Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын тодорхойлолт. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд

1.5 Тригонометрийн тэгш бус байдал, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга

1.5.1 Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Орчин үеийн математикийн сурах бичгүүдийн ихэнх зохиогчид энэ сэдвийг авч үзэхдээ хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх замаар эхлүүлэхийг санал болгож байна. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх зарчим нь тригонометрийн тойрог дээр зөвхөн үндсэн тригонометрийн өнцгийн утгыг төдийгүй бусад утгуудыг тодорхойлох мэдлэг, чадварт суурилдаг.

Үүний зэрэгцээ, , , , хэлбэрийн тэгш бус байдлын шийдлийг дараах байдлаар хийж болно: эхлээд бид энэ тэгш бус байдал үнэн байх зарим интервалыг () олж, дараа нь олсон зүйлийн төгсгөлд нэмж эцсийн хариултыг бичнэ. синус эсвэл косинусын хугацааны үржвэрийн интервал: ( ). Энэ тохиолдолд утгыг амархан олдог, учир нь эсвэл . Үнэ цэнийг хайх нь оюутнуудын зөн совин, синус эсвэл косинусын графикийн бие даасан хэсгүүдийн тэгш хэмийг ашиглан нуман эсвэл сегментийн тэгш байдлыг анзаарах чадвараас хамаардаг. Энэ нь заримдаа нэлээд олон тооны оюутнуудын хүч чадлаас давж гардаг. Дээр дурдсан бэрхшээлийг даван туулахын тулд сүүлийн жилүүдэд сурах бичгүүдэд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх өөр аргыг ашигласан боловч энэ нь сургалтын үр дүнг сайжруулаагүй.

Хэдэн жилийн турш бид тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийг олохын тулд харгалзах тэгшитгэлийн язгуурын томъёог нэлээд амжилттай ашиглаж байна.

Бид энэ сэдвийг дараах байдлаар судалж байна.

1. Бид график болон y \u003d a-г бүтээдэг.

Дараа нь бид тэгшитгэл ба түүний шийдлийг бичнэ. n 0 өгөх; 1; 2, бид зохиосон тэгшитгэлийн гурван язгуурыг олно: . Утгууд нь графикуудын дараалсан гурван огтлолцлын цэгүүдийн абсцисса ба y = a. Тэгш бус байдал нь интервал () дээр, () интервал дээр - тэгш бус байдал үргэлж байх нь тодорхой байна.

Эдгээр интервалын төгсгөлд синусын үеийн үржвэртэй тоог нэмбэл эхний тохиолдолд тэгш бус байдлын шийдийг дараах хэлбэрээр авна; Хоёрдахь тохиолдолд тэгш бус байдлын шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Зөвхөн тэгшитгэлийн шийдэл болох томьёоны синусаас ялгаатай нь n = 0-ийн хувьд бид хоёр үндэс, n = 1-ийн хувьд гурав дахь язгуурыг авна. . Мөн дахин графикуудын огтлолцох цэгүүдийн дараалсан гурван абциссууд ба . () интервалд тэгш бус байдал, () интервалд тэгш бус байдал биелнэ

Одоо тэгш бус байдлын шийдлүүдийг бичихэд хялбар болсон. Эхний тохиолдолд бид дараахь зүйлийг авна.

ба хоёрдугаарт: .

Дүгнэж хэлье. буюу тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд харгалзах тэгшитгэлийг зохиож, шийдвэрлэх шаардлагатай. Үүссэн томъёоноос ба язгуурыг олж, тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ харгалзах тэгшитгэлийн язгуурын томъёоноос ба язгуурыг олж, тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ техник нь бүх сурагчдад тригонометрийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг заах боломжийг олгодог. Энэ техник нь оюутнуудын баттай эзэмшсэн ур чадварт бүрэн тулгуурладаг. Эдгээр нь хамгийн энгийнийг шийдэх, томьёо ашиглан хувьсагчийн утгыг олох чадвар юм. Нэмж дурдахад багшийн удирдлаган дор анхааралтай шийдвэрлэх нь бүрэн сонголттой болно. их тоотэгш бус байдлын тэмдэг, а тооны модулийн утга, түүний тэмдгээс хамааран бүх төрлийн сэтгэх арга техникийг харуулах дасгалууд. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үйл явц нь маш богино бөгөөд маш чухал нь жигд болдог.

Энэ аргын өөр нэг давуу тал нь баруун тал нь синус эсвэл косинусын хүснэгтийн утга биш байсан ч тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.

Үүнийг тодорхой жишээгээр харуулъя. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шаардлагатай байг. Харгалзах тэгшитгэлийг бичээд шийдье:

болон -ийн утгыг олцгооё.

n = 1-ийн хувьд

n = 2-ын хувьд

Бид энэ тэгш бус байдлын эцсийн хариултыг бичнэ.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээнд зөвхөн нэг сул тал байж болно - тодорхой хэмжээний албан ёсны байдал. Гэхдээ бүх зүйлийг зөвхөн эдгээр байр сууринаас үнэлдэг бол квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх томъёо болон бусад олон зүйлийг формализм гэж буруутгах боломжтой болно.

Санал болгож буй арга нь тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ур чадвар, чадварыг бий болгоход зохистой байр суурь эзэлдэг ч тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бусад аргын ач холбогдол, онцлогийг дутуу үнэлж болохгүй. Үүнд интервалын арга орно.

Үүний мөн чанарыг авч үзье.

А.Г засварласан багц. Мордкович, бусад сурах бичгүүдийг үл тоомсорлож болохгүй. § 3. Алгебрийн хичээлээр "Тригонометрийн функцууд" сэдвийг заах арга зүй ба шинжилгээний эхлэл Сургуульд тригонометрийн функцийг судлахдаа хоёр үндсэн үе шатыг ялгаж үздэг: ü Тригонометрийн функцтэй анхан шатны танилцах ...

Судалгааны явцад дараахь ажлуудыг шийдвэрлэв: 1) Алгебрийн өнөөгийн сурах бичиг, математикийн анализын эхлэлд дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрт үзүүлсэн иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Хийсэн дүн шинжилгээ нь дараахь дүгнэлтийг гаргах боломжийг бидэнд олгодог: Ахлах сургуульд янз бүрийн иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудад хангалтгүй анхаарал хандуулдаг, голчлон ...

ТРИГОНОМЕТРИЙН ТЭГШ БУС БАЙДЛЫГ ШИЙДЭХ АРГА

Хамааралтай байдал. Түүхээс харахад тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт онцгой байр суурь эзэлдэг. Тригонометр бол сургуулийн хичээл, ерөнхийдөө бүх математикийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг гэж бид хэлж чадна.

Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь боловсролын материалын агуулга, суралцах явцад бий болох, хэрэгжүүлэх ёстой боловсролын болон танин мэдэхүйн үйл ажиллагааны арга барилын хувьд ахлах сургуулийн математикийн хичээлийн гол байруудын нэгийг эзэлдэг. онолын болон хэрэглээний шинж чанартай асуудлуудын тоо.

Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын шийдэл нь тригонометрийн бүх сургалтын материалтай холбоотой оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх урьдчилсан нөхцөлийг бүрдүүлдэг (жишээлбэл, тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах аргууд гэх мэт) ба үр дүнтэй холболтыг бий болгох боломжийг олгодог. алгебрийн судлагдсан материал (тэгшитгэл, тэгшитгэлийн эквивалент, тэгш бус байдал, алгебрийн илэрхийллийн ижил хувиргалт гэх мэт).

Өөрөөр хэлбэл, тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх нь эдгээр ур чадварыг шинэ агуулгад шилжүүлэх явдал юм.

Онолын ач холбогдол, түүний олон тооны хэрэглээ нь сонгосон сэдвийн хамаарлын нотолгоо юм. Энэ нь эргээд курсын ажлын зорилго, зорилт, судалгааны сэдвийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Судалгааны зорилго: тригонометрийн тэгш бус байдлын боломжит төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн ба тусгай аргуудыг нэгтгэн дүгнэх, сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх даалгаврын багцыг сонгох.

