Găsiți numărul de trei numere în html. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, trebuie mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, numerele care sunt multipli ai lui 5 pot fi considerate 15, 20, 25 și așa mai departe.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără a lăsa rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil cu toate aceste numere.

Pentru a găsi LOC, puteți folosi mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să notați toți multiplii acestor numere pe o linie până când găsiți ceva comun între ei. Multiplii sunt notați cu majusculă K.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Astfel, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această notație se face după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă metodă de calculare a LCM.

Pentru a finaliza sarcina, trebuie să factorizați numerele date în factori primi.

Mai întâi trebuie să notați descompunerea celui mai mare număr pe o linie, iar sub ea - restul.

Descompunerea fiecărui număr poate conține un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În extinderea numărului mai mic, ar trebui să evidențiați factorii care lipsesc în extinderea primului număr cel mai mare și apoi să îi adăugați. În exemplul prezentat, un doi lipsește.

Acum puteți calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii celui de-al doilea număr care nu au fost incluși în expansiunea numărului mai mare va fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, ar trebui să le factorizați pe toate în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Astfel, doar doi doi din expansiunea lui șaisprezece nu au fost incluse în factorizarea unui număr mai mare (unul este în extinderea celor douăzeci și patru).

Astfel, ele trebuie adăugate la extinderea unui număr mai mare.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, LCM de doisprezece și douăzeci și patru este de douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au divizori identici, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM (10, 11) = 110.

Să continuăm conversația despre cel mai mic multiplu comun, pe care am început-o în secțiunea „LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple”. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere și ne vom uita la întrebarea cum să găsim LCM-ul unui număr negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să determinăm LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.

Definiția 1

Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).

Exemplul 1

Trebuie să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.

Soluţie

Să luăm a = 126, b = 70. Să substituim valorile în formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Găsește mcd-ul numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul euclidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, deci GCD (126 , 70) = 14 .

Să calculăm LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Răspuns: LCM(126, 70) = 630.

Exemplul 2

Găsiți numărul 68 și 34.

Soluţie

GCD în acest caz nu este greu de găsit, deoarece 68 este divizibil cu 34. Să calculăm cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Răspuns: LCM(68, 34) = 68.

În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, LCM-ul acelor numere va fi egal cu primul număr.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Acum să ne uităm la metoda de găsire a LCM, care se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi.

Definiția 2

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:

• compunem produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
• excludem toți factorii primi din produsele lor rezultate;
• produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.

Această metodă de găsire a celui mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care participă la descompunerea acestor două numere. În acest caz, mcd a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.

Exemplul 3

Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza după cum urmează: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. Dacă compuneți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.

Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor 441 Și 700 , factorizarea ambelor numere în factori primi.

Soluţie

Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7.

Produsul tuturor factorilor care au participat la descompunerea acestor numere va avea forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factori comuni. Acesta este numărul 7. Să-l excludem din totalul produsului: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Răspuns: LOC(441, 700) = 44.100.

Să dăm o altă formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 3

Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:

• Să factorăm ambele numere în factori primi:
• adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
• obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.

Exemplul 5

Să revenim la numerele 75 și 210, pentru care am căutat deja LCM într-unul din exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3, 5 și 5 numerele 75 adună factorii lipsă 2 Și 7 numerele 210. Primim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.

Exemplul 6

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.

Soluţie

Să factorăm numerele din condiție în factori simpli: 84 = 2 2 3 7Și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Să adăugăm la produs factorii 2, 2, 3 și 7 numerele 84 lipsesc factorii 2, 3, 3 și
3 numerele 648. Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Răspuns: LCM(84, 648) = 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi secvenţial LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.

Teorema 1

Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k aceste numere se găsesc calculând secvenţial m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema pentru a rezolva probleme specifice.

Exemplul 7

Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al patru numere 140, 9, 54 și 250 .

Soluţie

Să introducem notația: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Să aplicăm algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Se obține: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Prin urmare, m 2 = 1.260.

Acum să calculăm folosind același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). În timpul calculelor obținem m 3 = 3 780.

Trebuie doar să calculăm m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Urmăm același algoritm. Obținem m 4 = 94 500.

LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.

Răspuns: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de intensive în muncă. Pentru a economisi timp, puteți merge pe altă cale.

Definiția 4

Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:

• descompunem toate numerele în factori primi;
• la produsul factorilor primului număr adăugăm factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
• la produsul obținut în etapa anterioară adăugăm factorii lipsă ai numărului al treilea etc.;
• produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.

Exemplul 8

Trebuie să găsiți LCM a cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie

Să factorăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.

Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 ​​și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.

Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Să trecem la numărul 48, din produsul ai cărui factori primi luăm 2 și 2. Apoi adăugăm factorul prim de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere originale.

Răspuns: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate folosind algoritmii de mai sus.

