Kako pojednostaviti jednačinu sa razlomcima. ODZ. Raspon prihvatljivih vrijednosti

Jednačina je jednakost koja sadrži slovo čija se vrijednost mora pronaći.

U jednadžbama se nepoznato obično predstavlja malim slovom. Najčešće korištena slova su “x” [ix] i “y” [y].

Korijen jednadžbe- ovo je vrijednost slova pri kojoj se iz jednačine dobija tačna brojčana jednakost.

Riješite jednačinu- znači pronaći sve njegove korijene ili osigurati da nema korijena.

Nakon što smo riješili jednačinu, uvijek zapisujemo ček nakon odgovora.

Informacije za roditelje

Dragi roditelji, skrećemo vam pažnju da u osnovnoj školi i u 5. razredu djeca NE znaju temu „Negativni brojevi“.

Stoga moraju rješavati jednačine koristeći samo svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Metode za rješavanje jednačina za razred 5 su date u nastavku.

Nemojte pokušavati objasniti rješenje jednačina prenošenjem brojeva i slova iz jednog dijela jednačine u drugi s promjenom predznaka.

Pojmove vezane za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje možete poboljšati u lekciji “Zakoni aritmetike”.

Rješavanje jednačina za sabiranje i oduzimanje

Kako pronaći nepoznato
termin

Kako pronaći nepoznato
minuend

Kako pronaći nepoznato
subtrahend

Da biste pronašli nepoznati pojam, potrebno je da od zbroja oduzmete poznati pojam.

Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.

Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Ispitivanje

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Ispitivanje

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Ispitivanje

Rješavanje jednadžbi množenja i dijeljenja

Kako pronaći nepoznato
faktor

Kako pronaći nepoznato
dividenda

Kako pronaći nepoznato
razdjelnik

Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom.

Da biste pronašli nepoznatu dividendu, morate pomnožiti količnik sa djeliteljem.

Da biste pronašli nepoznati djelitelj, trebate podijeliti dividendu s količnikom.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Ispitivanje

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Ispitivanje

8:y=4
y=8:4
y=2
Ispitivanje

Jednačina je jednakost koja sadrži slovo čiji se znak mora pronaći. Rješenje jednadžbe je skup slovnih vrijednosti koji jednačinu pretvara u pravu jednakost:

Prisjetite se toga da biste riješili jednačina potrebno je članove sa nepoznatim prenijeti u jedan dio jednakosti, a numeričke članove u drugi, dovesti slične i dobiti sljedeću jednakost:

Iz posljednje jednakosti određujemo nepoznatu po pravilu: "jedan od faktora jednak je količniku podijeljenom sa drugim faktorom."

Kako racionalni brojevi a i b mogu imati iste ili različite predznake, predznak nepoznate je određen pravilima za dijeljenje racionalnih brojeva.

Postupak rješavanja linearnih jednačina

Linearna jednačina se mora pojednostaviti otvaranjem zagrada i izvođenjem operacija drugog koraka (množenje i dijeljenje).

Premjestite nepoznate na jednu stranu znaka jednakosti, a brojeve na drugu stranu znaka jednakosti, dobivši jednakost identičnu datoj,

Slične dovedite lijevo i desno od znaka jednakosti, dobivši jednakost oblika sjekira = b.

Izračunajte korijen jednačine (nađite nepoznatu X od jednakosti x = b : a),

Provjerite zamjenom nepoznate u datu jednačinu.

Ako dobijemo identitet u numeričkoj jednakosti, onda je jednačina ispravno riješena.

