Periodični decimalni razlomak. Objave označene "kako napisati broj kao beskonačno periodičnu decimalu"

Periodični razlomak

beskonačni decimalni razlomak u kojem, počevši od određene tačke, postoji samo periodično ponavljana određena grupa cifara. Na primjer, 1.3181818...; Ukratko, ovaj razlomak se piše ovako: 1.3(18), odnosno stavljaju tačku u zagrade (i kažu: “18 u tački”). P. se naziva čistim ako tačka počinje odmah nakon decimalnog zareza, na primjer 2(71) = 2,7171..., i mješovitim ako iza decimalnog zareza postoje brojevi koji prethode točki, na primjer 1,3(18). Uloga decimalnih razlomaka u aritmetici je zbog činjenice da kada se racionalni brojevi, odnosno obični (prosti) razlomci, predstavljaju decimalnim razlomcima, uvijek se dobijaju konačni ili periodični razlomci. Preciznije: konačni decimalni razlomak se dobija kada nazivnik nesvodljivog prostog razlomka ne sadrži druge proste faktore osim 2 i 5; u svim ostalim slučajevima, rezultat je P. razlomak, i, osim toga, čist je ako nazivnik datog nesvodljivog razlomka uopće ne sadrži faktore 2 i 5, a mješovit ako je sadržan barem jedan od ovih faktora u nazivniku. Svaki razlomak se može pretvoriti u jednostavan razlomak (to jest, jednak je nekom racionalnom broju). Čisti razlomak je jednak jednostavnom razlomku, čiji je brojilac period, a imenilac je predstavljen brojem 9, napisanim onoliko puta koliko ima cifara u periodu; Kada pretvarate mješoviti razlomak u prosti razlomak, brojilac je razlika između broja predstavljenog brojevima koji prethode drugom periodu i broja predstavljenog brojevima koji prethode prvom periodu; Da biste sastavili imenilac, potrebno je da napišete broj 9 onoliko puta koliko ima brojeva u tački i dodate onoliko nula na desno koliko ima brojeva ispred tačke. Ova pravila pretpostavljaju da je data P. tačna, odnosno da ne sadrži cijele jedinice; inače se cijelom dijelu daje posebna pažnja.

Poznata su i pravila za određivanje dužine perioda razlomka koji odgovara datom običnom razlomku. Na primjer, za razlomak a/p, Gdje R - prost broj i 1 ≤ a ≤ p- 1, dužina perioda je djelitelj R - 1. Dakle, za poznate aproksimacije broja (vidi Pi) 22/7 i 355/113 periodi su jednaki 6 odnosno 112.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Sinonimi:

Pogledajte šta je "periodični razlomak" u drugim rječnicima:

Beskonačan decimalni razlomak u kojem se, počevši od određenog mjesta, periodično ponavlja određena grupa cifara (perioda). 0,373737... čisti periodični razlomak ili 0,253737... mješoviti periodični razlomak... Veliki enciklopedijski rječnik

Razlomak, beskonačni razlomak Rječnik ruskih sinonima. periodični razlomak imenica, broj sinonima: 2 beskonačni razlomak (2) ... Rečnik sinonima

Decimalni razlomak u kojem se niz cifara ponavlja istim redoslijedom. Na primjer, 0,135135135... je p.d. čiji je period 135 i koji je jednak jednostavnom razlomku 135/999 = 5/37. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Pavlenkov F... Rečnik stranih reči ruskog jezika

Decimala je razlomak sa nazivnikom 10n, gdje je n prirodan broj. Ima poseban oblik zapisa: cijeli broj u decimalnom brojevnom sistemu, zatim zarez i zatim razlomak u decimalnom brojevnom sistemu i broj cifara razlomkovog dijela ... Wikipedia

Beskonačan decimalni razlomak u kojem se, počevši od određene tačke, određena grupa cifara (perioda) periodično ponavlja; na primjer, 0,373737... čista periodična frakcija ili 0,253737... mješovita periodična frakcija. * * * PERIODIČNO… … enciklopedijski rječnik

