Trigonometrik denklemler ve eşitsizliklerin tanımı. Trigonometrik eşitsizlikleri çözme yöntemleri

1.5 Trigonometrik eşitsizlikler ve çözüm yöntemleri

1.5.1 Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözme

Matematik üzerine modern ders kitaplarının yazarlarının çoğu, bu konuyu incelemeye en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözerek başlamamızı önerir. En basit trigonometrik eşitsizlikleri çözme ilkesi, bir trigonometrik daire üzerinde yalnızca ana trigonometrik açıların değil, aynı zamanda diğer değerlerin değerlerini belirleme bilgisine ve yeteneğine dayanır.

Bu arada, , , şeklindeki eşitsizliklerin çözümü şu şekilde yapılabilir: önce, bu eşitsizliğin doğru olduğu bir aralık () buluruz ve sonra bulunan son cevabı, bulunanların uçlarına ekleyerek yazarız. sinüs veya kosinüsün periyodunun bir katı aralığı: ( ). Bu durumda, değer kolayca bulunur, çünkü veya . Bir değer arayışı, öğrencilerin sezgilerine, sinüs veya kosinüs grafiğinin ayrı ayrı bölümlerinin simetrisini kullanarak yayların veya doğru parçalarının eşitliğini fark etme becerilerine dayanır. Ve bu bazen oldukça fazla sayıda öğrencinin gücünün ötesindedir. Belirtilen zorlukların üstesinden gelmek için, son yıllarda ders kitapları en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için farklı bir yaklaşım kullandı, ancak bu, öğrenme çıktılarını iyileştirmedi.

Birkaç yıldır, trigonometrik eşitsizliklere çözüm bulmak için karşılık gelen denklemlerin kök formüllerini oldukça başarılı bir şekilde kullanıyoruz.

Bu konuyu şu şekilde inceliyoruz:

1. Grafikler oluşturuyoruz ve y \u003d a olduğunu varsayarak .

Sonra denklemi ve çözümünü yazıyoruz. n 0 verilmesi; 1; 2, oluşan denklemin üç kökünü buluyoruz: . Değerler grafiklerin ardışık üç kesişme noktasının apsisleridir ve y=a'dır. eşitsizliğin her zaman () aralığında ve () aralığında - eşitsizliğin devam ettiği açıktır.

Bu aralıkların uçlarına sinüsün periyodunun katı olan bir sayı ekleyerek, ilk durumda eşitsizliğin çözümünü şu şekilde elde ederiz: ; ve ikinci durumda, eşitsizliğin çözümü şu şekildedir:

Sadece denklemin çözümü olan formüldeki sinüsün aksine, n = 0 için iki kök ve n = 1 için üçüncü kök şu şekilde elde edilir: . Ve yine grafiklerin kesişme noktalarının ardışık üç apsisi vardır ve . () aralığında eşitsizlik karşılanır, () aralığında eşitsizlik sağlanır

Şimdi eşitsizliklerin çözümlerini yazmak kolaydır ve . İlk durumda, şunu elde ederiz: ;

ve ikincisinde: .

Özetle. Eşitsizliği çözmek için veya , karşılık gelen denklemi oluşturmak ve çözmek gerekir. Ortaya çıkan formülden, ve köklerini bulun ve eşitsizliğin cevabını şu şekilde yazın: .

Eşitsizlikleri çözerken, karşılık gelen denklemin köklerinin formülünden ve köklerini buluruz ve eşitsizliğin cevabını şu şekilde yazarız: .

Bu teknik, tüm öğrencilere trigonometrik eşitsizlikleri nasıl çözeceklerini öğretmenize izin verir. bu teknik tamamen öğrencilerin sağlam bir şekilde hakim olduğu becerilere dayanır. Bunlar en basitini çözme ve bir formül kullanarak bir değişkenin değerini bulma becerisidir. Ayrıca, bir öğretmenin rehberliğinde dikkatlice çözmek tamamen isteğe bağlı hale gelir. Büyük bir sayı eşitsizlik işaretine, a sayısının modül değerine ve işaretine bağlı olarak her türlü muhakeme tekniklerini göstermek için alıştırmalar. Ve eşitsizliği çözme süreci kısa ve çok önemli olan tekdüze hale gelir.

Bu yöntemin bir diğer avantajı da, sağ taraf sinüs veya kosinüs tablo değeri olmadığında bile eşitsizlikleri çözmeyi kolaylaştırmasıdır.

Bunu belirli bir örnekle gösterelim. Eşitsizliği çözmek için gerekli olsun. Karşılık gelen denklemi yazalım ve çözelim:

ve değerlerini bulalım.

n = 1 için

n = 2 için

Bu eşitsizliğe son cevabı yazıyoruz:

En basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmenin dikkate alınan örneğinde, yalnızca bir dezavantaj olabilir - belirli bir miktarda biçimciliğin varlığı. Ancak her şey yalnızca bu konumlardan değerlendirilirse, hem ikinci dereceden denklemin köklerinin formüllerini hem de trigonometrik denklemleri çözmek için tüm formülleri ve çok daha fazlasını biçimcilikle suçlamak mümkün olacaktır.

Önerilen yöntem, trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için beceri ve yeteneklerin oluşumunda değerli bir yer tutmasına rağmen, trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için diğer yöntemlerin önemi ve özellikleri küçümsenemez. Bu, aralık yöntemini içerir.

Özünü düşünelim.

A.G. Mordkovich, ancak diğer ders kitapları da göz ardı edilmemelidir. § 3. Cebir dersinde "Trigonometrik fonksiyonlar" konusunu öğretme yöntemleri ve analizin başlangıcı Okulda trigonometrik fonksiyonlar çalışmasında iki ana aşama ayırt edilebilir: ü Trigonometrik fonksiyonlarla ilk tanışma ...

Araştırma sırasında aşağıdaki görevler çözüldü: 1) Mevcut cebir ders kitapları ve matematiksel analizin başlangıcı, irrasyonel denklemleri ve içlerinde sunulan eşitsizlikleri çözme yöntemlerini belirlemek için analiz edildi. Yapılan analiz, aşağıdaki sonuçları çıkarmamıza izin veriyor: Lisede, çeşitli irrasyonel denklemleri çözme yöntemlerine yeterince dikkat edilmiyor, özellikle ...

TRİGONOMETRİK EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZME YÖNTEMLERİ

alaka. Tarihsel olarak, trigonometrik denklemler ve eşitsizliklere okul müfredatında özel bir yer verilmiştir. Trigonometrinin okul dersinin ve genel olarak tüm matematik biliminin en önemli bölümlerinden biri olduğunu söyleyebiliriz.

Trigonometrik denklemler ve eşitsizlikler, hem eğitim materyalinin içeriği hem de çalışmaları sırasında oluşturulabilen ve oluşturulması gereken ve büyük bir sorunun çözümüne uygulanması gereken eğitimsel ve bilişsel aktivite yöntemleri açısından bir lise matematik dersindeki merkezi yerlerden birini işgal eder. teorik ve uygulamalı nitelikteki problemlerin sayısı.

