valójában ez nem más, mint közvetett bizonyíték, amely ellentmondásból indul ki. Arkhimédész módszerének fő gondolata az, hogy a megfelelő figurákat kell beírni abba az alakba, amelynek területét keresik. A kimerülési módszer változatait felhasználva a kiváló tudós számos tételt tudott bizonyítani.

Tétel: A téglalap területe megegyezik a szomszédos oldalak szorzatával.

S = ab

Tehát van egy téglalapunk, amelynek két oldala van - a És b . A téglalap területe - S . Bizonyítsuk be S = ab .

A téglalapunkat alakítsuk négyzetté. Ehhez növeljük az oldalát b oldalhosszig a

Ennek eredményeként négy négyzetet kaptunk. Tudjuk, hogy egy négyzet területe (a + b) 2 . Ugyanakkor ezek a négyzetek két téglalapból állnak: egy S területű téglalapból és ugyanabból a területű téglalapból, valamint két területű négyzetből a 2 És b 2 . Abból a tényből kiindulva, hogy a négyszögünk nem egy, hanem több négyszögből áll, területe egyenlő lesz ezen négyszögek összes területének összegével. Ez a területek tulajdonából származik.

Négyzet egy szabályos négyszög, amelyben minden oldal és szög egyenlő egymással.
Egy négyzet területe egyenlő az oldalának négyzetével:
S = a 2

Bizonyíték

Kezdjük azzal az esettel, amikor a = 1/n, ahol n egész szám.
Vegyünk egy 1-es oldalú négyzetet, és osszuk fel n 2 egyenlő négyzetre, ahogy az 1. ábrán látható.

Mivel a nagy négyzet területe egy, ezért minden kis négyzet területe 1/n 2. Minden kis négyzet oldala 1/n, azaz egyenlő a-val. Így,
S = 1/n 2 = (1/n) 2 = a 2 . (1)
Most legyen a szám a egy véges tizedes tört, amely n tizedesjegyet tartalmaz (különösen az a szám lehet egész szám, ebben az esetben n = 0). Ekkor az m = a · 10 n szám egész szám. Osszuk ezt az a oldalú négyzetet m 2 egyenlő négyzetekre a 2. ábra szerint.

Ezenkívül egy adott négyzet minden oldala m egyenlő részre lesz osztva, és ezért bármely kis négyzet oldala egyenlő

a/m = a / (a ​​· 10 n) = 1/10 n.

A képlet szerint (1) A kis négyzet területe (1/10 n) 2 . Ennélfogva, Ennek a négyzetnek az S területe egyenlő

m 2 · (1/10 n) 2 = (m/10 n) 2 = ((a · 10 n)/10 n) 2 = a 2 .

Végül, legyen a szám a végtelen tizedes törtet jelent. Vegye figyelembe a számot a n, megszerzett valahonnan a-től kezdve minden tizedesjegy elvetésével (n+1) th. A szám óta a eltér a n nem több, mint 1/10 n, Azt a n ≤ a ≤ a n + 1/10 n, ahol

a n 2 ≤ a 2 ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (2)

Egyértelmű, hogy a terület S egy adott négyzet egy a n oldalú négyzet területe és egy a n + 1/10 n oldalú négyzet területe közé esik:

azaz között a n 2És (a n + 1/10 n) 2:

a n 2 ≤ S ≤ (a n + 1/10 n) 2 . (3)

A létszámot korlátlanul növeljük n. Aztán a szám 1/10 n tetszőlegesen kicsi lesz, és ezért az (a n + 1/10 n) 2 szám a kívánt mértékben el fog térni az a n 2 számtól. Ezért az egyenlőtlenségektől (2) És (3) ebből következik, hogy a szám S a kívánt mértékben eltér az a 2 számtól. Ezért ezek a számok egyenlőek: S = a 2, amit bizonyítani kellett.

A négyzet területe a következő képletekkel is meghatározható:

S = 4r 2,
S = 2R2,