Exemplul 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) și LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă acceptăm asta AȘi − a- numere opuse,
apoi mulţimea multiplilor unui număr A se potrivește cu setul de multipli ai unui număr − a.

Exemplul 10

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 Și − 45 .

Soluţie

Să înlocuim numerele − 145 Și − 45 la numerele lor opuse 145 Și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul euclidian.

Obținem că LCM al numerelor este − 145 și − 45 egală 1 305 .

Răspuns: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt împărțite fără rest cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiție. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este egal cu 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să notăm factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Ei au numit un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai puțin comune. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care erau multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.

Să începem să studiem cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere. În această secțiune vom defini termenul, vom considera teorema care stabilește legătura dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun și vom da exemple de rezolvare a problemelor.

Multipli comuni – definiție, exemple

În acest subiect, ne vor interesa doar multipli comuni ai numerelor întregi altele decât zero.

Definiția 1

Multiplu comun al numerelor întregi este un număr întreg care este un multiplu al tuturor numerelor date. De fapt, este orice număr întreg care poate fi împărțit la oricare dintre numerele date.

Definiția multiplilor comuni se referă la două, trei sau mai multe numere întregi.

Exemplul 1

Conform definiției de mai sus, multiplii comuni ai numărului 12 sunt 3 și 2. De asemenea, numărul 12 va fi un multiplu comun al numerelor 2, 3 și 4. Numerele 12 și -12 sunt multipli comuni ai numerelor ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

În același timp, multiplu comun al numerelor 2 și 3 va fi numerele 12, 6, − 24, 72, 468, − 100.010.004 și o serie întreagă de altele.

Dacă luăm numere care sunt divizibile cu primul număr al unei perechi și care nu sunt divizibile cu al doilea, atunci astfel de numere nu vor fi multipli comuni. Deci, pentru numerele 2 și 3, numerele 16, − 27, 5009, 27001 nu vor fi multipli comuni.

0 este un multiplu comun al oricărui set de numere întregi, altele decât zero.

Dacă ne amintim de proprietatea divizibilității față de numere opuse, se dovedește că un întreg k va fi un multiplu comun al acestor numere, la fel ca și numărul - k. Aceasta înseamnă că divizorii comuni pot fi fie pozitivi, fie negativi.

Este posibil să găsiți LCM pentru toate numerele?

Multiplu comun poate fi găsit pentru orice număr întreg.

Exemplul 2

Să presupunem că ni se dă k numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. Numărul pe care îl obținem la înmulțirea numerelor a 1 · a 2 · … · a kîn funcție de proprietatea divizibilității, acesta va fi împărțit în fiecare dintre factorii care au fost incluși în produsul original. Aceasta înseamnă că produsul numerelor a 1 , a 2 , … , a k este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Câți multipli comuni pot avea aceste numere întregi?

Un grup de numere întregi poate avea un număr mare de multipli comuni. De fapt, numărul lor este infinit.

Exemplul 3

Să presupunem că avem un număr k. Atunci produsul numerelor k · z, unde z este un întreg, va fi un multiplu comun al numerelor k și z. Având în vedere că numărul de numere este infinit, numărul multiplilor comuni este infinit.

Cel mai mic multiplu comun (LCM) – Definiție, notație și exemple

Amintiți-vă conceptul de cel mai mic număr dintr-un set dat de numere, despre care am discutat în secțiunea „Compararea numerelor întregi”. Luând în considerare acest concept, formulăm definiția celui mai mic multiplu comun, care are cea mai mare semnificație practică dintre toți multiplii comuni.

Definiția 2

Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi date este cel mai mic multiplu comun pozitiv al acestor numere.

Există cel mai mic multiplu comun pentru orice număr de numere date. Cea mai des folosită abreviere pentru concept în literatura de referință este NOC. Notare scurtă pentru cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , … , a k va avea forma LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Exemplul 4

Cel mai mic multiplu comun al lui 6 și 7 este 42. Acestea. LCM(6, 7) = 42. Cel mai mic multiplu comun al celor patru numere 2, 12, 15 și 3 este 60. O notație scurtă va arăta ca LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Cel mai mic multiplu comun nu este evident pentru toate grupurile de numere date. Adesea trebuie calculat.

Relația dintre NOC și GCD

Cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun sunt legate. Relația dintre concepte este stabilită prin teoremă.

Teorema 1

Cel mai mic multiplu comun al a două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) ).

Dovada 1

Să presupunem că avem un număr M, care este un multiplu al numerelor a și b. Dacă numărul M este divizibil cu a, există și un număr întreg z , sub care egalitatea este adevărată M = a k. Conform definiției divizibilității, dacă M este divizibil cu b, deci a · k impartit de b.

Dacă introducem o nouă notație pentru mcd (a, b) ca d, atunci putem folosi egalitățile a = a 1 dși b = b 1 · d. În acest caz, ambele egalități vor fi numere relativ prime.