Beskonačan decimalni razlomak u kojem se, počevši od određenog mjesta, definicija periodično ponavlja. grupa cifara (tačka); na primjer, 0,373737... čisti P. d. ili 0,253737... mješoviti P. d. ... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Vidi dio... Rječnik ruskih sinonima i sličnih izraza. ispod. ed. N. Abramova, M.: Ruski rječnici, 1999. frakcija sitnica, dio; dunst, ball, meal, buckshot; razlomak broj Rječnik ruskih sinonima ... Rečnik sinonima

periodična decimalna- - [L.G. Sumenko. Englesko-ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: Državno preduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije uopšte EN kruže decimalno ponavljajuće decimalnoperiodično decimalnoperiodično decimalnoperiodično decimalno ... Vodič za tehnički prevodilac

Ako se neki cijeli broj a podijeli s drugim cijelim brojem b, tj. traži se broj x koji zadovoljava uvjet bx = a, tada se mogu pojaviti dva slučaja: ili u nizu cijelih brojeva postoji broj x koji zadovoljava ovaj uvjet, ili ispada ,… … Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Razlomak čiji je nazivnik cjelobrojni stepen 10. Razlomci se pišu bez nazivnika, odvajajući zarezom onoliko cifara u brojniku s desne strane koliko ima nula u nazivniku. Na primjer, u takvom zapisu dio s lijeve strane...... Velika sovjetska enciklopedija

Beskonačne decimale

Decimale iza decimalnog zareza mogu sadržavati beskonačan broj cifara.

Beskonačne decimale- to su decimalni razlomci, koji sadrže beskonačan broj cifara.

Beskonačan decimalni razlomak je gotovo nemoguće u potpunosti zapisati, pa se pri njihovom pisanju ograničavaju na samo određeni konačan broj cifara iza decimalnog zareza, nakon čega se stavlja elipsa, što označava beskonačno kontinuirani niz cifara.

Primjer 1

Na primjer, $0.443340831\dots ; 3.1415935432\dots ; 135.126730405\dots ; 4.33333333333\dots ; 676.68349349\dots$.

Pogledajmo posljednje dvije beskonačne decimale. U razlomku $4.33333333333\dots$ cifra $3$ se ponavlja beskonačno, a u razlomku $676.68349349\dots$ grupa cifara $3$, $4$ i $9$ se ponavlja od treće decimale. Takvi beskonačni decimalni razlomci nazivaju se periodični.

Periodične decimale

Periodične decimale(ili periodične frakcije) su beskonačni decimalni razlomci, u čijem se zapisu neki broj ili grupa brojeva, nazvana periodom razlomka, beskonačno ponavlja sa određenog decimalnog mjesta).

Primjer 2

Na primjer, period periodičnog razlomka $4,33333333333\dots$ je znamenka $3$, a period razlomka $676,68349349\dots$ je grupa cifara $349$.

Radi kratkoće pisanja beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka, uobičajeno je da se tačka napiše jednom, stavljajući je u zagrade. Na primjer, periodični razlomak $4.33333333333\dots$ je napisan $4,(3)$, a periodični razlomak $676.68349349\dots$ je napisan $676.68(349)$.

Beskonačni periodični decimalni razlomci se dobijaju pretvaranjem običnih razlomaka čiji imenioci sadrže proste faktore osim $2$ i $5$ u decimalne razlomke.

Bilo koji konačni decimalni razlomak (i ​​cijeli broj) može se napisati kao periodični razlomak dodavanjem beskonačnog broja cifara $0$ desno.

Primjer 3

Na primjer, konačna decimalna jedinica $45,12$ mogla bi se napisati kao periodični razlomak kao $45,12(0)$, a cijeli broj $(74)$ kao beskonačna periodična decimala bi bila $74(0)$.

U slučaju periodičnih razlomaka koji imaju period od 9, koristite prijelaz na drugu notaciju periodičnog razlomka s periodom od $0$. Samo u tu svrhu, period 9 se zamjenjuje točkom $0$, a vrijednost sljedeće najviše cifre se povećava za $1$.

