முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் வரையறை. முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

1.5 முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுக்கான முறைகள்

1.5.1 எளிய முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது

கணிதம் குறித்த நவீன பாடப்புத்தகங்களின் பெரும்பாலான ஆசிரியர்கள், எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் இந்தத் தலைப்பைப் பற்றிய நமது பரிசீலனையைத் தொடங்க வேண்டும் என்று பரிந்துரைக்கின்றனர். எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையானது முக்கோணவியல் வட்டத்தில் முக்கிய முக்கோணவியல் கோணங்களின் மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, பிற மதிப்புகளையும் தீர்மானிக்கும் அறிவு மற்றும் திறனை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இதற்கிடையில், படிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு , , , பின்வருமாறு மேற்கொள்ளப்படலாம்: முதலில், இந்த சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் சில இடைவெளியை () கண்டுபிடித்து, பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டவற்றின் முனைகளில் சேர்ப்பதன் மூலம் இறுதி பதிலை எழுதுகிறோம். சைன் அல்லது கொசைன் காலத்தின் பல மடங்கு இடைவெளி: ( ) இந்த வழக்கில், மதிப்பு எளிதில் கண்டறியப்படுகிறது, ஏனெனில் அல்லது . மதிப்பிற்கான தேடல் மாணவர்களின் உள்ளுணர்வு, சைன் அல்லது கொசைன் வரைபடத்தின் தனிப்பட்ட பகுதிகளின் சமச்சீர்நிலையைப் பயன்படுத்தி வளைவுகள் அல்லது பிரிவுகளின் சமத்துவத்தைக் கவனிக்கும் திறன் ஆகியவற்றைச் சார்ந்துள்ளது. இது சில நேரங்களில் அதிக எண்ணிக்கையிலான மாணவர்களின் சக்திக்கு அப்பாற்பட்டது. குறிப்பிடப்பட்ட சிரமங்களைச் சமாளிக்க, சமீபத்திய ஆண்டுகளில் பாடப்புத்தகங்கள் எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கு வேறுபட்ட அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துகின்றன, ஆனால் இது கற்றல் விளைவுகளை மேம்படுத்தவில்லை.

பல ஆண்டுகளாக, முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு தீர்வு காண, தொடர்புடைய சமன்பாடுகளின் வேர்களின் சூத்திரங்களை நாங்கள் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இந்த தலைப்பை நாங்கள் பின்வரும் வழியில் படிக்கிறோம்:

1. வரைபடங்கள் மற்றும் y \u003d a ஐ உருவாக்குகிறோம், என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

பின்னர் சமன்பாட்டையும் அதன் தீர்வையும் எழுதுகிறோம். n 0 கொடுக்கிறது; 1; 2, இயற்றப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூன்று வேர்களைக் காண்கிறோம்: . மதிப்புகள் என்பது வரைபடங்களின் மூன்று தொடர்ச்சியான வெட்டுப்புள்ளிகளின் abscissas மற்றும் y = a. சமத்துவமின்மை எப்போதும் இடைவெளியில் (), மற்றும் இடைவெளியில் () - சமத்துவமின்மையில் உள்ளது என்பது வெளிப்படையானது.

இந்த இடைவெளிகளின் முனைகளில் சைன் காலத்தின் பெருக்கமான எண்ணைச் சேர்த்தால், முதல் வழக்கில் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வை வடிவத்தில் பெறுகிறோம்: ; மற்றும் இரண்டாவது வழக்கில், வடிவத்தில் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு:

சமன்பாட்டின் தீர்வாக இருக்கும் சூத்திரத்தில் உள்ள சைனுக்கு மாறாக, n = 0 க்கு இரண்டு வேர்கள் மற்றும் n = 1 க்கு மூன்றாவது ரூட் வடிவத்தில் கிடைக்கும். . மீண்டும் வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் மூன்று தொடர்ச்சியான அப்சிசாக்கள் மற்றும் . இடைவெளியில் () சமத்துவமின்மை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது, இடைவெளியில் () சமத்துவமின்மை

இப்போது சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளை எழுதுவது எளிது. முதல் வழக்கில், நாம் பெறுகிறோம்: ;

மற்றும் இரண்டாவது:.

சுருக்கவும். சமத்துவமின்மையை தீர்க்க அல்லது , தொடர்புடைய சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதை தீர்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்திலிருந்து, வேர்களைக் கண்டுபிடித்து, சமத்துவமின்மைக்கான பதிலை வடிவத்தில் எழுதவும்: .

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​தொடர்புடைய சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரத்திலிருந்து நாம் வேர்களைக் கண்டுபிடித்து, சமத்துவமின்மைக்கான பதிலை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்: .

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அனைத்து மாணவர்களுக்கும் கற்பிக்க இந்த நுட்பம் உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த நுட்பம் மாணவர்கள் உறுதியாக தேர்ச்சி பெற்ற திறன்களை முழுமையாக நம்பியுள்ளது. இவை எளிமையானவற்றைத் தீர்க்கும் திறன் மற்றும் ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறியும் திறன் ஆகும். கூடுதலாக, ஆசிரியரின் வழிகாட்டுதலின் கீழ் கவனமாகத் தீர்ப்பது முற்றிலும் விருப்பமானது. அதிக எண்ணிக்கையிலானசமத்துவமின்மை அடையாளம், எண்ணின் மாடுலஸின் மதிப்பு மற்றும் அதன் குறி ஆகியவற்றைப் பொறுத்து அனைத்து வகையான பகுத்தறிவு நுட்பங்களையும் நிரூபிக்க பயிற்சிகள். சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும் செயல்முறை குறுகியதாகவும், மிகவும் முக்கியமானது, சீரானதாகவும் மாறும்.

இந்த முறையின் மற்றொரு நன்மை என்னவென்றால், வலது பக்கம் சைன் அல்லது கொசைனின் அட்டவணை மதிப்பாக இல்லாவிட்டாலும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதை எளிதாக்குகிறது.

இதை ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்துடன் நிரூபிப்போம். சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க அது தேவைப்படட்டும். தொடர்புடைய சமன்பாட்டை எழுதி அதைத் தீர்ப்போம்:

மற்றும் இன் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

n = 1க்கு

n = 2க்கு

இந்த சமத்துவமின்மைக்கான இறுதி பதிலை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், ஒரே ஒரு குறைபாடு மட்டுமே இருக்க முடியும் - ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு சம்பிரதாயத்தின் இருப்பு. ஆனால் எல்லாவற்றையும் இந்த நிலைகளில் இருந்து மட்டுமே மதிப்பீடு செய்தால், இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரங்கள் மற்றும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து சூத்திரங்கள் மற்றும் பலவற்றை முறையானதாகக் குற்றம் சாட்ட முடியும்.

முன்மொழியப்பட்ட முறை, முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான திறன்கள் மற்றும் திறன்களை உருவாக்குவதில் தகுதியான இடத்தைப் பெற்றிருந்தாலும், முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பிற முறைகளின் முக்கியத்துவத்தையும் அம்சங்களையும் ஒருவர் குறைத்து மதிப்பிட முடியாது. இதில் இடைவெளி முறையும் அடங்கும்.

அதன் சாராம்சத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

தொகுப்பை எடிட் செய்தவர் ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச், மற்ற பாடப்புத்தகங்களையும் புறக்கணிக்கக்கூடாது. § 3. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் தொடக்கத்தில் "முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்" என்ற தலைப்பைக் கற்பிக்கும் முறைகள் பள்ளியில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் ஆய்வில், இரண்டு முக்கிய நிலைகளை வேறுபடுத்தி அறியலாம்: ü முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுடன் ஆரம்ப அறிமுகம் ...

ஆராய்ச்சியின் போது பின்வரும் பணிகள் தீர்க்கப்பட்டன: 1) இயற்கணிதத்தின் தற்போதைய பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் ஆகியவை பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை அடையாளம் காண பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டன. மேற்கொள்ளப்பட்ட பகுப்பாய்வு பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது: உயர்நிலைப் பள்ளியில், பல்வேறு பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளுக்கு போதுமான கவனம் செலுத்தப்படவில்லை, முக்கியமாக ...

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

சம்பந்தம். வரலாற்று ரீதியாக, பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு சிறப்பு இடம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. முக்கோணவியல் என்பது பள்ளி பாடத்தின் மிக முக்கியமான பிரிவுகளில் ஒன்றாகும் மற்றும் பொதுவாக அனைத்து கணித அறிவியலிலும் ஒன்றாகும் என்று நாம் கூறலாம்.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி கணிதப் பாடத்தின் மைய இடங்களில் ஒன்றை ஆக்கிரமித்துள்ளன, கல்விப் பொருளின் உள்ளடக்கம் மற்றும் கல்வி மற்றும் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டின் முறைகள் ஆகிய இரண்டிலும் அவற்றின் படிப்பின் போது உருவாக்கப்படலாம் மற்றும் பெரியவற்றைத் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்தலாம். கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டு இயல்புகளின் சிக்கல்களின் எண்ணிக்கை.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு முக்கோணவியலில் உள்ள அனைத்து கல்விப் பொருட்களுக்கும் மாணவர்களின் அறிவை முறைப்படுத்துவதற்கான முன்நிபந்தனைகளை உருவாக்குகிறது (உதாரணமாக, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள், முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கான முறைகள் போன்றவை) மற்றும் பயனுள்ள இணைப்புகளை உருவாக்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது. இயற்கணிதத்தில் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பொருள் (சமன்பாடுகள், சமன்பாடுகளின் சமநிலை, சமத்துவமின்மை, இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் போன்றவை).

