Förmågan att beräkna volymen av rumsliga figurer är viktig när man löser ett antal praktiska problem inom geometri. En av de vanligaste figurerna är pyramiden. I den här artikeln kommer vi att överväga både fulla och trunkerade pyramider.

Pyramid som en tredimensionell figur

Alla känner till de egyptiska pyramiderna, så de har en bra uppfattning om vilken typ av figur vi kommer att prata om. Men egyptiska stenstrukturer är bara ett specialfall av en enorm klass av pyramider.

Det geometriska föremålet som övervägs i det allmänna fallet är en polygonal bas, vars varje hörn är ansluten till en viss punkt i rymden som inte hör till basens plan. Denna definition leder till en figur som består av en n-gon och n trianglar.

Vilken pyramid som helst består av n+1 ytor, 2*n kanter och n+1 hörn. Eftersom figuren i fråga är en perfekt polyeder, följer antalet markerade element Eulers likhet:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Polygonen som ligger vid basen ger namnet på pyramiden, till exempel triangulär, femkantig, och så vidare. En uppsättning pyramider med olika baser visas på bilden nedan.

Punkten där n trianglar i en figur möts kallas pyramidens spets. Om en vinkelrät sänks från den till basen och den skär den i det geometriska centrumet, kommer en sådan figur att kallas en rak linje. Om detta villkor inte är uppfyllt, uppstår en lutande pyramid.

En högerfigur vars bas bildas av en liksidig (likkantig) n-gon kallas regelbunden.

Formel för volymen av en pyramid

För att beräkna volymen på pyramiden använder vi integralkalkyl. För att göra detta delar vi figuren genom att skära plan parallellt med basen i ett oändligt antal tunna lager. Bilden nedan visar en fyrkantig pyramid med höjden h och sidolängden L, där fyrhörningen markerar det tunna lagret av sektionen.

Arean av varje sådant lager kan beräknas med formeln:

A(z) = Ao*(h-z)2/h2.

Här är A 0 arean av basen, z är värdet på den vertikala koordinaten. Det kan ses att om z = 0, så ger formeln värdet A 0 .

För att få formeln för volymen av en pyramid bör du beräkna integralen över hela figurens höjd, det vill säga:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Genom att ersätta beroendet A(z) och beräkna antiderivatan kommer vi fram till uttrycket:

V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

Vi har fått formeln för volymen av en pyramid. För att hitta värdet på V, multiplicera bara höjden på figuren med arean av basen och dividera sedan resultatet med tre.

Observera att det resulterande uttrycket är giltigt för att beräkna volymen av en pyramid av vilken typ som helst. Det vill säga, den kan lutas och dess bas kan vara en godtycklig n-gon.

och dess volym

Den allmänna formeln för volym som erhålls i stycket ovan kan förfinas i fallet med en pyramid med en regelbunden bas. Arean av en sådan bas beräknas med hjälp av följande formel:

Ao = n/4*L2*ctg(pi/n).

Här är L sidolängden på en vanlig polygon med n hörn. Symbolen pi är talet pi.

Genom att ersätta uttrycket för A 0 i den allmänna formeln får vi volymen av en vanlig pyramid:

Vn = 1/3*n/4*L2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L2 *h*ctg(pi/n).

Till exempel, för en triangulär pyramid, resulterar denna formel i följande uttryck:

V3 = 3/12*L2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L2*h.

För en vanlig fyrkantig pyramid tar volymformeln formen:

V4 = 4/12*L2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L2*h.

Att bestämma volymerna av vanliga pyramider kräver kunskap om sidan av deras bas och höjden på figuren.

Stympad pyramid

Låt oss anta att vi tog en godtycklig pyramid och skar av en del av dess laterala yta som innehåller vertexet. Den återstående figuren kallas en stympad pyramid. Den består redan av två n-gonala baser och n trapetser som förbinder dem. Om skärplanet var parallellt med basen av figuren, bildas en trunkerad pyramid med liknande parallella baser. Det vill säga längderna på sidorna på en av dem kan erhållas genom att multiplicera längderna på den andra med en viss koefficient k.

Figuren ovan visar en stympad regelbunden sådan, man kan se att dess övre bas, liksom den nedre, bildas av en regelbunden sexkant.

Formeln som kan härledas med hjälp av integralkalkyl som liknar ovanstående är:

V = 1/3*h*(Ao + Ai + √(Ao*A1)).