Trigonometrik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü, öğrencilerin trigonometrideki tüm eğitim materyalleriyle ilgili bilgilerini (örneğin, trigonometrik fonksiyonların özellikleri, trigonometrik ifadeleri dönüştürme yöntemleri vb.) Sistematize etmek için ön koşulları oluşturur ve etkili bağlantılar kurmayı mümkün kılar. cebirde çalışılan materyal (denklemler, denklemlerin eşdeğerliği, eşitsizlikler, cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri, vb.).

Başka bir deyişle, trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yöntemlerinin ele alınması, bu becerilerin bir tür yeni içeriğe aktarılmasını içerir.

Teorinin önemi ve sayısız uygulaması, seçilen konunun alaka düzeyinin kanıtıdır. Bu da, ders çalışmasının amaçlarını, hedeflerini ve araştırma konusunu belirlemenizi sağlar.

Bu çalışmanın amacı: mevcut trigonometrik eşitsizlik türlerini, bunların çözümü için temel ve özel yöntemleri genelleştirin, okul çocukları tarafından trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi görev seçin.

Araştırma hedefleri:

1. Araştırma konusuyla ilgili mevcut literatürün analizine dayanarak, materyali sistematik hale getirin.

2. "Trigonometrik eşitsizlikler" konusunu pekiştirmek için gerekli bir dizi görev verin.

çalışmanın amacı okul matematik dersindeki trigonometrik eşitsizliklerdir.

Çalışma konusu: trigonometrik eşitsizlik türleri ve çözüm yöntemleri.

teorik önemi materyali düzenlemektir.

pratik önemi: problem çözmede teorik bilginin uygulanması; trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için sık karşılaşılan başlıca yöntemlerin analizi.

Araştırma Yöntemleri : bilimsel literatürün analizi, edinilen bilginin sentezi ve genelleştirilmesi, problem çözmenin analizi, eşitsizlikleri çözmek için en uygun yöntemlerin araştırılması.

§1. Trigonometrik eşitsizlik türleri ve bunların çözümü için temel yöntemler

1.1. En basit trigonometrik eşitsizlikler

Bir veya > işaretiyle birbirine bağlanan iki trigonometrik ifadeye trigonometrik eşitsizlikler denir.

Bir trigonometrik eşitsizliği çözmek, altında eşitsizliğin karşılandığı, eşitsizliğe dahil olan bilinmeyenlerin bir dizi değerini bulmak anlamına gelir.

Trigonometrik eşitsizliklerin ana kısmı, en basit olanları çözmeye indirgenerek çözülür:

Bu bir çarpanlara ayırma yöntemi olabilir, değişken değiştirme (
,
vb.), olağan eşitsizliğin önce çözüldüğü ve ardından formun eşitsizliğinin çözüldüğü yer
vb. veya başka yollar.

En basit eşitsizlikler iki şekilde çözülür: birim çember kullanılarak veya grafiksel olarak.

İzin vermekf(x  temel trigonometrik fonksiyonlardan biridir. eşitsizliği çözmek için
çözümünü bir periyotta bulmak yeterlidir, yani uzunluğu fonksiyonun periyoduna eşit olan herhangi bir doğru parçasındaF  X  . O zaman orijinal eşitsizliğin çözümü tamamen bulunacaktır.X , ayrıca işlevin herhangi bir tamsayı periyodu tarafından bulunan değerlerden farklı olan değerler. Bu durumda, grafik yöntemini kullanmak uygundur.

Eşitsizlikleri çözmek için bir algoritma örneği verelim.
(
) Ve
.

Eşitsizliği çözmek için algoritma
(
).

1. Bir sayının sinüsünün tanımını formüle edinX birim çember üzerinde.

3. Y ekseninde koordinatı olan bir noktayı işaretleyin.A .

4. Bu noktadan OX eksenine paralel bir çizgi çizin ve daire ile kesiştiği noktaları işaretleyin.

5. Tüm noktalarının ordinatı şundan küçük olan bir daire yayı seçin:A .

6. Baypasın yönünü (saat yönünün tersine) belirtin ve aralığın sonlarına fonksiyonun periyodunu ekleyerek cevabı yazın.2πn ,
.

Eşitsizliği çözmek için algoritma
.

1. Bir sayının tanjantının tanımını formüle edinX birim çember üzerinde.

2. Bir birim çember çizin.

3. Bir teğet çizgisi çizin ve üzerinde bir noktayı ordinat ile işaretleyinA .

4. Bu noktayı orijine bağlayın ve ortaya çıkan parçanın birim daire ile kesişme noktasını işaretleyin.

5. Tüm noktalarının ordinatı teğet çizgi üzerinde şu değerden küçük olan bir daire yayı seçin:A .

6. Geçişin yönünü belirtin ve işlevin kapsamını dikkate alarak bir nokta ekleyerek cevabı yazın.pn ,
(kaydın sol tarafındaki sayı her zaman sağ tarafındaki sayıdan küçüktür).

En basit denklemlerin çözümlerinin grafiksel yorumu ve eşitsizlikleri genel bir biçimde çözmek için formüller ekte verilmiştir (Ek 1 ve 2).

örnek 1 eşitsizliği çöz
.

Birim çember üzerine bir çizgi çizin
, çemberi A ve B noktalarında keser.

Tüm değerlery NM aralığında daha fazla , AMB yayının tüm noktaları bu eşitsizliği karşılar. Tüm dönüş açılarında, büyük , ancak daha küçük ,
değerinden daha büyük değerler alacaktır. (ama birden fazla değil).

Şekil 1

Böylece eşitsizliğin çözümü, aralıktaki tüm değerler olacaktır.
, yani
. Bu eşitsizliğin tüm çözümlerini elde etmek için, bu aralığın sonuna eklemek yeterlidir.
, Nerede
, yani
,
. değerlerin
Ve
denklemin kökleri
,

onlar.
;
.

Cevap:
,
.

1.2. Grafik yöntem

Uygulamada, trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için grafik bir yöntem genellikle yararlıdır. Eşitsizlik örneğinde yöntemin özünü düşünün
:

1. Argüman karmaşıksa (farklıX ), sonra şununla değiştiririz:T .

2. Bir koordinat düzleminde inşa ediyoruztooy fonksiyon grafikleri
Ve
.

3. Böyle buluyoruzgrafiklerin kesiştiği iki bitişik nokta, hangileri arasındasinüzoidalbulunandaha yüksek dümdüz
. Bu noktaların apsislerini bulun.

4. Argüman için bir çift eşitsizlik yazınT , kosinüs periyodu dikkate alındığında (T bulunan apsisler arasında olacaktır).

5. Bir ters ikame yapın (orijinal bağımsız değişkene geri dönün) ve değeri ifade edinX çift ​​​​eşitsizlikten, cevabı sayısal bir aralık olarak yazıyoruz.

Örnek 2 Eşitsizliği çöz: .

Eşitsizlikleri grafik bir yöntemle çözerken, fonksiyonların grafiklerini olabildiğince doğru bir şekilde oluşturmak gerekir. Eşitsizliği forma dönüştürelim:

Bir koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım.
Ve
(İncir. 2).