Судалгааны зорилго:

1. Судалгааны сэдвээр байгаа уран зохиолын дүн шинжилгээнд үндэслэн материалыг системчлэх.

2. "Тригонометрийн тэгш бус байдал" сэдвийг нэгтгэхэд шаардлагатай багц даалгавруудыг өг.

Судалгааны объект нь сургуулийн математикийн хичээлийн тригонометрийн тэгш бус байдал юм.

Судалгааны сэдэв: тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга.

Онолын ач холбогдол материалыг цэгцлэх явдал юм.

Практик ач холбогдол: асуудлыг шийдвэрлэхэд онолын мэдлэгийг ашиглах; тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол түгээмэл аргуудын дүн шинжилгээ.

Судалгааны аргууд Шинжлэх ухааны уран зохиолд дүн шинжилгээ хийх, олж авсан мэдлэгийг нэгтгэх, нэгтгэх, асуудлыг шийдвэрлэхэд дүн шинжилгээ хийх, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх оновчтой аргыг хайх.

§1. Тригонометрийн тэгш бус байдлын төрлүүд, тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

1.1. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал

эсвэл > тэмдгээр холбогдсон хоёр тригонометрийн илэрхийллийг тригонометрийн тэгш бус байдал гэнэ.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд тэгш бус байдал хангагдах тэгш бус байдалд орсон үл мэдэгдэх утгуудын багцыг олохыг хэлнэ.

Тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн хэсгийг хамгийн энгийнийг нь шийдвэрлэхэд багасгаж шийддэг.

Энэ нь хүчин зүйлчлэл, хувьсагчийг өөрчлөх арга байж болно (
,
гэх мэт), ердийн тэгш бус байдлыг эхлээд шийдэж, дараа нь хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийддэг
гэх мэт, эсвэл өөр аргаар.

Хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг хоёр аргаар шийддэг: нэгж тойрог ашиглах эсвэл графикаар.

Болъёf(x  нь тригонометрийн үндсэн функцүүдийн нэг юм. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд
түүний шийдлийг нэг хугацаанд олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. урт нь функцийн үетэй тэнцүү аль ч сегмент дээре  x  . Тэгвэл анхны тэгш бус байдлын шийдэл бүгд олдоноx , түүнчлэн функцийн бүхэл тоогоор олдсон утгуудаас ялгаатай утгууд. Энэ тохиолдолд график аргыг ашиглах нь тохиромжтой.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмын жишээг өгье
(
) Мөн
.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм
(
).

1. Тооны синусын тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.

3. У тэнхлэг дээр цэгийг координатаар тэмдэглэнэа .

4. Энэ цэгээр дамжуулан OX тэнхлэгтэй параллель шулуун зурж, тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

5. Бүх цэгүүд нь ординатаас бага байх тойргийн нумыг сонгоа .

6. Тойрох чиглэлийг (цагийн зүүний эсрэг) зааж, интервалын төгсгөлд функцийн үеийг нэмж хариултыг бичнэ үү.2πn ,
.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм
.

1. Тооны шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолx нэгж тойрог дээр.

2. Нэгж тойрог зур.

3. Шүргэгчийн шугамыг зурж, цэгийг ординатаар тэмдэглэа .

4. Энэ цэгийг эх цэгтэй холбож, үүссэн сегментийн нэгжийн тойрогтой огтлолцох цэгийг тэмдэглэнэ.

5. Тойргийн нумыг сонго, түүний бүх цэгүүд шүргэгч шулуун дээр ординат нь түүнээс бага байна.а .

6. Гүйлтийн чиглэлийг зааж, функцийн хамрах хүрээг харгалзан цэг нэмж хариултыг бичнэ үү.pn ,
(Бичлэгийн зүүн талд байгаа тоо нь баруун талд байгаа тооноос үргэлж бага байдаг).

Хамгийн энгийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн график тайлбар, тэгш бус байдлыг ерөнхий хэлбэрээр шийдвэрлэх томъёог хавсралтад өгсөн болно (Хавсралт 1, 2).

Жишээ 1 Тэгш бус байдлыг шийд
.

Нэгж тойрог дээр шугам зур
, энэ нь тойрогтой А ба В цэгүүдээр огтлолцдог.

Бүх үнэт зүйлсy интервал дээр NM илүү , AMB нумын бүх цэгүүд энэ тэгш бус байдлыг хангаж байна. Эргэлтийн бүх өнцөгт, том , гэхдээ бага ,
-аас илүү үнэ цэнийг авах болно (гэхдээ нэгээс илүүгүй).

Зураг 1

Тиймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал дахь бүх утгууд байх болно
, өөрөөр хэлбэл
. Энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг гаргахын тулд энэ интервалын төгсгөлд нэмэхэд хангалттай
, Хаана
, өөрөөр хэлбэл
,
. утгууд гэдгийг анхаарна уу
Тэгээд
тэгшитгэлийн үндэс юм
,

тэдгээр.
;
.

Хариулт:
,
.

1.2. График арга

Практикт тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга нь ихэвчлэн хэрэг болдог. Аргын мөн чанарыг тэгш бус байдлын жишээн дээр авч үзье
:

1. Хэрэв аргумент нь төвөгтэй бол (хэрэвX ), дараа нь бид үүнийг солинот .

2. Бид нэг координатын хавтгайд бүтээдэгӨө функцын графикууд
Тэгээд
.

3. Бид ийм зүйл олдогграфикуудын огтлолцох хоёр зэргэлдээ цэг, тэдгээрийн хоорондсинусоидбайрладагилүү өндөр Чигээрээ
. Эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг ол.

4. Аргументийн давхар тэгш бус байдлыг бичт , косинусын үеийг авч үзвэл (т олдсон абсциссуудын хооронд байх болно).

5. Урвуу орлуулалт хийж (анхны аргумент руу буцах) утгыг илэрхийлX давхар тэгш бус байдлаас бид хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.

Жишээ 2 Тэгш бус байдлыг шийд: .

График аргаар тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн графикийг аль болох нарийвчлалтай байгуулах шаардлагатай. Тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрт шилжүүлье.

Нэг координатын систем дэх функцүүдийн графикийг байгуулъя
Тэгээд
(Зураг 2).

Зураг 2

Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцдогА координатуудтай
;
. Хооронд
график цэгүүд
графикийн цэгүүдийн доор
. Тэгээд хэзээ
функцийн утга ижил байна. Тийм ч учраас
цагт
.

Хариулт:
.

1.3. Алгебрийн арга

Ихэнх тохиолдолд анхны тригонометрийн тэгш бус байдлыг зөв сонгосон орлуулалтаар алгебрийн (рационал эсвэл иррациональ) тэгш бус байдал болгон бууруулж болно. Энэ арга нь тэгш бус байдлыг хувиргах, орлуулах, хувьсагчийг орлуулах зэрэг орно.

Энэ аргын хэрэглээг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 3 Хамгийн энгийн хэлбэрт оруулах
.

(Зураг 3)

Зураг 3

,
.

Хариулт:
,

Жишээ 4 Тэгш бус байдлыг шийд:

ОДЗ:
,
.

Томьёог ашиглах:
,

Бид тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр бичнэ.
.

Эсвэл таамаглаж байна
энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид олж авдаг

,

,

.

Сүүлчийн тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

Зураг 4

, тус тус
. Дараа нь Зураг дээрээс. 4 дагадаг
, Хаана
.

Зураг 5

Хариулт:
,
.

1.4. Зайны арга

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг интервалын аргаар шийдвэрлэх ерөнхий схем:

Тригонометрийн томьёог ашиглан үржвэрлэх.

Функцийн таслах цэг ба тэгийг олж тойрог дээр тавь.