Am stabilit deja mai sus a · k impartit de b. Acum această condiție poate fi scrisă după cum urmează:
a 1 d k impartit de b 1 d, ceea ce este echivalent cu condiția a 1 k impartit de b 1în funcţie de proprietăţile divizibilităţii.

După proprietatea numerelor coprime, dacă a 1Și b 1– numere coprime, a 1 nedivizibil cu b 1 in ciuda faptului ca a 1 k impartit de b 1, Acea b 1 trebuie împărtășită k.

În acest caz, ar fi potrivit să presupunem că există un număr t, pentru care k = b 1 t, și de când b 1 = b: d, Acea k = b: d t.

Acum în loc de k să substituim în egalitate M = a k expresia formei b: d t. Acest lucru ne permite să atingem egalitatea M = a b: d t. La t = 1 putem obține cel mai mic multiplu comun pozitiv al lui a și b , egal a b: d, cu condiția ca numerele a și b pozitiv.

Deci am demonstrat că LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Stabilirea unei conexiuni între LCM și GCD vă permite să găsiți cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere date.

Definiția 3

Teorema are două consecințe importante:

• multiplii celui mai mic multiplu comun a două numere sunt la fel cu multiplii comuni ai acestor două numere;
• cel mai mic multiplu comun al numerelor prime pozitive reciproce a și b este egal cu produsul lor.

Nu este greu de fundamentat aceste două fapte. Orice multiplu comun al lui M al numerelor a și b este definit de egalitatea M = LCM (a, b) · t pentru o valoare întreagă t. Deoarece a și b sunt relativ primi, atunci mcd (a, b) = 1, prin urmare, mcd (a, b) = a · b: mcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, este necesar să găsiți secvențial LCM a două numere.

Teorema 2

Să ne prefacem că a 1 , a 2 , … , a k sunt niște numere întregi pozitive. Pentru a calcula LCM m k aceste numere, trebuie să le calculăm secvenţial m2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(mk-1, ak).

Dovada 2

Primul corolar din prima teoremă discutată în acest subiect ne va ajuta să demonstrăm validitatea celei de-a doua teoreme. Raționamentul se bazează pe următorul algoritm:

• multipli comuni ai numerelor a 1Și a 2 coincid cu multiplii LCM lor, de fapt, ele coincid cu multiplii numărului m 2;
• multipli comuni ai numerelor a 1, a 2Și a 3 m 2Și a 3 m 3;
• multipli comuni ai numerelor a 1 , a 2 , … , a k coincid cu multipli comuni ai numerelor m k - 1Și un k, prin urmare, coincid cu multiplii numărului m k;
• datorită faptului că cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul în sine m k, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1 , a 2 , … , a k este m k.

Așa am demonstrat teorema.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun pentru două sau orice alt număr de numere.

Calculator pentru găsirea GCD și LCM

Găsiți GCD și LOC

GCD și LOC găsite: 6433

Cum se folosește calculatorul

• Introduceți numere în câmpul de introducere
• Dacă introduceți caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
• faceți clic pe butonul „Găsiți GCD și LOC”.

Cum se introduc numerele

• Numerele sunt introduse separate de un spațiu, punct sau virgulă
• Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea GCD și LCM de numere lungi nu este dificilă

Ce sunt GCD și NOC?

Cel mai mare divizor comun mai multe numere este cel mai mare număr întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, puteți verifica divizibilitatea unora dintre ele și combinațiile lor.

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

1. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: Ne uităm la ultima cifră: 8 - asta înseamnă că numărul este divizibil cu doi.

2. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu trei. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor este foarte mare, puteți repeta din nou același proces.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.

3. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.

4. Testul de divizibilitate pentru un număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: Numărăm suma numerelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți mcd-ul a două numere

Cel mai simplu mod de a calcula cel mai mare divizor comun a două numere este de a găsi toți divizorii posibili ai acelor numere și de a-l alege pe cel mai mare.

Să luăm în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):

1. Factorăm ambele numere: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
3. Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 = 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.

Cum se găsește LCM a două numere

Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima metodă este că poți nota primii multipli ai două numere, iar apoi să alegi dintre aceștia un număr care va fi comun ambelor numere și în același timp și cel mai mic. Și al doilea este să găsiți mcd-ul acestor numere. Să luăm în considerare doar asta.

Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:

1. Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), așa cum se știe deja, este egal cu 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Găsirea GCD și LCM pentru mai multe numere

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere, nu doar pentru două. Pentru a face acest lucru, numerele care trebuie găsite pentru cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, puteți utiliza următoarea relație pentru a găsi mcd-ul mai multor numere: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

O relație similară se aplică celui mai mic multiplu comun: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.

1. Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Să găsim factorii comuni: 1, 2 și 2.
3. Produsul lor va da GCD: 1·2·2 = 4
4. Acum să găsim LCM: pentru a face acest lucru, să găsim mai întâi LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.