Posebni slučajevi rješavanja jednačina

1. Ako jednačina ako je proizvod jednak 0, onda da ga riješimo koristimo svojstvo množenja: „proizvod je jednak nuli ako su jedan od faktora ili oba faktora jednaka nuli.“

27 (x - 3) = 0
27 nije jednako 0, što znači x - 3 = 0

Drugi primjer ima dva rješenja jednačine, budući da
ovo je jednačina drugog stepena:

Ako su koeficijenti jednadžbe obični razlomci, tada se prije svega trebate riješiti nazivnika. Za ovo:

Pronađite zajednički imenilac;

Odrediti dodatne faktore za svaki član jednačine;

Pomnožite brojioce razlomaka i cijelih brojeva dodatnim faktorima i napišite sve članove jednačine bez nazivnika (zajednički imenilac se može odbaciti);

Premjestiti članove s nepoznanicama na jednu stranu jednačine, a numeričke članove na drugu iz znaka jednakosti, dobivši ekvivalentnu jednakost;

Dovedite slične članove;

Osnovna svojstva jednadžbi

U bilo koji dio jednačine možete dodati slične pojmove ili otvoriti zagradu.

Bilo koji član jednačine može se prenijeti iz jednog dijela jednačine u drugi promjenom predznaka u suprotan.

Obje strane jednačine se mogu pomnožiti (podijeliti) istim brojem, osim 0.

U gornjem primjeru, sva njegova svojstva korištena su za rješavanje jednadžbe.

Kako riješiti jednačinu sa nepoznatom u razlomku

Ponekad linearne jednadžbe imaju oblik kada nepoznato pojavljuje se u brojiocu jednog ili više razlomaka. Kao u jednadžbi ispod.

U takvim slučajevima takve jednačine se mogu riješiti na dva načina.

I metoda rješenja
Svođenje jednadžbe na proporciju

Kada rješavate jednadžbe metodom proporcija, morate izvršiti sljedeće korake:

dovesti sve razlomke u zajednički nazivnik i dodati ih kao algebarske razlomke (samo jedan razlomak treba da ostane na lijevoj i desnoj strani);

Riješi rezultirajuću jednačinu koristeći pravilo proporcije.

Dakle, vratimo se našoj jednadžbi. Na lijevoj strani već imamo samo jedan razlomak, tako da u njemu nisu potrebne nikakve transformacije.

Radićemo sa desnom stranom jednačine. Pojednostavimo desnu stranu jednačine tako da ostane samo jedan razlomak. Da biste to učinili, zapamtite pravila za zbrajanje broja s algebarskim razlomkom.

Sada koristimo pravilo proporcije i rješavamo jednačinu do kraja.

II metoda rješenja
Redukcija na linearnu jednačinu bez razlomaka

Pogledajmo gornju jednačinu ponovo i riješimo je na drugačiji način.

Vidimo da postoje dva razlomka u jednadžbi "

Kako riješiti jednadžbe s razlomcima. Eksponencijalno rješenje jednadžbi sa razlomcima.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima Pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć, moći ćete razumjeti na najrazumljiviji način.
Na primjer, trebate riješiti jednostavnu jednačinu x/b + c = d.

Jednačina ovog tipa naziva se linearna, jer Imenilac sadrži samo brojeve.

Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednačine sa b, tada jednačina dobija oblik x = b*(d – c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se poništava.

Na primjer, kako riješiti frakcijsku jednačinu:
x/5+4=9
Obe strane množimo sa 5. Dobijamo:
x+20=45

Još jedan primjer kada je nepoznato u nazivniku:

Jednadžbe ovog tipa nazivaju se razlomačno-racionalnim ili jednostavno frakcijskim.

Razlomku bismo riješili tako što bismo se riješili razlomaka, nakon čega se ova jednačina, najčešće, pretvara u linearnu ili kvadratnu jednačinu, koja se rješava na uobičajen način. Samo trebate uzeti u obzir sljedeće tačke:

• vrijednost varijable koja pretvara imenilac u 0 ne može biti korijen;
• Ne možete dijeliti ili množiti jednačinu izrazom =0.

Ovdje stupa na snagu koncept područja dopuštenih vrijednosti (ADV) - to su vrijednosti korijena jednadžbe za koje jednačina ima smisla.

Dakle, prilikom rješavanja jednadžbe potrebno je pronaći korijene, a zatim ih provjeriti da li su u skladu s ODZ-om. Oni korijeni koji ne odgovaraju našem ODZ-u su isključeni iz odgovora.