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வது இந்த திறன்களை ஒரு புதிய உள்ளடக்கத்திற்கு மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது.

கோட்பாட்டின் முக்கியத்துவம் மற்றும் அதன் பல பயன்பாடுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தலைப்பின் பொருத்தத்திற்கு சான்றாகும். இதையொட்டி, பாடநெறிப் பணியின் இலக்குகள், நோக்கங்கள் மற்றும் ஆராய்ச்சியின் பொருள் ஆகியவற்றைத் தீர்மானிக்க இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஆய்வின் நோக்கம்: கிடைக்கக்கூடிய முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வகைகளைப் பொதுமைப்படுத்துதல், அவற்றின் தீர்வுக்கான அடிப்படை மற்றும் சிறப்பு முறைகள், பள்ளி மாணவர்களால் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பணிகளின் தொகுப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

ஆராய்ச்சி நோக்கங்கள்:

1. ஆராய்ச்சி தலைப்பில் கிடைக்கக்கூடிய இலக்கியங்களின் பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், பொருளை முறைப்படுத்தவும்.

2. "முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்" என்ற தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க தேவையான பணிகளின் தொகுப்பை வழங்கவும்.

ஆய்வு பொருள் பள்ளிக் கணிதப் பாடத்தில் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

ஆய்வுப் பொருள்: முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுக்கான முறைகள்.

தத்துவார்த்த முக்கியத்துவம் பொருள் ஒழுங்கமைப்பதாகும்.

நடைமுறை முக்கியத்துவம்: சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் தத்துவார்த்த அறிவைப் பயன்படுத்துதல்; முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய அடிக்கடி எதிர்கொள்ளும் முறைகளின் பகுப்பாய்வு.

ஆராய்ச்சி முறைகள் : விஞ்ஞான இலக்கியத்தின் பகுப்பாய்வு, பெறப்பட்ட அறிவின் தொகுப்பு மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல், சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான பகுப்பாய்வு, ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உகந்த முறைகளைத் தேடுதல்.

§1. முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுக்கான அடிப்படை முறைகள்

1.1 எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

ஒரு குறி அல்லது > மூலம் இணைக்கப்பட்ட இரண்டு முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகள் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது என்பது சமத்துவமின்மையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அறியப்படாத மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதாகும், அதன் கீழ் சமத்துவமின்மை திருப்தி அடைகிறது.

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முக்கிய பகுதி எளிமையானவற்றைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அவற்றைக் குறைப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது:

இது காரணியாக்கம், மாறியின் மாற்றம் (
,
முதலியன), அங்கு வழக்கமான சமத்துவமின்மை முதலில் தீர்க்கப்படுகிறது, பின்னர் படிவத்தின் சமத்துவமின்மை
முதலியன, அல்லது வேறு வழிகள்.

எளிமையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன: அலகு வட்டம் அல்லது வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

விடுங்கள்f(x  அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும். சமத்துவமின்மையை தீர்க்க
ஒரு காலத்தில் அதன் தீர்வைக் கண்டறிவது போதுமானது, அதாவது. செயல்பாட்டின் காலத்திற்கு சமமாக இருக்கும் எந்தப் பிரிவிலும்f  எக்ஸ்  . அப்போதுதான் அசல் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு அனைத்தும் காணப்படும்எக்ஸ் , அத்துடன் செயல்பாட்டின் எந்த முழு எண் எண்ணிலும் கண்டறியப்பட்ட மதிப்புகளிலிருந்து வேறுபடும் மதிப்புகள். இந்த வழக்கில், வரைகலை முறையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழிமுறையின் உதாரணத்தைக் கொடுப்போம்
(
) மற்றும்
.

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்
(
).

1. ஒரு எண்ணின் சைன் வரையறையை உருவாக்கவும்எக்ஸ் அலகு வட்டத்தில்.

3. y அச்சில், ஒரு புள்ளியை ஆயத்துடன் குறிக்கவும்அ .

4. இந்த புள்ளியின் மூலம், OX அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரையவும், அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை வட்டத்துடன் குறிக்கவும்.

5. ஒரு வட்டத்தின் வளைவைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், எல்லாப் புள்ளிகளும் ஆர்டினேட் குறைவாக இருக்கும்அ .

6. பைபாஸின் திசையை (எதிர் கடிகார திசையில்) குறிப்பிடவும் மற்றும் செயல்பாட்டின் காலத்தை இடைவெளியின் முனைகளில் சேர்ப்பதன் மூலம் பதிலை எழுதவும்2πn ,
.

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்
.

1. ஒரு எண்ணின் தொடுகோடு வரையறையை உருவாக்கவும்எக்ஸ் அலகு வட்டத்தில்.

2. ஒரு அலகு வட்டத்தை வரையவும்.

3. தொடுகோடுகளை வரைந்து, அதன் மீது ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும்அ .

4. இந்த புள்ளியை தோற்றத்துடன் இணைக்கவும், இதன் விளைவாக பிரிவின் வெட்டும் புள்ளியை அலகு வட்டத்துடன் குறிக்கவும்.

5. ஒரு வட்டத்தின் வளைவைத் தேர்ந்தெடுக்கவும், அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் தொடுகோட்டில் குறைவாக இருக்கும்அ .

6. பயணத்தின் திசையைக் குறிக்கவும் மற்றும் பதிலை எழுதவும், செயல்பாட்டின் நோக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, ஒரு காலத்தைச் சேர்க்கவும்pn ,
(பதிவின் இடது பக்கத்தில் உள்ள எண் எப்போதும் வலது பக்கத்தில் உள்ள எண்ணை விட குறைவாக இருக்கும்).

எளிமையான சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் வரைகலை விளக்கம் மற்றும் பொதுவான வடிவத்தில் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் பின்னிணைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன (பின் இணைப்புகள் 1 மற்றும் 2).

எடுத்துக்காட்டு 1 சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்
.

அலகு வட்டத்தில் ஒரு கோட்டை வரையவும்
, இது A மற்றும் B புள்ளிகளில் வட்டத்தை வெட்டுகிறது.

அனைத்து மதிப்புகள்ஒய் இடைவெளியில் NM மேலும் , AMB இன் அனைத்து புள்ளிகளும் இந்த சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கின்றன. சுழற்சியின் அனைத்து கோணங்களிலும், பெரியது , ஆனால் சிறியது ,
விட அதிகமான மதிப்புகளை எடுக்கும் (ஆனால் ஒன்றுக்கு மேல் இல்லை).

வரைபடம். 1

எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளியில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளாக இருக்கும்
, அதாவது
. இந்த சமத்துவமின்மையின் அனைத்து தீர்வுகளையும் பெற, இந்த இடைவெளியின் முனைகளில் சேர்த்தால் போதும்
, எங்கே
, அதாவது
,
. மதிப்புகள் என்பதை நினைவில் கொள்க
மற்றும்
சமன்பாட்டின் வேர்கள்
,

அந்த.
;
.

பதில்:
,
.

1.2 கிராஃபிக் முறை

நடைமுறையில், முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சமத்துவமின்மையின் எடுத்துக்காட்டில் முறையின் சாரத்தைக் கவனியுங்கள்
:

1. வாதம் சிக்கலானதாக இருந்தால் (வேறுபட்டதுஎக்ஸ் ), பின்னர் அதை மாற்றுவோம்டி .

2. நாங்கள் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் உருவாக்குகிறோம்ஓய் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள்
மற்றும்
.

3. நாம் அத்தகையவற்றைக் காண்கிறோம்வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டின் இரண்டு அருகிலுள்ள புள்ளிகள், இடையில்சைனாய்டுஅமைந்துள்ளதுஅதிக நேராக
. இந்த புள்ளிகளின் சுருக்கங்களைக் கண்டறியவும்.

4. வாதத்திற்கு இரட்டை சமத்துவமின்மையை எழுதுங்கள்டி , கொசைன் காலத்தை கருத்தில் கொண்டு (டி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அப்சிசாஸ்களுக்கு இடையில் இருக்கும்).

5. தலைகீழ் மாற்றீடு செய்து (அசல் வாதத்திற்குத் திரும்பவும்) மதிப்பை வெளிப்படுத்தவும்எக்ஸ் இரட்டை சமத்துவமின்மையிலிருந்து, ஒரு எண் இடைவெளியாக பதிலை எழுதுகிறோம்.

உதாரணம் 2 சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்: .

ஒரு வரைகலை முறை மூலம் ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது, ​​முடிந்தவரை துல்லியமாக செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது அவசியம். சமத்துவமின்மையை வடிவத்திற்கு மாற்றுவோம்:

ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்
மற்றும்
(படம் 2).

படம்.2

செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றனஏ ஒருங்கிணைப்புகளுடன்
;
. நடுவில்
வரைபட புள்ளிகள்
விளக்கப்பட புள்ளிகளுக்கு கீழே
. பிறகு எப்போது
செயல்பாட்டு மதிப்புகள் ஒரே மாதிரியானவை. அதனால் தான்
மணிக்கு
.

பதில்:
.

1.3 இயற்கணித முறை

பெரும்பாலும், அசல் முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மை, நன்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாற்றீடு மூலம், இயற்கணித (பகுத்தறிவு அல்லது பகுத்தறிவற்ற) சமத்துவமின்மைக்கு குறைக்கப்படலாம். இந்த முறை சமத்துவமின்மையை மாற்றுதல், மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துதல் அல்லது மாறியை மாற்றுதல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் இந்த முறையின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3 எளிமையான வடிவத்திற்கு குறைப்பு
.