Ямар ч цэгийг авTO (гэхдээ өмнө нь олдоогүй) ба бүтээгдэхүүний тэмдгийг олж мэдээрэй. Хэрэв бүтээгдэхүүн эерэг байвал тухайн өнцөгт тохирох цацраг дээр нэгж тойргийн гадна цэг тавина. Үгүй бол цэгийг тойрог дотор байрлуул.

Хэрэв цэг тэгш олон удаа тохиолдвол бид үүнийг тэгш үржвэрийн цэг гэж нэрлэдэг бол сондгой олон тооны цэг гэж нэрлэдэг. Дараах байдлаар нуман зурна: цэгээс эхэлнэTO , хэрэв дараагийн цэг нь сондгой үржвэртэй бол нум нь энэ цэг дээр тойрогтой огтлолцдог, харин цэг нь тэгш үржвэртэй бол огтлолцохгүй.

Тойргийн ард байрлах нуманууд нь эерэг цоорхой; тойрог дотор сөрөг цоорхой байна.

Жишээ 5 Тэгш бус байдлыг шийд

,
.

Эхний цувралын оноо:
.

Хоёр дахь цувралын оноо:
.

Цэг бүр сондгой олон удаа, өөрөөр хэлбэл сондгой үржвэрийн бүх цэгүүд тохиолддог.

Бүтээгдэхүүний тэмдгийг эндээс олж мэдээрэй
: . Бид нэгжийн тойрог дээрх бүх цэгүүдийг тэмдэглэв (Зураг 6):

Цагаан будаа. 6

Хариулт:
,
;
,
;
,
.

Жишээ 6 . Тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл:

Илэрхийллийн тэгүүдийг олцгооё .

Авахaeм :

,
;

,
;

,
;

,
;

Нэгж тойрог дээр цуваа утгуудX 1 цэгээр дүрслэгдсэн
. ЦувралX 2 оноо өгдөг
. ЦувралX 3 Бид хоёр оноо авдаг
. Эцэст нь цувралX 4 цэгүүдийг төлөөлөх болно
. Бид эдгээр бүх цэгүүдийг нэгж тойрог дээр байрлуулж, түүний олон талт бүрийн хажууд хаалтанд тэмдэглэв.

Одоо дугаараа өг тэнцүү байх болно. Бид дараах тэмдгээр тооцооллыг гаргадаг.

Тэгэхээр гол ньА өнцгийг бүрдүүлж буй цацраг дээр сонгох хэрэгтэй цацрагтайӨө, нэгж тойргийн гадна. (Туслах цацраг гэдгийг анхаарна ууТУХАЙ А Энэ нь зураг дээр харагдах шаардлагагүй. ЦэгА ойролцоогоор сонгосон.)

Одоо цэгээсА бид бүх тэмдэглэгдсэн цэгүүдэд долгионтой тасралтгүй шугамыг дараалан зурдаг. Мөн цэгүүд дээр
Манай шугам нэг бүсээс нөгөөд дамждаг: хэрэв энэ нь нэгж тойргийн гадна байсан бол түүн рүү шилждэг. Зорилгодоо ойртож байна , шугам нь дотоод бүс рүү буцаж ирдэг, учир нь энэ цэгийн олон талт тэгш байдаг. Яг л цэг дээр (тэгш олон талт) шугамыг гаднах бүс рүү эргүүлэх шаардлагатай. Тиймээс бид Зураг дээр дүрсэлсэн тодорхой зургийг зурсан. 7. Энэ нь нэгжийн тойрог дээр хүссэн хэсгүүдийг тодруулахад тусална. Тэдгээр нь "+" тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Зураг 7

Эцсийн хариулт:

Анхаарна уу. Хэрэв долгионы шугамыг нэгж тойрог дээр тэмдэглэсэн бүх цэгүүдийг дайруулсны дараа цэг рүү буцаах боломжгүйА , "хууль бус" газар тойргийг гатлахгүйгээр энэ нь шийдэлд алдаа гарсан, тухайлбал сондгой тооны үндэсийг орхигдуулсан гэсэн үг юм.

Хариулт: .

§2. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх даалгаврын багц

Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх явцад 3 үе шатыг ялгаж салгаж болно.

1. бэлтгэл,

2. хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг бий болгох;

3. бусад төрлийн тригонометрийн тэгш бус байдлын танилцуулга.

Бэлтгэл үе шатны зорилго нь сургуулийн хүүхдүүдэд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд тригонометрийн тойрог эсвэл график ашиглах чадварыг бий болгох явдал юм.

Хэлбэрийн энгийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар
,
,
,
, синус ба косинусын функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах;

Тоон тойргийн нуман эсвэл функцийн графикийн нумын хувьд давхар тэгш бус байдал гаргах чадвар;

Тригонометрийн илэрхийллийн янз бүрийн хувиргалтыг хийх чадвар.

Сургуулийн сурагчдын тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарын талаархи мэдлэгийг системчлэх явцад энэ үе шатыг хэрэгжүүлэхийг зөвлөж байна. Гол хэрэгсэл нь оюутнуудад санал болгож, багшийн удирдлаган дор эсвэл бие даан гүйцэтгэх даалгавар, мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар байж болно.

Ийм ажлуудын жишээ энд байна:

1 . Нэгж тойрог дээр цэг тэмдэглэ , Хэрэв

.

2. Координатын хавтгайн аль дөрөвний нэг нь цэг байна , Хэрэв тэнцүү байна:

3. Тригонометрийн тойрог дээр цэгүүдийг тэмдэглэ , Хэрэв:

4. Илэрхийлэлийг тригонометрийн функцүүдэд авчирIулирал.

A)
, б)
, V)

5. MR нумыг өгсөн.М - дундI-р улирал,Р - дундII-р улирал. Хувьсагчийн утгыг хязгаарлахт хувьд: (давхар тэгш бус байдал зохиох) a) нуман MP; б) RM нумууд.

6. Графикийн сонгосон хэсгүүдэд давхар тэгш бус байдлыг бичнэ үү.

Цагаан будаа. 1

7. Тэгш бус байдлыг шийдэх
,
,
,
.

8. Илэрхийлэл хөрвүүлэх .

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэж сурах хоёр дахь шатанд бид оюутнуудын үйл ажиллагааг зохион байгуулах арга зүйтэй холбоотой дараах зөвлөмжийг санал болгож болно. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад бий болсон тригонометрийн тойрог эсвэл графиктай ажиллах чадварыг оюутнуудад төвлөрүүлэх шаардлагатай.

Нэгдүгээрт, жишээлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдлыг дурдах замаар хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ерөнхий аргыг олж авах нь зүйтэй эсэхийг өдөөж болно.
. Бэлтгэл үе шатанд олж авсан мэдлэг, ур чадвараа ашиглан оюутнууд санал болгож буй тэгш бус байдлыг хэлбэрт оруулна
, гэхдээ үүссэн тэгш бус байдлын цогц шийдлүүдийг олоход хэцүү байж магадгүй, учир нь зөвхөн синус функцийн шинж чанарыг ашиглан үүнийг шийдэх боломжгүй юм. Тохиромжтой дүрслэлийг (тэгшитгэлийг графикаар шийдэх эсвэл нэгж тойрог ашиглан) ашиглан энэ бэрхшээлээс зайлсхийх боломжтой.

Хоёрдугаарт, багш даалгаврыг гүйцэтгэх янз бүрийн аргад оюутнуудын анхаарлыг хандуулж, тэгш бус байдлыг график болон тригонометрийн тойрог ашиглан шийдвэрлэх тохиромжтой жишээг өгөх ёстой.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ийм хувилбаруудыг авч үзье
.

1. Нэгж тойргийг ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх эхний хичээлээр бид оюутнуудад тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх үндсэн ур чадварыг алхам алхмаар танилцуулах дэлгэрэнгүй алгоритмыг санал болгох болно.