Primjer 4

Na primjer, periodični razlomak $7,45(9)$ može se zamijeniti periodičnim razlomkom $7,46(0)$ ili ekvivalentnim decimalnim razlomkom $7,46$.

Beskonačni decimalni periodični razlomci su predstavljeni racionalnim brojevima. Drugim riječima, bilo koji periodični razlomak se može pretvoriti u običan razlomak, a svaki obični razlomak se može predstaviti kao periodični razlomak.

Pretvaranje razlomaka u konačne i beskonačne periodične decimale

Ne samo da se obični razlomci sa nazivnicima $10, 100, \dots$ mogu pretvoriti u decimalni razlomak.

U nekim slučajevima, originalni obični razlomak se lako može svesti na nazivnik od $10$, $100$ ili $1\000$, nakon čega se rezultujući razlomak može predstaviti kao decimalni razlomak.

Primjer 5

Da biste pretvorili razlomak $\frac(3)(5)$ u razlomak sa nazivnikom $10$, potrebno je pomnožiti brojilac i imenilac razlomka sa $2$, nakon čega dobijamo $\frac(6)( 10)$, što nije teško prevesti u decimalni razlomak $0,6$.

Za druge slučajeve koristi se druga metoda pretvaranja običnog razlomka u decimalu):

brojilac mora biti zamijenjen decimalnim razlomkom sa bilo kojim brojem nula iza decimalne točke;

podijeliti brojilac razlomka sa nazivnikom (podjela se vrši kao dijeljenje prirodnih brojeva u kolonu, a u količniku se nakon završetka dijeljenja cijelog dijela dividende stavlja decimalna točka).

Primjer 6

Pretvorite razlomak $\frac(621)(4)$ u decimalu.

Rješenje.

Predstavimo broj $621$ u brojiocu kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, dodajte decimalni zarez i, za početak, dvije nule iza nje. Zatim, ako je potrebno, možete dodati još nula. Dakle, dobili smo 621,00$.

Podijelimo broj $621.00$ sa $4$ u kolonu:

Slika 1.

Podjela je dostigla decimalni zarez u dividendi, a ostatak nije bio nula. U ovom slučaju, decimalni zarez se stavlja u količnik i dijeljenje se nastavlja u koloni, bez obzira na zareze:

Slika 2.

Ostatak je nula, što znači da je podjela završena.

Odgovori: $155,25$.

Moguće je da prilikom dijeljenja brojnika i nazivnika običnog razlomka, ostatak ne rezultira u $0$. U ovom slučaju, podjela se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Počevši od određenog trenutka, ostaci od dijeljenja se periodično ponavljaju, što znači da se ponavljaju i brojevi u količniku. Iz ovoga možemo zaključiti da će se ovaj obični razlomak pretvoriti u beskonačan periodični decimalni razlomak.

Primjer 7

Pretvorite razlomak $\frac(19)(44)$ u decimalu.

Rješenje.)

Da konvertujete obični razlomak u decimalu, izvršite dugo dijeljenje:

Slika 3.

Kod dijeljenja se ponavljaju ostaci $8$ i $36$, au količniku se također ponavljaju brojevi $1$ i $8$. Dakle, originalni obični razlomak $\frac(19)(44)$ je pretvoren u periodični razlomak $\frac(19)(44)=0.43181818\dots =0.43(18)$.

odgovor: $0,43(18)$.

Opšti zaključak o pretvaranju običnih razlomaka u decimale:

ako se imenilac može razložiti na proste faktore, među kojima će biti prisutni samo brojevi $2$ i $5$, onda se takav razlomak može pretvoriti u konačni decimalni razlomak;

ako, pored brojeva $2$ i $5$, proširenje nazivnika sadrži i druge proste brojeve, tada se takav razlomak pretvara u beskonačan decimalni periodični razlomak.