(படம் 3)

படம்.3

,
.

பதில்:
,

எடுத்துக்காட்டு 4 சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

ODZ:
,
.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்:
,

சமத்துவமின்மையை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:
.

அல்லது, அனுமானித்து
எளிய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்

,

,

.

இடைவெளி முறை மூலம் கடைசி சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

படம்.4

, முறையே
. பின்னர் படத்தில் இருந்து. 4 பின்தொடர்கிறது
, எங்கே
.

படம்.5

பதில்:
,
.

1.4 இடைவெளி முறை

இடைவெளி முறை மூலம் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான திட்டம்:

முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, காரணியாக்கு.

செயல்பாட்டின் முறிவு புள்ளிகள் மற்றும் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிந்து, அவற்றை வட்டத்தில் வைக்கவும்.

எந்த புள்ளியையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்TO (ஆனால் முன்பு கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை) மற்றும் தயாரிப்பின் அடையாளத்தைக் கண்டறியவும். தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருந்தால், கோணத்துடன் தொடர்புடைய கதிர் மீது அலகு வட்டத்திற்கு வெளியே ஒரு புள்ளியை வைக்கவும். இல்லையெனில், புள்ளியை வட்டத்திற்குள் வைக்கவும்.

ஒரு புள்ளி இரட்டை எண்ணிக்கையில் இருந்தால், அதை இரட்டைப் பெருக்கத்தின் புள்ளி என்று அழைக்கிறோம்; ஒற்றைப்படை எண் என்றால், அதை ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தின் புள்ளி என்று அழைக்கிறோம். வளைவுகளை பின்வருமாறு வரையவும்: ஒரு புள்ளியில் இருந்து தொடங்கவும்TO , அடுத்த புள்ளி ஒற்றைப்படைப் பெருக்கத்தில் இருந்தால், இந்த புள்ளியில் வில் வட்டத்தை வெட்டுகிறது, ஆனால் புள்ளி சம பெருக்கத்தில் இருந்தால், அது வெட்டுவதில்லை.

ஒரு வட்டத்தின் பின்னால் உள்ள வளைவுகள் நேர்மறை இடைவெளிகளாகும்; வட்டத்தின் உள்ளே எதிர்மறை இடைவெளிகள் உள்ளன.

உதாரணம் 5 சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்

,
.

முதல் தொடரின் புள்ளிகள்:
.

இரண்டாவது தொடரின் புள்ளிகள்:
.

ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் நிகழ்கிறது, அதாவது ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும்.

இல் தயாரிப்பின் அடையாளத்தைக் கண்டறியவும்
: . அலகு வட்டத்தில் அனைத்து புள்ளிகளையும் குறிக்கிறோம் (படம் 6):

அரிசி. 6

பதில்:
,
;
,
;
,
.

எடுத்துக்காட்டு 6 . சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்.

தீர்வு:

வெளிப்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டுபிடிப்போம் .

பெறுaeமீ :

,
;

,
;

,
;

,
;

அலகு வட்டத்தில், தொடர் மதிப்புகள்எக்ஸ் 1 புள்ளிகளால் குறிக்கப்படுகிறது
. தொடர்எக்ஸ் 2 புள்ளிகள் கொடுக்கிறது
. ஒரு தொடர்எக்ஸ் 3 நாங்கள் இரண்டு புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம்
. இறுதியாக, ஒரு தொடர்எக்ஸ் 4 புள்ளிகளைக் குறிக்கும்
. இந்த புள்ளிகள் அனைத்தையும் அலகு வட்டத்தில் வைக்கிறோம், அதன் ஒவ்வொரு பெருக்கத்திற்கும் அடுத்த அடைப்புக்குறிக்குள் குறிப்பிடுகிறோம்.

இப்போது எண்ணை விடுங்கள் சமமாக இருக்கும். அடையாளத்தின் மூலம் மதிப்பீடு செய்கிறோம்:

எனவே புள்ளிஏ கோணத்தை உருவாக்கும் பீம் மீது தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும் கற்றை கொண்டஓ அலகு வட்டத்திற்கு வெளியே. (துணை கற்றை என்பதை நினைவில் கொள்கபற்றி ஏ அதை படத்தில் காட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை. புள்ளிஏ தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.)

இப்போது புள்ளியில் இருந்துஏ குறிக்கப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் தொடர்ச்சியாக அலை அலையான தொடர்ச்சியான கோட்டை வரைகிறோம். மற்றும் புள்ளிகளில்
எங்கள் கோடு ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு செல்கிறது: அது அலகு வட்டத்திற்கு வெளியே இருந்தால், அது அதற்குள் செல்கிறது. புள்ளியை நெருங்குகிறது , இந்த புள்ளியின் பெருக்கம் சமமாக இருப்பதால், கோடு உள் பகுதிக்குத் திரும்புகிறது. இதேபோல் புள்ளியில் (இரட்டைப் பெருக்கத்துடன்) கோடு வெளிப்புறப் பகுதிக்கு சுழற்றப்பட வேண்டும். எனவே, படத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட படத்தை வரைந்தோம். 7. இது அலகு வட்டத்தில் விரும்பிய பகுதிகளை முன்னிலைப்படுத்த உதவுகிறது. அவை "+" என்று குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

படம்.7

இறுதி பதில்:

குறிப்பு. அலை அலையான கோடு, அலகு வட்டத்தில் குறிக்கப்பட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் கடந்து சென்ற பிறகு, புள்ளிக்கு திரும்ப முடியாதுஏ , "சட்டவிரோத" இடத்தில் வட்டத்தை கடக்காமல், தீர்வில் பிழை ஏற்பட்டது, அதாவது ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான வேர்கள் தவிர்க்கப்பட்டன.

பதில்: .

§2. முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பணிகளின் தொகுப்பு

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க பள்ளி மாணவர்களின் திறனை வளர்க்கும் செயல்பாட்டில், 3 நிலைகளையும் வேறுபடுத்தி அறியலாம்.

1. தயாரிப்பு,

2. எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான திறன்களை உருவாக்குதல்;

3. மற்ற வகைகளின் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அறிமுகம்.

ஆயத்த கட்டத்தின் நோக்கம் என்னவென்றால், ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க ஒரு முக்கோணவியல் வட்டம் அல்லது வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தும் திறனை பள்ளி மாணவர்களில் உருவாக்குவது அவசியம், அதாவது:

படிவத்தின் எளிய ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் திறன்
,
,
,
, சைன் மற்றும் கொசைன் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்;

ஒரு எண் வட்டத்தின் வளைவுகள் அல்லது செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களின் வளைவுகளுக்கு இரட்டை ஏற்றத்தாழ்வுகளை உருவாக்கும் திறன்;

முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளின் பல்வேறு மாற்றங்களைச் செய்யும் திறன்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகள் பற்றிய பள்ளி மாணவர்களின் அறிவை முறைப்படுத்தும் செயல்பாட்டில் இந்த கட்டத்தை செயல்படுத்த பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. முக்கிய வழிமுறைகள் மாணவர்களுக்கு வழங்கப்படும் பணிகள் மற்றும் ஆசிரியரின் வழிகாட்டுதலின் கீழ் அல்லது சுயாதீனமாக செய்யப்படலாம், அத்துடன் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பெறப்பட்ட திறன்கள்.

அத்தகைய பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

1 . அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும் , என்றால்

.

2. ஆய விமானத்தின் எந்த காலாண்டில் புள்ளி உள்ளது , என்றால் சமம்:

3. முக்கோணவியல் வட்டத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் , என்றால்:

4. வெளிப்பாட்டை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு கொண்டு வாருங்கள்நான்காலாண்டுகளில்.

A)
, b)
, V)

5. பரிதி கொடுக்கப்பட்ட எம்.ஆர்.எம் - நடுத்தரநான்வது காலாண்டு,ஆர் - நடுத்தரIIவது காலாண்டு. ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கட்டுப்படுத்தவும்டி க்கு: (இரட்டை சமத்துவமின்மையை உருவாக்குதல்) a) ஆர்க் எம்பி; b) ஆர்எம் ஆர்க்ஸ்.

6. வரைபடத்தின் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பிரிவுகளுக்கு இரட்டை சமத்துவமின்மையை எழுதுங்கள்:

அரிசி. 1

7. ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கவும்
,
,
,
.

8. வெளிப்பாட்டை மாற்றவும் .

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கற்றலின் இரண்டாம் கட்டத்தில், மாணவர்களின் செயல்பாடுகளை ஒழுங்கமைப்பதற்கான வழிமுறை தொடர்பான பின்வரும் பரிந்துரைகளை நாங்கள் வழங்கலாம். அதே நேரத்தில், எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வின் போது உருவாகும் ஒரு முக்கோணவியல் வட்டம் அல்லது வரைபடத்துடன் பணிபுரியும் மாணவர்களின் திறன்களில் கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம்.

முதலாவதாக, படிவத்தின் சமத்துவமின்மையைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு பொதுவான முறையைப் பெறுவதற்கான வாய்ப்பை ஊக்குவிக்க முடியும்.
. ஆயத்த கட்டத்தில் பெற்ற அறிவு மற்றும் திறன்களைப் பயன்படுத்தி, மாணவர்கள் முன்மொழியப்பட்ட சமத்துவமின்மையை படிவத்திற்கு கொண்டு வருவார்கள்.
, ஆனால் அதனால் ஏற்படும் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிவது கடினமாக இருக்கலாம் சைன் செயல்பாட்டின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மட்டுமே அதைத் தீர்க்க முடியாது. பொருத்தமான விளக்கப்படத்தைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் இந்தச் சிரமத்தைத் தவிர்க்கலாம் (சமன்பாட்டின் தீர்வு வரைகலை அல்லது அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்துதல்).

