Exponenciális és logaritmikus függvények differenciálása. Az exponenciális függvény antiderivatívája UNT feladatokban. Exponenciális és logaritmikus függvények differenciálása - Tudáshipermarket A pofák exponenciális és logaritmikus függvényeinek differenciálása

Exponenciális és logaritmikus függvények megkülönböztetése

1. e szám Függvény y = e x, tulajdonságai, grafikonja, differenciálása

Tekintsünk egy exponenciálist funkció y=a x, ahol a > 1. Különböző a bázisokra különböző gráfokat kapunk (232-234. ábra), de észrevehető, hogy mindegyik átmegy a (0; 1) ponton, mindegyiknek van egy vízszintes aszimptotája y = 0 at , mindegyik domborúan lefelé néz, és végül mindegyiknek minden pontjában van érintője. Rajzoljunk például egy érintőt grafika függvény y=2x x = 0 pontban (232. ábra). Ha pontos szerkezeteket és méréseket végez, megbizonyosodhat arról, hogy ez az érintő 35°-os (körülbelül) szöget zár be az x tengellyel.

Most rajzoljunk egy érintőt az y = 3 x függvény grafikonjára, szintén az x = 0 pontban (233. ábra). Itt az érintő és az x tengely közötti szög nagyobb - 48°. És az y = 10 x exponenciális függvényhez hasonlóban
helyzetben 66,5°-os szöget kapunk (234. ábra).

Tehát, ha az y=ax exponenciális függvény a bázisa fokozatosan növekszik 2-ről 10-re, akkor az x=0 pontban lévő függvény grafikonjának érintője és az x tengely közötti szög fokozatosan 35°-ról 66,5-re nő. °. Logikus azt feltételezni, hogy van olyan a alap, amelynél a megfelelő szög 45°. Ezt a bázist a 2 és 3 számok közé kell zárni, mivel az y-2x függvénynél a számunkra érdekes szög 35°, ami kisebb, mint 45°, az y=3 x függvénynél pedig 48°. , ami már valamivel több, mint 45 °. A minket érdeklő alapot általában e betűvel jelöljük Megállapítást nyert, hogy az e szám irracionális, azaz. egy végtelen tizedes nem-periodikus töredék:

e = 2,7182818284590...;

a gyakorlatban általában azt feltételezik, hogy e=2,7.

Megjegyzés(nem túl komoly). Nyilvánvaló, hogy L.N. Tolsztojnak semmi köze az e számhoz, azonban az e szám beírásakor vegye figyelembe, hogy az 1828-as szám kétszer ismétlődik egymás után - L. N. születési éve. Tolsztoj.

ábrán látható az y=e x függvény grafikonja. 235. Ez egy olyan exponenciális, amely abban különbözik a többi exponenciálistól (más bázisú exponenciális függvények grafikonjai), hogy az x=0 pontban a gráf érintője és az x tengely közötti szög 45°.

Az y = e x függvény tulajdonságai:

1)
2) se nem páros, se nem páratlan;
3) növekszik;
4) felülről nem, alulról korlátozva;
5) nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel;
6) folyamatos;
7)
8) domború lefelé;
9) differenciálható.

Térjen vissza a 45. §-hoz, nézze meg az y = a x exponenciális függvény tulajdonságainak listáját, ha a > 1. Ugyanazokat az 1-8 tulajdonságokat találja (ami teljesen természetes), és a kilencedik tulajdonságot, amelyhez kapcsolódik.
akkor nem említettük a függvény differenciálhatóságát. Most beszéljük meg.

Levezetünk egy képletet az y-ex derivált keresésére. Ebben az esetben nem alkalmazzuk a szokásos algoritmust, amelyet a 32. §-ban dolgoztunk ki, és amelyet már többször sikeresen alkalmaztunk. Ebben az algoritmusban a végső szakaszban a határértéket kell kiszámítani, és a határelméleti ismereteink még nagyon-nagyon korlátozottak. Ezért geometriai premisszákra fogunk támaszkodni, különös tekintettel arra a tényre, hogy az exponenciális függvény gráfjához kétségtelenül tangens létezik (ezért írtuk fel olyan magabiztosan a kilencedik tulajdonságot a fenti tulajdonságlistába - az y = e x függvény differenciálhatósága).

1. Figyeljük meg, hogy az y = f(x) függvényre, ahol f(x) =ex, már ismerjük a derivált értékét az x =0 pontban: f / = tan45°=1.

