A pi története egyszerű és érthető szavakkal. Néhány érdekes tény. Mivel egyenlő a Pi? Kiszámítási módszerek

A pi története

A p szám története, amely a kör kerületének és átmérőjének arányát fejezi ki, az ókori Egyiptomban kezdődött. Egy kör területe átmérővel d Az egyiptomi matematikusok úgy határozták meg (d-d/9) 2(ezt a bejegyzést itt modern szimbólumokkal adjuk meg). A fenti kifejezésből arra következtethetünk, hogy akkoriban a p számot egyenlőnek tekintették a törttel (16/9) 2 , vagy 256/81 , azaz p = 3,160...
A dzsainizmus szent könyvében (az egyik legrégebbi vallás, amely Indiában létezett és a Kr. e. 6. században keletkezett) van egy utalás, amelyből az következik, hogy az akkori p számot egyenlőnek vették, ami a törtet adja. 3,162...
Ókori görögök Eudoxus, Hippokratész mások pedig a kör mérését egy szakasz felépítésére, a kör mérését pedig egy egyenlő négyzet felépítésére redukálták. Meg kell jegyezni, hogy sok évszázadon keresztül a különböző országok és népek matematikusai megpróbálták racionális számként kifejezni a kerület és az átmérő arányát.

Archimedes 3. században IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. „Measuring a Circle” című rövid munkájában három felvetést támaszt alá:

Minden kör mérete egyenlő egy derékszögű háromszöggel, amelynek a lábai rendre megegyeznek a kör hosszával és sugarával;

A kör területei az átmérőre épített négyzethez kapcsolódnak, as 11-től 14-ig;

Bármely körnek az átmérőjéhez viszonyított aránya kisebb 3 1/7 és több 3 10/71 .

Az utolsó mondat Archimedes szabályos beírt és körülírt sokszögek kerületének szekvenciális számítása indokolt oldalaik számának megkétszerezésével. Először megduplázta a szabályos beírt és beírt hatszögek oldalszámát, majd a kétszögek stb. oldalszámát, így a számításokat a 96 oldalú szabályos beírt és beírt sokszögek kerületére hozta. Pontos számítások szerint Archimedes a kerület és az átmérő aránya a számok közé van zárva 3*10/71 És 3*1/7 , ami azt jelenti, hogy p = 3,1419... Ennek a kapcsolatnak az igazi értelme 3,1415922653...
Az 5. században IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. kínai matematikus Zu Chongzhi ennél a számnál pontosabb értéket találtunk: 3,1415927...
A 15. század első felében. obszervatórium Ulugbek, közel Szamarkand, csillagász és matematikus al-Kashi p-t 16 tizedesjegy pontossággal számoljuk. 27-szer megduplázta a sokszögek oldalainak számát, és 3*2 28 szögű sokszöghez jutott. Al-Kashi egyedi számításokat készített, amelyekre szükség volt a szinusztáblázat lépésenkénti összeállításához 1" . Ezek a táblázatok fontos szerepet játszottak a csillagászatban.
Másfél évszázaddal később Európában F. Viet a sokszög oldalainak 16-szoros megkétszerezésével talált egy p számot, amelyben csak 9 helyes tizedesjegy található. De ugyanakkor F. Viet volt az első, aki észrevette, hogy p bizonyos sorozatok határértékei segítségével megtalálható. Ennek a felfedezésnek nagy jelentősége volt, mivel lehetővé tette p tetszőleges pontosságú kiszámítását. Csak 250 év múlva al-Kashi eredményét felülmúlták.
Az első, aki bevezette a kerület és az átmérő arányának jelölését a modern p szimbólummal, egy angol matematikus W. Johnson 1706-ban. Jelképnek a görög szó első betűjét vette fel "periféria", ami lefordítva azt jelenti "kör". Belépett W. Johnson a megnevezés a művek megjelenése után vált általánossá L. Euler, aki ben használta először a beírt karaktert 1736 G.
A 18. század végén. A.M.Lagendre művek alapján I. G. Lambert bebizonyította, hogy a p szám irracionális. Aztán a német matematikus F. Lindeman kutatások alapján S.Ermita, szigorú bizonyítékot talált arra, hogy ez a szám nemcsak irracionális, hanem transzcendentális is, i.e. nem lehet algebrai egyenlet gyöke. Ez utóbbiból az következik, hogy csak egy iránytű és egy vonalzó segítségével hozzon létre egy szakaszt, amelynek kerülete megegyezik lehetetlen, és ezért nincs megoldás a kör négyzetre emelésének problémájára.
A p pontos kifejezésének keresése a munka után folytatódott F. Vieta. A 17. század elején. holland matematikus Kölnből Ludolf van Zeijlen(1540-1610) (egyes történészek úgy hívják L. van Keulen) 32 helyes jelet talált. Azóta (kiadás éve 1615) a p szám 32 tizedesjegyű értékét számnak hívják. Ludolph.
A 19. század végére 20 év kemény munka után az angol William Shanks o szám 707 számjegyét találta. 1945-ben azonban egy számítógép segítségével felfedezték, hogy Shanks számításaiban az 520. számjegyben hibázott és további számításai hibásnak bizonyultak.
A differenciál- és integrálszámítás módszereinek kidolgozása után sok olyan képletet találtak, amelyek a "pi" számot tartalmazzák. Ezen képletek némelyike ​​lehetővé teszi a pi kiszámítását a módszertől eltérő technikák használatával Archimedesés racionálisabb. Például a pi számhoz juthatunk, ha megkeresünk bizonyos sorozatok határait. Így, G. Leibniz(1646-1716) 1674-ben kapott sort

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p /4,

amely lehetővé tette p kiszámítását rövidebb módon, mint Archimedes. Ez a sorozat azonban nagyon lassan konvergál, ezért meglehetősen hosszadalmas számításokat igényel. A "pi" kiszámításához kényelmesebb a bővítésből kapott sorozatot használni arctg x értékben x=1/ , amelyben a függvény kiterjesztése arctan 1/=p /6 sorozatban egyenlőséget ad

p /6 = 1/,
azok.
p= 2

Ennek a sorozatnak a részösszegei kiszámíthatók a képlet segítségével

S n+1 = S n + (2)/(2n+1) * (-1/3) n,

ebben az esetben a „pi”-t a kettős egyenlőtlenség korlátozza:

Még kényelmesebb képlet a számításhoz p kapott J. Machin. Ezzel a képlettel számolt p(1706-ban) 100 helyes karakter pontossággal. A pi jó közelítését adja meg

Nem szabad azonban elfelejteni, hogy ezt az egyenlőséget hozzávetőlegesnek kell tekinteni, mert a jobb oldala egy algebrai szám, a bal oldala pedig egy transzcendentális szám, ezért ezek a számok nem lehetnek egyenlőek.
Ahogy a cikkeiben is jelezte E.Ya.Bakhmutskaya(XX. század 60-as évei), a XV-XVI. században. Dél-indiai tudósok, köztük Nilakanta, a p szám közelítő számítási módszereivel megtaláltuk az arctán lebontásának módját x a talált sorozathoz hasonló hatványsorba Leibniz. Az indiai matematikusok szóban megfogalmazták a sorozatok kiterjesztésének szabályait szinuszÉs koszinusz. Ezzel előrevetítették a 17. századi európai matematikusok felfedezését. Mindazonáltal a gyakorlati igények által elszigetelt és behatárolt számítási munkájuk nem volt hatással a tudomány további fejlődésére.
Korunkban a számítógépek munkáját felváltották a számítógépek. Segítségükkel több mint egymillió tizedesjegy pontossággal számították ki a "pi" számot, és ezek a számítások mindössze néhány óráig tartottak.
A modern matematikában a p szám nemcsak a kerület és az átmérő aránya, hanem számos különféle képletben szerepel, beleértve a nem euklideszi geometria képleteit és a képletet. L. Euler, amely kapcsolatot létesít a p szám és a szám között e a következő módon:

e 2 p én = 1 , Ahol én = .