இரண்டாவதாக, ஆசிரியர் பணியை முடிப்பதற்கான வெவ்வேறு வழிகளில் மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்க வேண்டும், சமத்துவமின்மையை வரைபட ரீதியாகவும் முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தவும் பொருத்தமான உதாரணத்தைக் கொடுக்க வேண்டும்.

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான அத்தகைய விருப்பங்களைக் கவனியுங்கள்
.

1. அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பது.

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முதல் பாடத்தில், மாணவர்களுக்கு விரிவான தீர்வு வழிமுறையை வழங்குவோம், இது ஒரு படிப்படியான விளக்கக்காட்சியில் சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க தேவையான அனைத்து அடிப்படை திறன்களையும் பிரதிபலிக்கிறது.

படி 1.ஒரு அலகு வட்டத்தை வரையவும், y அச்சில் ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும் மற்றும் x அச்சுக்கு இணையாக அதன் வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும். இந்த கோடு அலகு வட்டத்தை இரண்டு புள்ளிகளில் வெட்டும். இந்த புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றும் அதன் சைன் சமமாக இருக்கும் எண்களை சித்தரிக்கிறது .

படி 2இந்த நேர்கோடு வட்டத்தை இரண்டு வளைவுகளாகப் பிரித்தது. எந்தெந்த எண்கள் காட்டப்படுகிறதோ அதைவிட பெரிய சைன் உள்ளதை தனிமைப்படுத்துவோம் . இயற்கையாகவே, இந்த வில் வரையப்பட்ட நேர் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது.

அரிசி. 2

படி 3குறிக்கப்பட்ட வளைவின் முனைகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்போம். அலகு வட்டத்தின் இந்த புள்ளியால் குறிப்பிடப்படும் எண்களில் ஒன்றை எழுதுவோம் .

படி 4தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வளைவின் இரண்டாவது முனையுடன் தொடர்புடைய எண்ணைத் தேர்ந்தெடுக்க, பெயரிடப்பட்ட முனையிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு இந்த வளைவுடன் "கடந்து செல்கிறோம்". அதே நேரத்தில், எதிரெதிர் திசையில் நகரும் போது, ​​நாம் கடந்து செல்லும் எண்கள் அதிகரிக்கும் (எதிர் திசையில் நகரும் போது, ​​எண்கள் குறையும்) என்பதை நினைவுபடுத்துகிறோம். குறிக்கப்பட்ட வளைவின் இரண்டாவது முனையில் அலகு வட்டத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ள எண்ணை எழுதுவோம் .

இதனால், சமத்துவமின்மையைக் காண்கிறோம்
சமத்துவமின்மைக்கான எண்களை திருப்திப்படுத்துகிறது
. சைன் செயல்பாட்டின் அதே காலகட்டத்தில் அமைந்துள்ள எண்களுக்கான சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்த்தோம். எனவே, சமத்துவமின்மைக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் இவ்வாறு எழுதலாம்

மாணவர்கள் எண்ணிக்கையை கவனமாக பரிசீலித்து, சமத்துவமின்மைக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் ஏன் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்
வடிவத்தில் எழுதலாம்
,
.

அரிசி. 3

கொசைன் செயல்பாட்டிற்கான ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது, ​​y-அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர்கோட்டை வரைகிறோம் என்ற உண்மைக்கு மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்க வேண்டியது அவசியம்.

சமத்துவமின்மையை தீர்க்க வரைகலை வழி.

கட்டிட விளக்கப்படங்கள்
மற்றும்
, என்று கொடுக்கப்பட்டது
.

அரிசி. 4

பின்னர் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்
மற்றும் அவரது தீர்வு
,
,
, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்பட்டது
,
,
.

(கொடுத்தல்n மதிப்புகள் 0, 1, 2, இயற்றப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூன்று வேர்களைக் காண்கிறோம்). மதிப்புகள்
வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளிகளின் மூன்று தொடர்ச்சியான அப்சிசாஸ்கள்
மற்றும்
. வெளிப்படையாக, எப்போதும் இடைவெளியில்
சமத்துவமின்மை
, மற்றும் இடைவெளியில்
- சமத்துவமின்மை
. முதல் வழக்கில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், பின்னர் இந்த இடைவெளியின் முனைகளில் சைன் காலத்தின் பெருக்கமான எண்ணைச் சேர்த்தால், சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.
என:
,
.

அரிசி. 5

சுருக்கவும். சமத்துவமின்மையை தீர்க்க
, நீங்கள் தொடர்புடைய சமன்பாட்டை எழுதி அதை தீர்க்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்திலிருந்து வேர்களைக் கண்டறியவும் மற்றும் , மற்றும் சமத்துவமின்மைக்கான பதிலை படிவத்தில் எழுதவும்: ,
.

மூன்றாவதாக, தொடர்புடைய முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மையின் வேர்களின் தொகுப்பைப் பற்றிய உண்மை, அதை வரைபடமாகத் தீர்க்கும்போது மிகத் தெளிவாக உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது.

அரிசி. 6

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வாக இருக்கும் சுருள், முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் காலத்திற்கு சமமான அதே இடைவெளியில் மீண்டும் நிகழ்கிறது என்பதை மாணவர்களுக்கு நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம். சைன் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கும் இதே போன்ற விளக்கத்தை நீங்கள் பரிசீலிக்கலாம்.

நான்காவதாக, முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் இந்த நுட்பங்களின் பங்கிற்கு பள்ளி மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்க, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையை (வேறுபாடு) ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றும் மாணவர்களின் முறைகளைப் புதுப்பிப்பதற்கான பணியை மேற்கொள்வது நல்லது.

ஆசிரியரால் முன்மொழியப்பட்ட பணிகளை மாணவர்கள் சுயாதீனமாக நிறைவேற்றுவதன் மூலம் இத்தகைய வேலைகளை ஒழுங்கமைக்க முடியும், அவற்றில் பின்வருவனவற்றை நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

ஐந்தாவது, மாணவர்கள் ஒவ்வொரு எளிய முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மையின் தீர்வையும் வரைபடம் அல்லது முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி விளக்க வேண்டும். முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை சரிசெய்வதற்கான மிகவும் வசதியான வழிமுறையாக தொடர்புடைய விளக்கம் செயல்படுவதால், குறிப்பாக ஒரு வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்துவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.

எளிமையானதாக இல்லாத முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கொண்ட மாணவர்களின் அறிமுகம், பின்வரும் திட்டத்தின் படி மேற்கொள்ள அறிவுறுத்தப்படுகிறது: ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மையைக் குறிப்பிடுவது தொடர்புடைய முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் கூட்டுத் தேடலைக் குறிக்கிறது (ஆசிரியர் - மாணவர்கள்). கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நுட்பத்தை அதே வகையின் மற்ற ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு மாற்றுதல்.

முக்கோணவியல் பற்றிய மாணவர்களின் அறிவை முறைப்படுத்துவதற்காக, அத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளை குறிப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்க பரிந்துரைக்கிறோம், அதற்கான தீர்வுக்கு பல்வேறு மாற்றங்கள் தேவைப்படும், அதைத் தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் செயல்படுத்தப்படலாம், மாணவர்களின் கவனத்தை அவர்களின் அம்சங்களில் செலுத்துகிறது.

அத்தகைய உற்பத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகள், எடுத்துக்காட்டாக, பின்வருவனவற்றை நாம் முன்மொழியலாம்:

முடிவில், முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சிக்கல்களின் தொகுப்பின் உதாரணத்தை நாங்கள் தருகிறோம்.

1. ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கவும்:

2. ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கவும்: 3. ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறியவும்: 4. ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறியவும்:

A)
, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது
;

b)
, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது
.

5. ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறியவும்:

A) ;

b) ;

V)
;

ஜி)
;

இ)
.

6. ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கவும்:

A) ;

b) ;

வி) ;

ஜி)
;

இ) ;

இ) ;

மற்றும்)
.

7. ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கவும்:

A)
;

b) ;

வி) ;

ஜி)

8. ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கவும்:

A) ;

b) ;

வி) ;

ஜி)
;

இ)
;

இ) ;

மற்றும்)
;

h) .

மேம்பட்ட மட்டத்தில் கணிதத்தைப் படிக்கும் மாணவர்களுக்கு 6 மற்றும் 7 பணிகளை வழங்குவது நல்லது, பணி 8 - கணிதத்தின் ஆழமான படிப்பைக் கொண்ட வகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களுக்கு.

§3. முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சிறப்பு முறைகள்

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சிறப்பு முறைகள் - அதாவது, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மட்டுமே பயன்படுத்தக்கூடிய முறைகள். இந்த முறைகள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதையும், பல்வேறு முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் மற்றும் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துவதையும் அடிப்படையாகக் கொண்டவை.

3.1 துறை முறை

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான துறை முறையைக் கவனியுங்கள். படிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு

, எங்கேபி ( எக்ஸ் ) மற்றும்கே ( எக்ஸ் ) - பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் (சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள் பகுத்தறிவுடன் அவற்றை உள்ளிடுகின்றன), அதேபோன்று பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு. உண்மையான அச்சில் உள்ள இடைவெளிகளின் முறையால் பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. பகுத்தறிவு முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் அதன் ஒப்புமை முக்கோணவியல் வட்டத்தில் உள்ள துறைகளின் முறையாகும்.sinx மற்றும்cosx (
) அல்லது ஒரு முக்கோணவியல் அரைவட்டம்tgx மற்றும்ctgx (
).