1-р алхам.Нэгж тойрог зурж, y тэнхлэг дээр цэг тэмдэглээрэй түүгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татна. Энэ шугам нь нэгж тойргийг хоёр цэгээр огтолно. Эдгээр цэг бүр нь синус нь тэнцүү тоонуудыг дүрсэлдэг .

Алхам 2Энэ шулуун шугам нь тойргийг хоёр нуман болгон хуваасан. -аас их синустай тоог харуулсан тоог онцолж үзье . Мэдээжийн хэрэг, энэ нум нь зурсан шулуун шугамын дээгүүр байрладаг.

Цагаан будаа. 2

Алхам 3Тэмдэглэсэн нумын төгсгөлүүдийн аль нэгийг нь сонгоцгооё. Нэгж тойргийн энэ цэгээр дүрслэгдсэн тоонуудын аль нэгийг бичье .

Алхам 4Сонгосон нумын хоёр дахь төгсгөлд тохирох тоог сонгохын тулд бид энэ нумын дагуу нэрлэсэн төгсгөлөөс нөгөө рүү "дамждаг". Үүний зэрэгцээ, цагийн зүүний эсрэг хөдөлж байх үед бидний өнгөрөх тоо нэмэгддэг (эсрэг чиглэлд шилжих үед тоо буурах болно) гэдгийг бид санаж байна. Нэгж тойрог дээр тэмдэглэгдсэн нумын хоёр дахь төгсгөлд дүрслэгдсэн тоог бичье .

Тиймээс бид тэгш бус байдлыг харж байна
тэгш бус байдал үүсэх тоонуудыг ханга
. Бид синусын функцийн ижил үе дээр байрлах тоонуудын тэгш бус байдлыг шийдсэн. Тиймээс тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийг ингэж бичиж болно

Суралцагчдаас уг зургийг сайтар бодож үзээд, тэгш бус байдлын бүх шийдлүүдийн учрыг олохыг хүсэх хэрэгтэй
хэлбэрээр бичиж болно
,
.

Цагаан будаа. 3

Косинусын функцийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ у тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татдаг гэдгийг оюутнуудын анхаарлыг татах шаардлагатай.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга.

Барилгын графикууд
Тэгээд
, үүнийг өгсөн
.

Цагаан будаа. 4

Дараа нь бид тэгшитгэлийг бичнэ
ба түүний шийдэл
,
,
, томьёо ашиглан олсон
,
,
.

(Өгөхn 0, 1, 2 утгууд, бид зохиосон тэгшитгэлийн гурван үндсийг олно). Үнэ цэнэ
графикуудын огтлолцох цэгүүдийн дараалсан гурван абсцисса юм
Тэгээд
. Мэдээжийн хэрэг, үргэлж интервал дээр байдаг
тэгш бус байдал
, мөн интервал дээр
- тэгш бус байдал
. Бид эхний тохиолдлыг сонирхож байгаа бөгөөд дараа нь энэ интервалын төгсгөлд синус үеийн олон тооны тоог нэмснээр тэгш бус байдлын шийдлийг олж авна.
зэрэг:
,
.

Цагаан будаа. 5

Дүгнэж хэлье. Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд
, та харгалзах тэгшитгэлийг бичиж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүссэн томъёоноос үндсийг олоорой Тэгээд , тэгш бус байдлын хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ үү. ,
.

Гуравдугаарт, харгалзах тригонометрийн тэгш бус байдлын язгуурын олонлогийн тухай баримтыг графикаар шийдвэрлэхэд маш тодорхой нотлогддог.

Цагаан будаа. 6

Тэгш бус байдлын шийдэл болох ороомог нь тригонометрийн функцийн үетэй тэнцүү интервалаар давтагддаг гэдгийг оюутнуудад харуулах шаардлагатай. Та мөн синус функцийн графикийн ижил төстэй дүрслэлийг авч үзэж болно.

Дөрөвдүгээрт, оюутнуудын тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг (ялгааг) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах аргыг шинэчлэх ажлыг хийж, тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд эдгээр аргуудын үүрэг рольд сургуулийн сурагчдын анхаарлыг хандуулахыг зөвлөж байна.

Ийм ажлыг оюутнууд багшийн санал болгосон даалгаврыг бие даан гүйцэтгэх замаар зохион байгуулж болох бөгөөд үүнд дараахь зүйлийг онцлон тэмдэглэв.

Тавдугаарт, сурагчдаас энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал бүрийн шийдлийг график эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглан дүрслэн харуулахыг шаардах ёстой. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед холбогдох зураглал нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдлийн багцыг засах маш тохиромжтой хэрэгсэл болдог тул түүний тохиромжтой байдалд, ялангуяа тойрог ашиглахад анхаарлаа хандуулаарай.

Оюутнуудыг хамгийн энгийн биш тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргуудтай танилцахдаа дараахь схемийн дагуу хийхийг зөвлөж байна: тодорхой тригонометрийн тэгш бус байдлыг харгалзан харгалзах тригонометрийн тэгшитгэлд хамаарах (багш - оюутнууд) бие даасан шийдлийг хайх. олсон техникийг ижил төрлийн бусад тэгш бус байдалд шилжүүлэх.

Оюутнуудын тригонометрийн талаархи мэдлэгийг системчлэхийн тулд бид ийм тэгш бус байдлыг тусгайлан сонгохыг санал болгож байна, тэдгээрийн шийдэл нь үүнийг шийдвэрлэх явцад хэрэгжүүлж болох янз бүрийн хувиргалтуудыг шаарддаг бөгөөд оюутнуудын анхаарлыг тэдний онцлогт төвлөрүүлдэг.

Ийм бүтээмжтэй тэгш бус байдлын хувьд бид жишээлбэл дараахь зүйлийг санал болгож болно.

Дүгнэж хэлэхэд бид тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх асуудлын багцын жишээг өгье.

1. Тэгш бус байдлыг шийд:

2. Тэгш бус байдлыг шийд: 3. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол: 4. Тэгш бус байдлын бүх шийдийг ол:

A)
, нөхцөлийг хангаж байна
;

б)
, нөхцөлийг хангаж байна
.

5. Тэгш бус байдлын бүх шийдлийг ол:

A) ;

б) ;

V)
;

G)
;

д)
.

6. Тэгш бус байдлыг шийд:

A) ;

б) ;

V);

G)
;

e);

e);

ба)
.

7. Тэгш бус байдлыг шийд:

A)
;

б) ;

V);

G) .

8. Тэгш бус байдлыг шийд:

A) ;

б) ;

V);

G)
;

д)
;

e);

ба)
;

h) .

Математикийн ахисан түвшинд суралцаж буй оюутнуудад 6, 7-р даалгаврыг, математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн оюутнуудад 8-р даалгаврыг санал болгохыг зөвлөж байна.

§3. Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусгай аргууд

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргууд - өөрөөр хэлбэл зөвхөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болох аргууд. Эдгээр аргууд нь тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашиглах, түүнчлэн янз бүрийн тригонометрийн томьёо, таних тэмдгүүдийг ашиглахад суурилдаг.

3.1. Салбарын арга

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх секторын аргыг авч үзье. Маягтын тэгш бус байдлын шийдэл

, ХаанаП ( x ) ТэгээдQ ( x ) - оновчтой тригонометрийн функцууд (синус, косинус, тангенс ба котангенсууд нь тэдгээрийг оновчтойгоор оруулдаг), оновчтой тэгш бус байдлын шийдэлтэй адил. Бодит тэнхлэг дээрх интервалын аргаар оновчтой тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Рационал тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд түүний аналог нь тригонометрийн тойрог дахь секторуудын арга юм.синкс Тэгээдcosx (
) эсвэл тригонометрийн хагас тойрогtgx Тэгээдctgx (
).