Ez és más kölcsönös függőségek lehetővé tették a matematikusok számára, hogy jobban megértsék a p szám természetét.

Március 14-én egy nagyon szokatlan ünnepet ünnepelnek szerte a világon - a Pi-napot. Iskola óta mindenki tudja. A tanulóknak azonnal elmagyarázzák, hogy a Pi szám egy matematikai állandó, a kör kerületének és átmérőjének aránya, amelynek végtelen értéke van. Kiderült, hogy sok érdekes tény kapcsolódik ehhez a számhoz.

1. A számok története több mint ezer évre nyúlik vissza, majdnem addig, amíg a matematika tudománya létezik. Természetesen a szám pontos értékét nem számolták ki azonnal. Eleinte a kerület és az átmérő arányát 3-nak tekintették. Idővel azonban, amikor az építészet kezdett fejlődni, pontosabb mérésre volt szükség. A szám egyébként létezett, de betűjelölést csak a 18. század elején (1706) kapott, és két görög szó kezdőbetűiből származik, amelyek jelentése „kör” és „kör”. A „π” betűt Jones matematikus adta a számnak, és már 1737-ben szilárdan meghonosodott a matematikában.

2. Különböző korokban és a különböző népeknél a Pi szám eltérő jelentéssel bírt. Például az ókori Egyiptomban 3,1604 volt, a hinduknál 3,162-t, a kínaiak pedig 3,1459-et használtak. Idővel a π-t egyre pontosabban számították ki, és amikor megjelent a számítástechnika, vagyis a számítógép, kezdett több mint 4 milliárd karakterből állni.

3. Van egy legenda, vagy inkább a szakértők úgy vélik, hogy a Pi számot használták a Bábel-torony építésekor. Összeomlását azonban nem Isten haragja, hanem az építkezés közbeni hibás számítások okozták. Például az ókori mesterek tévedtek. Hasonló változat létezik Salamon templomával kapcsolatban is.

4. Figyelemre méltó, hogy a Pi értékét még állami szinten, vagyis törvényen keresztül is igyekeztek bevezetni. 1897-ben Indiana állam törvényjavaslatot készített. A dokumentum szerint a Pi 3,2 volt. A tudósok azonban időben beavatkoztak, és így megakadályozták a hibát. Különösen Perdue professzor, aki jelen volt a törvényhozói ülésen, emelt szót a törvényjavaslat ellen.

5. Érdekes, hogy a Pi végtelen sorozatban számos számnak saját neve van. Tehát a Pi hat kilencesét az amerikai fizikusról nevezték el. Richard Feynman egyszer előadást tartott, és egy megjegyzéssel elkábította a hallgatóságot. Azt mondta, hogy meg akarta jegyezni a Pi számjegyeit hat kilencig, de a történet végén hatszor kimondta a „kilenc” szót, ami arra utal, hogy a jelentése racionális. Bár valójában irracionális.

6. A világ matematikusai nem hagyják abba a Pi számmal kapcsolatos kutatásokat. Szó szerint valami rejtély övezi. Egyes teoretikusok még azt is hiszik, hogy egyetemes igazságot tartalmaz. A Pi-vel kapcsolatos ismeretek és új információk cseréje érdekében Pi Klubot szerveztek. Nem könnyű csatlakozni; rendkívüli memóriára van szükséged. Így megvizsgálják a klubtaggá kívánókat: az embernek fejből kell elmondania a Pi szám minél több jelét.

7. Különféle technikákat is kitaláltak a tizedesvessző utáni Pi szám megjegyezésére. Például egész szövegekkel állnak elő. Ezekben a szavaknak ugyanannyi betűje van, mint a tizedesvessző utáni megfelelő számnak. Hogy még könnyebb legyen megjegyezni egy ilyen hosszú számot, ugyanazon elv szerint verseket alkotnak. A Pi Club tagjai gyakran szórakoznak így, ugyanakkor edzik a memóriájukat és az intelligenciájukat. Például Mike Keithnek volt ilyen hobbija, aki tizennyolc évvel ezelőtt kitalált egy történetet, amelyben minden szó csaknem négyezer (3834) Pi első számjegyének felel meg.

8. Vannak, akik rekordokat döntöttek a Pi jelek memorizálásában. Tehát Japánban Akira Haraguchi több mint nyolcvanháromezer karaktert memorizált. De a hazai rekord nem ennyire kiemelkedő. Egy cseljabinszki lakosnak csak két és félezer számot sikerült fejből elmondania a Pi tizedesvesszője után.

"Pi" perspektívában

9. A Pi-napot több mint negyed évszázada, 1988 óta ünneplik. Egy napon Larry Shaw, a San Francisco-i populáris tudományos múzeum fizikusa észrevette, hogy március 14-e egybeesik a Pi számmal. A dátum, a hónap és a nap űrlapon 3.14.

10. A Pi-napot nem éppen eredeti módon, hanem szórakoztató módon ünneplik. Természetesen az egzakt tudományokkal foglalkozó tudósok nem hagyják ki. Számukra ez egy módja annak, hogy ne szakadjanak el attól, amit szeretnek, de egyúttal kikapcsolódjanak. Ezen a napon az emberek összegyűlnek és különféle finomságokat készítenek Pi képével. Különösen a cukrászoknak van hely a barangolásra. Készíthetnek tortákat, amelyekre pi van írva, és hasonló formájú sütiket. A finomságok megkóstolása után a matematikusok különféle vetélkedőket rendeznek.

11. Van egy érdekes egybeesés. Március 14-én megszületett a nagy tudós Albert Einstein, aki, mint tudjuk, megalkotta a relativitáselméletet. Bárhogy is legyen, a fizikusok is csatlakozhatnak a Pi-nap ünnepléséhez.

Pi- egy matematikai állandó, amely egyenlő a kör kerületének és átmérőjének arányával. A pi szám egy végtelen, nem periodikus tizedes tört digitális ábrázolása – 3,141592653589793238462643... és így tovább a végtelenségig.

100 tizedesjegy: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 74944 59230 78164 59230 78164 304 828 828 2828 1 70679.

A pi érték finomításának története

Minden szórakoztató matematikáról szóló könyvben biztosan talál egy történetet a pi értékének tisztázásáról. Eleinte az ókori Kínában, Egyiptomban, Babilonban és Görögországban törtszámokat használtak a számításokhoz, például 22/7 vagy 49/16. A középkorban és a reneszánszban az európai, indiai és arab matematikusok a pi értékét a tizedesvessző utáni 40 számjegyre finomították, majd a számítógép-korszak kezdetére sok rajongó erőfeszítésével a pi számot felemelték. 500.

Az ilyen pontosság pusztán akadémiai érdeklődésre számot tartó (erről bővebben lentebb), de a Földön belüli gyakorlati igényekhez 10 tizedesjegy is elegendő. A Föld 6400 km-es vagy 6,4·10 9 mm-es sugarával kiderül, hogy a tizedespont utáni pi tizenkettedik számjegyét elvetve a meridián hosszának kiszámításakor több millimétert tévedünk. És a Föld Nap körüli keringésének hosszának kiszámításakor (sugara 150 millió km = 1,5 10 14 mm), ugyanilyen pontossághoz elegendő a pi számot tizennégy tizedesjegy pontossággal használni. A Nap és a Plútó, a Naprendszer legtávolabbi bolygója közötti átlagos távolság 40-szer nagyobb, mint a Föld és a Nap közötti átlagos távolság. A Plútó pályájának hosszának több milliméteres hibával történő kiszámításához elegendő tizenhat pi számjegy. Minek törődni apróságokkal, Galaxisunk átmérője körülbelül 100 ezer fényév (1 fényév körülbelül 10 13 km) vagy 10 19 mm, és a 17. században mégis 35 pi jelet kaptak, még az ilyeneknél is túlzó. távolságok.