இடைவெளி முறையில், படிவத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பின் ஒவ்வொரு நேரியல் காரணி
எண் அச்சில் புள்ளி , மற்றும் இந்த புள்ளியை கடந்து செல்லும் போது
மாற்றங்கள் அடையாளம். செக்டர் முறையில், படிவத்தின் ஒவ்வொரு பெருக்கியும்
, எங்கே
- செயல்பாடுகளில் ஒன்றுsinx அல்லதுcosx மற்றும்
, ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தில் இரண்டு கோணங்கள் ஒத்திருக்கும் மற்றும்
, இது வட்டத்தை இரண்டு பிரிவுகளாகப் பிரிக்கிறது. கடந்து செல்லும் போது மற்றும் செயல்பாடு
மாற்றங்கள் அடையாளம்.

பின்வருவனவற்றை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

a) படிவத்தின் பெருக்கிகள்
மற்றும்
, எங்கே
, எல்லா மதிப்புகளுக்கும் அடையாளத்தை வைத்திருங்கள் . எண் மற்றும் வகுப்பின் இத்தகைய பெருக்கிகள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன, மாறுகின்றன (என்றால்
) ஒவ்வொரு நிராகரிப்பிலும், சமத்துவமின்மை அடையாளம் தலைகீழாக மாற்றப்படுகிறது.

b) படிவத்தின் பெருக்கிகள்
மற்றும்
அப்புறப்படுத்தப்படுகின்றன. மேலும், இவை வகுப்பின் காரணிகளாக இருந்தால், வடிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமமான சமத்துவமின்மை அமைப்பில் சேர்க்கப்படும்.
மற்றும்
. இவை எண்ணிக்கையின் காரணிகள் என்றால், சமமான கட்டுப்பாடுகளின் அமைப்பில் அவை ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு ஒத்திருக்கும்.
மற்றும்
கடுமையான ஆரம்ப சமத்துவமின்மை மற்றும் சமத்துவம் விஷயத்தில்
மற்றும்
கண்டிப்பான ஆரம்ப சமத்துவமின்மை விஷயத்தில். பெருக்கியை கைவிடும்போது
அல்லது
சமத்துவமின்மை அடையாளம் தலைகீழாக உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1 ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க: a)
, b)
. எங்களிடம் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, b). நம்மிடம் உள்ள சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்

3.2 செறிவு வட்ட முறை

இந்த முறை பகுத்தறிவு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதில் இணையான எண் அச்சுகளின் முறைக்கு ஒத்ததாகும்.

சமத்துவமின்மை அமைப்பின் உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம் 5 எளிய முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

முதலில், ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மையையும் தனித்தனியாக தீர்க்கிறோம் (படம் 5). படத்தின் மேல் வலது மூலையில், முக்கோணவியல் வட்டம் எந்த வாதத்திற்காக கருதப்படுகிறது என்பதைக் குறிப்பிடுவோம்.

படம்.5

அடுத்து, வாதத்திற்கான செறிவு வட்டங்களின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்எக்ஸ் . முதல் சமத்துவமின்மையின் தீர்வின் படி ஒரு வட்டத்தை வரைந்து அதை நிழலிடுகிறோம், பின்னர் ஒரு பெரிய ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரைந்து இரண்டாவது தீர்வின் படி நிழலாடுகிறோம், பின்னர் மூன்றாவது சமத்துவமின்மை மற்றும் ஒரு அடிப்படை வட்டத்திற்கு ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குகிறோம். . கணினியின் மையத்திலிருந்து வளைவுகளின் முனைகள் வழியாக கதிர்களை வரைகிறோம், இதனால் அவை அனைத்து வட்டங்களையும் வெட்டுகின்றன. அடிப்படை வட்டத்தில் ஒரு தீர்வை உருவாக்குகிறோம் (படம் 6).

படம்.6

பதில்:
,
.

முடிவுரை

பாடத்திட்டத்தின் அனைத்து நோக்கங்களும் நிறைவடைந்தன. கோட்பாட்டுப் பொருள் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது: முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முக்கிய வகைகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுக்கான முக்கிய முறைகள் (வரைகலை, இயற்கணிதம், இடைவெளிகளின் முறை, பிரிவுகள் மற்றும் செறிவு வட்டங்களின் முறை) கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு முறைக்கும், சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணம் கொடுக்கப்பட்டது. கோட்பாட்டுப் பகுதிக்குப் பிறகு நடைமுறைப் பகுதி வந்தது. இது முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பணிகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த பாடத்திட்டத்தை மாணவர்கள் சுயாதீனமான வேலைக்கு பயன்படுத்தலாம். மாணவர்கள் இந்த தலைப்பின் ஒருங்கிணைப்பின் அளவை சரிபார்க்கலாம், மாறுபட்ட சிக்கலான பணிகளைச் செய்வதில் பயிற்சி செய்யலாம்.

இயற்கணிதத்தின் பள்ளி பாடநெறி மற்றும் பகுப்பாய்வின் தொடக்கத்தில் உள்ள முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் திறன் மற்றும் திறன்கள் மிகவும் முக்கியம் என்று இந்த பிரச்சினையில் தொடர்புடைய இலக்கியங்கள் மூலம் பணிபுரிந்த பிறகு, அதன் வளர்ச்சிக்கு கணிசமான முயற்சி தேவைப்படுகிறது. கணித ஆசிரியர்.

எனவே, இந்த வேலை கணித ஆசிரியர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது "முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்" என்ற தலைப்பில் மாணவர்களின் பயிற்சியை திறம்பட ஒழுங்கமைக்க உதவுகிறது.

இறுதித் தகுதிப் பணி வரை விரிவுபடுத்துவதன் மூலம் படிப்பைத் தொடரலாம்.

பயன்படுத்தப்பட்ட இலக்கியங்களின் பட்டியல்

போகோமோலோவ், என்.வி. கணிதத்தில் உள்ள சிக்கல்களின் தொகுப்பு [உரை] / என்.வி. போகோமோலோவ். – எம்.: பஸ்டர்ட், 2009. – 206 பக்.

வைகோட்ஸ்கி, எம்.யா. தொடக்கக் கணிதத்தின் கையேடு [உரை] / M.Ya. வைகோட்ஸ்கி. – எம்.: பஸ்டர்ட், 2006. – 509 பக்.

ஜுர்பென்கோ, எல்.என். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகளில் கணிதம் [உரை] / L.N. ஜுர்பென்கோ. – எம்.: இன்ஃப்ரா-எம், 2009. – 373 பக்.

இவானோவ், ஓ.ஏ. பள்ளி மாணவர்கள், மாணவர்கள் மற்றும் ஆசிரியர்களுக்கான தொடக்கக் கணிதம் [உரை] / ஓ.ஏ. இவானோவ். – எம்.: MTsNMO, 2009. – 384 பக்.

கார்ப், ஏ.பி. இயற்கணிதத்தில் பணிகள் மற்றும் 11 ஆம் வகுப்பில் இறுதி மறுபரிசீலனை மற்றும் சான்றிதழின் அமைப்புக்கான பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம் [உரை] / ஏ.பி. கெண்டை மீன் – எம்.: அறிவொளி, 2005. – 79 பக்.

குலானின், ஈ.டி. கணிதத்தில் 3000 போட்டி சிக்கல்கள் [உரை] / ஈ.டி. குலானின். – எம்.: ஐரிஸ்-பிரஸ், 2007. – 624 பக்.

லீப்சன், கே.எல். கணிதத்தில் நடைமுறைப் பணிகளின் சேகரிப்பு [உரை] / கே.எல். லீப்சன். - எம்.: பஸ்டர்ட், 2010. - 182 பக்.

எல்போ, வி.வி. அளவுருக்கள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகளில் உள்ள சிக்கல்கள். முக்கோணவியல்: சமன்பாடுகள், ஏற்றத்தாழ்வுகள், அமைப்புகள். தரம் 10 [உரை] / வி.வி. முழங்கை. - எம்.: ARKTI, 2008. - 64 பக்.

மனோவா, ஏ.என். கணிதம். தேர்வுக்கு தயார் செய்ய எக்ஸ்பிரஸ் ஆசிரியர்: கணக்கு. கொடுப்பனவு [உரை] / ஏ.என். மனோவா. - ரோஸ்டோவ்-ஆன்-டான்: பீனிக்ஸ், 2012. - 541 பக்.

மொர்ட்கோவிச், ஏ.ஜி. இயற்கணிதம் மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். 10-11 தரங்கள். கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் [உரை] / ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். – எம்.: ஐரிஸ்-பிரஸ், 2009. – 201 பக்.

நோவிகோவ், ஏ.ஐ. முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் [உரை] / ஏ.ஐ. நோவிகோவ். - எம்.: FIZMATLIT, 2010. - 260 பக்.

ஒகனேசியன், வி.ஏ. மேல்நிலைப் பள்ளியில் கணிதம் கற்பிக்கும் முறைகள்: பொது முறை. Proc. இயற்பியல் மாணவர்களுக்கு உதவித்தொகை. - பாய். போலி. ped. தோழர். [உரை] / வி.ஏ. ஒகனேசியன். – எம்.: அறிவொளி, 2006. – 368 பக்.

ஓலெக்னிக், எஸ்.என். சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள். தரமற்ற தீர்வு முறைகள் [உரை] / எஸ்.என். ஓலெக்னிக். - எம் .: பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் ஃபேக்டோரியல், 1997. - 219 பக்.

