Trigonometrisko vienādojumu un nevienādību definīcija. Trigonometrisko nevienādību risināšanas metodes

1.5. Trigonometriskās nevienādības un to risināšanas metodes

1.5.1. Vienkāršu trigonometrisko nevienādību risināšana

Lielākā daļa mūsdienu matemātikas mācību grāmatu autoru iesaka sākt izskatīt šo tēmu, atrisinot visvienkāršākās trigonometriskās nevienādības. Vienkāršāko trigonometrisko nevienādību risināšanas princips ir balstīts uz zināšanām un prasmēm noteikt uz trigonometriskā apļa ne tikai galveno trigonometrisko leņķu, bet arī citu vērtību vērtības.

Tikmēr formas , , , nevienādību atrisināšanu var veikt šādi: vispirms atrodam kādu intervālu (), kurā šī nevienādība ir izpildīta, un pēc tam pierakstām galīgo atbildi, pieskaitot atrastā intervāla galiem a skaitlis, kas ir sinusa vai kosinusa perioda reizinājums: ( ). Šajā gadījumā vērtību ir viegli atrast, jo vai . Jēgas meklēšana balstās uz studentu intuīciju, spēju pamanīt loku vai segmentu vienādību, izmantojot atsevišķu sinusa vai kosinusa grafika daļu simetriju. Un tas dažkārt ir ārpus iespējas diezgan lielam skaitam studentu. Lai pārvarētu minētās grūtības, mācību grāmatās pēdējos gados ir izmantotas dažādas pieejas vienkāršu trigonometrisko nevienādību risināšanai, taču tas nav devis nekādus mācību rezultātu uzlabojumus.

Jau vairākus gadus mēs esam diezgan veiksmīgi izmantojuši atbilstošo vienādojumu sakņu formulas, lai atrastu risinājumus trigonometriskajām nevienādībām.

Mēs pētām šo tēmu šādā veidā:

1. Mēs veidojam grafikus un y = a, pieņemot, ka .

Tad mēs pierakstām vienādojumu un tā atrisinājumu. Dodot n 0; 1; 2, mēs atrodam apkopotā vienādojuma trīs saknes: . Vērtības ir trīs secīgu grafiku krustošanās punktu abscisa un y = a. Ir acīmredzams, ka nevienlīdzība vienmēr attiecas uz intervālu (), un nevienlīdzība vienmēr attiecas uz intervālu ().

Šo intervālu galiem pievienojot skaitli, kas ir sinusa perioda reizināts, pirmajā gadījumā iegūstam nevienādības atrisinājumu formā: ; un otrajā gadījumā nevienlīdzības risinājums formā:

Tikai atšķirībā no formulas sinusa, kas ir vienādojuma atrisinājums, n = 0 iegūstam divas saknes, bet trešo sakni n = 1 formā . Un atkal tās ir trīs secīgas grafiku un . krustošanās punktu abscises. Intervālā () pastāv nevienlīdzība, intervālā () nevienlīdzība

Tagad nav grūti pierakstīt risinājumus nevienādībām un . Pirmajā gadījumā mēs iegūstam: ;

un otrajā: .

Apkopojiet. Lai atrisinātu nevienlīdzību vai, jums ir jāizveido atbilstošais vienādojums un tas jāatrisina. No iegūtās formulas atrodiet un saknes un uzrakstiet atbildi uz nevienlīdzību formā: .

Risinot nevienādības , no atbilstošā vienādojuma sakņu formulas atrodam saknes un , un atbildi uz nevienādību ierakstām formā: .

Šis paņēmiens ļauj iemācīt visiem studentiem atrisināt trigonometriskās nevienādības, jo Šī tehnika pilnībā balstās uz prasmēm, kuras studenti labi pārvalda. Šīs ir prasmes atrisināt vienkāršas problēmas un atrast mainīgā lieluma vērtību, izmantojot formulu. Turklāt rūpīga risināšana skolotāja vadībā kļūst pilnīgi nevajadzīga. liels daudzums vingrinājumi, lai demonstrētu visa veida spriešanas paņēmienus atkarībā no nevienlīdzības zīmes, skaitļa a moduļa vērtības un tā zīmes. Un pats nevienlīdzības risināšanas process kļūst īss un, kas ir ļoti svarīgi, vienmērīgs.