Milyen nehézséget okoz a pi értékének kiszámítása? Az tény, hogy nem csak irracionális, vagyis nem fejezhető ki p/q törtként, ahol p és q egész számok. Az ilyen számokat nem lehet pontosan felírni, csak egymás utáni közelítésekkel számíthatók ki, a lépések számának növelésével a nagyobb pontosság érdekében. A legegyszerűbb módszer, ha figyelembe vesszük az egyre növekvő oldalszámú körbe írt szabályos sokszögeket, és kiszámítjuk a sokszög kerületének és átmérőjének arányát. Az oldalak számának növekedésével ez az arány a pi-re hajlamos. Így számolta ki 1593-ban Adrian van Romen egy 1073741824 (azaz 2 30) oldalú szabályos sokszög kerületét, és határozta meg a pi 15 számjegyét. 1596-ban Ludolf van Zeijlen 20 jelet kapott egy 60 2 33 oldalú beírt sokszög kiszámításával. Ezt követően a számításokat 35 karakterre hozta.

A pi kiszámításának másik módja a végtelen számú tagból álló képletek használata. Például:

π = 2 2/1 (2/3 4/3) (4/5 6/5) (6/7 8/7) ...

π = 4 (1/1 - 1/3) + (1/5 - 1/7) + (1/9 - 1/11) + ...

Hasonló képleteket kaphatunk például a Maclaurin sorozat arctangensének kiterjesztésével, ennek ismeretében

arctan(1) = π/4(mivel tg(45°) = 1)

vagy az arcszinusz kiterjesztése sorozatban, annak tudatában

arcsin(1/2) = π/6(30°-os szöggel szemben fekvő oldal).

A modern számítások még hatékonyabb módszereket alkalmaznak. A mai segítségükkel.

Pi nap

A Pi-napot egyes matematikusok március 14-én 1:59-kor ünneplik (az amerikai dátumrendszerben - 3/14; a szám első számjegyei π = 3,14159). Általában 13 óra 59 perckor ünneplik (a 12 órás rendszerben), de aki a 24 órás világos időrendszert tartja be, az 13 óra 59 percnek tartja, és inkább éjszaka ünnepel. Ilyenkor dicsérő beszédet olvasnak a pi szám, az emberiség életében betöltött szerepe tiszteletére, disztópikus képeket rajzolnak a pi nélküli világról, és pi-rogot esznek ( pite), igyon italokat és játsszon pi betűkkel kezdődő játékokat.

• Pi (szám) - Wikipédia

Mielőtt beszélnénk pi története , megjegyezzük, hogy a Pi szám az egyik legrejtélyesebb mennyiség a matematikában. Ezt most te is meglátod, kedves olvasóm...

Kezdjük történetünket egy meghatározással. Tehát a Pi szám absztrakt szám , amely egy kör kerületének és átmérőjének hosszának arányát jelzi. Ezt a meghatározást már iskolás korunk óta ismerjük. De aztán elkezdődnek a rejtélyek...

Ezt az értéket nem lehet teljesen kiszámítani, egyenlő 3,1415926535 , majd a tizedesvessző után - a végtelenségig. A tudósok úgy vélik, hogy a számsor nem ismétlődik, és ez a sorozat teljesen véletlenszerű...

Pi rejtélye Ezzel még nincs vége. A csillagászok biztosak abban, hogy ebben a számban harminckilenc tizedesjegy elég ahhoz, hogy kiszámítsák a kerületet, amely az Univerzum ismert kozmikus objektumait veszi körül, a hidrogénatom sugarának hibájával...

irracionális , azaz nem fejezhető ki törtként. Ezt az értéket transzcendentális – azaz nem érhető el egész számokon végzett műveletek végrehajtásával….

A Pi szám szorosan összefügg az aranymetszés fogalmával. A régészek megállapították, hogy a gízai nagy piramis magassága összefügg az alapja hosszával, ahogy a kör sugara a hosszával...

A P szám története szintén rejtély marad. Ismeretes, hogy az építők is ezt az értéket használták a tervezéshez. Megőrzött, több ezer éves, amely olyan problémákat tartalmazott, amelyek megoldása a Pi szám használatával járt. Ennek az értéknek a pontos értékéről azonban a különböző országokból származó tudósok véleménye kétértelmű volt. Tehát Susa városában, amely Babilontól kétszáz kilométerre található, találtak egy táblát, amelyen a Pi szám volt feltüntetve. 3¹/8 . Az ókori Babilonban felfedezték, hogy a kör sugara húrként hatszor lép be, és itt javasolták először a kör 360 fokos felosztását. Mellesleg jegyezzük meg, hogy hasonló geometriai műveletet hajtottak végre a Nap keringésével, ami arra az elképzelésre vezette az ókori tudósokat, hogy körülbelül 360 napnak kell lennie egy évben. Egyiptomban azonban a Pi szám egyenlő volt 3,16 és az ókori Indiában - 3, 088 , az ókori Olaszországban - 3,125 . úgy vélték, hogy ez a mennyiség egyenlő a törttel 22/7 .

A Pi számot egy kínai csillagász számította ki a legpontosabban Zu Chun Zhi a Kr.u. 5. században. Ehhez kétszer írt páratlan számokat 11 33 55, majd kettéosztotta, az első részt a tört nevezőjébe, a második részt a számlálóba helyezte, így kapott egy törtet 355/113 . Meglepő módon az érték a hetedik számjegyig egybeesik a modern számításokkal...

Ki adta az első hivatalos nevet ennek a mennyiségnek?

Úgy tartják, hogy 1647-ben matematikus Outtrade a görög π betűt a kör kerületére nevezték el, a görög szó első betűjét véve erre περιφέρεια – „periféria” . De 1706-ban Kijött az angol tanári munka William Jones „Review of the Achievements of Mathematics”, amelyben Pi betűvel jelölte a kör kerületének és átmérőjének arányát. Ezt a szimbólumot végül kijavították században matematikus Leonhard Euler .

Amióta az emberek képesek voltak számolni, és elkezdték feltárni a számoknak nevezett absztrakt objektumok tulajdonságait, érdeklődő elmék generációi tettek lenyűgöző felfedezéseket. A számokkal kapcsolatos ismereteink gyarapodásával egyesek különös figyelmet keltettek, sőt, némelyik misztikus jelentést is kapott. Volt, ami nem jelent semmit, és amely bármilyen számmal megszorozva önmagát adja. Volt mindennek a kezdete, ritka tulajdonságokkal, prímszámokkal is. Aztán rájöttek, hogy vannak olyan számok, amelyek nem egész számok, de néha két egész szám elosztásával kapják őket - racionális számok. Irracionális számok, amelyek nem kaphatók meg egész számok arányaként stb. De ha van olyan szám, amely elbűvölte és sok írást írt, akkor az (pi). Egy szám, amelyet a hosszú történelem ellenére csak a XVIII.

Rajt

A pi számot úgy kapjuk meg, hogy a kör kerületét elosztjuk az átmérőjével. Ebben az esetben a kör mérete nem fontos. Nagy vagy kicsi, a hossz és az átmérő aránya azonos. Bár valószínű, hogy ez a tulajdonság korábban ismert volt, ennek a tudásnak a legkorábbi bizonyítéka a moszkvai matematikai papirusz Kr.e. 1850-ből. és az Ahmesz papirusz Kr.e. 1650. (bár ez egy régebbi dokumentum másolata). Számos matematikai feladatot tartalmaz, amelyek közül néhány megközelíti az as értéket, ami valamivel több, mint 0,6\%-kal eltér a pontos értéktől. Ez idő tájt a babilóniaiak egyenlő félnek számítottak. A több mint tíz évszázaddal később írt Ószövetségben Jahve egyszerűnek tartja a dolgokat, és isteni rendelettel megállapítja, hogy mi az, ami pontosan egyenlő.