செவ்ரியுகோவ், பி.எஃப். முக்கோணவியல், அதிவேக மற்றும் மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் [உரை] / பி.எஃப். செவ்ரியுகோவ். – எம்.: தேசிய கல்வி, 2008. – 352 பக்.

செர்ஜிவ், ஐ.என். யூஸ்: கணிதத்தில் பதில்கள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் 1000 பணிகள். குழு C [உரை] / I.N இன் அனைத்து பணிகளும் செர்ஜிவ். - எம்.: தேர்வு, 2012. - 301 பக்.

சோபோலேவ், ஏ.பி. தொடக்கக் கணிதம் [உரை] / ஏ.பி. சோபோலேவ். - யெகாடெரின்பர்க்: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 பக்.

ஃபென்கோ, எல்.எம். ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் இடைவெளிகளின் முறை மற்றும் செயல்பாடுகளைப் படிப்பது [உரை] / எல்.எம். ஃபென்கோ. – எம்.: பஸ்டர்ட், 2005. – 124 பக்.

ஃப்ரீட்மேன், எல்.எம். கணிதம் கற்பிக்கும் முறையின் தத்துவார்த்த அடித்தளங்கள் [உரை] / எல்.எம். ஃப்ரீட்மேன். - எம் .: புக் ஹவுஸ் "லிப்ரோகோம்", 2009. - 248 பக்.

இணைப்பு 1

எளிமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வுகளின் வரைகலை விளக்கம்

அரிசி. 1

அரிசி. 2

படம்.3

படம்.4

படம்.5

படம்.6

படம்.7

படம்.8

இணைப்பு 2

எளிமையான சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகள்

நடைமுறை பாடத்தில், "முக்கோணவியல்" என்ற தலைப்பில் இருந்து முக்கிய வகையான பணிகளை மீண்டும் செய்வோம், மேலும் சிக்கலான சிக்கல்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம் மற்றும் பல்வேறு முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இந்த பாடம் B5, B7, C1 மற்றும் C3 வகைகளில் ஒன்றைத் தயாரிக்க உதவும்.

முக்கோணவியல் தலைப்பில் நாங்கள் மதிப்பாய்வு செய்த முக்கிய வகை பணிகளை மீண்டும் செய்வதன் மூலம் தொடங்குவோம் மற்றும் பல தரமற்ற பணிகளைத் தீர்ப்போம்.

பணி எண் 1. கோணங்களை ரேடியன்கள் மற்றும் டிகிரிகளாக மாற்றவும்: a) ; b) .

அ) டிகிரிகளை ரேடியன்களாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பை அதில் மாற்றவும்.

b) ரேடியன்களை டிகிரிக்கு மாற்றுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

மாற்றீடு செய்வோம் .

பதில். A) ; b) .

பணி #2. கணக்கிட: a); b) .

அ) கோணம் அட்டவணைக்கு அப்பால் இருப்பதால், சைனின் காலத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் அதைக் குறைக்கிறோம். ஏனெனில் கோணம் ரேடியன்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, பின்னர் காலம் என கருதப்படும்.

b) இந்த வழக்கில், நிலைமை ஒத்திருக்கிறது. கோணம் டிகிரிகளில் குறிப்பிடப்பட்டிருப்பதால், தொடுகோட்டின் காலத்தை நாம் கருதுவோம்.

இதன் விளைவாக வரும் கோணம், காலத்தை விட குறைவாக இருந்தாலும், அதிகமாக உள்ளது, அதாவது இது இனி முக்கிய, ஆனால் அட்டவணையின் நீட்டிக்கப்பட்ட பகுதியைக் குறிக்கிறது. ட்ரைகோஃபங்க்ஷன் மதிப்புகளின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்வதன் மூலம் நமது நினைவகத்தை மீண்டும் ஒருமுறை பயிற்றுவிக்காமல் இருக்க, தொடுகோடு காலத்தை மீண்டும் கழிக்கிறோம்:

டேன்ஜென்ட் செயல்பாட்டின் விந்தையைப் பயன்படுத்திக் கொண்டோம்.

பதில். a) 1; b) .

பணி #3. கணக்கிடு , என்றால்.

பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிப்பதன் மூலம் முழு வெளிப்பாட்டையும் தொடுகோடுகளுக்குக் கொண்டு வருகிறோம். அதே நேரத்தில், நாம் பயப்பட முடியாது, ஏனெனில் இந்த வழக்கில், தொடுகோடு மதிப்பு இருக்காது.

பணி எண் 4. வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

குறிப்பிடப்பட்ட வெளிப்பாடுகள் வார்ப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மாற்றப்படுகின்றன. வழக்கத்திற்கு மாறாக பட்டங்களைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்டவை தான். முதல் வெளிப்பாடு பொதுவாக ஒரு எண். அனைத்து முக்கோண செயல்பாடுகளையும் எளிதாக்குங்கள்:

ஏனெனில் , பின்னர் செயல்பாடு ஒரு இணைப்பாக மாறுகிறது, அதாவது. கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு, மற்றும் கோணம் இரண்டாவது காலாண்டில் விழுகிறது, இதில் அசல் தொடுகோட்டின் அடையாளம் எதிர்மறையாக இருக்கும்.

முந்தைய வெளிப்பாட்டின் அதே காரணங்களுக்காக, செயல்பாடு ஒரு இணைச் செயல்பாட்டிற்கு மாறுகிறது, அதாவது. கோடேன்ஜென்ட்டுக்கு, மற்றும் கோணம் முதல் காலாண்டில் விழுகிறது, இதில் ஆரம்ப தொடுவானது நேர்மறையான அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது.

எல்லாவற்றையும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடாக மாற்றுதல்:

பணி எண் 5. வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

தொடர்புடைய சூத்திரத்தின்படி இரட்டை கோணத்தின் தொடுகோடு எழுதுவோம் மற்றும் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவோம்:

கடைசி அடையாளம் என்பது கொசைனுக்கான உலகளாவிய மாற்று சூத்திரங்களில் ஒன்றாகும்.

பணி #6. கணக்கிடு .

முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், நிலையான பிழையைச் செய்யக்கூடாது மற்றும் வெளிப்பாடு சமம் என்று பதில் கொடுக்கக்கூடாது. வில் தொடுகோட்டின் முக்கிய சொத்தை பயன்படுத்த இயலாது, அதே சமயம் அதன் அருகில் இரண்டு வடிவில் ஒரு காரணி உள்ளது. அதிலிருந்து விடுபட, இரட்டை கோணத்தின் தொடுகோணத்திற்கான சூத்திரத்தின்படி வெளிப்பாட்டை எழுதுகிறோம், அதே நேரத்தில் அதை ஒரு சாதாரண வாதமாக கருதுகிறோம்.

இப்போது ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டின் முக்கிய சொத்தைப் பயன்படுத்துவது ஏற்கனவே சாத்தியம், அதன் எண் முடிவில் எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

பணி எண் 7. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமான ஒரு பகுதியளவு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​அது எப்போதும் எண் பூஜ்ஜியம் என்றும், வகுத்தல் இல்லை என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது.

முதல் சமன்பாடு ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் எளிய சமன்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. இந்த தீர்வை நீங்களே சிந்தியுங்கள். இரண்டாவது சமத்துவமின்மை, தொடுகோட்டின் வேர்களுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எளிமையான சமன்பாடாக தீர்க்கப்படுகிறது, ஆனால் அடையாளம் சமமாக இல்லை.

நாம் பார்க்கிறபடி, ஒரு குடும்பத்தின் வேர்கள் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யாத அதே வேர் குடும்பத்தை விலக்குகிறது. அந்த. வேர்கள் இல்லை.

பதில். வேர்கள் இல்லை.

பணி எண் 8. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நீங்கள் பொதுவான காரணியை அகற்றி அதைச் செய்யலாம் என்பதை உடனடியாகக் கவனிக்கவும்:

பல காரணிகளின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​சமன்பாடு நிலையான வடிவங்களில் ஒன்றாகக் குறைக்கப்பட்டது. இந்த விஷயத்தில் அவற்றில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அல்லது மற்றொன்று அல்லது மூன்றாவது என்று நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். இதை சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாக எழுதுகிறோம்:

முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் எளிமையானவற்றின் சிறப்பு நிகழ்வுகள், இதேபோன்ற சமன்பாடுகளை நாங்கள் ஏற்கனவே பல முறை சந்தித்துள்ளோம், எனவே அவற்றின் தீர்வுகளை உடனடியாகக் குறிப்பிடுவோம். இரட்டை கோண சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மூன்றாவது சமன்பாட்டை ஒரு செயல்பாட்டிற்கு குறைக்கிறோம்.

கடைசி சமன்பாட்டை தனித்தனியாக தீர்ப்போம்:

இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் சைனின் மதிப்பு அதற்கு மேல் செல்ல முடியாது .

எனவே, வேர்களின் முதல் இரண்டு குடும்பங்கள் மட்டுமே தீர்வு, அவை ஒன்றாக இணைக்கப்படலாம், இது ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தில் காட்ட எளிதானது:

இது அனைத்து பகுதிகளின் குடும்பம், அதாவது.

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்லலாம். முதலில், பொதுவான தீர்வு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல், ஆனால் ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தின் உதவியுடன் ஒரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான அணுகுமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

பணி எண் 9. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்.

க்கு சமமான சைனின் மதிப்புடன் தொடர்புடைய முக்கோணவியல் வட்டத்தில் துணைக் கோட்டை வரையவும், சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்தும் கோணங்களின் இடைவெளியைக் காட்டவும்.