İncir. 2

Fonksiyon grafikleri bir noktada kesişirA koordinatlı
;
. Arasında
grafik noktaları
grafik noktalarının altında
. Ve ne zaman
fonksiyon değerleri aynıdır. Bu yüzden
de
.

Cevap:
.

1.3. cebirsel yöntem

Çoğu zaman, orijinal trigonometrik eşitsizlik, iyi seçilmiş bir ikame ile cebirsel (rasyonel veya irrasyonel) bir eşitsizliğe indirgenebilir. Bu yöntem, eşitsizliğin dönüştürülmesini, bir ikamenin getirilmesini veya bir değişkenin değiştirilmesini içerir.

Bu yöntemin uygulamasını somut örnekler üzerinde ele alalım.

Örnek 3 En basit forma indirgeme
.

(Şek. 3)

Şek. 3

,
.

Cevap:
,

Örnek 4 Eşitsizliği çözün:

ODZ:
,
.

Formülleri kullanma:
,

eşitsizliği şu şekilde yazarız:
.

Veya varsayarak
basit dönüşümlerden sonra elde ederiz

,

,

.

Son eşitsizliği aralık yöntemiyle çözerek şunu elde ederiz:

Şekil 4

, sırasıyla
. Daha sonra Şekil. 4 takip
, Nerede
.

Şekil 5

Cevap:
,
.

1.4. Aralık yöntemi

Aralık yöntemiyle trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel şema:

Trigonometrik formülleri kullanarak çarpanlara ayırın.

Fonksiyonun kesme noktalarını ve sıfırlarını bulun, dairenin üzerine koyun.

Herhangi bir noktayı alİLE (ancak daha önce bulunamadı) ve ürünün işaretini öğrenin. Çarpım pozitif ise, açıya karşılık gelen ışın üzerinde birim çemberin dışında bir nokta koyun. Aksi takdirde, noktayı dairenin içine koyun.

Eğer bir nokta çift sayıda oluyorsa, buna çift çokluk noktası, tek sayıda ise, tek çokluk noktası diyoruz. Yayları şu şekilde çizin: bir noktadan başlayınİLE , bir sonraki nokta tek çokluksa, yay bu noktada daireyi keser, ancak nokta çift çokluksa, o zaman kesişmez.

Bir dairenin arkasındaki yaylar pozitif boşluklardır; dairenin içinde negatif boşluklar var.

Örnek 5 eşitsizliği çöz

,
.

İlk serinin puanları:
.

İkinci serinin puanları:
.

Her nokta, tek sayıda, yani tek çokluğun tüm noktalarında meydana gelir.

Ürünün işaretini adresinde bulabilirsiniz.
: . Birim çember üzerindeki tüm noktaları işaretliyoruz (Şek. 6):

Pirinç. 6

Cevap:
,
;
,
;
,
.

Örnek 6 . eşitsizliği çöz.

Çözüm:

ifadesinin sıfırlarını bulalım. .

Elde etmekaeM :

,
;

,
;

,
;

,
;

Birim çember üzerinde seri değerlerX 1 noktalarla temsil edilir
. SeriX 2 puan verir
. Bir diziX 3 iki puan alırız
. Sonunda bir diziX 4 noktaları temsil edecek
. Tüm bu noktaları, çokluğunun yanında parantez içinde göstererek birim çemberin üzerine koyuyoruz.

Şimdi sayı olsun eşit olacaktır. İşarete göre bir tahmin yapıyoruz:

Yani noktaA açı oluşturan kiriş üzerinde seçilmelidir kirişliAh, birim çemberin dışında. (Yardımcı kirişinHAKKINDA A resimde gösterilmesi gerekmiyor. NoktaA yaklaşık olarak seçilir.)

Şimdi noktadanA işaretli tüm noktalara sırayla dalgalı sürekli bir çizgi çiziyoruz. Ve noktalarda
çizgimiz bir bölgeden diğerine geçer: eğer birim çemberin dışındaysa, o zaman ona geçer. Noktaya yaklaşmak , bu noktanın çokluğu çift olduğu için çizgi iç bölgeye geri döner. Aynı şekilde noktada (çift çoklukta) çizginin dış bölgeye döndürülmesi gerekir. Böylece, Şekil l'de gösterilen belirli bir resim çizdik. 7. Birim çember üzerinde istenilen bölgelerin vurgulanmasına yardımcı olur. Bir "+" ile işaretlenirler.

Şekil 7

Son cevap:

Not. Dalgalı çizgi, birim çember üzerinde işaretlenmiş tüm noktaları geçtikten sonra noktaya geri döndürülemezseA , daireyi "geçersiz" bir yerde kesmeden, bu, çözümde bir hata yapıldığı, yani tek sayıda kökün atlandığı anlamına gelir.

Cevap: .

§2. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi görev

Okul çocuklarının trigonometrik eşitsizlikleri çözme becerilerini geliştirme sürecinde 3 aşama da ayırt edilebilir.

1. hazırlık,

2. en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için becerilerin oluşturulması;

3. Diğer türlerdeki trigonometrik eşitsizliklerin tanıtılması.

Hazırlık aşamasının amacı, okul çocuklarında eşitsizlikleri çözmek için trigonometrik bir daire veya grafik kullanma becerisinin oluşturulması gerektiğidir, yani:

Formun basit eşitsizliklerini çözebilme
,
,
,
, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının özelliklerini kullanma;

Sayısal bir dairenin yayları veya fonksiyon grafiklerinin yayları için çifte eşitsizlik yapabilme;

Trigonometrik ifadelerin çeşitli dönüşümlerini gerçekleştirme becerisi.

Okul çocuklarının trigonometrik fonksiyonların özellikleri hakkındaki bilgilerini sistematik hale getirme sürecinde bu aşamanın uygulanması önerilir. Ana araçlar, öğrencilere sunulan ve bir öğretmenin rehberliğinde veya bağımsız olarak gerçekleştirilen görevler ve ayrıca trigonometrik denklemleri çözmede kazanılan beceriler olabilir.

İşte bu tür görevlere örnekler:

1 . Birim çember üzerinde bir nokta işaretleyin , Eğer

.

2. noktası koordinat düzleminin hangi çeyreğindedir? , Eğer eşittir:

3. Trigonometrik daire üzerindeki noktaları işaretleyin , Eğer:

4. İfadeyi trigonometrik fonksiyonlara getirinBENçeyreklik.

A)
, B)
, v)

5. MR arkı göz önüne alındığında.M - ortaBENçeyrek,R - ortaIIIçeyrek. Bir değişkenin değerini kısıtlamaT için: (bir çift eşitsizlik oluşturun) a) ark MP; b) RM yayları.

6. Grafiğin seçilen bölümleri için bir çift eşitsizlik yazın:

Pirinç. 1

7. eşitsizlikleri çöz
,
,
,
.

8. İfadeyi dönüştür .

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmeyi öğrenmenin ikinci aşamasında, öğrenci etkinliklerini düzenleme yöntemiyle ilgili olarak aşağıdaki önerileri sunabiliriz. Aynı zamanda, öğrencilerin en basit trigonometrik denklemlerin çözümü sırasında oluşan trigonometrik daire veya grafik ile çalışma becerilerine odaklanmak gerekir.