Dešava se da za praktičnost izračunavanja trebate pretvoriti obični razlomak u decimalu i obrnuto. O tome kako to učiniti, govorit ćemo u ovom članku. Pogledajmo pravila za pretvaranje običnih razlomaka u decimale i obrnuto, a također dajemo primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Razmotrit ćemo pretvaranje običnih razlomaka u decimale, slijedeći određeni niz. Prvo, pogledajmo kako se obični razlomci sa nazivnikom koji je višekratnik 10 pretvaraju u decimale: 10, 100, 1000, itd. Razlomci s takvim nazivnicima su, u stvari, glomazniji zapis decimalnih razlomaka.

Zatim ćemo pogledati kako pretvoriti obične razlomke s bilo kojim nazivnikom, a ne samo višekratnicima 10, u decimalne razlomke. Imajte na umu da se pri pretvaranju običnih razlomaka u decimale ne dobijaju samo konačne decimale, već i beskonačni periodični decimalni razlomci.

Hajde da počnemo!

Prevođenje običnih razlomaka sa nazivnicima 10, 100, 1000 itd. na decimale

Prije svega, recimo da je nekim razlomcima potrebna određena priprema prije pretvaranja u decimalni oblik. Šta je? Prije broja u brojiocu potrebno je dodati toliko nula tako da broj cifara u brojniku bude jednak broju nula u nazivniku. Na primjer, za razlomak 3100, broj 0 se mora dodati jednom lijevo od 3 u brojiocu. Razlomak 610, prema gore navedenom pravilu, ne treba modificirati.

Pogledajmo još jedan primjer, nakon čega ćemo formulirati pravilo koje je u početku posebno zgodno za korištenje, dok nema puno iskustva u pretvaranju razlomaka. Dakle, razlomak 1610000 nakon dodavanja nula u brojiocu izgledat će kao 001510000.

Kako pretvoriti običan razlomak sa nazivnikom 10, 100, 1000, itd. na decimalni?

Pravilo za pretvaranje običnih pravih razlomaka u decimale

1. Zapišite 0 i stavite zarez iza njega.
2. Zapisujemo broj iz brojilaca koji se dobije dodavanjem nula.

Pređimo sada na primjere.

Primjer 1: Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo razlomak 39,100 u decimalu.

Prvo, pogledamo razlomak i vidimo da nema potrebe za obavljanjem pripremnih radnji - broj znamenki u brojniku poklapa se s brojem nula u nazivniku.

Po pravilu pišemo 0, nakon nje stavljamo decimalni zarez i upisujemo broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,39.

Pogledajmo rješenje za još jedan primjer na ovu temu.

Primjer 2. Pretvaranje razlomaka u decimale

Zapišimo razlomak 105 10000000 kao decimalu.

Broj nula u nazivniku je 7, a brojilac ima samo tri cifre. Dodajmo još 4 nule ispred broja u brojiocu:

0000105 10000000

Sada zapisujemo 0, stavljamo decimalni zarez iza njega i zapisujemo broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak 0,0000105.

Razlomci koji se razmatraju u svim primjerima su obični pravi razlomci. Ali kako pretvoriti nepravilan razlomak u decimalu? Recimo odmah da nema potrebe za pripremom sa dodavanjem nula za takve razlomke. Hajde da formulišemo pravilo.

Pravilo za pretvaranje običnih nepravilnih razlomaka u decimale

1. Zapišite broj koji se nalazi u brojiocu.
2. Koristimo decimalni zarez da odvojimo onoliko znamenki na desnoj strani koliko ima nula u nazivniku originalnog razlomka.

U nastavku je primjer kako koristiti ovo pravilo.

Primjer 3. Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo razlomak 56888038009 100000 iz običnog nepravilnog razlomka u decimalni.

Prvo, zapišimo broj iz brojilaca:

Sada, na desnoj strani, odvajamo pet cifara sa decimalnim zarezom (broj nula u nazivniku je pet). Dobijamo:

Sljedeće pitanje koje se prirodno nameće je: kako mješoviti broj pretvoriti u decimalni razlomak ako je imenilac njegovog razlomka broj 10, 100, 1000 itd. Da biste takav broj pretvorili u decimalni razlomak, možete koristiti sljedeće pravilo.