Där A 0 och A 1 är områdena för de nedre (stora) respektive övre (små) baserna. Variabeln h betecknar höjden på den trunkerade pyramiden.

Volymen av Cheops-pyramiden

Det är intressant att lösa problemet med att bestämma volymen som den största egyptiska pyramiden innehåller inuti sig själv.

1984 fastställde de brittiska egyptologerna Mark Lehner och Jon Goodman de exakta måtten på Cheops-pyramiden. Dess ursprungliga höjd var 146,50 meter (för närvarande cirka 137 meter). Den genomsnittliga längden på var och en av de fyra sidorna av strukturen var 230,363 meter. Pyramidens bas är kvadratisk med hög precision.

Låt oss använda de givna siffrorna för att bestämma volymen av denna stenjätte. Eftersom pyramiden är regelbunden fyrkantig, är formeln giltig för den:

Genom att ersätta siffrorna får vi:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volymen av Cheops-pyramiden är nästan 2,6 miljoner m3. Som jämförelse noterar vi att den olympiska poolen har en volym på 2,5 tusen m 3. Det vill säga, för att fylla hela Cheops-pyramiden behöver du mer än 1000 sådana pooler!

är en polyeder som bildas av pyramidens bas och en sektion parallell med den. Vi kan säga att en stympad pyramid är en pyramid med toppen avskuren. Denna figur har många unika egenskaper:

• Pyramidens sidoytor är trapetser;
• Sidokanterna på en vanlig stympad pyramid är av samma längd och lutar mot basen i samma vinkel;
• Baserna är liknande polygoner;
• I en vanlig stympad pyramid är ansiktena identiska likbenta trapetser, vars yta är lika stor. De är också lutade mot basen i en vinkel.

Formeln för den laterala ytarean av en trunkerad pyramid är summan av ytorna på dess sidor:

Eftersom sidorna av en stympad pyramid är trapetser, för att beräkna parametrarna måste du använda formeln trapetsformad område. För en vanlig trunkerad pyramid kan du använda en annan formel för beräkning av arean. Eftersom alla dess sidor, ytor och vinklar vid basen är lika, är det möjligt att applicera omkretsen av basen och apotem, och även härleda arean genom vinkeln vid basen.

Om, enligt förhållandena i en vanlig stympad pyramid, apotem (sidans höjd) och längderna på sidorna av basen anges, så kan arean beräknas genom halvprodukten av summan av omkretsen av baserna och apotemet:

Låt oss titta på ett exempel på beräkning av den laterala ytan av en trunkerad pyramid.
Givet en vanlig femkantig pyramid. Apotem l= 5 cm, längden på kanten i den stora basen är a= 6 cm, och kanten är vid den mindre basen b= 4 cm. Beräkna arean av den stympade pyramiden.

Låt oss först hitta omkretsen av baserna. Eftersom vi får en femkantig pyramid förstår vi att baserna är femhörningar. Det betyder att baserna innehåller en figur med fem identiska sidor. Låt oss hitta omkretsen av den större basen:

På samma sätt hittar vi omkretsen av den mindre basen:

Nu kan vi beräkna arean av en vanlig trunkerad pyramid. Ersätt data med formeln:

Således beräknade vi arean av en vanlig stympad pyramid genom omkretsen och apotem.

Ett annat sätt att beräkna den laterala ytan av en vanlig pyramid är formeln genom vinklarna vid basen och området för just dessa baser.

Låt oss titta på ett exempel på beräkning. Vi kommer ihåg att denna formel endast gäller för en vanlig stympad pyramid.

Låt en vanlig fyrkantig pyramid ges. Kanten på den nedre basen är a = 6 cm, och kanten på den övre basen är b = 4 cm. Den diedriska vinkeln vid basen är β = 60°. Hitta den laterala ytan av en vanlig stympad pyramid.

Först, låt oss beräkna arean av baserna. Eftersom pyramiden är regelbunden är alla kanter på baserna lika med varandra. Med tanke på att basen är en fyrhörning förstår vi att det kommer att vara nödvändigt att beräkna torgets yta. Det är produkten av bredd och längd, men i kvadrat är dessa värden desamma. Låt oss hitta arean för den större basen:


Nu använder vi de hittade värdena för att beräkna den laterala ytan.

Genom att känna till några enkla formler beräknade vi enkelt arean av den laterala trapetsen av en trunkerad pyramid med olika värden.