İlk olarak, en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel bir yöntem elde etmenin uygunluğunu, örneğin bir form eşitsizliğine atıfta bulunarak motive etmek mümkündür.
. Öğrenciler hazırlık aşamasında edindikleri bilgi ve becerileri kullanarak önerilen eşitsizliği forma getireceklerdir.
, ancak ortaya çıkan eşitsizliğe bir dizi çözüm bulmak zor olabilir, çünkü sadece sinüs fonksiyonunun özelliklerini kullanarak çözmek imkansızdır. Bu zorluk, uygun resme başvurarak önlenebilir (denklemin grafiksel olarak çözümü veya birim çember kullanılarak).

İkinci olarak, öğretmen öğrencilerin dikkatini görevi tamamlamanın farklı yollarına çekmeli, hem grafiksel olarak hem de trigonometrik daireyi kullanarak eşitsizliği çözmek için uygun bir örnek vermelidir.

Eşitsizliği çözmek için bu tür seçenekleri göz önünde bulundurun
.

1. Eşitsizliği birim çemberi kullanarak çözme.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözme konusundaki ilk derste, öğrencilere eşitsizliği çözmek için gerekli tüm temel becerileri adım adım yansıtan ayrıntılı bir çözüm algoritması sunacağız.

Aşama 1.Bir birim daire çizin, y ekseninde bir nokta işaretleyin ve içinden x eksenine paralel düz bir çizgi çizin. Bu doğru birim çemberi iki noktada keser. Bu noktaların her biri, sinüsü şuna eşit olan sayıları gösterir: .

Adım 2Bu düz çizgi daireyi iki yaya böldü. Sinüsü şundan büyük olan sayıların gösterildiğini seçelim: . Doğal olarak, bu yay çizilen düz çizginin üzerinde bulunur.

Pirinç. 2

Aşama 3İşaretli yayın uçlarından birini seçelim. Birim çemberin bu noktasının temsil ettiği sayılardan birini yazalım. .

Adım 4Seçilen yayın ikinci ucuna karşılık gelen bir sayı seçmek için, bu yay boyunca belirtilen uçtan diğerine "geçeriz". Aynı zamanda saat yönünün tersine hareket ettiğimizde geçeceğimiz sayıların arttığını (ters yönde hareket ettiğimizde sayıların azaldığını) hatırlıyoruz. İşaretli yayın ikinci ucunun birim çember üzerinde gösterdiği sayıyı yazalım. .

Böylece, eşitsizliğin olduğunu görüyoruz.
eşitsizliğin olduğu sayıları tatmin etmek
. Sinüs fonksiyonunun aynı periyodunda bulunan sayılar için eşitsizliği çözdük. Bu nedenle, eşitsizliğin tüm çözümleri şu şekilde yazılabilir:

Öğrencilerden şekli dikkatli bir şekilde düşünmeleri ve neden eşitsizliğin tüm çözümlerini bulmaları istenmelidir.
şeklinde yazılabilir.
,
.

Pirinç. 3

Kosinüs fonksiyonu için eşitsizlikleri çözerken y eksenine paralel düz bir çizgi çizdiğimize öğrencilerin dikkatini çekmek gerekir.

Eşitsizliği çözmenin grafik yolu.

Bina çizelgeleri
Ve
, verilen
.

Pirinç. 4

sonra denklemi yazarız
ve onun çözümü
,
,
, formüller kullanılarak bulundu
,
,
.

(VermekN 0, 1, 2 değerleri, oluşan denklemin üç kökünü buluruz). Değerler
grafiklerin kesişme noktalarının ardışık üç apsisidir
Ve
. Açıkçası, her zaman aralıkta
eşitsizlik
, ve aralıkta
- eşitsizlik
. İlk durumla ilgileniyoruz ve sonra bu aralığın uçlarına sinüs periyodunun katı olan bir sayı ekleyerek eşitsizliğin bir çözümünü elde ediyoruz.
gibi:
,
.

Pirinç. 5

Özetle. eşitsizliği çözmek için
, karşılık gelen denklemi yazmanız ve çözmeniz gerekir. Ortaya çıkan formülden kökleri bulun Ve ve eşitsizliğin cevabını şu şekilde yazın: ,
.

Üçüncüsü, karşılık gelen trigonometrik eşitsizliğin kök kümesi hakkındaki gerçek, onu grafiksel olarak çözerken çok açık bir şekilde doğrulanır.

Pirinç. 6

Eşitsizliğin çözümü olan bobinin trigonometrik fonksiyonun periyodu kadar aynı aralıkta tekrar ettiğini öğrencilere göstermek gerekir. Sinüs fonksiyonunun grafiği için de benzer bir çizim düşünebilirsiniz.

Dördüncüsü, öğrencilerin trigonometrik fonksiyonların toplamını (farkını) bir ürüne dönüştürme yöntemlerini güncellemek, okul çocuklarının dikkatini bu tekniklerin trigonometrik eşitsizlikleri çözmedeki rolüne çekmek için çalışmalar yapılması tavsiye edilir.

Bu tür çalışmalar, öğrencilerin öğretmen tarafından önerilen görevleri bağımsız olarak yerine getirmeleri yoluyla organize edilebilir ve aralarında aşağıdakileri vurgularız:

Beşincisi, öğrencilerden her basit trigonometrik eşitsizliğin çözümünü bir grafik veya trigonometrik daire kullanarak göstermeleri istenmelidir. Uygunluğuna, özellikle daire kullanımına dikkat ettiğinizden emin olun, çünkü trigonometrik eşitsizlikleri çözerken ilgili çizim, belirli bir eşitsizliğe çözüm kümesini sabitlemek için çok uygun bir araç görevi görür.

Öğrencilerin en basit olmayan trigonometrik eşitsizlikleri çözme yöntemleriyle tanışması, aşağıdaki şemaya göre yapılması tavsiye edilir: belirli bir trigonometrik eşitsizliğe atıfta bulunarak karşılık gelen trigonometrik denkleme atıfta bulunarak bağımsız bir çözüm için ortak arama (öğretmen - öğrenciler) bulunan tekniğin aynı türdeki diğer eşitsizliklere aktarımı.

Öğrencilerin trigonometri bilgilerini sistematik hale getirmek için, çözümü sürecinde uygulanabilecek çeşitli dönüşümler gerektiren bu tür eşitsizlikleri özellikle seçmenizi ve öğrencilerin dikkatini özelliklerine odaklamanızı öneririz.

Bu tür üretken eşitsizlikler olarak, örneğin aşağıdakileri önerebiliriz:

Sonuç olarak, trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi problem örneği veriyoruz.

1. Eşitsizlikleri çözün:

2. Eşitsizlikleri çözün: 3. Eşitsizliklerin tüm çözümlerini bulun: 4. Eşitsizliklerin tüm çözümlerini bulun:

A)
, koşulu sağlayan
;

B)
, koşulu sağlayan
.

5. Eşitsizliklerin tüm çözümlerini bulun:

A) ;

B) ;

v)
;

G)
;

e)
.

6. Eşitsizlikleri çözün:

A) ;

B) ;

v) ;

G)
;

e) ;

e) ;

Ve)
.