Ennek a számnak a nagy felfedezői azonban az ókori görögök voltak, mint Anaxagorasz, Khiosz Hippokratész és az athéni Antiphón. Korábban szinte biztosan kísérleti mérésekkel határozták meg az értéket. Archimedes volt az első, aki megértette, hogyan lehet elméletileg értékelni a jelentőségét. A körülírt és beírt sokszögek használata (a nagyobbat a kör köré írják körül, amelybe a kisebbet írják) lehetővé tette annak meghatározását, hogy melyik a nagyobb és melyik a kisebb. Arkhimédész módszerével más matematikusok jobb közelítéseket kaptak, és Zu Chongzhi már 480-ban megállapította, hogy az értékek és között vannak. A sokszög-módszer azonban sok számítást igényel (ne feledjük, mindent kézzel csináltak, és nem egy modern számrendszerben), így nem volt jövője.

Reprezentáció

A 17. századig kellett várni, amikor a végtelen sorozat felfedezésével a számítások forradalma ment végbe, bár az első eredmény nem volt a közelben, termék volt. A végtelen sorozatok végtelen számú kifejezés összegei, amelyek egy bizonyos sorozatot alkotnak (például azon alak összes száma, ahol értéket vesz fel a végtelenbe). Sok esetben az összeg véges, és többféle módszerrel meghatározható. Kiderül, hogy ezeknek a sorozatoknak egy része konvergál vagy ehhez kapcsolódik. Ahhoz, hogy a sorozatok konvergáljanak, szükséges (de nem elégséges), hogy az összegzett mennyiségek növekedésük során nullára hajlanak. Így minél több számot adunk össze, annál pontosabb értéket kapunk. Most két lehetőségünk van a pontosabb érték megszerzésére. Vagy adjon hozzá több számot, vagy keressen egy másik sorozatot, amely gyorsabban konvergál, így kevesebb számot adhat hozzá.

Ennek az új megközelítésnek köszönhetően a számítás pontossága drámaian megnőtt, és William Shanks 1873-ban publikálta sokéves munka eredményét, amely 707 tizedesjegy pontosságú értéket adott meg. Szerencsére nem élte meg 1945-öt, amikor kiderült, hogy hibát követett el, és azóta minden szám téves volt. Az ő megközelítése azonban a számítógépek megjelenése előtt volt a legpontosabb. Ez volt az utolsó előtti forradalom a számítástechnikában. Azok a matematikai műveletek, amelyek manuális végrehajtása több percet vesz igénybe, most a másodperc töredéke alatt, gyakorlatilag hiba nélkül fejeződik be. John Wrenchnek és L. R. Smith-nek sikerült 70 óra alatt 2000 számjegyet kiszámolnia az első elektronikus számítógépen. A millió számjegyű határt 1973-ban érték el.

A számítástechnika legújabb (jelenlegi) előrelépése az iteratív algoritmusok felfedezése, amelyek a végtelennél gyorsabb sorozatokhoz konvergálnak, így sokkal nagyobb pontosság érhető el azonos számítási teljesítmény mellett. A jelenlegi rekord valamivel több, mint 10 billió helyes számjegy. Miért kell ilyen pontosan számolni? Tekintettel arra, hogy ennek a számnak a 39 számjegyének ismeretében az ismert Univerzum térfogatát a legközelebbi atomra ki tudod számolni, még nincs szükség....

Néhány érdekes tény

Az érték kiszámítása azonban csak egy kis része a történetnek. Ez a szám olyan tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek ezt az állandót olyan érdekessé teszik.

Talán az ezzel kapcsolatos legnagyobb probléma a körprobléma jól ismert négyzetesítése, az a probléma, hogy egy körzővel és egyenes éllel olyan négyzetet hozzunk létre, amelynek területe megegyezik egy adott kör területével. A kör négyzetre emelése matematikusok generációit gyötörte huszonnégy évszázadon át, mígnem von Lindemann bebizonyította, hogy transzcendentális számról van szó (nem megoldás egyetlen racionális együtthatós polinomiális egyenletre sem), és ezért lehetetlen megragadni a mérhetetlenséget. 1761-ig nem bizonyították be, hogy a szám irracionális, vagyis hogy nincs két természetes szám és olyan, hogy. A transzcendenciát 1882-ig nem bizonyították, de még nem tudni, hogy a számok vagy (ez egy másik irracionális transzcendentális szám) irracionálisak-e. Sok olyan kapcsolat jelenik meg, amely nem kapcsolódik a körökhöz. Ez a normál funkció normalizálási tényezőjének része, amely látszólag a legszélesebb körben használt statisztika. Ahogy korábban említettük, egy szám sok sorozat összegeként jelenik meg, és egyenlő végtelen szorzattal, fontos a komplex számok tanulmányozásában is. A fizikában (az alkalmazott mértékegységrendszertől függően) a kozmológiai állandóban (Albert Einstein legnagyobb hibája) vagy az állandó mágneses térállandóban található. Egy tetszőleges bázisú (tizedes, bináris...) számrendszerben a számok minden véletlenszerűségi próbán megfelelnek, nincs megfigyelt sorrend vagy sorozat. A Riemann zéta függvény szorosan összefügg a számokkal a prímszámokkal. Ez a szám hosszú múltra tekint vissza, és valószínűleg még mindig sok meglepetést tartogat.

Ha összehasonlítja a különböző méretű köröket, akkor a következőket veszi észre: a különböző körök mérete arányos. Ez azt jelenti, hogy ha egy kör átmérője bizonyos számú alkalommal nő, akkor ennek a körnek a hossza is ugyanannyiszor növekszik. Matematikailag ez így írható fel:

C 1		C 2
	=
d 1		d 2	(1)

ahol C1 és C2 két különböző kör hossza, d1 és d2 pedig átmérőjük.
Ez az összefüggés arányossági együttható – a számunkra már ismert π állandó – jelenlétében működik. Az (1) összefüggésből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a C kör hossza egyenlő e kör átmérőjének és a körtől független π arányossági együtthatónak a szorzatával:

C = π d.

Ez a képlet más formában is felírható, kifejezve egy adott kör R sugarán keresztül a d átmérőt:

С = 2π R.

Ez a képlet pontosan a hetedikesek kalauza a körök világába.

Ősidők óta az emberek megpróbálták megállapítani ennek az állandónak az értékét. Például Mezopotámia lakosai a következő képlet segítségével számították ki egy kör területét:

Honnan jön a π = 3?

Az ókori Egyiptomban a π értéke pontosabb volt. Kr.e. 2000-1700-ban egy Ahmesz nevű írnok összeállított egy papiruszt, amelyben különféle gyakorlati problémák megoldására találunk recepteket. Tehát például egy kör területének megtalálásához a következő képletet használja:

			8			2
S	=	(		d	)
			9

Milyen okokból jutott el ehhez a képlethez? – Ismeretlen. Valószínűleg azonban az ő megfigyelései alapján, ahogy más ókori filozófusok is tették.

Arkhimédész nyomában

A két szám közül melyik nagyobb, mint 22/7 vagy 3,14?
- Egyenrangúak.
- Miért?
- Mindegyik egyenlő π-vel.
A. A. Vlaszov. A vizsgakártyáról.

Vannak, akik úgy vélik, hogy a 22/7 tört és a π szám azonos. De ez tévhit. A fenti helytelen vizsgán (lásd az epigráfot) kívül egy nagyon szórakoztató rejtvényt is hozzáadhat ehhez a csoporthoz. A feladat így hangzik: „rendezzünk egy mérkőzést úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen.”

A megoldás a következő lenne: a bal oldali két függőleges gyufához „tetőt” kell képezni, a jobb oldali nevezőben található függőleges gyufák egyikét használva. A π betű vizuális képét kapja.

Sokan tudják, hogy a π = 22/7 közelítést az ókori görög matematikus, Arkhimédész határozta meg. Ennek tiszteletére ezt a közelítést gyakran „archimedesi” számnak nevezik. Archimédésznek nemcsak közelítő értékét sikerült megállapítania π-re, hanem megtalálta ennek a közelítésnek a pontosságát is, nevezetesen, hogy találjon egy szűk numerikus intervallumot, amelyhez a π érték tartozik. Arkhimédész egyik művében az egyenlőtlenségek láncolatát bizonyítja, amely modern módon így nézne ki:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

egyszerűbben is leírható: 3 140 909< π < 3,1 428 265...