2. Vezessük be az y=g(x) függvényt, ahol g(x) -f(x-a), azaz. g(x)-ex" a. A 236. ábra az y = g(x) függvény grafikonját mutatja: az y - fx) függvény grafikonjából kapjuk, az x tengely mentén |a| léptékegységekkel eltolva Az y = g (x) függvény grafikonjának érintője az x-a pontban párhuzamos az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjével az x -0 pontban (lásd 236. ábra), ami azt jelenti, hogy 45°-os szöget zár be az x tengellyel A derivált geometriai jelentését felhasználva felírhatjuk, hogy g(a) =tg45°;=1.

3. Térjünk vissza az y = f(x) függvényhez. Nekünk van:

4. Megállapítottuk, hogy a reláció bármely értékére érvényes. Az a betű helyett természetesen használhatunk x betűt is; akkor kapunk

Ebből a képletből megkapjuk a megfelelő integrációs képletet:

A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály

Naptári tematikus tervezés matematikában, videó matematikából online, Matematika az iskolában letöltés

Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsiskodóknak bölcsők tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckékévre vonatkozó módszertani ajánlások; Integrált leckék

Óravázlat

Tárgy: Algebra

Időpont: 04/2/13.

Évfolyam: 11. évfolyam

Tanár: Tyshibaeva N.Sh.

Tantárgy: Logaritmikus és exponenciális függvények differenciálása. Az exponenciális függvény antiderivatívája.

Cél:

1) képleteket fogalmazzon meg logaritmikus és exponenciális függvények deriváltjaihoz; megtanítani, hogyan kell megtalálni egy exponenciális függvény antideriváltját

2) fejleszti a memóriát, a megfigyelést, a logikus gondolkodást, a tanulók matematikai beszédét, az elemzési és összehasonlítási képességet, a tantárgy iránti kognitív érdeklődést;

3) a tanulók kommunikációs kultúrájának, a kollektív tevékenység, az együttműködés és a kölcsönös segítségnyújtás készségeinek ápolása.

Az óra típusa: új anyagok magyarázata és a megszerzett ismeretek, készségek és képességek megszilárdítása.

Felszerelés : kártyák, interaktív tábla.

Technológia: differenciált megközelítés

Az órák alatt:

1.Org. pillanat .(2min) .

2. Keresztrejtvény megfejtése (8 perc)

1. A 17. századi francia matematikus, Pierre Fermat ezt az egyenest a következőképpen definiálta: „Az egyenes, amely a legközelebb van a görbéhez a pont egy kis szomszédságában”.

Tangens

2. Függvény, amelyet az y = képlet ad meg egy x.

Tájékoztató

3. Függvény, amelyet az y = log képlet ad meg fejsze.

Logaritmikus

4. Az elmozdulás származéka

Sebesség

5.Mi az F(x) függvény neve az f(x) függvényre, ha az I intervallum bármely pontjára teljesül az F"(x) =f(x) feltétel.

Antiderivatív

6.Mi a neve X és Y kapcsolatának, amelyben X minden eleme Y egyetlen eleméhez kapcsolódik.

Funkció

7. Ha az f(x) függvény f(x)=g(t(x) formában ábrázolható), akkor ezt a függvényt nevezzük...

Összetett

Egy francia matematikus és szerelő függőleges szó vezetékneve

Lagrange

3.Új anyag magyarázata: (10 perc)

Az exponenciális függvénynek a definíciós tartomány bármely pontján van deriváltja, és ezt a deriváltot a következő képlettel találjuk meg:

(.l a képletben a számot helyettesítjükés az e-n kapjuk

(e x)" = e x_ képlet az exponenciális deriváltja
A logaritmikus függvénynek a definíciós tartományának bármely pontján van deriváltja, és ezt a deriváltot a következő képlet határozza meg:

(log a x)" = cserélje ki a számot a képletbenés az e-n kapjuk

Exponenciális függvény y =(A a definíciós tartomány bármely pontján rendelkezik antideriváltával, és ez az antiderivált az F(x) = képlettel található meg.+ C

4. Új anyag konszolidálása (20 perc)

Matematikai diktálás.

1. Írja fel az exponenciális függvény deriváltjának képletét (a X )"

(a x)" = a x ln a

2. Írja fel az exponenciális derivált képletét! (pl X )"

(e x )" = e x

3. Írja fel a természetes logaritmus deriváltjának képletét!

4. Írja fel a logaritmikus függvény deriváltjának képletét (log a x)"=?

(log a x)" =

5. Írja fel az f(x) = a függvény antideriváltjainak általános alakját! X .