7. Eşitsizlikleri çözün:

A)
;

B) ;

v) ;

G) .

8. Eşitsizlikleri çözün:

A) ;

B) ;

v) ;

G)
;

e)
;

e) ;

Ve)
;

H) .

İleri düzeyde matematik okuyan öğrencilere 6. ve 7. görevlerin, derinlemesine matematik çalışması olan sınıflardaki öğrencilere 8. görevin verilmesi önerilir.

§3. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için özel yöntemler

Trigonometrik denklemleri çözmek için özel yöntemler - yani, yalnızca trigonometrik denklemleri çözmek için kullanılabilecek yöntemler. Bu yöntemler, trigonometrik fonksiyonların özelliklerinin kullanımına ve ayrıca çeşitli trigonometrik formüllerin ve özdeşliklerin kullanımına dayanmaktadır.

3.1. Sektör Yöntemi

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için sektör yöntemini düşünün. Formun eşitsizliklerinin çözümü

, NeredeP ( X ) VeQ ( X ) - rasyonel eşitsizliklerin çözümüne benzer şekilde rasyonel trigonometrik fonksiyonlar (sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlar bunlara rasyonel olarak girer). Rasyonel eşitsizlikleri gerçek eksende aralıklar yöntemiyle çözmek uygundur. Rasyonel trigonometrik eşitsizlikleri çözmedeki analogu, trigonometrik bir dairedeki sektörler yöntemidir, çünküsinx Vecosx (
) veya trigonometrik yarım daire içintgx Vectgx (
).

Aralık yönteminde, formun pay ve paydasının her bir doğrusal faktörü
sayı ekseni üzerinde nokta ve bu noktadan geçerken
işareti değiştirir. Sektör yönteminde, formun her çarpanı
, Nerede
- işlevlerden birisinx veyacosx Ve
, trigonometrik bir çemberde iki açıya karşılık gelir Ve
, daireyi iki sektöre böler. geçerken Ve işlev
işareti değiştirir.

Aşağıdakiler hatırlanmalıdır:

a) Formun çarpanları
Ve
, Nerede
, tüm değerler için işareti koru . Pay ve paydanın bu tür çarpanları atılır, değiştirilir (eğer
) bu tür her reddetmede, eşitsizlik işareti tersine çevrilir.

b) Formun çarpanları
Ve
da atılır. Dahası, eğer bunlar paydanın faktörleri ise, o zaman formdaki eşitsizlikler eşdeğer eşitsizlik sistemine eklenir.
Ve
. Bunlar payın faktörleriyse, eşdeğer kısıtlama sisteminde eşitsizliklere karşılık gelirler.
Ve
kesin ilk eşitsizlik ve eşitlik durumunda
Ve
kesin olmayan bir ilk eşitsizlik durumunda. Çarpanı düşürürken
veya
eşitsizlik işareti tersine çevrilir.

örnek 1 Eşitsizlikleri çözün: a)
, B)
. bir fonksiyonumuz var, b). Elimizdeki eşitsizliği çöz

3.2. Eşmerkezli daire yöntemi

Bu yöntem, rasyonel eşitsizlik sistemlerinin çözümünde paralel sayısal eksenler yöntemine benzer.

Bir eşitsizlikler sistemi örneğini ele alalım.

Örnek 5 Basit bir trigonometrik eşitsizlik sistemini çözün

Öncelikle her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüyoruz (Şekil 5). Şeklin sağ üst köşesinde, trigonometrik dairenin hangi argüman için dikkate alındığını belirteceğiz.

Şekil 5

Ardından, argüman için eşmerkezli çemberlerden oluşan bir sistem oluşturuyoruz.X . Birinci eşitsizliğin çözümüne göre bir çember çizip gölgelendiriyoruz, sonra yarıçapı büyük bir çember çizip ikincinin çözümüne göre gölgelendiriyoruz, ardından üçüncü eşitsizlik için bir çember ve bir taban çemberi oluşturuyoruz. . Sistemin merkezinden yayların uçlarından geçerek tüm çemberleri kesecek şekilde ışınlar çiziyoruz. Taban çemberi üzerinde bir çözüm oluşturuyoruz (Şekil 6).

Şekil 6

Cevap:
,
.

Çözüm

Kursun tüm hedefleri tamamlandı. Teorik materyal sistematikleştirilmiştir: ana trigonometrik eşitsizlik türleri ve bunların çözümü için ana yöntemler (grafik, cebirsel, aralıklar yöntemi, sektörler ve eşmerkezli daireler yöntemi) verilmektedir. Her yöntem için bir eşitsizliğin çözümüne ilişkin bir örnek verilmiştir. Teorik kısmı pratik kısım takip etti. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için bir dizi görev içerir.

Bu kurs, öğrenciler tarafından bağımsız çalışma için kullanılabilir. Öğrenciler, bu konunun özümseme düzeyini kontrol edebilir, değişen karmaşıklıktaki görevleri yerine getirme alıştırması yapabilir.

Bu konuda ilgili literatürü inceledikten sonra, okul cebir dersinde ve analizin başlangıcında trigonometrik eşitsizlikleri çözme beceri ve becerilerinin çok önemli olduğu sonucuna varabiliriz ve geliştirilmesi büyük çaba gerektirir. matematik öğretmeni.

Bu nedenle, bu çalışma öğrencilerin "Trigonometrik eşitsizlikler" konusundaki eğitimini etkin bir şekilde organize etmeyi mümkün kıldığından matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır.

Çalışma, nihai eleme çalışmasına kadar genişletilerek devam ettirilebilir..

Kullanılan literatür listesi

Bogomolov, N.V. Matematik problemlerinin toplanması [Metin] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 s.

Vygodsky, M.Ya. Temel matematik el kitabı [Metin] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Bustard, 2006. – 509 s.

Zhurbenko, L.N. Örneklerde ve görevlerde matematik [Metin] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 s.

Ivanov, O.A. Okul çocukları, öğrenciler ve öğretmenler için temel matematik [Metin] / O.A. İvanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 s.

Karp, AP Cebirdeki görevler ve 11. sınıfta son tekrar ve sertifikasyonun organizasyonu için analizin başlangıcı [Metin] / A.P. Sazan. – M.: Aydınlanma, 2005. – 79 s.

Kulanin, E.D. Matematikte 3000 rekabet problemi [Metin] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 s.

Leibson, KL Matematikte pratik görevlerin toplanması [Metin] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 s.

Dirsek, V.V. Parametrelerle ilgili problemler ve çözümleri. Trigonometri: denklemler, eşitsizlikler, sistemler. 10. Sınıf [Metin] / V.V. Dirsek. – M.: ARKTI, 2008. – 64 s.

Manova, A.N. Matematik. Sınava hazırlanmak için ekspres öğretmen: hesap. ödenek [Metin] / A.N. Manova. - Rostov-on-Don: Phoenix, 2012. - 541 s.

Mordkoviç, A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10-11 sınıflar. Eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı [Metin] / A.G. Mordkoviç. – M.: Iris-press, 2009. – 201 s.