Na primjer, trebate riješiti frakcijsku jednadžbu:

Na osnovu gornjeg pravila, x ne može biti = 0, tj. ODZ u ovom slučaju: x – bilo koja vrijednost osim nule.

Oslobađamo se imenioca množenjem svih članova jednačine sa x

I rješavamo uobičajenu jednačinu

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Hajde da rešimo komplikovaniju jednačinu:

ODZ je također prisutan ovdje: x -2.

Prilikom rješavanja ove jednačine nećemo sve pomjeriti na jednu stranu i dovesti razlomke na zajednički nazivnik. Odmah ćemo pomnožiti obje strane jednačine izrazom koji će poništiti sve nazivnike odjednom.

Da biste smanjili nazivnike, trebate lijevu stranu pomnožiti sa x+2, a desnu sa 2. To znači da se obje strane jednačine moraju pomnožiti sa 2(x+2):

Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.

Napišimo istu jednačinu, ali malo drugačije

Lijeva strana se smanjuje za (x+2), a desna za 2. Nakon redukcije dobijamo uobičajenu linearnu jednačinu:

x = 4 – 2 = 2, što odgovara našem ODZ-u

Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se čini. U ovom članku smo to pokazali na primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća sa kako riješiti jednadžbe s razlomcima, a zatim se odjavite u komentarima.

Rješavanje jednadžbi sa razlomcima 5. razred

Rješavanje jednadžbi s razlomcima. Rješavanje problema s razlomcima.

Pogledajte sadržaj dokumenta
“Rješavanje jednadžbi sa razlomcima, 5. razred”

— Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.

— Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima.

Sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojnike i ostavite nazivnik isti.

Oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Da biste oduzeli razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik minusa od brojnika minusa, ali ostavite imenilac isti.

Prilikom rješavanja jednačina potrebno je koristiti pravila za rješavanje jednačina, svojstva sabiranja i oduzimanja.

Rješavanje jednadžbi korištenjem svojstava.

Rješavanje jednadžbi pomoću pravila.

Izraz na lijevoj strani jednačine je zbir.

pojam + termin = zbir.

Da biste pronašli nepoznati pojam, potrebno je da od zbroja oduzmete poznati pojam.

minuend – subtrahend = razlika

Da biste pronašli nepoznati oduzetak, trebate oduzeti razliku od minusa.

Izraz na lijevoj strani jednačine je razlika.

Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.

KORIŠĆENJE PRAVILA ZA RJEŠAVANJE JEDNAČINA.

Na lijevoj strani jednačine, izraz je zbir.

Do sada smo rješavali samo cjelobrojne jednačine u odnosu na nepoznatu, odnosno jednadžbe u kojima nazivnici (ako ih ima) nisu sadržavali nepoznatu.

Često morate rješavati jednadžbe koje sadrže nepoznanicu u nazivnicima: takve jednačine se nazivaju razlomcima.

Da bismo riješili ovu jednačinu, množimo obje strane s polinomom koji sadrži nepoznatu. Hoće li nova jednačina biti ekvivalentna ovoj? Da bismo odgovorili na pitanje, riješimo ovu jednačinu.

Množenjem obe strane sa , dobijamo:

Rješavajući ovu jednačinu prvog stepena, nalazimo:

Dakle, jednačina (2) ima jedan korijen

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:

To znači da je to i korijen jednačine (1).

Jednačina (1) nema druge korijene. U našem primjeru, to se može vidjeti, na primjer, iz činjenice da je u jednadžbi (1)

Kako nepoznati djelitelj mora biti jednak dividendi 1 podijeljenoj s količnikom 2, tj.

Dakle, jednačine (1) i (2) imaju jedan korijen, što znači da su ekvivalentne.

2. Riješimo sada sljedeću jednačinu:

Najjednostavniji zajednički imenilac: ; pomnožimo sve članove jednačine sa njim:

Nakon smanjenja dobijamo:

Proširimo zagrade:

Dovodeći slične uslove, imamo:

Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo:

Zamjenom u jednačinu (1) dobijamo:

Na lijevoj strani dobili smo izraze koji nemaju smisla.