Pravilo za pretvaranje mješovitih brojeva u decimale

1. Po potrebi pripremamo razlomački dio broja.
2. Zapisujemo cijeli dio originalnog broja, a iza njega stavljamo zarez.
3. Zapisujemo broj iz brojnika razlomka zajedno sa dodanim nulama.

Pogledajmo primjer.

Primjer 4: Pretvaranje mješovitih brojeva u decimale

Pretvorimo mješoviti broj 23 17 10000 u decimalni razlomak.

U razlomku imamo izraz 17 10000. Pripremimo ga i dodajmo još dvije nule lijevo od brojila. Dobijamo: 0017 10000.

Sada zapisujemo cijeli dio broja i stavljamo zarez iza njega: 23, . .

Nakon decimalnog zareza zapišite broj iz brojila zajedno sa nulama. Dobijamo rezultat:

23 17 10000 = 23 , 0017

Pretvaranje običnih razlomaka u konačne i beskonačne periodične razlomke

Naravno, možete pretvoriti u decimale i obične razlomke sa nazivnikom koji nije jednak 10, 100, 1000, itd.

Često se razlomak može lako svesti na novi nazivnik, a zatim koristiti pravilo iz prvog paragrafa ovog člana. Na primjer, dovoljno je pomnožiti brojilac i imenilac razlomka 25 sa 2 i dobijemo razlomak 410, koji se lako pretvara u decimalni oblik 0,4.

Međutim, ova metoda pretvaranja razlomka u decimalu ne može se uvijek koristiti. U nastavku ćemo razmotriti što učiniti ako nije moguće primijeniti razmatranu metodu.

Fundamentalno novi način pretvaranja razlomka u decimalu je dijeljenje brojnika sa nazivnikom pomoću stupca. Ova operacija je vrlo slična dijeljenju prirodnih brojeva kolonom, ali ima svoje karakteristike.

Prilikom dijeljenja, brojilac se predstavlja kao decimalni razlomak - zarez se stavlja desno od posljednje znamenke brojnika i dodaju se nule. U rezultujućem količniku, decimalni zarez se stavlja kada se završi podela celobrojnog dela brojnika. Kako tačno ova metoda funkcionira, bit će jasno nakon pogleda na primjere.

Primjer 5. Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo obični razlomak 621 4 u decimalni oblik.

Predstavimo broj 621 iz brojila kao decimalni razlomak, dodajući nekoliko nula nakon decimalnog zareza. 621 = 621,00

Sada podijelimo 621,00 sa 4 koristeći kolonu. Prva tri koraka dijeljenja bit će ista kao kod dijeljenja prirodnih brojeva i dobićemo.

Kada dođemo do decimalnog zareza u dividendi, a ostatak je različit od nule, stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, ne obraćajući više pažnje na zarez u dividendi.

Kao rezultat, dobijamo decimalni razlomak 155, 25, koji je rezultat preokretanja običnog razlomka 621 4

621 4 = 155 , 25

Pogledajmo još jedan primjer kako bismo ojačali materijal.

Primjer 6. Pretvaranje razlomaka u decimale

Obrnimo uobičajeni razlomak 21 800.

Da biste to učinili, podijelite razlomak 21.000 u stupac sa 800. Dijeljenje cijelog dijela će se završiti na prvom koraku, pa odmah nakon njega stavljamo decimalni zarez u količnik i nastavljamo dijeljenje, ne obraćajući pažnju na zarez u dividendi dok ne dobijemo ostatak jednak nuli.

Kao rezultat, dobili smo: 21,800 = 0,02625.

Ali šta ako pri dijeljenju još uvijek ne dobijemo ostatak od 0. U takvim slučajevima, dijeljenje se može nastaviti beskonačno. Međutim, počevši od određenog koraka, ostaci će se periodično ponavljati. U skladu s tim, brojevi u količniku će se ponoviti. To znači da se obični razlomak pretvara u decimalni beskonačni periodični razlomak. Ilustrirajmo to primjerom.