Vēl viena šīs metodes priekšrocība ir tā, ka tā ļauj viegli atrisināt nevienādības pat tad, ja labā puse nav sinusa vai kosinusa tabulas vērtība.

Pierādīsim to ar konkrētu piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina nevienlīdzība. Izveidosim atbilstošo vienādojumu un atrisināsim to:

Atradīsim un vērtības.

Kad n = 1

Kad n = 2

Mēs pierakstām galīgo atbildi uz šo nevienlīdzību:

Aplūkotajā vienkāršāko trigonometrisko nevienādību risināšanas piemērā var būt tikai viens trūkums - noteikta formālisma klātbūtne. Bet, ja visu vērtē tikai no šīm pozīcijām, tad formālismā varēs pārmest kvadrātvienādojuma sakņu formulas un visas trigonometrisko vienādojumu risināšanas formulas un daudz ko citu.

Lai gan piedāvātā metode ieņem cienīgu vietu trigonometrisko nevienādību risināšanas prasmju veidošanā, nevar par zemu novērtēt citu metožu nozīmi un iezīmes trigonometrisko nevienādību risināšanā. Tie ietver intervāla metodi.

Apskatīsim tā būtību.

Komplektu rediģēja A.G. Mordkovičs, lai gan nevajadzētu ignorēt arī pārējās mācību grāmatas. 3.§ Tēmas “Trigonometriskās funkcijas” mācīšanas metodika algebras gaitā un analīzes sākumi Trigonometrisko funkciju izpētē skolā var izdalīt divus galvenos posmus: ü Sākotnējā iepazīšanās ar trigonometriskajām funkcijām...

Veicot pētījumu, tika risināti šādi uzdevumi: 1) Izanalizētas aktuālās algebras mācību grāmatas un matemātiskās analīzes aizsākumi, lai identificētu tajās piedāvātās metodes iracionālu vienādojumu un nevienādību risināšanai. Analīze ļauj izdarīt šādus secinājumus: ·vidusskolā nepietiekama uzmanība tiek pievērsta dažādu iracionālu vienādojumu risināšanas metodēm, galvenokārt...

TRIGONOMETRISKĀS NEVIENĀDĪBAS RISINĀŠANAS METODES

Atbilstība. Vēsturiski trigonometriskajiem vienādojumiem un nevienādībām ir ierādīta īpaša vieta skolas mācību programmā. Var teikt, ka trigonometrija ir viena no svarīgākajām skolas kursa un visas matemātikas zinātnes sadaļām kopumā.

Trigonometriskie vienādojumi un nevienādības ieņem vienu no centrālajām vietām vidusskolas matemātikas kursā gan mācību materiāla satura, gan izglītojošās un izziņas darbības metožu ziņā, kuras var un vajadzētu veidot mācību laikā un pielietot liela skaita risināšanai. teorētiska un lietišķa rakstura problēmas.

Trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšana rada priekšnosacījumus skolēnu zināšanu sistematizēšanai, kas saistītas ar visu mācību materiālu trigonometrijā (piemēram, trigonometrisko funkciju īpašības, trigonometrisko izteiksmju pārveidošanas metodes u.c.) un dod iespēju izveidot efektīvas saiknes ar pētāmo materiālu. algebrā (vienādojumi, vienādojumu ekvivalence, nevienādības, algebrisko izteiksmju identiskas transformācijas u.c.).

Citiem vārdiem sakot, trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšanas metožu izskatīšana ietver sava veida šo prasmju pārnesi uz jaunu saturu.

Teorijas nozīme un daudzie tās pielietojumi ir pierādījums izvēlētās tēmas aktualitātei. Tas savukārt ļauj noteikt kursa darba mērķus, uzdevumus un pētījuma priekšmetu.