Amint az egyenlőtlenségekből láthatjuk, Arkhimédész meglehetősen pontos értéket talált 0,002-es pontossággal. A legmeglepőbb az, hogy az első két tizedesjegyet találta: 3,14... Ezt az értéket használjuk leggyakrabban egyszerű számításoknál.

Gyakorlati használat

Két ember utazik a vonaton:
- Nézd, a sínek egyenesek, a kerekek kerekek.
Honnan jön a kopogás?
- Honnan? A kerekek kerekek, de a terület
kör pi er négyzet, ez a négyzet, ami kopog!

Általában a 6-7. osztályban ismerkednek meg ezzel a csodálatos számmal, de a 8. osztály végére alaposabban tanulmányozzák. A cikknek ebben a részében bemutatjuk azokat az alapvető és legfontosabb képleteket, amelyek hasznosak lesznek a geometriai feladatok megoldásában, de kezdetben megegyezünk abban, hogy a π-t 3,14-nek vesszük a számítás megkönnyítése érdekében.

Talán a leghíresebb képlet az iskolások körében, amely π-t használ, a kör hosszának és területének képlete. Az első, a kör területének képlete a következőképpen van írva:

	π D 2
S=π R 2 =
	4

ahol S a kör területe, R a sugara, D a kör átmérője.

A kör kerületét, vagy ahogy néha nevezik, a kör kerületét a következő képlettel számítjuk ki:

C = 2 π R = π d,

ahol C a kerülete, R a sugara, d a kör átmérője.

Nyilvánvaló, hogy a d átmérő egyenlő két R sugárral.

A kerület képletéből könnyen megtalálhatja a kör sugarát:

ahol D a kör átmérője, C a kerülete, R a kör sugara.

Ezek olyan alapképletek, amelyeket minden tanulónak tudnia kell. Ezenkívül néha nem a teljes kör területét kell kiszámítani, hanem csak annak egy részét - az ágazatot. Ezért bemutatjuk Önnek - egy képletet a kör szektorának területének kiszámításához. Így néz ki:

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

ahol S a szektor területe, R a kör sugara, α a középponti szög fokban.

Olyan titokzatos 3.14

Valóban, titokzatos. Mert ezeknek a varázslatos számoknak a tiszteletére ünnepeket szerveznek, filmeket készítenek, nyilvános rendezvényeket tartanak, verseket írnak és még sok minden mást.

Például 1998-ban bemutatták Darren Aronofsky amerikai rendező „Pi” című filmjét. A film számos díjat kapott.

Minden év március 14-én 1:59:26-kor a matematika iránt érdeklődők a "Pi-napot" ünneplik. Az ünnepre az emberek kerek tortát készítenek, kerek asztalhoz ülnek és megbeszélik a Pi számot, oldanak meg Pi-vel kapcsolatos feladatokat, rejtvényeket.

A költők is felfigyeltek erre a csodálatos számra; egy ismeretlen személy ezt írta:
Csak meg kell próbálnia mindent úgy emlékezni, ahogy van – három, tizennégy, tizenöt, kilencvenkettő és hat.

Érezzük jól magunkat!

Érdekes rejtvényeket kínálunk a Pi számmal. Fejtsd ki az alábbiakban titkosított szavakat.

1. π R

2. π L

3. π k

Válaszok: 1. lakoma; 2. Fájl; 3. Nyikorgás.

Tatiana Durimanova

Létrehoztam egy oldalt a Facebookon „A nyelv mint életfilozófia”. Tulajdonképpen „Jegyzetek egy őrültek házából”-nak akartam nevezni, mert mi más, mint egy őrültek háza képviseli modern életünket? Nem, nem arról fogok beszélni, hogy mindenki rohan valahova, nincs ideje valamire, mindig hiányzik valami: idő, pénz stb. Hogy hatalmába kerít bennünket a félreértés hulláma, hogy mi történik körülöttünk, merre tart a világ...
Úgy forogunk, mint a mókusok a kerékben. Úgy érezzük, egy ördögi körben futunk. Elveszítjük baráti körünket, ördögi körbe kerülünk... Ismerősen hangzik? És reggel-nappal-este-éjjel, és megint körben. Tavasz-nyár-ősz-tél, és megint egy körben.
Egyébként ki tudná pontosan megmondani, hogy a reggel mikor adja át helyét az éjszakának, a télnek, a tavasznak? Egyáltalán lehetséges-e egyértelmű határvonalat húzni a csirke és a tojás között, és elválaszthatók? Talán jobb lenne felismerni, hogy a tojás potenciális csirke, a csirke potenciális tojás, és ezek nem választhatók el egymástól. Hol érek véget és kezdődnek a problémáim, a gyerekeim, barátaim stb. problémái, akik az enyémekké válnak, pusztán azért, mert egy lakásban, házban, városban, világban élünk? Az Úristen azt mondta nekünk, hogy a nulla órát Greenwich határozza meg, engem Tatyánának kell hívni, egy széket pedig szék? Hol ér véget a valós (szubsztanciális) világ és hol kezdődik az általunk kitalált világ?
A Föld a tengelye körül és keringési pályán forog (kör, ellipszis – mi a különbség?). A galaxisok forognak. A tudósok torziós mezőket fedeztek fel, amelyek bebizonyították, hogy... „Albert Einstein relativitáselmélete szerint a világ nem pontosan úgy van felépítve [ahogyan az iskolában tanítottak és tanítottak]), van benne egy térgörbület, így két egyenes, amelyek egy adott térterületen párhuzamosak, a hosszuk bizonyos szakaszán keresztezhetik egymást. Nemrég kísérletileg beigazolódott Einstein feltevése a tér görbületéről” (Alexander Babitsky).
És mindannyian haladunk A pontból B pontba, abban a hitben, hogy egy egyenesen vannak.
És miért hozott ez engem, nyelvészt a fizikába, kérdezed? Igen, mert körülöttünk és bennünk minden fizika. A nyelv fizika. A hangok nem a fizika birodalmába tartoznak? Most mondd meg, mi az a magánhangzó? A hangok „aranyos” meghatározását ajánlom a 21. századra: „Kiejtjük és halljuk a hangokat, írunk és látunk betűket. Magánhangzó hang kiejtésekor a levegő nem ütközik akadályba: [a], [o], [u], [i], [s], [e]. A mássalhangzó hang kiejtésekor a levegő akadályba ütközik: ajkakkal, fogakkal, nyelvvel. A mássalhangzó hangot hanggal és zajjal, vagy csak zajjal ejtik ki.”
Elvileg minden helyes. Egyszerűen dúdolhat egy „magánhangzó hanggal”, anélkül, hogy kinyitná az ajkát. Egészségedre. De ha kinyitja az ajkát, akkor a mindannyiunk számára ismerős „a”, „e” hangokat kapja, amelyek csak az ajkak lekerekítésének, nyújtásának vagy csőbe húzásának mértékében különböznek egymástól. Egyetértesz? Olyan mint a görögdinnye, amit lehet szeletekre, kockákra, figurákra vágni, de attól még görögdinnye marad!!! És melyik ponton válik az „a” hang „o”-vá? Van egyértelmű határ? Természetesen a magánhangzó hangminőségét befolyásolhatja a nyelv helyzete (hátsó hangok), az állkapocs leengedése, ismét a nyelv megfelelő helyzete, de ez még mindig ugyanaz a görögdinnye, formára vágva.
A mássalhangzó hang gátja a magánhangzónak. Hogyan lehet ilyen akadályt létrehozni? Olvassa el fent: ajkak, fogak, nyelv. Vagyis eléggé korlátozottak a beszéd eszközei, de micsoda nyelvek bősége!!! (Hogy tetszik a 7 hang és a rengeteg zene?)
Most gondoljunk bele: a macskának van ez az eszközkészlete, egy kutyának, egy delfinnek, és általában a halaknak, stb...
„Nos, megálltam” – mondod. Igen, itt vagyok! Nem volt idő, amikor a Földet palacsintának tartották? Csak azért nem létezik elektromosság, mert nem látjuk és nem halljuk? Ha bebizonyosodik, hogy nincs vákuum, akkor minden megvan, de mindez megkülönböztethető, ismét attól függően, hogy milyen eszközökkel vizsgáljuk és tanulmányozzuk a tárgyat. Ahogy fejlődik, egyre több új dolgot tanulunk meg, amit korábban el sem tudtunk képzelni.
A nyelv a gondolkodás formalizálása. Hol van formalizálva a gondolat? Mit tudunk a világunkról, önmagunkról? Más világokat keresünk anélkül, hogy ismernénk a sajátunkat! Pontosan ez a probléma!
Mit tudunk a nyelvről, azon kívül, hogy hangokban formalizálódik. Kérem formalizálja – kummmmarama. Mi ez? Semmit, mert egy magánhangzó csak bizonyos számú mássalhangzót képes „hordani”, ahogy én 50 kg-os súlyommal nem tudok 150 kg-os terhet felemelni. Fizika, tudod!
Most térjünk rá a tér görbületére és arra a körre, amellyel elindultunk. Mondjuk kételkedünk abban, hogy a nyelv nem spirálisan fejlődik (kontextusát tekintve), hanem egyenes vonalban, és én azt mondom, hogy „nagyvárosunkban van egy főutca, amely átszeli az egész várost, amelyen sok fa áll. növekszik és sokan sétálnak…”. Hülyeség, mondd, hol vannak az írásjelek? Hol vannak a vesszők és pontok?
De mik is azok az írásjelek? Ezek az egyik mondat alanyi állítmány kiegészítése (a kapcsolódó definíciókkal) és egy másik mondat eleje közötti elválasztás jelei. A melléknév nem más, mint szorzás: ami átmegy = elmúlás, míg az „átadás” kiterjesztése „ami elmegy”-re már osztás. És ez a matematika! Semmi meglepő. A világ oszthatatlan. Ez az integritás. A nyelv is integritás. Itt az ideje, hogy mindent új szemszögből nézzünk. Ébredj fel és nézz körül. Tanítsa meg a gyerekeknek nem szabályokat, például „Van egy külön szócsoport - állítmányok (vagy állapotkategória). Ezek olyan szavak, amelyek egy nem dinamikus állapotot jelölnek, és egy egyrészes személytelen mondat fő tagjaként (állítmányként, állítmányként) működnek. A tudósok még mindig nem döntöttek az állapotkategóriás szavak státuszáról. Tehát a KELL szó, más szavakkal együtt (bocsánat, vadászat, időhiány, idő stb.) ebbe a szócsoportba tartozik.”
Érted, miről van szó? Én nem! Kinek írták ezt? Valószínűleg a diákoknak. Szegény diákok! Ha a tudósok még mindig nem értenek valamit, hogyan értsék meg a gyerekek? Vajon a tanárok legalább ezt a meghatározást fejből tanulták?
Ezért hoztam létre a YouTube csatornámat, hogy egyszerűen (emberi nyelven) beszéljek a legfontosabbról - a nyelvről.
Ha olvasás után mindez (mellesleg elhamarkodottan megírva) hülyeségnek tűnik számodra, ne rohanj elmondani, hogy abnormális vagyok. Egy őrültek házából származó jegyzeteknek neveztem. Ha ez abnormálisnak tűnik számodra, akkor a szemközti házban laksz. Nem fogom definiálni. A győztes demokrácia és... értékek országában élünk. Mindenkinek joga van a véleményéhez.