Primjer 7. Pretvaranje razlomaka u decimale

Pretvorimo običan razlomak 19 44 u decimalu. Da bismo to učinili, vršimo podjelu po stupcu.

Vidimo da se tokom dijeljenja ponavljaju ostaci 8 i 36. U ovom slučaju, brojevi 1 i 8 se ponavljaju u količniku. Ovo je period u decimalnom razlomku. Prilikom snimanja ovi brojevi se stavljaju u zagrade.

Dakle, originalni obični razlomak se pretvara u beskonačan periodični decimalni razlomak.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Pogledajmo nesvodljivi obični razlomak. Kakav će oblik biti? Koji se obični razlomci pretvaraju u konačne decimale, a koji u beskonačne periodične?

Prvo, recimo da ako se razlomak može svesti na jedan od nazivnika 10, 100, 1000..., onda će imati oblik konačnog decimalnog razlomka. Da bi se razlomak sveo na jedan od ovih nazivnika, njegov nazivnik mora biti djelitelj barem jednog od brojeva 10, 100, 1000 itd. Iz pravila za razlaganje brojeva u proste činioce proizilazi da je djelitelj brojeva 10, 100, 1000 itd. mora, kada se rastavlja u proste faktore, sadržavati samo brojeve 2 i 5.

Hajde da sumiramo ono što je rečeno:

1. Uobičajeni razlomak se može svesti na konačnu decimalu ako se njegov imenilac može rastaviti na proste faktore 2 i 5.
2. Ako se pored brojeva 2 i 5 nalaze i drugi prosti brojevi u proširenju nazivnika, razlomak se svodi na oblik beskonačnog periodičnog decimalnog razlomka.

Dajemo primjer.

Primjer 8. Pretvaranje razlomaka u decimale

Koji od ovih razlomaka 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 pretvara se u konačni decimalni razlomak, a koji - samo u periodični. Odgovorimo na ovo pitanje bez direktnog pretvaranja razlomka u decimalu.

Razlomak 47 20, kao što je lako vidjeti, množenjem brojnika i nazivnika sa 5 svodi se na novi imenilac 100.

47 20 = 235 100. Iz ovoga zaključujemo da se ovaj razlomak pretvara u konačni decimalni razlomak.

Rastavljanjem na faktore nazivnika razlomka 7 12 dobija se 12 = 2 · 2 · 3. Pošto je prosti faktor 3 različit od 2 i 5, ovaj razlomak se ne može predstaviti kao konačni decimalni razlomak, već će imati oblik beskonačnog periodičnog razlomka.

Razlomak 21 56, prvo, treba smanjiti. Nakon smanjenja za 7, dobijamo nesvodljivi razlomak 3 8, čiji se imenilac rastavlja na faktore da bi se dobilo 8 = 2 · 2 · 2. Dakle, to je konačni decimalni razlomak.

U slučaju razlomka 31 17, rastavljanje imenioca na faktore je sam prost broj 17. Prema tome, ovaj razlomak se može pretvoriti u beskonačan periodični decimalni razlomak.

Običan razlomak se ne može pretvoriti u beskonačan i neperiodičan decimalni razlomak

Gore smo govorili samo o konačnim i beskonačnim periodičnim razlomcima. Ali može li se bilo koji obični razlomak pretvoriti u beskonačan neperiodični razlomak?

Odgovaramo: ne!

Bitan!

Prilikom pretvaranja beskonačnog razlomka u decimalu, rezultat je ili konačna decimala ili beskonačna periodična decimala.

Ostatak dijeljenja je uvijek manji od djelitelja. Drugim riječima, prema teoremi djeljivosti, ako neki prirodni broj podijelimo brojem q, tada ostatak dijeljenja ni u kom slučaju ne može biti veći od q-1. Nakon što se podjela završi, moguća je jedna od sljedećih situacija:

1. Dobijamo ostatak od 0, i tu se podjela završava.
2. Dobijamo ostatak, koji se ponavlja pri sljedećem dijeljenju, što rezultira beskonačnim periodičnim razlomkom.