Pētījuma mērķis: vispārināt pieejamos trigonometrisko nevienādību veidus, to risināšanas pamatmetodes un speciālās metodes, izvēlēties uzdevumu kopumu trigonometrisko nevienādību risināšanai skolēniem.

Pētījuma mērķi:

1. Pamatojoties uz pieejamās literatūras analīzi par pētāmo tēmu, sistematizēt materiālu.

2. Nodrošiniet uzdevumu kopumu, kas nepieciešams tēmas “Trigonometriskās nevienādības” konsolidācijai.

Pētījuma objekts ir trigonometriskās nevienādības skolas matemātikas kursā.

Studiju priekšmets: trigonometrisko nevienādību veidi un to risināšanas metodes.

Teorētiskā nozīme ir sistematizēt materiālu.

Praktiskā nozīme: teorētisko zināšanu pielietošana problēmu risināšanā; galveno trigonometrisko nevienādību risināšanas metožu analīze.

Pētījuma metodes : zinātniskās literatūras analīze, iegūto zināšanu sintēze un vispārināšana, problēmu risināšanas analīze, optimālu metožu meklēšana nevienlīdzību risināšanai.

§1. Trigonometrisko nevienādību veidi un to risināšanas pamatmetodes

1.1. Vienkāršākās trigonometriskās nevienādības

Divas trigonometriskās izteiksmes, kas savienotas ar zīmi vai >, sauc par trigonometriskām nevienādībām.

Trigonometriskās nevienādības atrisināšana nozīmē nevienādībā iekļauto nezināmo vērtību kopas atrašanu, kurai nevienlīdzība ir apmierināta.

Galvenā trigonometrisko nevienādību daļa tiek atrisināta, reducējot tās līdz vienkāršākajam risinājumam:

Tā var būt faktorizēšanas metode, mainīgā lieluma maiņa (
,
utt.), kur vispirms tiek atrisināta parastā nevienādība un pēc tam formas nevienādība
utt., vai citas metodes.

Vienkāršākās nevienādības var atrisināt divos veidos: izmantojot vienību apli vai grafiski.

Ļaujietf(x  – viena no trigonometriskajām pamatfunkcijām. Lai atrisinātu nevienlīdzību
pietiek atrast tā risinājumu vienā periodā, t.i. uz jebkura segmenta, kura garums ir vienāds ar funkcijas perioduf  x  . Tad tiks atrasts sākotnējās nevienlīdzības risinājumsx , kā arī tās vērtības, kas atšķiras no vērtībām, kas atrastas ar jebkuru funkcijas periodu skaitu. Šajā gadījumā ir ērti izmantot grafisko metodi.

Dosim piemēru nevienādību risināšanas algoritmam
(
) Un
.

Algoritms nevienlīdzības risināšanai
(
).

1. Formulējiet skaitļa sinusa definīcijux uz vienības apļa.

3. Uz ordinātu ass atzīmējiet punktu ar koordinātua .

4. Caur šo punktu novelciet taisni paralēli OX asij un atzīmējiet tās krustošanās punktus ar apli.

5. Izvēlieties riņķa loku, kura visu punktu ordināta ir mazāka para .

6. Norādiet apļa virzienu (pretēji pulksteņrādītāja virzienam) un pierakstiet atbildi, intervāla galos pievienojot funkcijas periodu.2πn ,
.

Algoritms nevienlīdzības risināšanai
.

1. Formulējiet skaitļa pieskares definīcijux uz vienības apļa.

2. Uzzīmējiet vienības apli.

3. Uzzīmējiet pieskares līniju un atzīmējiet punktu ar ordinātua .

4. Savienojiet šo punktu ar sākumpunktu un atzīmējiet iegūtā segmenta krustpunktu ar vienības apli.

5. Izvēlieties riņķa loku, kura visiem punktiem pieskares taisnes ordināta ir mazāka para .

6. Norādiet apbraukšanas virzienu un uzrakstiet atbildi, ņemot vērā funkcijas definīcijas jomu, pievienojot punktu.πn ,
(skaitlis ieraksta kreisajā pusē vienmēr ir mazāks nekā labajā pusē).