A matematika rajongói szerte a világon minden év március tizennegyedikén megesznek egy darab pitét – elvégre ez a Pi napja, a leghíresebb irracionális szám. Ez a dátum közvetlenül kapcsolódik ahhoz a számhoz, amelynek első számjegyei 3,14. Pi a kör kerületének és átmérőjének aránya. Mivel irracionális, lehetetlen törtként írni. Ez egy végtelenül hosszú szám. Évezredekkel ezelőtt fedezték fel, és azóta folyamatosan tanulmányozzák, de vannak még titkai a Pi-nek? Az ősi eredettől a bizonytalan jövőig, íme néhány a legérdekesebb tény Pi-ről.

Pi memorizálása

A decimális számok memorizálásának rekordja az indiai Rajvir Meenáé, akinek 70 000 számjegyet sikerült megjegyeznie – 2015. március 21-én állította fel a rekordot. Korábban a rekorder a kínai Chao Lu volt, akinek 67 890 számjegyet sikerült megjegyeznie - ezt a rekordot 2005-ben állították fel. A nem hivatalos rekorder Akira Haraguchi, aki 2005-ben rögzítette magát videón 100 000 számjegyet ismételve, és nemrégiben közzétett egy videót, amelyben 117 000 számjegyet sikerült megjegyeznie. A rekord csak akkor válna hivatalossá, ha ezt a videót a Guinness Rekordok Könyvének képviselője jelenlétében rögzítették, és megerősítés nélkül csak lenyűgöző tény marad, de nem tekinthető teljesítménynek. A matematika rajongói szeretik megjegyezni a Pi számot. Sokan különféle mnemonikai technikákat használnak, például a költészetet, ahol az egyes szavak betűinek száma megegyezik a Pi számjegyeivel. Mindegyik nyelvnek megvannak a saját változatai a hasonló kifejezéseknek, amelyek segítenek megjegyezni az első néhány számot és az egész százat.

Van egy Pi nyelv

Az irodalom iránt szenvedélyes matematikusok feltaláltak egy olyan dialektust, amelyben a betűk száma minden szóban megfelel a Pi számjegyeinek pontos sorrendben. Mike Keith író még egy könyvet is írt Not a Wake címmel, amely teljes egészében Pi nyelven íródott. Az ilyen kreativitás rajongói a betűk számának és a számok jelentésének teljes összhangban írják meg munkáikat. Ennek gyakorlati alkalmazása nincs, de lelkes tudósok körében meglehetősen gyakori és jól ismert jelenség.

Exponenciális növekedés

A Pi egy végtelen szám, így értelemszerűen az emberek soha nem fogják tudni megállapítani ennek a számnak a pontos számjegyeit. A tizedesjegyek száma azonban nagymértékben megnövekedett a Pi első használata óta. A babilóniaiak is használták, de nekik elég volt a töredék három egész és egy nyolcad. A kínaiak és az Ószövetség alkotói teljesen háromra korlátozódtak. 1665-re Sir Isaac Newton kiszámolta a Pi 16 számjegyét. 1719-re Tom Fante de Lagny francia matematikus 127 számjegyet számolt ki. A számítógépek megjelenése radikálisan javította az emberi Pi ismereteit. 1949 és 1967 között az ember által ismert számjegyek száma az egekbe szökött 2037-ről 500 000-re. Nem sokkal ezelőtt Peter Trueb, egy svájci tudós 2,24 billió Pi számjegyet tudott kiszámítani! 105 napig tartott. Természetesen ez nem a határ. Valószínűleg a technika fejlődésével még pontosabb adatot lehet majd megállapítani – mivel a Pi végtelen, a pontosságnak egyszerűen nincs határa, és csak a számítástechnika technikai adottságai szabhatnak határt.

Pi kiszámítása kézzel

Ha saját maga szeretné megtalálni a számot, használhatja a régimódi technikát - szükség lesz vonalzóra, tégelyre és némi madzagra, vagy használhat szögmérőt és ceruzát. A konzervdoboz használatának hátránya, hogy kereknek kell lennie, és a pontosságot az határozza meg, hogy az ember mennyire tudja körbetekerni a kötelet. Szögmérővel is lehet kört rajzolni, de ehhez hozzáértés és precizitás is kell, hiszen egy egyenetlen kör komolyan torzíthatja a méréseket. A pontosabb módszer a geometria használata. Osszuk fel a kört sok szegmensre, mint egy pizzát szeletekre, majd számítsuk ki annak az egyenesnek a hosszát, amely minden szakaszt egyenlő szárú háromszöggé alakít. Az oldalak összege adja a hozzávetőleges Pi számot. Minél több szegmenst használ, annál pontosabb lesz a szám. Természetesen számításai során nem fogja tudni megközelíteni a számítógép eredményeit, azonban ezek az egyszerű kísérletek lehetővé teszik, hogy részletesebben megértse, mi a Pi szám, és hogyan használják a matematikában.