Novikov, A.I. Trigonometrik fonksiyonlar, denklemler ve eşitsizlikler [Metin] / A.I. Novikov. - M.: FİZMATLİT, 2010. - 260 s.

Oganesyan, V.A. Ortaokulda matematik öğretme yöntemleri: Genel metodoloji. Proc. fizik öğrencileri için ödenek. - mat. fak. ped. yoldaş [Metin] / V.A. Oganesyan. – M.: Aydınlanma, 2006. – 368 s.

Olechnik, S.N. Denklemler ve eşitsizlikler. Standart olmayan çözüm yöntemleri [Metin] / S.N. Olekhnik. - M .: Yayınevi Factorial, 1997. - 219 s.

Sevryukov, P.F. Trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemler ve eşitsizlikler [Metin] / P.F. Sevryukov. – M.: Milli Eğitim, 2008. – 352 s.

Sergeev, I.N. KULLANIM: Matematikte cevapları ve çözümleri olan 1000 görev. C grubunun tüm görevleri [Metin] / I.N. Sergeev. – M.: Sınav, 2012. – 301 s.

Sobolev, A.B. Temel matematik [Metin] / A.B. Sobolev. - Yekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 s.

Fenko, L.M. Eşitsizlikleri çözmede ve fonksiyonları incelemede aralık yöntemi [Metin] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 s.

Friedman, L.M. Matematik öğretme metodolojisinin teorik temelleri [Metin] / L.M. Friedman. - M .: Kitap evi "LIBROKOM", 2009. - 248 s.

Ek 1

En basit eşitsizliklerin çözümlerinin grafiksel yorumu

Pirinç. 1

Pirinç. 2

Şek. 3

Şekil 4

Şekil 5

Şekil 6

Şekil 7

Şekil 8

Ek 2

En basit eşitsizliklerin çözümleri

Uygulamalı derste, "Trigonometri" konusundaki ana görev türlerini tekrar edeceğiz, ayrıca artan karmaşıklıktaki sorunları analiz edeceğiz ve çeşitli trigonometrik eşitsizlikleri ve sistemlerini çözme örneklerini ele alacağız.

Bu ders, B5, B7, C1 ve C3 görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

Trigonometri konusunda incelediğimiz ana görev türlerini tekrarlayarak başlayalım ve standart olmayan birkaç görevi çözelim.

Görev 1. Açıları radyan ve dereceye dönüştürün: a) ; B) .

a) Dereceleri radyana dönüştürmek için formülü kullanın

Verilen değeri yerine koyun.

b) Radyanları dereceye dönüştürmek için formülü uygulayın

Değiştirme işlemini yapalım .

Cevap. A) ; B) .

görev #2. Hesapla: a) ; B) .

a) Açı tablonun çok ötesinde olduğu için sinüsün periyodunu çıkararak açıyı azaltırız. Çünkü açı radyan cinsinden verilirse, periyot olarak kabul edilir.

b) Bu durumda durum benzerdir. Açı derece olarak belirtildiğinden, teğetin periyodunu olarak kabul edeceğiz.

Ortaya çıkan açı, periyoddan daha küçük olmasına rağmen daha büyüktür, yani artık tablonun ana değil, uzatılmış kısmına atıfta bulunur. Genişletilmiş bir trigofonksiyon değerleri tablosunu ezberleyerek hafızamızı bir kez daha eğitmemek için teğet periyodu tekrar çıkarırız:

Teğet fonksiyonunun tuhaflığından faydalandık.

Cevap. a) 1; B) .

Görev #3. Hesaplamak , Eğer .

Kesrin payını ve paydasını ile bölerek tüm ifadeyi teğetlere getiriyoruz. Aynı zamanda bundan korkamayız çünkü bu durumda teğetin değeri olmayacaktır.

Görev #4. Ifadeyi basitleştir.

Belirtilen ifadeler, dönüştürme formülleri kullanılarak dönüştürülür. Sadece alışılmadık bir şekilde derece kullanılarak yazılmışlar. İlk ifade genellikle bir sayıdır. Sırayla tüm trigofonksiyonları basitleştirin:

Çünkü , sonra işlev bir ortak işleve dönüşür, yani kotanjanta ve açı, orijinal teğetin işaretinin negatif olduğu ikinci çeyreğe düşer.

Önceki ifadeyle aynı nedenlerle, işlev bir ortak işleve dönüşür, yani. kotanjanta ve açı, ilk teğetin pozitif işaretli olduğu ilk çeyreğe düşer.

Her şeyi basitleştirilmiş bir ifadeyle değiştirmek:

Görev #5. Ifadeyi basitleştir.

Çift açının tanjantını ilgili formüle göre yazalım ve ifadeyi sadeleştirelim:

Son kimlik, kosinüs için evrensel değiştirme formüllerinden biridir.

görev #6. Hesaplamak .

Esas olan standart bir hata yapmamak ve ifade eşittir şeklinde bir cevap vermemektir. Yanında iki şeklinde bir çarpan varken ark teğetinin ana özelliğini kullanmak mümkün değildir. Bundan kurtulmak için, ifadeyi sıradan bir argüman olarak ele alırken, bir çift açının teğet formülüne göre yazıyoruz.

Artık ark teğetinin ana özelliğini uygulamak zaten mümkün, sayısal sonucu üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın.

Görev #7. Denklemi çözün.

Sıfıra eşit olan bir kesirli denklemi çözerken, her zaman payın sıfır olduğu ve paydanın olmadığı belirtilir, çünkü sıfıra bölemezsiniz.

İlk denklem, trigonometrik bir daire kullanılarak çözülen en basit denklemin özel bir halidir. Bu çözümü kendiniz düşünün. İkinci eşitsizlik, teğetin kökleri için genel formül kullanılarak en basit denklem olarak çözülür, ancak yalnızca işaret eşit değildir.

Gördüğümüz gibi, bir kök ailesi, denklemi sağlamayan tam olarak aynı kök ailesini dışlar. Onlar. kökleri yoktur.

Cevap. Kök yok.

görev #8. Denklemi çözün.

Derhal ortak faktörü çıkarabileceğinizi ve yapabileceğinizi unutmayın:

Denklem, birkaç faktörün çarpımı sıfıra eşit olduğunda standart formlardan birine indirgenmiştir. Bu durumda birinin sıfıra, diğerinin veya üçüncünün eşit olduğunu zaten biliyoruz. Bunu bir denklem seti olarak yazıyoruz:

İlk iki denklem en basitlerinin özel durumlarıdır, benzer denklemlerle zaten birçok kez karşılaştık, bu yüzden hemen çözümlerini göstereceğiz. Çift açılı sinüs formülünü kullanarak üçüncü denklemi bir fonksiyona indirgeriz.

Son denklemi ayrı ayrı çözelim:

Bu denklemin kökleri yoktur, çünkü sinüsün değeri ötesine geçemez .

Bu nedenle, yalnızca ilk iki kök ailesi çözümdür, bunlar bir trigonometrik daire üzerinde gösterilmesi kolay olan bir ailede birleştirilebilirler:

Bu, tüm yarılardan oluşan bir ailedir, yani.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmeye geçelim. İlk olarak, genel çözüm formüllerini kullanmadan, ancak bir trigonometrik daire yardımıyla bir örneği çözme yaklaşımını analiz edelim.

görev #9. Eşitsizliği çöz.