Vienkāršāko vienādojumu atrisinājumu grafiskā interpretācija un formulas nevienādību risināšanai vispārīgā formā norādītas pielikumā (1. un 2. pielikums).

1. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību
.

Uzzīmējiet taisnu līniju uz vienības apļa
, kas krusto apli punktos A un B.

Visas nozīmesy intervālā NM ir lielāks , visi AMB loka punkti apmierina šo nevienlīdzību. Visos griešanās leņķos, liels , bet mazāks ,
pieņems vērtības lielākas (bet ne vairāk kā vienu).

1. att

Tādējādi nevienlīdzības risinājums būs visas intervāla vērtības
, t.i.
. Lai iegūtu visus šīs nevienlīdzības atrisinājumus, pietiek ar šī intervāla galiem pievienot
, Kur
, t.i.
,
. Ņemiet vērā, ka vērtības
Un
ir vienādojuma saknes
,

tie.
;
.

Atbilde:
,
.

1.2. Grafiskā metode

Praksē grafiskā metode trigonometrisko nevienādību risināšanai bieži vien izrādās noderīga. Apskatīsim metodes būtību, izmantojot nevienlīdzības piemēru
:

1. Ja arguments ir sarežģīts (atšķiras noX ), pēc tam aizstājiet to art .

2. Veidojam vienā koordinātu plaknērotaļlieta funkciju grafiki
Un
.

3. Mēs tādu atrodamdivi blakus esošie grafiku krustošanās punkti, starp kuriemsinusa vilnisatrodasaugstāks taisni
. Mēs atrodam šo punktu abscises.

4. Uzrakstiet argumentam dubultu nevienādībut , ņemot vērā kosinusa periodu (t būs starp atrastajām abscisēm).

5. Veiciet apgriezto aizstāšanu (atgriezieties pie sākotnējā argumenta) un izsakiet vērtībuX no dubultās nevienādības mēs rakstām atbildi skaitliskā intervāla formā.

2. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību: .

Risinot nevienādības ar grafisko metodi, nepieciešams pēc iespējas precīzāk konstruēt funkciju grafikus. Pārveidosim nevienlīdzību formā:

Konstruēsim funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā
Un
(2. att.).

2. att

Funkciju grafiki krustojas punktāA ar koordinātām
;
. Starp
grafika punkti
zem grafika punktiem
. Un tad, kad
funkciju vērtības ir vienādas. Tāpēc
plkst
.

Atbilde:
.

1.3. Algebriskā metode

Diezgan bieži sākotnējo trigonometrisko nevienlīdzību var reducēt līdz algebriskai (racionālai vai iracionālai) nevienlīdzībai, izmantojot labi izvēlētu aizstāšanu. Šī metode ietver nevienlīdzības pārveidošanu, aizstāšanas ieviešanu vai mainīgā lieluma aizstāšanu.

Apskatīsim konkrētus šīs metodes pielietošanas piemērus.

3. piemērs. Samazinājums uz vienkāršāko formu
.

(3. att.)

3. att

,
.

Atbilde:
,

4. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību:

ODZ:
,
.

Izmantojot formulas:
,

Nevienlīdzību ierakstīsim formā:
.

Vai arī ticēt
pēc vienkāršām pārvērtībām mēs iegūstam

,

,

.

Atrisinot pēdējo nevienādību, izmantojot intervāla metodi, iegūstam:

4. att

, attiecīgi
. Tad no att. 4 seko
, Kur
.

5. att

Atbilde:
,
.

1.4. Intervāla metode

Vispārīga shēma trigonometrisko nevienādību risināšanai, izmantojot intervālu metodi:

Koeficients, izmantojot trigonometriskās formulas.

Atrodiet funkcijas pārtraukuma punktus un nulles un novietojiet tos uz apļa.

Paņemiet jebkuru punktuUZ (bet nav atrasts agrāk) un noskaidro preces zīmi. Ja reizinājums ir pozitīvs, novietojiet punktu ārpus vienības apļa uz stara, kas atbilst leņķim. Pretējā gadījumā novietojiet punktu apļa iekšpusē.