F(x) = + C

6. Írja le a függvény antideriváltjainak általános formáját:, x≠0. F(x)=ln|x|+С

Dolgozzon a fórumon

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.D/z No. 257, No. 261 (2 perc)

7. Óra összefoglalója: (3 perc)

- Mi a logaritmikus függvény képlete?

Milyen képlet határozza meg az exponenciális függvényt?

Milyen formulával keressük meg a logaritmikus függvény deriváltját?

Milyen képlettel találjuk meg egy exponenciális függvény deriváltját

Kész munkák

FOKOZAT MUNKÁK

Már sok minden eltelt, és most már végzett, ha természetesen időben megírja a szakdolgozatát. De az élet olyan, hogy csak most válik világossá számodra, hogy miután megszűnt a diákság, elveszíted az összes diákörömöt, amelyek közül sokat soha nem próbáltál ki, mindent elhalasztasz, és későbbre halasztasz. És most ahelyett, hogy felzárkózna, a szakdolgozatán dolgozik? Van egy kiváló megoldás: töltse le weboldalunkról a szükséges szakdolgozatot - és azonnal sok szabadideje lesz!
A szakdolgozatokat sikeresen megvédték a Kazah Köztársaság vezető egyetemein.
Munka költsége 20.000 tenge-től

TANFOLYAMOK

A tanfolyami projekt az első komoly gyakorlati munka. A kurzusok megírásával kezdődik a diplomatervek kidolgozására való felkészülés. Ha egy hallgató megtanulja egy kurzusban egy téma tartalmát helyesen bemutatni és hozzáértően formázni, akkor a jövőben nem lesz gondja sem a beszámolók, sem a szakdolgozatok elkészítésével, sem egyéb gyakorlati feladatok elvégzésével. Az ilyen típusú diákmunka megírásának segítése és az elkészítése során felmerülő kérdések tisztázása érdekében valójában ez a tájékoztató rész készült.
Munka költsége 2500 tenge-től

MESTER ÉRTEKEZÉSEK

Jelenleg a kazahsztáni és a FÁK-országok felsőoktatási intézményeiben nagyon elterjedt az alapképzést követő felsőfokú szakmai végzettség - a mesterképzés. A mesterképzésben mesterképzés megszerzésének céljával tanulnak a hallgatók, amelyet a világ legtöbb országában jobban elismernek, mint egy alapképzést, és a külföldi munkaadók is elismerik. A mesterképzés eredménye a szakdolgozat megvédése.
Naprakész elemző és szöveges anyagot biztosítunk az árban 2 db tudományos cikk és egy absztrakt.
Munka költsége 35.000 tenge-től

GYAKORLATI JELENTÉSEK

Bármilyen típusú hallgatói gyakorlat (oktatási, ipari, érettségi előtti) teljesítése után jelentés szükséges. Ez a dokumentum a hallgató gyakorlati munkájának megerősítése és a gyakorlati értékelés kialakításának alapja. Általában a gyakorlatról szóló jelentés elkészítéséhez információkat kell gyűjtenie és elemeznie kell a vállalkozásról, figyelembe kell vennie annak a szervezetnek a felépítését és munkarutinját, amelyben a gyakorlat zajlik, naptári tervet kell készítenie és le kell írnia gyakorlati tapasztalatait. tevékenységek.
Egy-egy vállalkozás tevékenységének sajátosságait figyelembe véve segítünk a szakmai gyakorlatról szóló beszámoló megírásában.

Óra témája: „Exponenciális és logaritmikus függvények differenciálása. Az exponenciális függvény antiderivatívája" az UNT-hozzárendelésekben

Cél : fejlessze a tanulók készségeit az „Exponenciális és logaritmikus függvények differenciálása” témakör elméleti ismereteinek alkalmazásában. Az exponenciális függvény antiderivatívája" az UNT problémák megoldásához.

Feladatok

Nevelési: rendszerezi a tanulók elméleti tudását, megszilárdítja a problémamegoldó készségeket ebben a témában.

Nevelési: fejleszti a memóriát, a megfigyelést, a logikus gondolkodást, a tanulók matematikai beszédét, a figyelmet, az önbecsülést és az önkontroll készségeit.

Nevelési: hozzájárul:

a tanulók körében a tanulás iránti felelős magatartás kialakítása;

a matematika iránti fenntartható érdeklődés kialakítása;

pozitív belső motiváció megteremtése a matematika tanulására.

Tanítási módok: verbális, vizuális, gyakorlati.

Munkaformák: egyénileg, frontálisan, párban.