இதன் விளைவாக வரும் கோண இடைவெளியை சரியாக எவ்வாறு குறிப்பிடுவது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், அதாவது. அதன் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவு என்ன. இடைவெளியின் ஆரம்பம், நாம் எதிரெதிர் திசையில் நகர்ந்தால், இடைவெளியின் தொடக்கத்தில் நாம் நுழையும் புள்ளியுடன் தொடர்புடைய கோணமாக இருக்கும். எங்கள் விஷயத்தில், இது இடதுபுறத்தில் இருக்கும் புள்ளி, ஏனென்றால் எதிரெதிர் திசையில் நகர்ந்து சரியான புள்ளியை கடந்து செல்கிறோம், மாறாக, தேவையான கோண இடைவெளியில் இருந்து வெளியேறுகிறோம். எனவே சரியான புள்ளி இடைவெளியின் முடிவுக்கு ஒத்திருக்கும்.

சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வுகளின் இடைவெளியின் தொடக்க மற்றும் இறுதி கோணங்களின் மதிப்புகளை இப்போது நாம் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு பொதுவான தவறு என்னவென்றால், வலது புள்ளியானது கோணம் , இடதுபுறம் ஒத்திருப்பதை உடனடியாகக் குறிப்பிட்டு பதில் அளிப்பதாகும். இது உண்மையல்ல! வட்டத்தின் மேல் பகுதியுடன் தொடர்புடைய இடைவெளியை நாங்கள் இப்போது சுட்டிக்காட்டியுள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க, கீழே உள்ளவற்றில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருந்தாலும், வேறுவிதமாகக் கூறினால், நமக்குத் தேவையான தீர்வுகளின் இடைவெளியின் தொடக்கத்தையும் முடிவையும் கலந்துள்ளோம்.

இடைவெளி வலது புள்ளியின் மூலையில் தொடங்கி இடது புள்ளியின் மூலையில் முடிவதற்கு, முதலில் குறிப்பிடப்பட்ட கோணம் இரண்டாவது விட குறைவாக இருக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, எதிர்மறை குறிப்பு திசையில் சரியான புள்ளியின் கோணத்தை அளவிட வேண்டும், அதாவது. கடிகார திசையில் மற்றும் அது சமமாக இருக்கும். பின்னர், அதிலிருந்து நேர்மறை கடிகார திசையில் தொடங்கி, இடது புள்ளிக்குப் பிறகு சரியான புள்ளியைப் பெறுவோம், அதற்கான கோணத்தின் மதிப்பைப் பெறுவோம். இப்போது கோணங்களின் இடைவெளியின் ஆரம்பம் முடிவை விட குறைவாக உள்ளது, மேலும் காலத்தை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளாமல் தீர்வுகளின் இடைவெளியை எழுதலாம்:

அத்தகைய இடைவெளிகள் எந்த முழு எண் சுழற்சிகளுக்குப் பிறகும் எண்ணற்ற முறை மீண்டும் நிகழும் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, சைன் காலத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்:

சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இருப்பதால் சுற்று அடைப்புக்குறிகளை வைக்கிறோம், மேலும் இடைவெளியின் முனைகளுடன் தொடர்புடைய வட்டத்தின் புள்ளிகளை நாங்கள் துளைக்கிறோம்.

விரிவுரையில் நாங்கள் வழங்கிய பொதுவான தீர்வுக்கான சூத்திரத்துடன் உங்கள் பதிலை ஒப்பிடவும்.

பதில். .

எளிமையான முக்கோண ஏற்றத்தாழ்வுகளின் பொதுவான தீர்வுகளுக்கான சூத்திரங்கள் எங்கிருந்து வருகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்கு இந்த முறை நல்லது. கூடுதலாக, இந்த சிக்கலான சூத்திரங்கள் அனைத்தையும் கற்றுக்கொள்வது மிகவும் சோம்பேறிகளுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். இருப்பினும், முறையும் எளிதானது அல்ல, தீர்வுக்கான அணுகுமுறை உங்களுக்கு மிகவும் வசதியானது என்பதைத் தேர்வுசெய்க.

முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி காட்டப்படும் முறையைப் போலவே, துணை வரி கட்டப்பட்ட செயல்பாட்டு வரைபடங்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம். நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், தீர்வுக்கான இந்த அணுகுமுறையை நீங்களே புரிந்து கொள்ள முயற்சிக்கவும். பின்வருவனவற்றில், எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க பொதுவான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.

பணி எண் 10. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்.

சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லை என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எங்கள் விஷயத்தில் நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதில்.

பணி எண் 11. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும்.

தொடர்புடைய கடுமையான சமத்துவமின்மைக்கு பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

பதில். .

பணி எண் 12. ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க: a); b) .

இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளில், பொதுவான தீர்வுகள் அல்லது ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்திற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த அவசரப்படக்கூடாது, சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளின் வரம்பை நினைவில் வைத்திருந்தால் போதும்.

அ) ஏனெனில் , சமத்துவமின்மை அர்த்தமற்றது. எனவே, தீர்வுகள் இல்லை.

b) ஏனெனில் இதேபோல், எந்தவொரு வாதத்தின் சைன் எப்போதும் நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்ட சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்துகிறது. எனவே, சமத்துவமின்மை வாதத்தின் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளாலும் திருப்தி அடைகிறது.

பதில். அ) தீர்வுகள் இல்லை; b) .

பணி 13. சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் .

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஏற்றத்தாழ்வுகள், தீர்க்கப்படும் போது, ​​cos(t)>a, sint(t)=a மற்றும் போன்ற வடிவத்தின் எளிமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன. ஏற்கனவே எளிமையான ஏற்றத்தாழ்வுகள் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன. பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி, எளிமையான முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமத்துவமின்மை பாவம்(t) > = -1/2.

ஒற்றை வட்டத்தை வரையவும். வரையறையின்படி sin (t) என்பது y ஒருங்கிணைப்பு என்பதால், Oy அச்சில் y \u003d -1/2 புள்ளியைக் குறிக்கிறோம். x அச்சுக்கு இணையாக அதன் வழியாக ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். அலகு வட்ட வரைபடத்துடன் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டுகளில் Pt1 மற்றும் Pt2 புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். இரண்டு பிரிவுகளுடன் Pt1 மற்றும் Pt2 புள்ளிகளுடன் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்தை இணைக்கிறோம்.

இந்த சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இந்த புள்ளிகளுக்கு மேலே அமைந்துள்ள அலகு வட்டத்தின் அனைத்து புள்ளிகளாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், தீர்வு ஆர்க் எல் ஆக இருக்கும்.. இப்போது நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி ஆர்க் எல் க்கு சொந்தமான நிபந்தனைகளை குறிப்பிட வேண்டும்.

Pt1 வலது அரை வட்டத்தில் உள்ளது, அதன் ஆர்டினேட் -1/2, பின்னர் t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pt1 புள்ளியை விவரிக்க பின்வரும் சூத்திரத்தை எழுதலாம்:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. இதன் விளைவாக, t க்கான பின்வரும் சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்:

சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளை நாங்கள் வைத்திருக்கிறோம். மேலும் சைன் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு என்பதால், தீர்வுகள் ஒவ்வொரு 2 * பைக்கும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும். இந்த நிபந்தனையை t க்கான சமத்துவமின்மையுடன் சேர்த்து பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

உதாரணம் 2சமத்துவமின்மை cos(t)<1/2.

ஒரு அலகு வட்டம் வரைவோம். cos(t) இன் வரையறையின்படி, இது x-ஆயத்தொகை என்பதால், x அச்சில் உள்ள வரைபடத்தில் x = 1/2 என்ற புள்ளியைக் குறிக்கிறோம்.
y அச்சுக்கு இணையாக இந்தப் புள்ளியின் மூலம் நாம் ஒரு நேர்க்கோட்டை வரைகிறோம். அலகு வட்ட வரைபடத்துடன் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டுகளில் Pt1 மற்றும் Pt2 புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். இரண்டு பிரிவுகளுடன் Pt1 மற்றும் Pt2 புள்ளிகளுடன் ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்தை இணைக்கிறோம்.

தீர்வுகள் அனைத்தும் அலகு வட்டத்தின் புள்ளிகள் ஆகும், அவை வில் எல் ஐச் சேர்ந்தவை.

t1 = ஆர்க்கோஸ்(1/2) = பை/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

t: pi/3க்கான சமத்துவமின்மையைப் பெற்றோம்

கொசைன் ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு என்பதால், தீர்வுகள் ஒவ்வொரு 2 * pi மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும். இந்த நிபந்தனையை t க்கான சமத்துவமின்மையுடன் சேர்த்து பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்: pi/3+2*pi*n

எடுத்துக்காட்டு 3சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் tg(t)< = 1.

தொடுகோட்டின் காலம் பை ஆகும். வலது அரை வட்டத்தின் இடைவெளியில் (-pi/2;pi/2) சேர்ந்த தீர்வுகளைக் கண்டறியவும். அடுத்து, தொடுகோடுகளின் கால இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமத்துவமின்மைக்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் எழுதுகிறோம். ஒரு அலகு வட்டத்தை வரைந்து, அதன் மீது தொடுகோடுகளின் கோட்டைக் குறிப்போம்.