Ne mogu postojati nikakve druge opcije prilikom pretvaranja razlomka u decimalu. Recimo i da je dužina perioda (broj cifara) u beskonačnom periodičnom razlomku uvijek manja od broja cifara u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka.

Pretvaranje decimala u razlomke

Sada je vrijeme da pogledamo obrnuti proces pretvaranja decimalnog razlomka u običan razlomak. Hajde da formulišemo pravilo prevođenja koje uključuje tri faze. Kako pretvoriti decimalni razlomak u običan razlomak?

Pravilo za pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

1. U brojiocu upisujemo broj iz originalnog decimalnog razlomka, odbacujući zarez i sve nule s lijeve strane, ako ih ima.
2. U nazivnik upisujemo jedan iza kojeg slijedi onoliko nula koliko ima cifara iza decimalnog zareza u originalnom decimalnom razlomku.
3. Ako je potrebno, smanjite rezultirajuću običnu frakciju.

Pogledajmo primjenu ovog pravila koristeći primjere.

Primjer 8. Pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

Zamislimo broj 3,025 kao običan razlomak.

1. Sam decimalni razlomak upisujemo u brojnik, odbacujući zarez: 3025.
2. U nazivnik upisujemo jedan, a iza njega tri nule - to je tačno koliko je cifara sadržano u originalnom razlomku nakon decimalnog zareza: 3025 1000.
3. Rezultirajući razlomak 3025 1000 može se smanjiti za 25, što rezultira: 3025 1000 = 121 40.

Primjer 9. Pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke

Pretvorimo razlomak 0,0017 iz decimalnog u običan.

1. U brojiocu upisujemo razlomak 0, 0017, odbacujući zarez i nule na lijevoj strani. Ispostaviće se da je 17.
2. U imenilac upisujemo jedan, a iza njega upisujemo četiri nule: 17 10000. Ovaj razlomak je nesvodljiv.

Ako decimalni razlomak ima cijeli broj, tada se takav razlomak može odmah pretvoriti u mješoviti broj. Kako uraditi?

Hajde da formulišemo još jedno pravilo.

Pravilo za pretvaranje decimala u mješovite brojeve.

1. Broj ispred decimalnog zareza u razlomku zapisuje se kao cijeli broj mješovitog broja.
2. U brojiocu upisujemo broj iza decimalne točke u razlomku, odbacujući nule s lijeve strane ako ih ima.
3. U nazivnik razlomka dodajemo jednu i onoliko nula koliko ima cifara iza decimalne tačke u razlomku.

Uzmimo primjer

Primjer 10. Pretvaranje decimale u mješoviti broj

Zamislimo razlomak 155, 06005 kao mješoviti broj.

1. Zapisujemo broj 155 kao cijeli broj.
2. U brojiocu upisujemo brojeve iza decimalnog zareza, odbacujući nulu.
3. U imenilac upisujemo jedan i pet nula

Naučimo mješoviti broj: 155 6005 100000

Razlomak se može smanjiti za 5. Skratimo ga i dobijemo konačan rezultat:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Pretvaranje beskonačnih periodičnih decimala u razlomke

Pogledajmo primjere kako pretvoriti periodične decimalne razlomke u obične razlomke. Prije nego počnemo, razjasnimo: bilo koji periodični decimalni razlomak može se pretvoriti u običan razlomak.

Najjednostavniji slučaj je kada je period razlomka nula. Periodični razlomak s nultom tačkom zamjenjuje se konačnim decimalnim razlomkom, a proces preokretanja takvog razlomka svodi se na preokretanje konačnog decimalnog razlomka.

Primjer 11. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak

Obrnimo periodični razlomak 3, 75 (0).

Eliminišući nule na desnoj strani, dobijamo konačni decimalni razlomak 3,75.