Az órák alatt

Epigraph: „Az elme nemcsak a tudásban rejlik, hanem a tudás gyakorlati alkalmazásának képességében is.” Arisztotelész (2. dia)

I. Szervezési mozzanat.

II. A keresztrejtvény megfejtése. (3-21. dia)

A 17. századi francia matematikus, Pierre Fermat ezt az egyenest a következőképpen határozta meg: „A pont egy kis szomszédságában a görbéhez legközelebb eső egyenes”.

Tangens

Egy függvény, amelyet az y = log képlet ad meg a x.

Logaritmikus

Egy függvény, amelyet az y = képlet ad meg A X.

Tájékoztató

A matematikában ezt a fogalmat egy anyagi pont mozgási sebességének és egy függvény grafikonjának érintőjének szögegyütthatójának meghatározására használják egy adott pontban.

Derivált

Mi az F(x) függvény neve az f(x) függvényre, ha az I intervallum bármely pontjára teljesül az F"(x) =f(x) feltétel.

Antiderivatív

Mi a neve az X és Y közötti kapcsolatnak, amelyben X minden eleme Y egyetlen eleméhez kapcsolódik?

Az elmozdulás származéka

Sebesség

Egy függvény, amelyet az y = e x képlet ad meg.

Kiállító

Ha egy f(x) függvény leírható f(x)=g(t(x)), akkor ezt a függvényt nevezzük...

III. Matematikai diktálás (22. dia)

1. Írja fel az exponenciális függvény deriváltjának képletét! ( A x)" = A x ln a

2. Írja fel az exponenciális derivált képletét! (e x)" = e x

3. Írja fel a természetes logaritmus deriváltjának képletét! (ln x)"=

4. Írja fel a logaritmikus függvény deriváltjának képletét! (napló a x)"=

5. Írja fel az f(x) = függvény antideriváltjainak általános alakját! A X. F(x)=

6. Írja fel az f(x) =, x≠0 függvény antideriváltjainak általános alakját! F(x)=ln|x|+C

Ellenőrizze a munkáját (válaszok a 23. dián).

IV. UNT problémák megoldása (szimulátor)

A) No. 1,2,3,6,10,36 a táblán és a füzetben (24. dia)

B) 19,28-as páros munka (szimulátor) (25-26. dia)

V. 1. Hibák keresése: (27. dia)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Diák bemutató.

Epigraph: „A tudás olyan értékes dolog, hogy nem szégyen semmilyen forrásból megszerezni.” Aquinói Tamás (28. dia)

VII. Házi feladat 19,20 116.o

VIII. Teszt (tartalékfeladat) (29-32. dia)

IX. Óra összefoglalója.

„Ha részt akarsz venni egy nagy életben, akkor tedd tele a fejed matematikával, amíg van rá lehetőséged. Akkor egész életében nagy segítséget fog nyújtani.” M. Kalinin (33. dia)

Algebra óra 11. osztályban "Exponenciális és logaritmikus függvények differenciálása és integrálása" témában.

Az óra céljai:

Rendszerezze az „Exponenciális és logaritmikus függvények” témakörben tanulmányozott anyagot.

Fejleszteni az exponenciális és logaritmikus függvények differenciálásával és integrálásával járó problémák megoldási képességét.

Használja ki az információs technológia lehetőségeit, hogy motivációt alakítson ki a matematikai elemzés összetett témaköreinek tanulmányozására.

Fogalmazza meg a következő leckében a témával kapcsolatos tesztmunka teljesítésének követelményeit.

Az órák alatt

I. Szervezési pillanat (1 – 2 perc).

A tanár közli az óra céljait.

Az osztály 4 csoportra van osztva.

II. Blitz felmérés képletekkel (házi feladat).

Beszélgetés a tanulókkal párbeszéd formájában.

Tegyük fel, hogy 10 000 rubelt helyezett el egy bankban, évi 12%-os kamattal. Hány év múlva duplázódik meg a befektetése?

Ehhez meg kell oldanunk a következő egyenletet: , azaz Hogyan?

A 10-es alapra kell mennünk, azaz (számítógép segítségével)

Így a járulék megduplázódása hat év múlva következik be (valamivel több).

Itt kellett egy képlet az új bázisra költözéshez. Milyen képleteket ismer a logaritmikus és exponenciális függvények differenciálására és integrálására? (az összes képlet a tankönyv lapjairól származik, 81., 86. o.).

Kérdések egymáshoz láncban.

Kérdések a tanárhoz.

A tanár 1-2 képlet levezetését kéri.