Pi felfedezése

Az ókori babilóniaiak már négyezer évvel ezelőtt tudtak a Pi szám létezéséről. A babiloni táblák a Pi-t 3,125-nek számítják, egy egyiptomi matematikai papirusz pedig 3,1605-öt mutat. A Bibliában a Pi az elavult könyökhosszban van megadva, és a görög matematikus, Arkhimédész a Pitagorasz-tételt használta, amely egy geometriai összefüggés a háromszög oldalainak hossza és a körökön belüli és kívüli alakzatok területe között. hogy leírjam Pi. Így bátran kijelenthetjük, hogy a Pi az egyik legősibb matematikai fogalom, bár ennek a számnak a pontos neve viszonylag nemrég jelent meg.

Új megjelenés Pi

Még azelőtt, hogy a Pi számot elkezdték volna korrelálni a körökkel, a matematikusoknak már számos módja volt ennek a számnak a megnevezésére. Például az ókori matematika tankönyvekben találhatunk olyan latin kifejezést, amely nagyjából így fordítható: „az a mennyiség, amely a hosszt mutatja, ha az átmérőt megszorozzuk vele”. Az irracionális szám akkor vált híressé, amikor Leonhard Euler svájci tudós 1737-ben használta a trigonometriával foglalkozó munkájában. A Pi görög szimbólumát azonban továbbra sem használták – ez csak egy kevésbé ismert matematikus, William Jones könyvében fordult elő. 1706-ban már használta, de sokáig észrevétlen maradt. Idővel a tudósok felvették ezt a nevet, és most ez a név leghíresebb változata, bár korábban Ludolf-számnak is hívták.

A Pi normális szám?

A Pi határozottan furcsa szám, de mennyire követi a normál matematikai törvényeket? A tudósok már sok kérdést megválaszoltak ezzel az irracionális számmal kapcsolatban, de néhány rejtély továbbra is fennáll. Például nem ismert, hogy milyen gyakran használják az összes számot – a 0-tól 9-ig terjedő számokat egyenlő arányban kell használni. A statisztika azonban már az első billió számjegyből nyomon követhető, de a szám végtelensége miatt lehetetlen bármit is biztosan bizonyítani. Vannak más problémák is, amelyek még mindig elkerülik a tudósokat. Lehetséges, hogy a tudomány további fejlesztése segít megvilágítani őket, de jelenleg ez túlmutat az emberi intelligencia keretein.

Pi istenien hangzik

A tudósok nem tudnak válaszolni néhány kérdésre a Pi számmal kapcsolatban, de évről évre egyre jobban megértik a lényegét. Már a tizennyolcadik században bebizonyosodott e szám irracionalitása. Ráadásul a számról bebizonyosodott, hogy transzcendentális. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan képlet, amely lehetővé tenné a Pi kiszámítását racionális számok segítségével.

Elégedetlenség a Pi számmal

Sok matematikus egyszerűen szerelmes Pi-be, de vannak olyanok is, akik úgy vélik, hogy ezek a számok nem különösebben jelentősek. Ezenkívül azt állítják, hogy a Tau-t, amely kétszer akkora, mint a Pi, kényelmesebb irracionális számként használni. A Tau a kerület és a sugár közötti kapcsolatot mutatja, ami egyesek szerint logikusabb számítási módszert jelent. Ebben a kérdésben azonban lehetetlen egyértelműen meghatározni semmit, és az egyik és a másik számnak mindig lesznek támogatói, mindkét módszernek joga van az élethez, így ez csak egy érdekes tény, és nem ok arra gondolni, hogy nem szabad használd a Pi számot.

Mivel egyenlő a Pi? ismerjük és emlékszünk az iskolából. Egyenlő: 3,1415926 és így tovább... Egy hétköznapi embernek elég tudnia, hogy ezt a számot úgy kapjuk meg, hogy egy kör kerületét elosztjuk az átmérőjével. De sokan tudják, hogy a Pi szám nem csak a matematika és a geometria váratlan területein jelenik meg, hanem a fizikában is. Nos, ha belemélyedsz ennek a számnak a természetének részleteibe, sok meglepő dolgot fogsz észrevenni a végtelen számsorok között. Lehetséges, hogy Pi az univerzum legmélyebb titkait rejti?

Végtelen szám

Maga a Pi szám a mi világunkban egy olyan kör hosszaként jelenik meg, amelynek átmérője eggyel egyenlő. De annak ellenére, hogy a Pi-vel egyenlő szegmens meglehetősen véges, a Pi szám 3,1415926-tal kezdődik, és a végtelenségig tart olyan számsorokban, amelyek soha nem ismétlődnek. Az első meglepő tény az, hogy ez a geometriában használt szám nem fejezhető ki az egész számok törtrészeként. Más szóval, nem írhatja fel két a/b szám arányaként. Ráadásul a Pi szám transzcendentális. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan egész együtthatós egyenlet (polinom), amelynek megoldása a Pi szám lenne.

Azt a tényt, hogy a Pi szám transzcendentális, von Lindemann német matematikus bizonyította 1882-ben. Ez a bizonyíték lett a válasz arra a kérdésre, hogy lehet-e körzővel és vonalzóval olyan négyzetet rajzolni, amelynek területe megegyezik egy adott kör területével. Ezt a problémát egy kör négyzetesítésének kereséseként ismerik, ami ősidők óta aggasztja az emberiséget. Úgy tűnt, hogy ennek a problémának egyszerű megoldása van, és hamarosan meg fog oldódni. De éppen a Pi szám érthetetlen tulajdonsága mutatta meg, hogy nincs megoldás a kör négyzetre emelésének problémájára.

Az emberiség legalább négy és fél évezrede óta próbál egyre pontosabb Pi értéket szerezni. Például a Bibliában a Királyok Harmadik Könyvében (7:23) a Pi számot 3-nak veszik.

A figyelemre méltó pontosságú Pi értéke a gízai piramisokban található: a piramisok kerületének és magasságának aránya 22/7. Ez a tört Pi megközelítőleg 3,142-vel egyenlő értékét adja... Kivéve persze, ha az egyiptomiak véletlenül beállították ezt az arányt. Ugyanezt az értéket már a nagy Arkhimédész Kr.e. 3. századi Pi számának kiszámításakor is megkapta.

Az Ahmesz papiruszában, egy ókori egyiptomi matematikai tankönyvben, amely Kr.e. 1650-ből származik, a Pi értéke 3,160493827.

Az ókori indiai szövegekben a Kr.e. 9. század körül a legpontosabb értéket a 339/108 számmal fejezték ki, amely 3,1388-nak felelt meg...

Arkhimédész után közel kétezer évig az emberek megpróbálták megtalálni a Pi kiszámításának módját. Voltak köztük híres és ismeretlen matematikusok is. Például Marcus Vitruvius Pollio római építész, Claudius Ptolemaiosz egyiptomi csillagász, Liu Hui kínai matematikus, Arjabhata indiai bölcs, Pisa középkori matematikusa, Fibonacci, Al-Khwarizmi arab tudós, akinek a nevéből származik a szó. „algoritmus” jelent meg. Mindannyian és sokan mások is a legpontosabb Pi-számítási módszereket keresték, de a 15. századig a számítások bonyolultsága miatt soha nem kaptak 10 tizedesjegynél többet.

Végül 1400-ban Madhava indiai matematikus Sangamagramból 13 számjegy pontossággal számította ki a Pi-t (bár az utolsó kettőben még mindig tévedett).

A jelek száma

A 17. században Leibniz és Newton felfedezte az infinitezimális mennyiségek elemzését, amely lehetővé tette a Pi fokozatos kiszámítását - hatványsorokon és integrálokon keresztül. Newton maga számolt 16 tizedesjegyet, de ezt nem említette könyveiben – ez halála után vált ismertté. Newton azt állította, hogy pusztán unalomból számította ki a Pi-t.