To znači da jednačina (1) nije korijen. Iz toga slijedi da jednačine (1) i nisu ekvivalentne.

U ovom slučaju kažu da je jednadžba (1) dobila vanjski korijen.

Uporedimo rješenje jednačine (1) sa rješenjem jednačina koje smo ranije razmatrali (vidi § 51). U rješavanju ove jednadžbe morali smo izvršiti dvije operacije koje do sada nismo vidjeli: prvo, pomnožili smo obje strane jednačine izrazom koji sadrži nepoznato (zajednički nazivnik), i drugo, smanjili smo algebarske razlomke faktorima koji sadrže nepoznato .

Uspoređujući jednačinu (1) sa jednačinom (2), vidimo da nisu sve vrijednosti x koje vrijede za jednačinu (2) važeće za jednačinu (1).

Upravo brojevi 1 i 3 nisu prihvatljive vrijednosti nepoznate za jednačinu (1), ali su kao rezultat transformacije postali prihvatljivi za jednačinu (2). Ispostavilo se da je jedan od ovih brojeva rješenje jednačine (2), ali, naravno, ne može biti rješenje jednačine (1). Jednačina (1) nema rješenja.

Ovaj primjer pokazuje da kada se obje strane jednačine pomnože sa faktorom koji sadrži nepoznatu, i kada se algebarski razlomci redukuju, može se dobiti jednačina koja nije ekvivalentna datoj, odnosno: mogu se pojaviti strani korijeni.

Odavde izvlačimo sljedeći zaključak. Prilikom rješavanja jednadžbe koja sadrži nepoznatu u nazivniku, rezultirajući korijeni se moraju provjeriti zamjenom u originalnu jednačinu. Strani korijeni moraju se odbaciti.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima Pogledajmo primjere. Primjeri su jednostavni i ilustrativni. Uz njihovu pomoć, moći ćete razumjeti na najrazumljiviji način.
Na primjer, trebate riješiti jednostavnu jednačinu x/b + c = d.

Jednačina ovog tipa naziva se linearna, jer Imenilac sadrži samo brojeve.

Rješenje se izvodi množenjem obje strane jednačine sa b, tada jednačina dobija oblik x = b*(d – c), tj. nazivnik razlomka na lijevoj strani se poništava.

Na primjer, kako riješiti frakcijsku jednačinu:
x/5+4=9
Obe strane množimo sa 5. Dobijamo:
x+20=45
x=45-20=25

Još jedan primjer kada je nepoznato u nazivniku:

Jednadžbe ovog tipa nazivaju se razlomačno-racionalnim ili jednostavno frakcijskim.

Razlomku bismo riješili tako što bismo se riješili razlomaka, nakon čega se ova jednačina, najčešće, pretvara u linearnu ili kvadratnu jednačinu, koja se rješava na uobičajen način. Samo trebate uzeti u obzir sljedeće tačke:

• vrijednost varijable koja pretvara imenilac u 0 ne može biti korijen;
• Ne možete dijeliti ili množiti jednačinu izrazom =0.

Ovdje stupa na snagu koncept područja dopuštenih vrijednosti (ADV) - to su vrijednosti korijena jednadžbe za koje jednačina ima smisla.

Dakle, prilikom rješavanja jednadžbe potrebno je pronaći korijene, a zatim ih provjeriti da li su u skladu s ODZ-om. Oni korijeni koji ne odgovaraju našem ODZ-u su isključeni iz odgovora.

Na primjer, trebate riješiti frakcijsku jednadžbu:

Na osnovu gornjeg pravila, x ne može biti = 0, tj. ODZ u ovom slučaju: x – bilo koja vrijednost osim nule.

Oslobađamo se imenioca množenjem svih članova jednačine sa x

I rješavamo uobičajenu jednačinu

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Odgovor: x = 1/3

Hajde da rešimo komplikovaniju jednačinu:

ODZ je također prisutan ovdje: x -2.