Ja punkts parādās pāra reižu skaitu, mēs to saucam par pāra daudzveidības punktu; ja nepāra skaits reižu, mēs to saucam par nepāra daudzveidības punktu. Zīmējiet lokus šādi: sāciet no punktaUZ , ja nākamais punkts ir nepāra daudzkāršība, tad loks šajā punktā šķērso apli, bet, ja punkts ir pāra daudzkārtības, tad tas nekrustojas.

Loki aiz apļa ir pozitīvi intervāli; apļa iekšpusē ir negatīvas atstarpes.

5. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību

,
.

Pirmās sērijas punkti:
.

Otrās sērijas punkti:
.

Katrs punkts parādās nepāra reižu skaitu, tas ir, visi punkti ir nepāra daudzveidība.

Ļaujiet mums uzzināt produkta zīmi plkst
: . Atzīmēsim visus punktus uz vienības apļa (6. att.):

Rīsi. 6

Atbilde:
,
;
,
;
,
.

6. piemērs . Atrisiniet nevienlīdzību.

Risinājums:

Atradīsim izteiksmes nulles .

Saņemtaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Uz vienības apļa sērijas vērtībāmX 1 attēlots ar punktiem
. sērijaX 2 dod punktus
. SērijasX 3 iegūstam divus punktus
. Visbeidzot, sērijaX 4 pārstāvēs punktus
. Uzzīmēsim visus šos punktus uz vienības apļa, norādot tā daudzkārtību iekavās blakus katram no tiem.

Ļaujiet tagad skaitlim būs vienādi. Veicam aprēķinu, pamatojoties uz zīmi:

Tātad, punktsA jāizvēlas uz stara, kas veido leņķi ar staruAk, ārpus vienības apļa. (Ņemiet vērā, ka papildu staru kūlisPAR A Tas nemaz nav nepieciešams attēlot to attēlā. PunktsA ir izvēlēts aptuveni.)

Tagad no punktaA secīgi novelciet viļņotu nepārtrauktu līniju uz visiem atzīmētajiem punktiem. Un punktos
mūsu līnija iet no viena apgabala uz otru: ja tā bija ārpus vienības apļa, tad tā iet tajā iekšā. Tuvojoties punktam , līnija atgriežas iekšējā reģionā, jo šī punkta reizinājums ir pāra. Līdzīgi arī punktā (ar vienmērīgu skaitu) līnija ir jāpagriež uz ārējo reģionu. Tātad, mēs uzzīmējām noteiktu attēlu, kas parādīts attēlā. 7. Tas palīdz izcelt vēlamās zonas uz vienības apļa. Tie ir atzīmēti ar “+” zīmi.

7. att

Galīgā atbilde:

Piezīme. Ja viļņota līnija, apejot visus punktus, kas atzīmēti uz vienības apļa, nevar tikt atgriezta punktāA , nešķērsojot apli “nelegālā” vietā, tas nozīmē, ka risinājumā pieļauta kļūda, proti, palaidis garām nepāra sakņu skaitu.

Atbilde: .

§2. Trigonometrisko nevienādību risināšanas uzdevumu kopums

Skolēnu spējas attīstības procesā risināt trigonometriskās nevienādības var izdalīt arī 3 posmus.

1. sagatavošanās,

2. attīstot spēju atrisināt vienkāršas trigonometriskās nevienādības;

3. cita veida trigonometrisko nevienādību ieviešana.

Sagatavošanas posma mērķis ir tas, ka skolēnos ir jāattīsta spēja izmantot trigonometrisko apli vai grafiku, lai atrisinātu nevienlīdzības, proti:

Spēja atrisināt vienkāršas formas nevienādības
,
,
,
, izmantojot sinusa un kosinusa funkcijas īpašības;

Spēja konstruēt dubultnevienādības skaitļu apļa lokiem vai funkciju grafiku lokiem;

Spēja veikt dažādas trigonometrisko izteiksmju transformācijas.