Sinüs değerine karşılık gelen trigonometrik daire üzerine bir yardımcı çizgi çizin ve eşitsizliği sağlayan açıların aralığını gösterin.

Ortaya çıkan açı aralığının tam olarak nasıl belirleneceğini anlamak çok önemlidir, örn. başlangıcı ve sonu nedir. Boşluğun başlangıcı, saat yönünün tersine hareket edersek boşluğun en başında gireceğimiz noktaya karşılık gelen açı olacaktır. Bizim durumumuzda soldaki nokta burası çünkü saat yönünün tersine hareket ederek doğru noktayı geçerek tam tersine gerekli açı aralığından çıkıyoruz. Bu nedenle doğru nokta, boşluğun sonuna karşılık gelecektir.

Şimdi eşitsizliğin çözüm boşluğumuzun başlangıç ​​ve bitiş açılarının değerlerini anlamamız gerekiyor. Tipik bir hata, sağ noktanın soldaki açıya karşılık geldiğini hemen belirtmek ve cevabı vermektir. Bu doğru değil! Lütfen dikkat edin, dairenin üst kısmına karşılık gelen aralığı az önce belirttik, alt kısımla ilgilenmemize rağmen, başka bir deyişle, ihtiyacımız olan çözüm aralığının başlangıcını ve sonunu karıştırdık.

Aralığın sağ noktanın köşesinden başlayıp sol noktanın köşesinde bitmesi için belirtilen ilk açının ikinciden küçük olması gerekir. Bunu yapmak için, doğru noktanın açısını negatif referans yönünde ölçmemiz gerekecek, yani. saat yönünde ve eşit olacaktır. Daha sonra ondan pozitif saat yönünde başlayarak sol noktadan sonra sağdaki noktaya ulaşacağız ve bunun için açının değerini alacağız. Şimdi açılar aralığının başlangıcı, sonundan daha azdır ve periyodu hesaba katmadan çözüm aralığını yazabiliriz:

Bu tür aralıkların, herhangi bir tam sayı döndürmeden sonra sonsuz sayıda tekrarlanacağını göz önünde bulundurarak, sinüs periyodunu dikkate alarak genel çözümü elde ederiz:

Eşitsizlik katı olduğu için yuvarlak parantezler içine alıyoruz ve çemberin üzerinde aralığın sonlarına denk gelen noktaları deliyoruz.

Cevabınızı derste verdiğimiz genel çözüm formülü ile karşılaştırın.

Cevap. .

Bu yöntem, en basit trigonal eşitsizliklerin genel çözüm formüllerinin nereden geldiğini anlamak için iyidir. Ayrıca tüm bu hantal formülleri öğrenemeyecek kadar tembel olanlar için faydalıdır. Bununla birlikte, yöntemin kendisi de kolay değildir, çözüme hangi yaklaşımın sizin için en uygun olduğunu seçin.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için, birim çember kullanılarak gösterilen yönteme benzer şekilde, yardımcı doğrunun üzerine kurulduğu fonksiyon grafiklerini de kullanabilirsiniz. Eğer ilgileniyorsanız, çözüme yönelik bu yaklaşımı kendiniz anlamaya çalışın. Aşağıda, en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel formülleri kullanacağız.

Görev #10. Eşitsizliği çöz.

Eşitsizliğin kesin olmadığını dikkate alarak genel çözüm formülünü kullanıyoruz:

Bizim durumumuzda:

Cevap.

Görev #11. Eşitsizliği çöz.

Karşılık gelen kesin eşitsizlik için genel çözüm formülünü kullanırız:

Cevap. .

Görev #12. Eşitsizlikleri çözün: a) ; B) .

Bu eşitsizliklerde, genel çözümler için formüller veya trigonometrik bir daire kullanmak için acele edilmemelidir, sadece sinüs ve kosinüs değer aralığını hatırlamak yeterlidir.

a) Çünkü , o zaman eşitsizlik anlamsızdır. Bu nedenle, çözümler yoktur.

b) Çünkü benzer şekilde, herhangi bir bağımsız değişkenin sinüsü her zaman koşulda belirtilen eşitsizliği karşılar. Bu nedenle eşitsizlik, argümanın tüm gerçek değerleri tarafından karşılanır.

Cevap. a) çözüm yok; B) .

Görev 13. eşitsizliği çöz .

Trigonometrik fonksiyonları içeren eşitsizlikler çözüldüğünde cos(t)>a, sint(t)=a ve benzeri formdaki en basit eşitsizliklere indirgenir. Ve şimdiden en basit eşitsizlikler çözüldü. En basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için çeşitli örnekler kullanarak yöntemleri düşünün.

örnek 1. sin(t) > = -1/2 eşitsizliğini çözün.

Tek bir daire çizin. Sin (t) tanımı gereği y koordinatı olduğundan, Oy ekseninde y \u003d -1/2 noktasını işaretliyoruz. Üzerinden x eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktalardaki Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların orijinini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.

Bu eşitsizliğin çözümü, birim çemberin bu noktaların üzerinde bulunan tüm noktaları olacaktır. Başka bir deyişle, çözüm l yayı olacaktır.. Şimdi l yayı için keyfi bir noktanın ait olacağı koşulları belirtmeniz gerekiyor.

Pt1 sağ yarım daire içindedir, ordinatı -1/2'dir, o zaman t1=yaysin(-1/2) = - pi/6'dır. Pt1 noktasını tanımlamak için aşağıdaki formül yazılabilir:
t2 = pi - arksin(-1/2) = 7*pi/6. Sonuç olarak, t için aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:

Eşitsizlik işaretlerini koruyoruz. Ve sinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyon olduğundan, çözümler her 2 * pi'de bir tekrarlanacaktır. Bu koşulu t için ortaya çıkan eşitsizliğe ekleyip cevabı yazıyoruz.

Cevap: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Örnek 2 cos(t) eşitsizliğini çöz<1/2.

Bir birim çember çizelim. cos(t) tanımına göre bu x koordinatı olduğundan, x = 1/2 noktasını grafikte x ekseni üzerinde işaretliyoruz.
Bu noktadan y eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktalardaki Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların orijinini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.

Çözümler birim çemberin l yayına ait tüm noktalarıdır. t1 ve t2 noktalarını bulalım.

t1 = yay(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

t için eşitsizliği elde ettik: pi/3

Kosinüs periyodik bir fonksiyon olduğundan, çözümler her 2 * pi'de bir tekrarlanacaktır. Bu koşulu t için ortaya çıkan eşitsizliğe ekleyip cevabı yazıyoruz.

Cevap: pi/3+2*pi*n

Örnek 3 tg(t) eşitsizliğini çözün< = 1.

Teğetin periyodu pi'dir. Sağ yarım daire (-pi/2;pi/2) aralığına ait çözümleri bulun. Ardından, teğetin periyodikliğini kullanarak bu eşitsizliğin tüm çözümlerini yazıyoruz. Bir birim çember çizelim ve üzerine teğetleri çizelim.