En polyeder där en av dess ytor är en polygon, och alla andra ytor är trianglar med en gemensam vertex, kallas en pyramid.

Dessa trianglar som utgör pyramiden kallas sidoytor, och den återstående polygonen är grund pyramider.

Vid basen av pyramiden ligger en geometrisk figur - en n-gon. I det här fallet kallas pyramiden också n-kol.

En triangulär pyramid vars kanter alla är lika kallas tetraeder.

Pyramidens kanter som inte hör till basen kallas lateral, och deras gemensamma poäng är vertex pyramider. Pyramidens andra kanter brukar kallas parter till grunden.

Pyramiden kallas korrekt, om den har en regelbunden polygon vid sin bas och alla laterala kanter är lika med varandra.

Avståndet från toppen av pyramiden till basens plan kallas höjd pyramider. Vi kan säga att höjden på pyramiden är ett segment vinkelrätt mot basen, vars ändar är på toppen av pyramiden och på basens plan.

För varje pyramid gäller följande formler:

1) S full = S sida + S huvud, Var

S totalt – pyramidens totala yta;

S-sidan – area av sidoytan, dvs. summan av områdena för alla sidoytor av pyramiden;

S huvud - området av basen av pyramiden.

2) V = 1/3 S bas N, Var

V - pyramidens volym;

H – höjden på pyramiden.

För vanlig pyramid inträffar:

S-sidan = 1/2 P huvudh, Var

P main – omkretsen av pyramidens bas;

h är längden på apotem, det vill säga längden på höjden på sidoytan sänkt från toppen av pyramiden.

Den del av pyramiden som är innesluten mellan två plan - basens plan och skärplanet parallellt med basen kallas stympad pyramid.

Pyramidens bas och sektionen av pyramiden genom ett parallellt plan kallas skäl stympad pyramid. De återstående ansiktena kallas lateral. Avståndet mellan planen på baserna kallas höjd stympad pyramid. Kanter som inte hör till baserna kallas lateral.

Dessutom basen av den trunkerade pyramiden liknande n-goner. Om baserna i en trunkerad pyramid är regelbundna polygoner, och alla laterala kanter är lika med varandra, kallas en sådan trunkerad pyramid korrekt.

För godtycklig trunkerad pyramid följande formler gäller:

1) S full = S-sida + S 1 + S 2, Var

S totalt – total yta;

S-sidan – area av sidoytan, dvs. summan av områdena för alla laterala ytor av en stympad pyramid, som är trapetser;

S 1, S 2 – basareor;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) H, Var

V – volymen av den trunkerade pyramiden;

H – höjden på den stympade pyramiden.

För vanlig stympad pyramid vi har också:

S-sidan = 1/2(P 1 + P 2) h, Var

P 1, P 2 - basernas omkretsar;

h – apotem (höjden på sidoytan, som är en trapets).

Låt oss överväga flera problem som involverar en trunkerad pyramid.

Uppgift 1.

I en triangulär stympad pyramid med en höjd lika med 10 är sidorna på en av baserna 27, 29 och 52. Bestäm volymen på den stympade pyramiden om omkretsen av den andra basen är 72.

Lösning.

Betrakta den trunkerade pyramiden ABCA 1 B 1 C 1 som visas i Figur 1.

1. Volymen av en trunkerad pyramid kan hittas med hjälp av formeln

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), där S 1 är arean av en av baserna, kan hittas med Herons formel

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

därför att Problemet ger längden på de tre sidorna i en triangel.

Vi har: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. Pyramiden är trunkerad, vilket betyder att liknande polygoner ligger vid baserna. I vårt fall liknar triangeln ABC triangeln A 1 B 1 C 1. Dessutom kan likhetskoefficienten hittas som förhållandet mellan omkretsen av trianglarna i fråga, och förhållandet mellan deras ytor kommer att vara lika med kvadraten på likhetskoefficienten. Vi har alltså:

Si/S2 = (P1)2/(P2)2 = 1082/722 = 9/4. Därför S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Så, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Svar: 1900.

Uppgift 2.

I en triangulär stympad pyramid dras ett plan genom sidan av den övre basen parallellt med den motsatta sidokanten. I vilket förhållande delas volymen av en stympad pyramid om motsvarande sidor av baserna är i förhållandet 1:2?

Lösning.