சமத்துவமின்மைக்கு t ஒரு தீர்வாக இருந்தால், T = tg(t) என்ற புள்ளியின் ஆர்டினேட் 1 ஐ விட குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். அத்தகைய புள்ளிகளின் தொகுப்பு கதிர் AT ஐ உருவாக்கும். இந்த கதிரின் புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய Pt புள்ளிகளின் தொகுப்பு ஆர்க் எல் ஆகும். மேலும், புள்ளி P(-pi/2) இந்த வளைவுக்கு சொந்தமானது அல்ல.

பெரும்பாலான மாணவர்கள் முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளை விரும்பவில்லை. ஆனால் வீண். ஒரு பாத்திரம் சொல்வது போல்,

"உங்களுக்கு அவற்றை எப்படி சமைக்க வேண்டும் என்று தெரியவில்லை"

எனவே எப்படி "சமைப்பது" மற்றும் ஒரு சைனுடன் ஒரு சமத்துவமின்மையை சமர்ப்பிப்பது எப்படி, இந்த கட்டுரையில் அதைக் கண்டுபிடிப்போம். நாங்கள் எளிமையான முறையில் தீர்ப்போம் - ஒரு அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி.

எனவே, முதலில் முதலில், நமக்கு பின்வரும் வழிமுறை தேவை.

ஒரு சைனுடன் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:

1. $a$ எண்ணை சைன் அச்சில் வைத்து, அது வட்டத்துடன் வெட்டும் வரை கோசைன் அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும்;
2. சமத்துவமின்மை கண்டிப்பானதாக இல்லாவிட்டால் வட்டத்துடன் இந்த கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் நிரப்பப்படும், மேலும் சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இருந்தால் நிரப்பப்படாது;
3. சமத்துவமின்மையின் தீர்வு பகுதி கோட்டிற்கு மேலேயும், சமத்துவமின்மையில் "$>$" என்ற அடையாளமும் இருந்தால் வட்டம் வரை இருக்கும்<$”;
4. வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டறிய, $\sin(x)=a$ என்ற முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம், $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$ அமைத்தல், முதல் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியைக் காண்கிறோம் (அது முதல் அல்லது நான்காவது நாற்கரத்தில் அமைந்துள்ளது);
6. இரண்டாவது புள்ளியைக் கண்டறிய, எந்தத் திசையில் நாம் இரண்டாவது குறுக்குவெட்டுப் பகுதிக்குச் செல்கிறோம் என்பதைப் பார்க்கிறோம்: நேர்மறைத் திசையில் இருந்தால், $n=1$ எடுக்க வேண்டும், எதிர்மறையான திசையில் இருந்தால், $n=- 1$;
7. பதிலுக்கு, சிறிய குறுக்குவெட்டு புள்ளி $+ 2\pi n$ இலிருந்து பெரிய $+ 2\pi n$ வரையிலான இடைவெளி எழுதப்பட்டுள்ளது.

அல்காரிதம் வரம்பு

முக்கியமானது: டிஇந்த அல்காரிதம் வேலை செய்ய வில்லை$\sin(x) > 1 படிவத்தின் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு; \\sin(x) \geq 1, \\sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

ஒரு சமத்துவமின்மையை ஒரு சைனுடன் தீர்க்கும் போது சிறப்பு வழக்குகள்

மேலே உள்ள வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தாமல் தர்க்கரீதியாகத் தீர்க்க மிகவும் வசதியான பின்வரும் நிகழ்வுகளைக் குறிப்பிடுவதும் முக்கியம்.

சிறப்பு வழக்கு 1.சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

$\sin(x) \leq 1.$

முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் டொமைன் $y=\sin(x)$ அதிகபட்சம் $1$ ஆக இருப்பதால், சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் எதற்கும்டொமைனில் இருந்து $x$ (மற்றும் சைனின் டொமைன் அனைத்தும் உண்மையான எண்கள்) $1$ ஐ விட அதிகமாக இல்லை. எனவே, பதிலுக்கு நாம் எழுதுகிறோம்: $x \in R$.

விளைவு:

$\sin(x) \geq -1.$

சிறப்பு வழக்கு 2.சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

$\sin(x)< 1.$

சிறப்பு வழக்கு 1ஐப் போன்ற வாதங்களைப் பயன்படுத்தினால், $\sin(x) = சமன்பாட்டின் தீர்வாக இருக்கும் புள்ளிகளைத் தவிர, அனைத்து $x \in R$ க்கும் சமத்துவமின்மையின் இடது பக்கம் $1$ க்கும் குறைவாக இருப்பதைப் பெறுகிறோம். 1$. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில், எங்களிடம் இருக்கும்:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

எனவே, பதிலுக்கு நாங்கள் எழுதுகிறோம்: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

விளைவு:சமத்துவமின்மை இதேபோல் தீர்க்கப்படுகிறது

$\sin(x) > -1.$

ஒரு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1:சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. சைன் அச்சில் $\frac(1)(2)$ ஆயத்தை கவனியுங்கள்.
2. கோசைன் அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரையவும் மற்றும் இந்த புள்ளியைக் கடந்து செல்லவும்.
3. வெட்டும் புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இல்லாததால் அவர்கள் நிழலாடுவார்கள்.
4. சமத்துவமின்மை குறி $\geq$ ஆகும், அதாவது கோட்டிற்கு மேலே உள்ள பகுதியில் நாம் வண்ணம் தீட்டுகிறோம், அதாவது. சிறிய அரை வட்டம்.
5. வெட்டும் முதல் புள்ளியைக் கண்டறியவும். இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையை சமத்துவமாக மாற்றி அதைத் தீர்க்கவும்: $\sin(x)=\frac(1)(2) \\Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. நாங்கள் மேலும் $n=0$ ஐ அமைத்து, முதல் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியைக் கண்டறிகிறோம்: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. நாம் இரண்டாவது புள்ளியைக் காண்கிறோம். எங்கள் பகுதி முதல் புள்ளியிலிருந்து நேர்மறையான திசையில் செல்கிறது, எனவே $n$ ஐ $1$க்கு சமமாக அமைத்துள்ளோம்: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

எனவே, தீர்வு வடிவம் எடுக்கும்:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$

எடுத்துக்காட்டு 2:சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

$- \frac(1)(2)$ என்ற ஒருங்கிணைப்பை சைன் அச்சில் குறிக்கிறோம் மற்றும் கோசைன் அச்சுக்கு இணையாக ஒரு நேர்கோட்டை வரைகிறோம். வெட்டும் புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள். சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால், அவர்கள் நிழலாட மாட்டார்கள். சமத்துவமின்மை அடையாளம் $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

மேலும் $n=0$ அமைத்தல், முதல் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளியைக் காண்கிறோம்: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. எங்கள் பகுதி முதல் புள்ளியிலிருந்து எதிர்மறையான திசையில் செல்கிறது, எனவே $n$ ஐ $-1$க்கு சமமாக அமைக்கிறோம்: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

எனவே, இந்த சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு இடைவெளியாக இருக்கும்:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

எடுத்துக்காட்டு 3:சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்க:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

இந்த உதாரணத்தை அல்காரிதம் மூலம் உடனடியாக தீர்க்க முடியாது. முதலில் நீங்கள் அதை மாற்ற வேண்டும். நாம் சமன்பாட்டுடன் சரியாகச் செய்கிறோம், ஆனால் அடையாளத்தைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள். எதிர்மறை எண்ணால் வகுத்தல் அல்லது பெருக்கினால் அது தலைகீழாக மாறும்!

எனவே, முக்கோணவியல் செயல்பாடு இல்லாத அனைத்தையும் வலது பக்கம் நகர்த்துவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை $-2$ ஆல் பிரிக்கவும் (அடையாளத்தைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்!). கொண்டிருக்கும்:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

மீண்டும், அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியாத சமத்துவமின்மையை நாங்கள் பெற்றோம். ஆனால் இங்கே மாறியை மாற்றினால் போதும்:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

நாங்கள் ஒரு முக்கோணவியல் சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம், இது அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படலாம்:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

இந்த சமத்துவமின்மை எடுத்துக்காட்டு 1 இல் தீர்க்கப்பட்டது, எனவே நாங்கள் அங்கிருந்து பதிலைப் பெறுவோம்:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

ஆனால், அந்த முடிவு இன்னும் முடிவடையவில்லை. நாம் அசல் மாறிக்கு திரும்ப வேண்டும்.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \இடது[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

இடைவெளியை ஒரு அமைப்பாகக் குறிப்பிடுவோம்:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

கணினியின் இடது பக்கத்தில் வெளிப்பாடு ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), இது இடைவெளிக்கு சொந்தமானது. இடைவெளியின் இடது எல்லை முதல் சமத்துவமின்மைக்கு பொறுப்பாகும், மற்றும் வலது எல்லை இரண்டாவது பொறுப்பாகும். மேலும், அடைப்புக்குறிகள் ஒரு முக்கிய பாத்திரத்தை வகிக்கின்றன: அடைப்புக்குறி சதுரமாக இருந்தால், சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இருக்காது, அது வட்டமாக இருந்தால், கண்டிப்பானது. இடதுபுறத்தில் $x$ பெறுவதே எங்கள் பணி இரண்டு சமத்துவமின்மைகளிலும்.

$\frac(\pi)(6)$ஐ இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கமாக நகர்த்துவோம், நாம் பெறுவது:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

எளிமைப்படுத்தினால், எங்களிடம் இருக்கும்:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை $4$ ஆல் பெருக்கினால், நமக்கு கிடைக்கும்:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

கணினியை ஒரு இடைவெளியில் இணைத்து, பதிலைப் பெறுகிறோம்:

$x \in \இடது[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$