Интервалын аргад хэлбэрийн тоо болон хуваагчийн шугаман хүчин зүйл бүрийг
тооны тэнхлэг дээрх цэг , мөн энэ цэгээр дамжин өнгөрөх үед
тэмдгийг өөрчилдөг. Салбарын аргад маягтын үржүүлэгч бүр
, Хаана
- функцүүдийн нэгсинкс эсвэлcosx Тэгээд
, тригонометрийн тойрогт тохирох хоёр өнцөг байна Тэгээд
, энэ нь тойргийг хоёр секторт хуваадаг. Хажуугаар нь өнгөрөхдөө Тэгээд функц
тэмдгийг өөрчилдөг.

Дараахь зүйлийг санаж байх ёстой.

a) Маягтын үржүүлэгч
Тэгээд
, Хаана
, бүх утгын тэмдгийг хадгална . Тоолуур ба хуваагчийн ийм үржүүлэгчийг хаяж, өөрчилнө (хэрэв
) ийм татгалзах бүрт тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу болно.

b) Маягтын үржүүлэгч
Тэгээд
бас хаядаг. Түүнээс гадна, хэрэв эдгээр нь хуваагчийн хүчин зүйлүүд юм бол тэгш бус байдлын эквивалент системд хэлбэрийн тэгш бус байдлыг нэмнэ.
Тэгээд
. Хэрэв эдгээр нь тоологчийн хүчин зүйлүүд юм бол хязгаарлалтын эквивалент системд тэдгээр нь тэгш бус байдалд тохирно.
Тэгээд
хатуу анхны тэгш бус байдлын хувьд, мөн тэгш байдал
Тэгээд
хатуу бус анхны тэгш бус байдлын хувьд. Үржүүлэгчийг буулгах үед
эсвэл
тэгш бус байдлын тэмдэг урвуу байна.

Жишээ 1 Тэгш бус байдлыг шийдэх: a)
, б)
. бидэнд функц байна, b). Бидэнд байгаа тэгш бус байдлыг шийд

3.2. Төвлөрсөн тойрог арга

Энэ арга нь оновчтой тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэхэд параллель тоон тэнхлэгийн аргатай адил юм.

Тэгш бус байдлын системийн жишээг авч үзье.

Жишээ 5 Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлын системийг шийд

Эхлээд бид тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийддэг (Зураг 5). Зургийн баруун дээд буланд тригонометрийн тойрог аль аргументыг авч үзэхийг зааж өгнө.

Зураг 5

Дараа нь бид аргументийн төвлөрсөн тойргийн системийг бий болгодогX . Бид тойрог зурж, эхний тэгш бус байдлын шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь илүү том радиустай тойрог зурж, хоёр дахь шийдлийн дагуу сүүдэрлэж, дараа нь бид гурав дахь тэгш бус байдлын хувьд тойрог, суурь тойргийг барина. . Бид системийн төвөөс нумануудын төгсгөлд туяа татдаг бөгөөд тэдгээр нь бүх тойрогтой огтлолцдог. Бид үндсэн тойрог дээр уусмал үүсгэдэг (Зураг 6).

Зураг 6

Хариулт:
,
.

Дүгнэлт

Курсын ажлын бүх зорилго биелсэн. Онолын материалыг системчилсэн: тригонометрийн тэгш бус байдлын үндсэн төрлүүд ба тэдгээрийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг (график, алгебр, интервалын арга, сектор, төвлөрсөн тойргийн арга) өгсөн болно. Арга тус бүрийн хувьд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээг өгсөн. Онолын хэсгийн дараа практик хэсэг байв. Энэ нь тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх олон даалгавруудыг агуулдаг.

Энэхүү курсын ажлыг оюутнууд бие даан ажиллахад ашиглаж болно. Оюутнууд энэ сэдвийг эзэмшсэн түвшинг шалгаж, янз бүрийн нарийн төвөгтэй даалгавруудыг гүйцэтгэх дадлага хийх боломжтой.

Энэ асуудлын талаархи холбогдох ном зохиолыг судалж үзээд бид сургуулийн алгебрийн хичээлд тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадвар, ур чадвар, анализын эхлэл нь маш чухал бөгөөд үүнийг хөгжүүлэхэд ихээхэн хүчин чармайлт шаардагддаг гэж бид дүгнэж болно. математикийн багш.

Тиймээс энэхүү ажил нь "Тригонометрийн тэгш бус байдал" сэдвээр оюутнуудын сургалтыг үр дүнтэй зохион байгуулах боломжийг олгодог тул математикийн багш нарт хэрэгтэй болно.

Судалгааг эцсийн мэргэшлийн ажил болгон өргөжүүлэх замаар үргэлжлүүлж болно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Богомолов, Н.В. Математикийн асуудлын цуглуулга [Текст] / N.V. Богомолов. – М .: тоодог, 2009. – 206 х.

Выгодский, М.Я. Анхан шатны математикийн гарын авлага [Текст] / М.Я. Выгодский. – М .: тоодог, 2006. – 509 х.

Журбенко, Л.Н. Жишээ ба даалгавар дахь математик [Текст] / L.N. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 х.

Иванов, О.А. Сургуулийн сурагчид, оюутнууд, багш нарт зориулсан бага ангийн математик [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 х.

Карп, А.П. 11-р ангид эцсийн давталт, баталгаажуулалтыг зохион байгуулах алгебрийн даалгавар ба шинжилгээний эхлэл [Текст] / A.P. Carp. – М.: Гэгээрэл, 2005. – 79 х.

Куланин, Э.Д. Математикийн 3000 өрсөлдөөнт бодлого [Текст] / E.D. Куланин. – М.: Iris-press, 2007. – 624 х.

Лейбсон, К.Л. Математикийн практик даалгаврын цуглуулга [Текст] / K.L. Лейбсон. – М .: тоодог, 2010. – 182 х.

Тохой, V.V. Параметрүүдтэй холбоотой асуудлууд ба тэдгээрийн шийдэл. Тригонометр: тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. 10-р анги [Текст] / V.V. Тохой. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 х.

Манова, А.Н. Математик. Шалгалтанд бэлтгэх экспресс багш: данс. тэтгэмж [Текст] / A.N. Манова. - Ростов-на-Дону: Финикс, 2012. - 541 х.

Мордкович, А.Г. Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-11 анги. Боловсролын байгууллагын оюутнуудад зориулсан сурах бичиг [Текст] / A.G. Мордкович. – М.: Iris-press, 2009. – 201 х.

Новиков, А.И. Тригонометрийн функц, тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / A.I. Новиков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 260 х.

Оганесян, В.А. Ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн хичээл заах арга зүй: Ерөнхий арга зүй. Прок. физикийн оюутнуудад зориулсан тэтгэмж. - дэвсгэр. хуурамч. ped. нөхөр. [Текст] / V.A. Оганесян. – М.: Гэгээрэл, 2006. – 368 х.

Олечник, С.Н. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Стандарт бус шийдлийн аргууд [Текст] / С.Н. Олехник. - М .: Factorial хэвлэлийн газар, 1997. - 219 х.

Севрюков, П.Ф. Тригонометр, экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдал [Текст] / П.Ф. Севрюков. – М.: Үндэсний боловсрол, 2008. – 352 х.

Сергеев, I.N. ХЭРЭГЛЭЭ: Математикийн хариулт, шийдэл бүхий 1000 даалгавар. C бүлгийн бүх даалгавар [Текст] / I.N. Сергеев. – М.: Шалгалт, 2012. – 301 х.

Соболев, А.Б. Анхан шатны математик [Текст] / А.Б. Соболев. - Екатеринбург: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 х.

Фенко, Л.М. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, функцийг судлах интервалын арга [Текст] / L.M. Фенко. – М .: тоодог, 2005. – 124 х.

Фридман, Л.М. Математик заах арга зүйн онолын үндэс [Текст] / Л.М. Фридман. - М .: Номын байшин "LIBROKOM", 2009. - 248 х.