Külön kis papírlapokon matematikai diktálás található a képletek ismeretéről. A kölcsönös ellenőrzés folyamatban van. Az idősebbek a csoportokban megjelenítik az átlagos számtani pontszámot és beírják a táblázatba.

Tevékenység táblázat

Egyfajta tevékenység
1. Képletek ismerete.
2. Egyéni tudás. Párokban dolgozni.
3. Szóbeli munka.
4. Ellenőrző tesztek (számítógépes értékelés).
5. Önálló munkavégzés (kötelező szintű feladatok).
6. Fokozott összetettségű feladatok.

III. Szóbeli munka:

Határozza meg az egyenletek megoldásainak számát!

A) ;

B) ;

Miután a tanulók válaszoltak az írásvetítővel, grafikonok jelennek meg a képernyőn.

A) 2 megoldás

B) 1 megoldás

Kiegészítő kérdés: Keresse meg egy függvény legnagyobb értékét

A csökkenő függvénynek akkor van a legnagyobb értéke, ha a mutatónak a legkisebb az értéke.

(2 módon)

IV. Egyéni munka.

A szóbeli munka során minden csoportból 2 fő egyéni feladatokon dolgozik.

1. csoport: Az egyik a függvényt vizsgálja, a másikon ennek a függvénynek a grafikonja van az interaktív táblán.

Kiegészítő kérdés:. Válasz: (Szám e? Lásd a tankönyv 86. oldalát).

2. csoport: Keressen egy n (0; 2) ponton átmenő görbét, ha az érintő meredeksége a görbe bármely pontjában egyenlő az érintőpont koordinátáinak szorzatával. Az egyik differenciálegyenletet alkot, és általános megoldást talál, a másik pedig konkrét megoldást talál a kezdeti feltételek felhasználásával.

Válasz:

Kiegészítő kérdés: Mekkora szöget zár be az X=0 pontban húzott érintő az y = függvény grafikonjával? e x és x tengely. (45 o)

Ennek a függvénynek a grafikonját „kitevőnek” nevezzük (Erről tájékozódjon a tankönyvben, és ellenőrizze az indoklást a tankönyv magyarázataival, 86. oldal).

3. csoport:

Hasonlítsa össze

Az egyik mikrokalkulátorral hasonlítja össze, a másik pedig anélkül.

Kiegészítő kérdés: Határozza meg, melyik x0 egyenlőségnél?

Válasz: x = 2 0,5.

4. csoport: Bizonyítsd

Bizonyítás különböző módokon.

Kiegészítő kérdés: Keressen egy hozzávetőleges értéket e 1.01. Hasonlítsa össze értékét a 2. példa válaszával (a tankönyv 86. oldala).

V. Munka a tankönyvvel.

A gyerekeket felkérjük, hogy vegyék figyelembe az 1. példa és a 9. példa példáit (a tankönyv 81. és 84. oldala). E példák alapján végezzen kontrollvizsgálatokat.

VI. Ellenőrző tesztek.

A feladat a képernyőn van. Egy vita folyik. A helyes válasz kiválasztása és indoklása megtörténik. A számítógép pontszámot ad. A csoport legidősebb tagja feljegyzi a táblázatba társai tevékenységét a teszt során.

1) Adott egy függvény f(x)= 2-e 3x . Határozzuk meg, hogy C milyen értéknél megy át a ponton az antideriváltjának F(x)+C grafikonja M (1/3;-e/3)

Válasz: a) e-1; b) 5/8; c) -2/3; d) 2.

2) Adott egy függvény f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). megtalálja f"(2/3)

Válasz: a) -1; b) 45/13; c) 1/3; d) 2.

3) A funkció kielégíti y = e fejsze egyenlet y" = igen.

Válasz: a) igen; b) nem; c) minden mindkettőn múlik; d) nem lehet határozottan megmondani.

VII. Önálló munkavégzés.

Kötelező szintű feladatok: A függvények szélsőséges pontjainak keresése.

		III csoport

A csoport legidősebbje a feladatért pontokat tesz a táblázatba.

Jelenleg minden csoportból egy-egy ember dolgozik a testületnél fokozottan összetett feladatokkal.

		III csoport

A tanár menet közben megmutatja a feladatok teljes írásos dokumentációját (kivetítik a képernyőre, ez nagyon fontos a későbbi tesztmunka elvégzéséhez).

VIII. Házi feladat.

IX. Óra összefoglalója:

Osztályozás a kapott pontok figyelembevételével A következő órán a következő tesztmunka osztályzatai.