Šo posmu ieteicams īstenot skolēnu zināšanu sistematizēšanas procesā par trigonometrisko funkciju īpašībām. Galvenie līdzekļi var būt uzdevumi, kas tiek piedāvāti skolēniem un tiek veikti vai nu skolotāja vadībā, vai patstāvīgi, kā arī prasmes, kas tiek attīstītas trigonometrisko vienādojumu risināšanā.

Šeit ir šādu uzdevumu piemēri:

1 . Atzīmējiet punktu uz vienības apļa , Ja

.

2. Kurā koordinātu plaknes ceturtdaļā atrodas punkts? , Ja vienāds:

3. Atzīmējiet punktus uz trigonometriskā apļa , Ja:

4. Pārvērst izteiksmi par trigonometriskām funkcijāmesceturtdaļas.

A)
, b)
, V)

5. Tiek dots loka MR.M – viduses- ceturksnis,R – vidusIIceturksnis. Ierobežojiet mainīgā lieluma vērtībut priekš: (izdarīt dubultu nevienādību) a) loka MR; b) RM loki.

6. Pierakstiet dubulto nevienādību atlasītajām grafika sadaļām:

Rīsi. 1

7. Atrisiniet nevienlīdzības
,
,
,
.

8. Pārvērst izteiksmi .

Otrajā trigonometrisko nevienādību risināšanas apguves posmā varam piedāvāt šādus ieteikumus saistībā ar studentu aktivitāšu organizēšanas metodiku. Šajā gadījumā jākoncentrējas uz skolēnu esošajām prasmēm darbā ar trigonometrisko apli vai grafiku, kas veidojas, risinot vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

Pirmkārt, vispārīgas metodes iegūšanas lietderību vienkāršāko trigonometrisko nevienādību risināšanai var motivēt, pievēršoties, piemēram, formas nevienādībai.
. Izmantojot sagatavošanas posmā iegūtās zināšanas un prasmes, skolēni ienesīs formā piedāvāto nevienlīdzību
, taču var būt grūti atrast risinājumu kopumu radītajai nevienlīdzībai, jo To nav iespējams atrisināt, tikai izmantojot sinusa funkcijas īpašības. No šīs grūtības var izvairīties, pievēršoties atbilstošai ilustrācijai (atrisinot vienādojumu grafiski vai izmantojot vienību apli).

Otrkārt, skolotājam vajadzētu pievērst skolēnu uzmanību dažādiem uzdevuma izpildes veidiem, dot atbilstošu piemēru nevienādības risināšanai gan grafiski, gan izmantojot trigonometrisko apli.

Apskatīsim šādus nevienlīdzības risinājumus
.

1. Nevienādības atrisināšana, izmantojot vienību apli.

Pirmajā nodarbībā par trigonometrisko nevienādību risināšanu skolēniem piedāvāsim detalizētu risinājuma algoritmu, kas soli pa solim atspoguļo visas nevienādības risināšanai nepieciešamās pamatprasmes.

1. darbība.Uzzīmēsim vienības apli un atzīmēsim punktu uz ordinātu ass un caur to novelciet taisnu līniju paralēli x asij. Šī līnija krustos vienības apli divos punktos. Katrs no šiem punktiem apzīmē skaitļus, kuru sinuss ir vienāds ar .

2. darbība.Šī taisne sadalīja apli divos lokos. Izvēlēsimies to, kas attēlo skaitļus, kuru sinusa vērtība ir lielāka par . Protams, šis loks atrodas virs novilktās taisnes.

Rīsi. 2

3. darbība.Izvēlieties vienu no iezīmētā loka galiem. Pierakstīsim vienu no skaitļiem, ko attēlo šis vienības apļa punkts .

4. darbība.Lai izvēlētos numuru, kas atbilst izvēlētā loka otrajam galam, mēs “ejam” pa šo loku no nosauktā gala līdz otram. Tajā pašā laikā atcerieties, ka, virzoties pretēji pulksteņrādītāja virzienam, skaitļi, kuriem mēs izejam, palielinās (virzoties pretējā virzienā, skaitļi samazināsies). Pierakstīsim skaitli, kas ir attēlots uz vienības apļa līdz iezīmētā loka otrajam galam .