Хавсралт 1

Хамгийн энгийн тэгш бус байдлын шийдлийн график тайлбар

Цагаан будаа. 1

Цагаан будаа. 2

Зураг 3

Зураг 4

Зураг 5

Зураг 6

Зураг 7

Зураг 8

Хавсралт 2

Хамгийн энгийн тэгш бус байдлын шийдлүүд

Практик хичээл дээр бид "Тригонометри" сэдвийн үндсэн төрлийн даалгавруудыг давтах болно, бид нэмэгдсэн нарийн төвөгтэй асуудлуудад нэмэлт дүн шинжилгээ хийж, янз бүрийн тригонометрийн тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх болно.

Энэ хичээл нь B5, B7, C1, C3 төрлийн даалгавруудын аль нэгэнд бэлтгэхэд тусална.

Тригонометрийн сэдвээр авч үзсэн үндсэн төрлийн даалгавруудыг давтаж, стандарт бус хэд хэдэн даалгавруудыг шийдэж эхэлцгээе.

Даалгавар №1. Өнцгийг радиан ба градус болгон хувиргах: a) ; б) .

a) градусыг радиан болгон хувиргах томъёог ашиглана уу

Өгөгдсөн утгыг түүнд орлуулна уу.

б) Радианыг градус болгон хувиргах томъёог хэрэглэнэ

Орлуулах ажлыг хийцгээе .

Хариулт. A) ; б) .

Даалгавар №2. Тооцоолох: a) ; б) .

a) Өнцөг нь хүснэгтээс хол байгаа тул синусын үеийг хасаж багасгадаг. Учир нь өнцгийг радианаар өгвөл үеийг .

б) Энэ тохиолдолд нөхцөл байдал ижил байна. Өнцөг нь градусаар тодорхойлогддог тул шүргэгчийн үеийг .

Үүссэн өнцөг нь хугацаанаас бага ч гэсэн илүү их байгаа нь энэ нь үндсэн хэсэгт хамаарахгүй, харин хүснэгтийн өргөтгөсөн хэсэгт хамаарахгүй гэсэн үг юм. Тригофункцын утгуудын өргөтгөсөн хүснэгтийг цээжилж санах ойгоо дахин сургахгүйн тулд шүргэгч үеийг дахин хасна.

Бид шүргэгч функцийн сондгой байдлыг ашигласан.

Хариулт. a) 1; б) .

Даалгавар №3. Тооцоол , Хэрэв .

Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг -д хуваах замаар илэрхийллийг бүхэлд нь шүргэгч рүү авчирдаг. Үүний зэрэгцээ бид үүнээс айж болохгүй, учир нь энэ тохиолдолд шүргэгчийн утга байхгүй болно.

Даалгавар №4. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Заасан илэрхийлэлүүдийг цутгамал томъёо ашиглан хөрвүүлдэг. Зүгээр л тэдгээрийг градус ашиглан ер бусын бичсэн байдаг. Эхний илэрхийлэл нь ерөнхийдөө тоо юм. Бүх тригофункцийг ээлжлэн хялбарчлах:

Учир нь , дараа нь функц нь кофункц болж өөрчлөгдөнө, өөрөөр хэлбэл. котангенс руу орох ба өнцөг нь анхны шүргэгчийн тэмдэг сөрөг байх хоёрдугаар улиралд ордог.

Өмнөх илэрхийлэлтэй ижил шалтгааны улмаас функц нь кофункц болж өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл. котангенс руу орох ба өнцөг нь эхний шүргэгч эерэг тэмдэгтэй эхний улиралд ордог.

Бүх зүйлийг хялбаршуулсан илэрхийлэл болгон орлуулах:

Даалгавар №5. Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Давхар өнцгийн тангенсыг харгалзах томьёоны дагуу бичээд илэрхийллийг хялбарчуулъя.

Сүүлийн таних тэмдэг нь косинусыг орлуулах бүх нийтийн томъёоны нэг юм.

Даалгавар №6. Тооцоол.

Хамгийн гол нь стандарт алдаа гаргахгүй байх, илэрхийлэл нь -тэй тэнцүү гэсэн хариулт өгөхгүй байх явдал юм. Нумын шүргэгчийн үндсэн шинж чанарыг түүний ойролцоо хоёр хэлбэрийн хүчин зүйл байхад ашиглах боломжгүй юм. Үүнээс ангижрахын тулд бид давхар өнцгийн тангенсийн томъёоны дагуу илэрхийллийг бичиж, үүнийг энгийн аргумент гэж үздэг.

Одоо нуман тангенсийн үндсэн шинж чанарыг ашиглах боломжтой болсон тул түүний тоон үр дүнд ямар ч хязгаарлалт байхгүй гэдгийг санаарай.

Даалгавар №7. Тэгшитгэлийг шийд.

Тэгтэй тэнцэх бутархай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тоологч нь тэг, хуваагч нь үгүй ​​гэдгийг үргэлж заадаг. тэгээр хувааж болохгүй.

Эхний тэгшитгэл нь тригонометрийн тойрог ашиглан шийдэгддэг хамгийн энгийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм. Энэ шийдлийн талаар өөрөө бод. Хоёр дахь тэгш бус байдлыг шүргэгчийн язгуурын ерөнхий томъёог ашиглан хамгийн энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг, гэхдээ зөвхөн тэнцүү биш тэмдэгтэй.

Бидний харж байгаагаар язгуурын нэг гэр бүл нь тэгшитгэлийг хангаагүй өөр нэг гэр бүлийг хасдаг. Тэдгээр. үндэс байхгүй.

Хариулт. Үндэс байхгүй.

Даалгавар №8. Тэгшитгэлийг шийд.

Та нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж аваад үүнийг хийх боломжтой гэдгийг нэн даруй анхаарна уу:

Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байх үед тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрүүдийн аль нэг болгон бууруулсан. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь эсвэл гурав дахь нь гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байсан. Бид үүнийг тэгшитгэлийн багц хэлбэрээр бичнэ.

Эхний хоёр тэгшитгэл нь хамгийн энгийн тохиолдлуудын онцгой тохиолдлууд бөгөөд бид ижил төстэй тэгшитгэлүүдтэй олон удаа уулзаж байсан тул тэдгээрийн шийдлийг нэн даруй зааж өгөх болно. Гурав дахь тэгшитгэлийг давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан нэг функц болгон бууруулна.

Сүүлийн тэгшитгэлийг тусад нь шийдье:

Энэ тэгшитгэлд үндэс байхгүй, учир нь синусын үнэ цэнэ үүнээс хэтэрч болохгүй .

Тиймээс зөвхөн эхний хоёр үндэс угсаа нь шийдэл бөгөөд тэдгээрийг нэг болгон нэгтгэж болох бөгөөд үүнийг тригонометрийн тойрог дээр харуулахад хялбар байдаг.

Энэ бол бүх хагасын гэр бүл, i.e.

Тригонометрийн тэгш бус байдлын шийдлийг үргэлжлүүлье. Нэгдүгээрт, ерөнхий шийдлийн томьёо ашиглахгүйгээр, харин тригонометрийн тойргийн тусламжтайгаар жишээг шийдвэрлэх арга барилд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Даалгавар №9. Тэгш бус байдлыг шийд.

Тригонометрийн тойрог дээр -тэй тэнцүү синусын утгатай тохирох туслах шугамыг зурж, тэгш бус байдлыг хангах өнцгийн интервалыг харуул.

Үүссэн өнцгийн интервалыг яг яаж тодорхойлохыг ойлгох нь маш чухал юм, i.e. түүний эхлэл юу вэ, төгсгөл нь юу вэ. Цоорхойн эхлэл нь бид цагийн зүүний эсрэг хөдөлвөл цоорхойн хамгийн эхэнд орох цэгтэй тохирох өнцөг байх болно. Манай тохиолдолд энэ нь зүүн талд байгаа цэг юм, учир нь цагийн зүүний эсрэг хөдөлж, зөв ​​цэгийг дамжуулж, эсрэгээр бид шаардлагатай өнцгийн интервалаас гарна. Тиймээс зөв цэг нь цоорхойн төгсгөлтэй тохирч байх болно.