Eğer t eşitsizliğin bir çözümüyse, o zaman T = tg(t) noktasının ordinatı 1'den küçük veya ona eşit olmalıdır. Bu tür noktaların kümesi AT ışınını oluşturacaktır. Bu ışının noktalarına karşılık gelecek Pt noktaları kümesi l arkıdır. Ayrıca P(-pi/2) noktası bu yaya ait değildir.

Çoğu öğrenci trigonometrik eşitsizliklerden hoşlanmaz. Ama boşuna. Bir karakterin dediği gibi,

“Sadece onları nasıl pişireceğini bilmiyorsun”

Öyleyse nasıl "pişirilir" ve sinüs ile eşitsizliğin ne ile sunulacağını, bu makalede çözeceğiz. Bir birim çember kullanarak en basit şekilde çözeceğiz.

Yani, her şeyden önce, aşağıdaki algoritmaya ihtiyacımız var.

Sinüs ile eşitsizlikleri çözmek için algoritma:

1. $a$ sayısını sinüs eksenine koyun ve kosinüs eksenine paralel daire ile kesişene kadar düz bir çizgi çizin;
2. bu çizginin daire ile kesiştiği noktalar, eşitsizlik katı değilse doldurulacak, eşitsizlik katı ise doldurulmayacaktır;
3. eşitsizliğin çözüm alanı, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin üstünde ve daireye kadar, eşitsizlik “$ işaretini içeriyorsa çizginin altında ve daireye kadar olacaktır.<$”;
4. kesişim noktalarını bulmak için $\sin(x)=a$ trigonometrik denklemini çözeriz, $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$ ayarlayarak, ilk kesişme noktasını buluruz (birinci veya dördüncü çeyrekte yer alır);
6. ikinci noktayı bulmak için, ikinci kesişme noktasına giden alandan hangi yöne gittiğimize bakarız: pozitif yönde ise $n=1$, negatif yönde ise $n=- alınmalıdır. 1$;
7. yanıt olarak, daha küçük kesişme noktası olan $+ 2\pi n$ ile daha büyük olan $+ 2\pi n$ arasındaki aralık yazılır.

Algoritma sınırlaması

önemli :d bu algoritma çalışmıyor$\sin(x) > 1 biçimindeki eşitsizlikler için; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Sinüslü bir eşitsizliği çözerken özel durumlar

Yukarıdaki algoritmayı kullanmadan mantıksal olarak çözmek için çok daha uygun olan aşağıdaki durumları not etmek de önemlidir.

Özel durum 1. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x) \leq 1.$

$y=\sin(x)$ trigonometrik fonksiyonunun etki alanı en fazla $1$ olduğundan, eşitsizliğin sol tarafı herhangi$x$ alanından (ve sinüsün alanı tüm gerçek sayılardır) $1$'dan büyük değil. Ve bu nedenle, yanıt olarak şunu yazıyoruz: $x \in R$.

Sonuçlar:

$\sin(x) \geq -1.$

Özel durum 2. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< 1.$

Özel durum 1'e benzer argümanları uygulayarak, $\sin(x) = denkleminin çözümü olan noktalar dışında tüm $x \in R$ için eşitsizliğin sol tarafının $1$'dan küçük olduğunu elde ederiz. 1$ Bu denklemi çözerek, elde edeceğiz:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Ve bu nedenle yanıt olarak şunu yazarız: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Sonuçlar: eşitsizlik benzer şekilde çözülür

$\sin(x) > -1.$

Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.

Örnek 1: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Sinüs eksenindeki $\frac(1)(2)$ koordinatına dikkat edin.
2. Kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen bir çizgi çizin.
3. Kesişme noktalarına dikkat edin. Gölgeli olacaklar çünkü eşitsizlik kesin değil.
4. Eşitsizlik işareti $\geq$'dır, bu da çizginin üzerindeki alanı boyadığımız anlamına gelir, yani daha küçük yarım daire
5. İlk kesişme noktasını bulun. Bunu yapmak için eşitsizliği eşitliğe çevirin ve çözün: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ayrıca $n=0$ ayarlıyoruz ve ilk kesişme noktasını buluyoruz: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. İkinci noktayı buluyoruz. Alanımız ilk noktadan itibaren pozitif yönde gidiyor, dolayısıyla $n$'ı $1$'a eşitliyoruz: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Böylece, çözüm şu şekli alacaktır:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ], \ n \in Z.$

Örnek 2: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Sinüs ekseninde $- \frac(1)(2)$ koordinatını işaretliyoruz ve kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen düz bir çizgi çiziyoruz. Kesişme noktalarına dikkat edin. Eşitsizlik katı olduğu için gölgelenmeyecekler. eşitsizlik işareti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\sağ))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Daha fazla $n=0$ ayarlayarak, ilk kesişme noktasını buluruz: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Alanımız ilk noktadan itibaren negatif yöne gidiyor, dolayısıyla $n$'ı $-1$'a eşitliyoruz: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dolayısıyla, bu eşitsizliğin çözümü şu aralık olacaktır:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\sağ), \ n \in Z.$

Örnek 3: Eşitsizliği çözün:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\sağ)) \leq 0.$

Bu örnek bir algoritma kullanılarak hemen çözülemez. İlk önce onu dönüştürmeniz gerekir. Tam olarak denklemde yapacağımız gibi yapıyoruz, ancak işareti unutma. Negatif bir sayı ile bölmek veya çarpmak onu tersine çevirir!

Öyleyse, trigonometrik fonksiyon içermeyen her şeyi sağ tarafa taşıyalım. Biz:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\sağ)) \leq -1.$

Sol ve sağ tarafları $-2$ ile bölün (işareti unutmayın!). Sahip olacak:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\sağ)) \geq \frac(1)(2).$

Yine algoritmayı kullanarak çözemeyeceğimiz bir eşitsizlik elde ettik. Ancak burada değişken değişikliği yapmak yeterlidir:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Algoritma kullanılarak çözülebilen bir trigonometrik eşitsizlik elde ederiz:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Bu eşitsizlik örnek 1'de çözüldü, bu yüzden cevabı oradan ödünç alacağız:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Ancak karar henüz bitmiş değil. Orijinal değişkene geri dönmemiz gerekiyor.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Boşluğu bir sistem olarak gösterelim:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

Sistemin sol tarafında aralığa ait ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ifadesi vardır. Aralığın sol sınırı birinci eşitsizlikten, sağ sınırı da ikinci eşitsizlikten sorumludur. Ayrıca, köşeli ayraçlar önemli bir rol oynar: köşeli ayraç kare ise, o zaman eşitsizlik katı olmayacak ve yuvarlaksa, o zaman katı olacaktır. bizim görevimiz solda $x$ almak Her iki eşitsizlikte.

$\frac(\pi)(6)$'ı sol taraftan sağ tarafa taşıyalım, şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(dizi)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Basitleştirerek, sahip olacağız:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(dizi) \sağ.$

Sol ve sağ tarafları $4$ ile çarparak şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(dizi)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n.\end(dizi) \sağ. $

Sistemi bir aralığa monte ederek cevabı alıyoruz:

$x \in \sol[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\sağ], \ n \in Z.$