Prilikom rješavanja ove jednačine nećemo sve pomjeriti na jednu stranu i dovesti razlomke na zajednički nazivnik. Odmah ćemo pomnožiti obje strane jednačine izrazom koji će poništiti sve nazivnike odjednom.

Da biste smanjili nazivnike, trebate lijevu stranu pomnožiti sa x+2, a desnu sa 2. To znači da se obje strane jednačine moraju pomnožiti sa 2(x+2):

Ovo je najčešće množenje razlomaka, o čemu smo već govorili gore.

Napišimo istu jednačinu, ali malo drugačije

Lijeva strana se smanjuje za (x+2), a desna za 2. Nakon redukcije dobijamo uobičajenu linearnu jednačinu:

x = 4 – 2 = 2, što odgovara našem ODZ-u

Odgovor: x = 2.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima nije tako teško kao što se čini. U ovom članku smo to pokazali na primjerima. Ako imate bilo kakvih poteškoća sa kako riješiti jednadžbe s razlomcima, a zatim se odjavite u komentarima.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Frakcijske jednadžbe. ODZ.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Nastavljamo da savladavamo jednačine. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednačinama. Zadnji pogled lijevo - frakcione jednačine. Ili se zovu i mnogo uglednije - frakcione racionalne jednadžbe. To je isto.

Frakcijske jednadžbe.

Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, već razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:

Dozvolite mi da vas podsjetim da ako su imenioci samo brojevi, ovo su linearne jednadžbe.

Kako odlučiti frakcione jednačine? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga, jednadžba se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo šta da radimo... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netačan izraz, kao što je 7=2. Ali to se retko dešava. Ovo ću spomenuti u nastavku.

Ali kako se riješiti razlomaka!? Veoma jednostavno. Primjena istih identičnih transformacija.

Moramo pomnožiti cijelu jednačinu istim izrazom. Tako da su svi imenioci smanjeni! Sve će odmah postati lakše. Dozvolite mi da objasnim na primjeru. Hajde da rešimo jednačinu:

Kako su vas učili u osnovnoj školi? Sve pomeramo na jednu stranu, dovodimo do zajedničkog imenioca itd. Zaboravi kao ružan san! To je ono što trebate učiniti kada dodajete ili oduzimate razlomke. Ili radite sa nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo obje strane izrazom koji će nam dati priliku da sve imenioce svedemo (tj., u suštini, zajedničkim nazivnikom). A koji je ovo izraz?

Na lijevoj strani, smanjenje nazivnika zahtijeva množenje sa x+2. A na desnoj strani je potrebno množenje sa 2. To znači da se jednačina mora pomnožiti sa 2(x+2). pomnožiti:

Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno opisati:

Imajte na umu da još ne otvaram zagradu (x + 2)! Dakle, pišem u celosti:

Na lijevoj strani se u potpunosti skuplja (x+2), a desno 2. Što se i tražilo! Nakon smanjenja dobijamo linearno jednadžba:

I svako može riješiti ovu jednačinu! x = 2.

Hajde da riješimo još jedan primjer, malo složeniji:

Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1, možemo napisati:

I opet se oslobađamo onoga što nam se baš i ne sviđa - razlomaka.

Vidimo da da bismo smanjili nazivnik sa X, trebamo pomnožiti razlomak sa (x – 2). A nekolicina nam nije prepreka. Pa, pomnožimo. Sve lijevoj strani i sve desna strana:

Opet zagrade (x – 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom kao da je jedan broj! To se uvijek mora raditi, inače se ništa neće smanjiti.

Sa osjećajem dubokog zadovoljstva smanjujemo (x – 2) i dobijamo jednačinu bez razlomaka, sa ravnalom!

Sada otvorimo zagrade:

Donosimo slične, pomeramo sve na lijevu stranu i dobijamo:

Ali prije toga ćemo naučiti rješavati druge probleme. Na kamatu. Usput, to je grabulja!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.