Одоо бид тэгш бус байдлын шийдлийн цоорхойн эхлэл ба төгсгөлийн өнцгийн утгыг ойлгох хэрэгтэй. Ердийн алдаа бол баруун цэг нь өнцөг, зүүн талтай тохирч байгааг нэн даруй зааж, хариултаа өгөх явдал юм. Энэ үнэн биш! Бид тойргийн дээд хэсэгт тохирох интервалыг зааж өгсөн боловч доод талыг нь сонирхож байгаа, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай шийдлүүдийн интервалын эхлэл ба төгсгөлийг хольсон гэдгийг анхаарна уу.

Интервал баруун цэгийн булангаас эхэлж, зүүн цэгийн буланд дуусахын тулд эхний заасан өнцөг нь хоёр дахь өнцөгөөс бага байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд бид сөрөг лавлагааны чиглэлд зөв цэгийн өнцгийг хэмжих шаардлагатай болно, жишээлбэл. цагийн зүүний дагуу ба энэ нь тэнцүү байх болно. Дараа нь үүнээс цагийн зүүний дагуу эерэг чиглэлд бид зүүн цэгийн дараа баруун цэг рүү хүрч, түүний өнцгийн утгыг авна. Одоо өнцгийн интервалын эхлэл нь төгсгөлөөс бага байх ба үеийг харгалзахгүйгээр шийдийн интервалыг бичиж болно.

Ийм интервалууд нь бүхэл тооны эргэлтийн дараа хязгааргүй олон удаа давтана гэдгийг харгалзан бид синусын үеийг харгалзан ерөнхий шийдлийг олж авна.

Тэгш бус байдал нь хатуу тул бид дугуй хаалт хийж, тойрог дээрх интервалын төгсгөлд тохирох цэгүүдийг цоолдог.

Хариултаа бидний лекцэнд өгсөн ерөнхий шийдлийн томъёотой харьцуул.

Хариулт. .

Энэ арга нь хамгийн энгийн тригональ тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлүүдийн томъёо хаанаас гарсныг ойлгоход тохиромжтой. Нэмж дурдахад, эдгээр бүх төвөгтэй томъёог сурахаас залхуурдаг хүмүүст ашигтай байдаг. Гэсэн хэдий ч, энэ арга нь өөрөө тийм ч хялбар биш тул шийдлийн аль аргыг танд хамгийн тохиромжтой болохыг сонгоорой.

Тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд нэгж тойрог ашиглан үзүүлсэн аргын адил туслах шугамыг барьсан функцийн графикуудыг ашиглаж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол шийдлийн энэ аргыг өөрөө ойлгохыг хичээгээрэй. Дараах зүйлд бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд ерөнхий томъёог ашиглах болно.

Даалгавар №10. Тэгш бус байдлыг шийд.

Тэгш бус байдал нь хатуу биш гэдгийг харгалзан бид ерөнхий шийдлийн томъёог ашигладаг.

Бид өөрсдийн тохиолдолд:

Хариулт.

Даалгавар №11. Тэгш бус байдлыг шийд.

Бид харгалзах хатуу тэгш бус байдлын ерөнхий шийдлийн томъёог ашигладаг.

Хариулт. .

Даалгавар №12. Тэгш бус байдлыг шийдэх: a) ; б) .

Эдгээр тэгш бус байдлын хувьд ерөнхий шийдлийн томъёо эсвэл тригонометрийн тойрог ашиглах гэж яарах хэрэггүй, зөвхөн синус ба косинусын утгын хүрээг санахад л хангалттай.

a) Учир нь , тэгвэл тэгш бус байдал нь утгагүй болно. Тиймээс ямар ч шийдэл байхгүй.

б) Учир нь үүнтэй адилаар аливаа аргументийн синус нь тухайн нөхцөлд заасан тэгш бус байдлыг хангадаг. Тиймээс тэгш бус байдлыг аргументийн бүх бодит утгууд хангаж байна.

Хариулт. а) шийдэл байхгүй; б) .

Даалгавар 13. Тэгш бус байдлыг шийд .

Тригонометрийн функц агуулсан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ cos(t)>a, sint(t)=a гэх мэт хэлбэрийн хамгийн энгийн тэгш бус байдал хүртэл буурдаг. Мөн хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг аль хэдийн шийдсэн. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэх янз бүрийн жишээ, аргуудыг авч үзье.

Жишээ 1. sin(t) > = -1/2 тэгш бус байдлыг шийд.

Нэг тойрог зур. Тодорхойлолтоор нүгэл (t) нь у координат тул Ой тэнхлэг дээр y \u003d -1/2 цэгийг тэмдэглэнэ. Бид түүгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг татдаг. Шулуун шугамын огтлолцол дээр байгаа Pt1 ба Pt2 цэгүүдийг нэгж тойргийн графикаар тэмдэглэ. Бид координатын гарал үүслийг Pt1 ба Pt2 цэгүүдтэй хоёр сегментээр холбодог.

Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээр цэгүүдийн дээр байрлах нэгж тойргийн бүх цэгүүд байх болно. Өөрөөр хэлбэл, шийдэл нь l нум байх болно.. Одоо та дурын цэг l нуманд хамаарах нөхцөлүүдийг зааж өгөх хэрэгтэй.

Pt1 баруун хагас тойрогт оршдог, ординат нь -1/2, дараа нь t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pt1 цэгийг тодорхойлохын тулд дараах томъёог бичиж болно.
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Үүний үр дүнд бид t-ийн хувьд дараахь тэгш бус байдлыг олж авна.

Бид тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг хадгалдаг. Синусын функц нь үечилсэн функц тул шийдлүүд 2 * pi тутамд давтагдах болно. Бид энэ нөхцлийг t-ийн үр дүнд үүссэн тэгш бус байдалд нэмээд хариултыг бичнэ.

Хариулт: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Жишээ 2 cos(t) тэгш бус байдлыг шийд<1/2.

Нэгж тойрог зуръя. cos(t)-ийн тодорхойлолтын дагуу энэ нь х-координат тул х тэнхлэг дээрх график дээр x = 1/2 цэгийг тэмдэглэнэ.
Энэ цэгээр бид y тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зурна. Шулуун шугамын огтлолцол дээр байгаа Pt1 ба Pt2 цэгүүдийг нэгж тойргийн графикаар тэмдэглэ. Бид координатын гарал үүслийг Pt1 ба Pt2 цэгүүдтэй хоёр сегментээр холбодог.

Шийдлүүд нь l нуманд хамаарах нэгж тойргийн бүх цэгүүд юм.. t1 ба t2 цэгүүдийг олъё.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Бид t: pi/3-ийн тэгш бус байдлыг олж авлаа

Косинус нь үечилсэн функц тул шийдлүүд 2 * pi тутамд давтагдана. Бид энэ нөхцлийг t-ийн үр дүнд үүссэн тэгш бус байдалд нэмээд хариултыг бичнэ.

Хариулт: pi/3+2*pi*n

Жишээ 3 tg(t) тэгш бус байдлыг шийд< = 1.

Шүргэгчийн үе нь pi байна. Баруун талын хагас тойрог (-pi/2;pi/2) интервалд хамаарах шийдлүүдийг ол. Дараа нь шүргэгчийн үечлэлийг ашиглан бид энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийг бичнэ. Нэгж тойрог зураад түүн дээр шүргэгч шугамыг тэмдэглэе.

Хэрэв t нь тэгш бус байдлын шийдэл бол T = tg(t) цэгийн ординат нь 1-ээс бага буюу тэнцүү байх ёстой. Ийм цэгүүдийн олонлог нь AT туяаг бүрдүүлнэ. Энэ цацрагийн цэгүүдэд тохирох Pt цэгүүдийн багц нь l нум юм. Түүнчлэн P(-pi/2) цэг нь энэ нуманд хамаарахгүй.