Betrakta ABCA 1 B 1 C 1 - en stympad pyramid som visas i ris. 2.

Eftersom sidorna i baserna är i förhållandet 1:2, är basernas area i förhållandet 1:4 (triangeln ABC liknar triangeln A 1 B 1 C 1).

Då är volymen på den trunkerade pyramiden:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, där S 2 – area av den övre basen, h – höjd.

Men volymen av prismat ADEA 1 B 1 C 1 är V 1 = S 2 h och därför,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Så, V 2: V 1 = 3: 4.

Svar: 3:4.

Uppgift 3.

Sidorna på baserna i en vanlig fyrkantig stympad pyramid är lika med 2 och 1, och höjden är 3. Ett plan dras genom skärningspunkten för pyramidens diagonaler, parallellt med pyramidens baser, som delar pyramiden i två delar. Hitta volymen för var och en av dem.

Lösning.

Betrakta den trunkerade pyramiden ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 som visas i ris. 3.

Låt oss beteckna O 1 O 2 = x, då OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Betrakta triangeln B 1 O 2 D 1 och triangeln BO 2 D:

vinkeln B102D1 är lika med vinkeln BO2D som vertikal;

vinkel BDO 2 är lika med vinkel D 1 B 1 O 2 och vinkel O 2 ВD är lika med vinkel B 1 D 1 O 2 som ligger korsvis vid B 1 D 1 || BD och sekanterna B^D respektive BD^.

Därför liknar triangeln B 1 O 2 D 1 triangeln BO 2 D och sidoförhållandet är:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 eller 1/2 = x/(x – 3), varav x = 1.

Betrakta triangeln B 1 D 1 B och triangeln LO 2 B: vinkel B är vanlig, och det finns också ett par ensidiga vinklar vid B 1 D 1 || LM, vilket betyder att triangeln B 1 D 1 B liknar triangeln LO 2 B, från vilken B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, d.v.s.

LO2 = 2/3 · B1D1, LN = 4/3 · B1D1.

Då S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Så, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Svar: 152/27; 37/27.

blog.site, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.

Pyramid. Stympad pyramid

Pyramidär en polyeder, vars ena ansikten är en polygon ( bas ), och alla andra ytor är trianglar med en gemensam vertex ( sidoytor ) (Fig. 15). Pyramiden kallas korrekt , om dess bas är en vanlig polygon och toppen av pyramiden projiceras in i mitten av basen (fig. 16). En triangulär pyramid med alla kanter lika kallas tetraeder .

Lateral revben av en pyramid är den sida av sidoytan som inte hör till basen Höjd pyramid är avståndet från dess topp till basens plan. Alla sidokanter på en vanlig pyramid är lika med varandra, alla sidoytor är lika med likbenta trianglar. Höjden på sidoytan på en vanlig pyramid som dras från vertex kallas apotem . Diagonal sektion kallas en sektion av en pyramid av ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta.

Sidoyta pyramid är summan av areorna av alla sidoytor. Total yta kallas summan av areorna av alla sidoytor och basen.

Satser

1. Om i en pyramid alla laterala kanter är lika lutande mot basens plan, projiceras toppen av pyramiden in i mitten av cirkeln omskriven nära basen.

2. Om alla sidokanter på en pyramid har lika långa längder, så projiceras toppen av pyramiden in i mitten av en cirkel som är omskriven nära basen.

3. Om alla ytor i en pyramid lutar lika mycket mot basens plan, projiceras toppen av pyramiden in i mitten av en cirkel som är inskriven i basen.

För att beräkna volymen av en godtycklig pyramid är den korrekta formeln:

Var V- volym;

S bas– basarea;

H– höjden på pyramiden.

För en vanlig pyramid är följande formler korrekta:

Var sid– basomkrets;

h a– apotem;

H- höjd;

S full

S sida

S bas– basarea;

V– volymen av en vanlig pyramid.

Stympad pyramid kallas den del av pyramiden som är innesluten mellan basen och ett skärplan parallellt med pyramidens bas (fig. 17). Vanlig stympad pyramid kallas den del av en vanlig pyramid som är innesluten mellan basen och ett skärplan parallellt med pyramidens bas.

Skäl stympad pyramid - liknande polygoner. Sidoytor – trapetser. Höjd av en stympad pyramid är avståndet mellan dess baser. Diagonal en stympad pyramid är ett segment som förbinder dess hörn som inte ligger på samma yta. Diagonal sektion är en sektion av en stympad pyramid av ett plan som går genom två sidokanter som inte hör till samma yta.