Pretvarajući ovaj razlomak u običan razlomak koristeći algoritam o kojem se govorilo u prethodnim paragrafima, dobijamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Šta ako je period razlomka različit od nule? Periodični dio treba posmatrati kao zbir članova geometrijske progresije, koji se smanjuje. Objasnimo ovo na primjeru:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Postoji formula za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Ako je prvi član progresije b, a imenilac q takav da je 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Pogledajmo nekoliko primjera koristeći ovu formulu.

Primjer 12. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak

Neka nam je periodični razlomak 0, (8) i trebamo ga pretvoriti u običan razlomak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Ovdje imamo beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju sa prvim članom 0, 8 i nazivnikom 0, 1.

Primijenimo formulu:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Ovo je traženi obični razlomak.

Da biste konsolidirali materijal, razmotrite još jedan primjer.

Primjer 13. Pretvaranje periodičnog decimalnog razlomka u obični razlomak

Obrnimo razlomak 0, 43 (18).

Prvo zapišemo razlomak kao beskonačan zbir:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Pogledajmo pojmove u zagradama. Ova geometrijska progresija se može predstaviti na sljedeći način:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Rezultat dodajemo konačnom razlomku 0, 43 = 43 100 i dobijemo rezultat:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Nakon sabiranja ovih razlomaka i smanjenja, dobijamo konačni odgovor:

0 , 43 (18) = 19 44

Da zaključimo ovaj članak, reći ćemo da se neperiodični beskonačni decimalni razlomci ne mogu pretvoriti u obične razlomke.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Operacija divizije uključuje učešće nekoliko glavnih komponenti. Prvi od njih je takozvana dividenda, odnosno broj koji podliježe postupku podjele. Drugi je djelitelj, odnosno broj kojim se vrši dijeljenje. Treći je količnik, odnosno rezultat operacije dijeljenja dividende djeliteljem.

Rezultat podjele

Najjednostavniji rezultat koji se može dobiti korištenjem dva pozitivna cijela broja kao dividende i djelitelja je još jedan pozitivan cijeli broj. Na primjer, prilikom dijeljenja 6 sa 2, količnik će biti jednak 3. Ova situacija je moguća ako je dividenda djelitelj, odnosno, podijeljena je s njim bez ostatka.

Međutim, postoje i druge opcije kada je nemoguće izvršiti operaciju dijeljenja bez ostatka. U ovom slučaju, necijeli broj postaje količnik, koji se može napisati kao kombinacija cijelog broja i razlomka. Na primjer, kada se dijeli 5 sa 2, količnik je 2,5.

Broj u periodu

Jedna od opcija koja može proizaći ako dividenda nije višekratnik djelitelja je takozvani broj u periodu. Može nastati kao rezultat dijeljenja ako se pokaže da je količnik beskonačno ponavljajući skup brojeva. Na primjer, broj u tački se može pojaviti kada se broj 2 dijeli sa 3. U ovoj situaciji, rezultat će, kao decimalni razlomak, biti izražen kao kombinacija beskonačnog broja od 6 cifara nakon decimalnog zareza.

Da bi se označio rezultat takvog dijeljenja, izmišljen je poseban način pisanja brojeva u periodu: takav se broj označava stavljanjem cifre koja se ponavlja u zagradi. Na primjer, rezultat dijeljenja 2 sa 3 bi bio zapisan ovom metodom kao 0,(6). Ova notacija je također primjenjiva ako se samo dio broja koji je rezultat dijeljenja ponavlja.

Na primjer, kada se dijeli 5 sa 6, rezultat će biti periodični broj oblika 0,8(3). Upotreba ove metode je, prvo, efikasnija u poređenju sa pokušajem da zapišete sve ili dio cifara broja u periodu, a drugo, ima veću preciznost u odnosu na drugu metodu prenošenja takvih brojeva - zaokruživanje, a osim toga, omogućava vam da razlikujete brojeve u periodu od tačnog decimalnog razlomka sa odgovarajućom vrednošću kada uporedite veličinu ovih brojeva. Tako je, na primjer, očigledno da je 0.(6) znatno veće od 0.6.