Ugyanebben az időben más kevésbé ismert matematikusok is megjelentek, és új képleteket javasoltak a Pi szám trigonometrikus függvényekkel történő kiszámítására.

Például ezt a képletet használta John Machin csillagásztanár 1706-ban a Pi kiszámításához: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Analitikai módszerekkel Machin ebből a képletből származtatta a Pi számot száz tizedesjegyig.

Egyébként ugyanebben 1706-ban a Pi szám hivatalos megjelölést kapott görög betű formájában: William Jones matematikai munkájában használta, a görög „periféria” szó első betűjét véve, ami „kört” jelent. .” Az 1707-ben született nagyszerű Leonhard Euler népszerűsítette ezt az elnevezést, amelyet ma már minden iskolás ismer.

A számítógépek korszaka előtt a matematikusok a lehető legtöbb előjel kiszámítására összpontosítottak. Ezzel kapcsolatban néha vicces dolgok merültek fel. W. Shanks amatőr matematikus a Pi 707 számjegyét számolta ki 1875-ben. Ezt a hétszáz jelet 1937-ben örökítették meg a párizsi Palais des Discoverys falán. Kilenc évvel később azonban figyelmes matematikusok felfedezték, hogy csak az első 527 karaktert számolták ki helyesen. A múzeumnak jelentős kiadásokat kellett vállalnia a hiba kijavításához – most már minden adat helyes.

Amikor megjelentek a számítógépek, a Pi számjegyeinek számát teljesen elképzelhetetlen sorrendben kezdték számolni.

Az egyik első elektronikus számítógép, az 1946-ban megalkotott ENIAC, óriási méretű volt, és akkora hőt termelt, hogy a szoba 50 Celsius-fokra melegedett fel, kiszámolta a Pi első 2037 számjegyét. Ez a számítás 70 órát vett igénybe a gépnek.

Ahogy a számítógépek fejlődtek, a Pi-ről szerzett ismereteink egyre inkább a végtelenbe kerültek. 1958-ban 10 ezer számjegyet számoltak ki a számból. 1987-ben a japánok 10 013 395 karaktert számoltak ki. 2011-ben Shigeru Hondo japán kutató túllépte a 10 billió karakteres határt.

Hol találkozhatsz még Pi-vel?

Így a Pi számról szerzett ismereteink gyakran iskolai szinten maradnak, és biztosan tudjuk, hogy ez a szám elsősorban a geometriában pótolhatatlan.

A kör hosszára és területére vonatkozó képletek mellett a Pi számot használják az ellipszisek, gömbök, kúpok, hengerek, ellipszoidok és így tovább képleteiben: egyes helyeken a képletek egyszerűek és könnyen megjegyezhetőek, de másokban nagyon összetett integrálokat tartalmaznak.

Ekkor matematikai képletekben találkozhatunk a Pi számmal, ahol első pillantásra nem látszik a geometria. Például az 1/(1-x^2) határozatlan integrálja egyenlő Pi-vel.

A Pi-t gyakran használják sorozatanalízisben. Például itt van egy egyszerű sorozat, amely a Pi-hez konvergál:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

A sorozatok közül Pi a híres Riemann zéta-függvényben jelenik meg legváratlanul. Lehetetlen erről dióhéjban beszélni, tegyük fel, hogy egyszer a Pi szám segít megtalálni a prímszámok kiszámításának képletét.

És teljesen meglepő: a Pi a matematika két legszebb „királyi” képletében jelenik meg - a Stirling-képletben (amely segít megtalálni a faktoriális és a gamma-függvény hozzávetőleges értékét) és az Euler-képletben (amely akár öt matematikai állandót is összekapcsol).

A legváratlanabb felfedezés azonban a valószínűségszámításban várt a matematikusokra. A Pi szám is ott van.

Például annak a valószínűsége, hogy két szám viszonylag prím lesz, 6/PI^2.

Pi megjelenik Buffon 18. században megfogalmazott tűdobási problémájában: mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vonalas papírra dobott tű átmegy valamelyik vonalon. Ha a tű hossza L, és a vonalak távolsága L, és r > L, akkor a 2L/rPI valószínűségi képlet segítségével közelítőleg kiszámíthatjuk a Pi értékét. Képzeld csak el – véletlenszerű eseményekből is megkaphatjuk a Pi-t. És mellesleg a Pi jelen van a normál valószínűségi eloszlásban, megjelenik a híres Gauss-görbe egyenletében. Ez azt jelenti, hogy a Pi még alapvetőbb, mint a kerület és az átmérő aránya?

Pi-vel a fizikában is találkozhatunk. A Pi megjelenik a két töltés közötti kölcsönhatás erejét leíró Coulomb-törvényben, Kepler harmadik törvényében, amely egy bolygó Nap körüli forgási periódusát mutatja, sőt, megjelenik a hidrogénatom elektronpályáinak elrendezésében is. És ami megint csak a leghihetetlenebb, hogy a Pi szám a Heisenberg-féle bizonytalansági elv képletében van elrejtve – a kvantumfizika alaptörvényében.

Pi titkai

Carl Sagan Kapcsolat című regényében, amelyen az azonos című film alapul, idegenek azt mondják a hősnőnek, hogy Pi jelei között van egy titkos üzenet Istentől. Egy bizonyos pozíciótól kezdve a számban szereplő számok megszűnnek véletlenszerűek lenni, és olyan kódot képviselnek, amelyben az Univerzum összes titka meg van írva.

Ez a regény valójában egy olyan rejtélyt tükröz, amely a világ minden táján foglalkoztatta a matematikusokat: vajon a Pi egy normális szám, amelyben a számjegyek egyenlő gyakorisággal vannak szórva, vagy valami nincs rendben ezzel a számmal? És bár a tudósok hajlanak az első lehetőségre (de nem tudják bizonyítani), a Pi szám nagyon titokzatosnak tűnik. Egy japán ember egyszer kiszámolta, hogy a 0-tól 9-ig tartó számok hányszor fordulnak elő a Pi első trillió számjegyében. És láttam, hogy a 2-es, 4-es és 8-as számok gyakoribbak, mint a többi. Ez lehet az egyik utalás arra, hogy a Pi nem teljesen normális, és a benne lévő számok valóban nem véletlenszerűek.

Emlékezzünk mindarra, amit fentebb olvastunk, és kérdezzük meg magunktól, milyen más irracionális és transzcendentális szám található oly gyakran a való világban?

És vannak még furcsaságok is. Például a Pi első húsz számjegyének összege 20, és az első 144 számjegy összege egyenlő a „fenevad számával” 666.

A „Suspect” című amerikai tévésorozat főszereplője, Finch professzor azt mondta a hallgatóknak, hogy a Pi szám végtelensége miatt bármilyen számkombináció megtalálható benne, a születési dátumtól a bonyolultabb számokig. . Például a 762. pozícióban hat kilences sorozat található. Ezt a pozíciót Feynman-pontnak nevezik a híres fizikus után, aki észrevette ezt az érdekes kombinációt.

Azt is tudjuk, hogy a Pi szám tartalmazza a 0123456789 sorozatot, de a 17 387 594 880. számjegynél található.

Mindez azt jelenti, hogy a Pi szám végtelenjében nemcsak érdekes számkombinációk találhatók, hanem a „Háború és béke” kódolt szövege, a Biblia, sőt, ha van ilyen, az Univerzum fő titka is.

Egyébként a Bibliáról. A matematika híres népszerűsítője, Martin Gardner 1966-ban kijelentette, hogy a Pi milliomodik számjegye (akkor még nem ismert) az 5. Számításait azzal magyarázta, hogy a Biblia angol változatában a 3. sz. könyv, 14. fejezet, 16 vers (3-14-16) a hetedik szó öt betűt tartalmaz. A milliomodik számot nyolc évvel később érték el. Ez volt az ötös szám.

Érdemes ezek után azt állítani, hogy a Pi szám véletlenszerű?