För en trunkerad pyramid är följande formler giltiga:

(4)

Var S 1 , S 2 - områden av de övre och nedre baserna;

S full– total yta.

S sida– lateral yta.

H- höjd;

V– volymen av en stympad pyramid.

För en vanlig trunkerad pyramid är formeln korrekt:

Var sid 1 , sid 2 - basernas omkrets;

h a– apotem av en vanlig stympad pyramid.

Exempel 1. I en vanlig triangulär pyramid är den dihedriska vinkeln vid basen 60º. Hitta tangenten för sidokantens lutningsvinkel mot basens plan.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 18).

Pyramiden är regelbunden, vilket betyder att vid basen finns en liksidig triangel och alla sidoytorna är lika likbenta trianglar. Den dihedriska vinkeln vid basen är lutningsvinkeln för pyramidens sidoyta mot basens plan. Den linjära vinkeln är vinkeln a mellan två perpendikuler: etc. Toppen av pyramiden projiceras i triangelns mitt (mitten av den omslutna cirkeln och den inskrivna cirkeln i triangeln ABC). Lutningsvinkeln för sidokanten (till exempel S.B.) är vinkeln mellan själva kanten och dess projektion på basens plan. För revbenet S.B. denna vinkel kommer att vara vinkeln SBD. För att hitta tangenten behöver du känna till benen SÅ Och O.B.. Låt längden på segmentet BDär lika med 3 A. Punkt HANDLA OM linjesegmentet BDär uppdelad i delar: och Från finner vi SÅ: Från vi finner:

Svar:

Exempel 2. Hitta volymen av en vanlig stympad fyrkantig pyramid om diagonalerna på dess baser är lika med cm och cm och dess höjd är 4 cm.

Lösning. För att hitta volymen av en trunkerad pyramid använder vi formel (4). För att hitta arean på baserna måste du hitta sidorna på basrutorna, känna till deras diagonaler. Sidorna på baserna är lika med 2 cm respektive 8 cm. Detta betyder att områdena på baserna och Genom att ersätta alla data i formeln, beräknar vi volymen på den trunkerade pyramiden:

Svar: 112 cm 3.

Exempel 3. Hitta området för sidoytan på en vanlig triangulär stympad pyramid, vars sidor är 10 cm och 4 cm och höjden på pyramiden är 2 cm.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 19).

Sidoytan på denna pyramid är en likbent trapets. För att beräkna arean av en trapets, måste du känna till basen och höjden. Baserna är givna enligt skicket, bara höjden förblir okänd. Vi hittar henne varifrån A 1 E vinkelrät från en punkt A 1 på planet för den nedre basen, A 1 D– vinkelrätt från A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, eftersom detta är höjden på pyramiden. Att hitta DE Låt oss göra en ytterligare ritning som visar toppvyn (Fig. 20). Punkt HANDLA OM– projektion av mitten av de övre och nedre baserna. sedan (se fig. 20) och Å andra sidan OK– radie inskriven i cirkeln och OM– radie inskriven i en cirkel:

MK = DE.

Enligt Pythagoras sats från

Sidoyta:

Svar:

Exempel 4. Vid basen av pyramiden ligger en likbent trapets, vars baser A Och b (a> b). Varje sidoyta bildar en vinkel som är lika med planet för pyramidens bas j. Hitta den totala ytan av pyramiden.

Lösning. Låt oss göra en ritning (bild 21). Total yta av pyramiden SABCD lika med summan av ytorna och arean av trapetsen ABCD.

Låt oss använda påståendet att om alla pyramidens ytor lutar lika mycket mot basens plan, så projiceras vertexen in i mitten av cirkeln som är inskriven i basen. Punkt HANDLA OM– vertexprojektion S vid basen av pyramiden. Triangel SODär den ortogonala projektionen av triangeln CSD till basens plan. Med hjälp av satsen om arean för den ortogonala projektionen av en plan figur får vi:

Likaså betyder det Således reducerades problemet till att hitta området för trapetsen ABCD. Låt oss rita en trapets ABCD separat (fig. 22). Punkt HANDLA OM– mitten av en cirkel inskriven i en trapets.

Eftersom en cirkel kan skrivas in i en trapets, då eller Från Pythagoras sats har vi