Ихэнх оюутнууд тригонометрийн тэгш бус байдалд дургүй байдаг. Гэхдээ дэмий л. Нэг дүрийн хэлсэнчлэн,

"Та тэднийг хэрхэн хоол хийхээ мэдэхгүй байна"

Тэгэхээр яаж "хоол хийх", синустай тэгш бус байдлыг юугаар оруулах вэ гэдгийг бид энэ нийтлэлээс олж мэдэх болно. Бид хамгийн энгийн аргаар шийдэх болно - нэгж тойрог ашиглан.

Тиймээс эхлээд дараах алгоритм хэрэгтэй.

Синус бүхий тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм:

1. $a$ тоог синусын тэнхлэг дээр тавьж, тойрогтой огтлолцох хүртэл косинусын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зурах;
2. энэ шугамын тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг тэгш бус байдал хатуу биш бол бөглөх ба тэгш бус байдал хатуу байвал бөглөхгүй;
3. Тэгш бус байдлын шийдэлийн талбар нь "$>$" тэмдгийг агуулж байвал шулуунаас дээш тойрог хүртэл, тэгш бус байдал нь "$" тэмдгийг агуулж байвал шулуунаас доош, тойрог хүртэл байх болно.<$”;
4. огтлолцох цэгүүдийг олохын тулд $\sin(x)=a$ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж, $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$ тохируулснаар бид эхний огтлолцлын цэгийг олно (энэ нь эхний эсвэл дөрөв дэх квадратад байрладаг);
6. Хоёрдахь цэгийг олохын тулд бид хоёр дахь уулзварын цэг хүртэлх талбайг аль чиглэлд давж гарахыг харна: хэрэв эерэг чиглэлд байвал $n=1$, сөрөг чиглэлд байвал $n=- 1 доллар;
7. Хариуд нь $+ 2\pi n$ жижиг уулзвар цэгээс том $+ 2\pi n$ хүртэлх интервалыг бичнэ.

Алгоритмын хязгаарлалт

Чухал: dэнэ алгоритм Ажиллахгүй байна$\sin(x) > 1 хэлбэрийн тэгш бус байдлын хувьд; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Синусын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх онцгой тохиолдлууд

Дээр дурдсан алгоритмыг ашиглахгүйгээр логикоор шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтой дараах тохиолдлуудыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Онцгой тохиолдол 1.Тэгш бус байдлыг шийд:

$\sin(x) \leq 1.$

$y=\sin(x)$ тригонометрийн функцийн муж хамгийн ихдээ $1$ байх тул тэгш бус байдлын зүүн тал ямар ч хувьдДомэйн $x$ (мөн синусын домэйн нь бүх бодит тоо) $1$-аас ихгүй байна. Тиймээс бид хариуд нь бичнэ: $x \in R$.

Үр дагавар:

$\sin(x) \geq -1.$

Онцгой тохиолдол 2.Тэгш бус байдлыг шийд:

$\sin(x)< 1.$

Тусгай тохиолдол 1-тэй төстэй аргументуудыг ашигласнаар $\sin(x) = тэгшитгэлийн шийдэл болох цэгүүдээс бусад бүх $x \R$-д тэгш бус байдлын зүүн тал $1$-аас бага байна. 1 доллар. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Тиймээс хариуд нь бид бичнэ: $x \in R \буцах налуу зураас \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Үр дагавар:тэгш бус байдлыг ижил аргаар шийддэг

$\sin(x) > -1.$

Алгоритм ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээ.

Жишээ 1:Тэгш бус байдлыг шийд:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Синусын тэнхлэг дээрх $\frac(1)(2)$ координатыг тэмдэглэ.
2. Косинусын тэнхлэгтэй параллель шугам зурж, энэ цэгийг дайран өнгөрнө.
3. Уулзвар цэгүүдийг анхаарна уу. Тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас тэд сүүдэрлэх болно.
4. Тэгш бус байдлын тэмдэг нь $\geq$ бөгөөд энэ нь бид шугаман дээрх талбайг будна гэсэн үг, i.e. жижиг хагас тойрог.
5. Эхний уулзварын цэгийг ол. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлыг тэнцүү болгож, үүнийг шийд: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Бид цааш нь $n=0$-г тохируулаад эхний огтлолцлын цэгийг олно: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Бид хоёр дахь цэгийг олдог. Манай талбай эхний цэгээс эерэг чиглэлд явж байгаа тул бид $n$-г $1$-тэй тэнцүү болгов: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Тиймээс шийдэл нь дараах хэлбэртэй болно.

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\баруун], \ n \Z.$-д

Жишээ 2:Тэгш бус байдлыг шийд:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Бид $- \frac(1)(2)$ координатыг синусын тэнхлэг дээр тэмдэглэж, косинусын тэнхлэгтэй параллель, энэ цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг зурна. Уулзвар цэгүүдийг анхаарна уу. Тэгш бус байдал нь хатуу тул тэд сүүдэрлэхгүй. Тэгш бус байдлын тэмдэг $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\баруун))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi) )(6) + \pi n$.

Цаашид $n=0$ тохируулснаар бид эхний уулзварын цэгийг олно: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Манай талбай эхний цэгээс сөрөг чиглэлд явж байгаа тул бид $n$-г $-1$-тэй тэнцүү болгож байна: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6) ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Тиймээс энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал байх болно.

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Жишээ 3:Тэгш бус байдлыг шийд:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\баруун)) \leq 0.$

Энэ жишээг алгоритм ашиглан шууд шийдвэрлэх боломжгүй. Эхлээд та үүнийг хөрвүүлэх хэрэгтэй. Бид тэгшитгэлтэй яг адилхан хийдэг, гэхдээ тэмдгийн талаар бүү мартаарай. Сөрөг тоогоор хуваах эсвэл үржүүлэх нь эсрэгээрээ!

Тиймээс тригонометрийн функц агуулаагүй бүх зүйлийг баруун тийш шилжүүлье. Бид авах:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\баруун)) \leq -1.$

Зүүн ба баруун талыг $-2$-оор хуваа (тэмдэгтийн талаар бүү март!). Байх болно:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\баруун)) \geq \frac(1)(2).$

Дахин хэлэхэд, бид алгоритмыг ашиглан шийдэж чадахгүй байгаа тэгш бус байдлыг олж авлаа. Гэхдээ энд хувьсагчийн өөрчлөлт хийхэд хангалттай:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Бид тригонометрийн тэгш бус байдлыг олж авдаг бөгөөд үүнийг алгоритмыг ашиглан шийдэж болно.

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Энэ тэгш бус байдлыг 1-р жишээн дээр шийдсэн тул бид хариултыг эндээс авах болно.

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\баруун].$

Гэсэн хэдий ч шийдвэр хараахан дуусаагүй байна. Бид анхны хувьсагч руу буцах хэрэгтэй.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\баруун].$

Цоорхойг системээр төлөөлүүлье:

$\left\(\begin(массив)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(массив) \баруун.$

Системийн зүүн талд интервалд хамаарах илэрхийлэл ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) байна. Интервалын зүүн хил нь эхний тэгш бус байдлыг хариуцдаг бол баруун талын хил нь хоёр дахь тэгш бус байдлыг хариуцна. Түүнээс гадна хаалт нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг: хэрэв хаалт нь дөрвөлжин байвал тэгш бус байдал нь хатуу биш, дугуй байвал хатуу байх болно. бидний даалгавар бол зүүн талд $ x $ авах явдал юм тэгш бус байдлын аль алинд нь.

$\frac(\pi)(6)$-г зүүн талаас баруун тийш шилжүүлбэл бид дараахыг авна.

$\left\(\begin(массив)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(массив) \баруун.$

Хялбаршуулж, бид дараах байдалтай байна:

$\left\(\begin(массив)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(массив) \right.$

Зүүн ба баруун талыг 4 доллараар үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

$\left\(\begin(массив)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(массив) \баруун. доллар

Системийг интервал болгон угсарснаар бид дараах хариултыг авна.

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\баруун], \ n \Z.$-д