Tādējādi mēs redzam šo nevienlīdzību
apmierina skaitļus, kuriem nevienlīdzība ir patiesa
. Mēs atrisinājām nevienādību skaitļiem, kas atrodas tajā pašā sinusa funkcijas periodā. Tāpēc visus nevienlīdzības risinājumus var ierakstīt formā

Skolēniem jālūdz rūpīgi izpētīt zīmējumu un noskaidrot, kāpēc visi nevienlīdzības risinājumi
var rakstīt formā
,
.

Rīsi. 3

Nepieciešams pievērst studentu uzmanību tam, ka, risinot nevienādības kosinusa funkcijai, velkam taisni paralēli ordinātu asij.

Grafiskā metode nevienādību risināšanai.

Mēs veidojam grafikus
Un
, Atsaucoties uz
.

Rīsi. 4

Tad mēs rakstām vienādojumu
un viņa lēmums
,
,
, atrasts, izmantojot formulas
,
,
.

(Dodotn vērtības 0, 1, 2, mēs atrodam apkopotā vienādojuma trīs saknes). Vērtības
ir trīs secīgas grafiku krustošanās punktu abscises
Un
. Acīmredzot vienmēr uz intervālu
nevienlīdzība pastāv
, un par intervālu
– nevienlīdzība
. Mūs interesē pirmais gadījums, un tad šī intervāla galos pievienojot skaitli, kas ir sinusa perioda reizinājums, iegūstam nevienādības risinājumu
kā:
,
.

Rīsi. 5

Apkopojiet. Lai atrisinātu nevienlīdzību
, jums ir jāizveido atbilstošais vienādojums un tas jāatrisina. Atrodiet saknes no iegūtās formulas Un , un uzrakstiet atbildi uz nevienlīdzību formā: ,
.

Treškārt, fakts par atbilstošās trigonometriskās nevienādības sakņu kopu ļoti skaidri apstiprinās, to risinot grafiski.

Rīsi. 6

Studentiem jāparāda, ka pagrieziens, kas ir nevienādības atrisinājums, atkārtojas vienā un tajā pašā intervālā, kas vienāds ar trigonometriskās funkcijas periodu. Varat arī apsvērt līdzīgu ilustrāciju sinusa funkcijas grafikam.

Ceturtkārt, vēlams veikt darbu pie studentu paņēmienu aktualizēšanas trigonometrisko funkciju summas (starpības) pārvēršanai reizinājumā un pievērst studentu uzmanību šo paņēmienu nozīmei trigonometrisko nevienādību risināšanā.

Šādu darbu var organizēt, studentiem patstāvīgi izpildot skolotāja piedāvātos uzdevumus, starp kuriem mēs izceļam:

Piektkārt, studentiem jāpieprasa ilustrēt katras vienkāršās trigonometriskās nevienādības atrisinājumu, izmantojot grafiku vai trigonometrisko apli. Noteikti jāpievērš uzmanība tā lietderībai, it īpaši apļa izmantošanai, jo, risinot trigonometriskās nevienādības, atbilstošā ilustrācija kalpo kā ļoti ērts līdzeklis dotās nevienādības risinājumu kopas ierakstīšanai.

Vēlams iepazīstināt studentus ar metodēm trigonometrisko nevienādību risināšanai, kas nav no tām vienkāršākajām, pēc šādas shēmas: pievēršoties konkrētai trigonometriskajai nevienādībai, pievēršoties atbilstošajam trigonometriskajam vienādojumam kopīga meklēšana (skolotājs - skolēni) risinājuma neatkarīgai pārnešanai. atrasta metode citām tāda paša veida nevienādībām.

Lai sistematizētu studentu zināšanas par trigonometriju, iesakām īpaši atlasīt tādas nevienādības, kuru risināšanai nepieciešamas dažādas tās risināšanas procesā realizējamas transformācijas un koncentrēt studentu uzmanību uz to pazīmēm.

Kā šādas produktīvas nevienlīdzības mēs varam ierosināt, piemēram, sekojošo:

Noslēgumā mēs sniedzam uzdevumu kopas piemēru trigonometrisko nevienādību risināšanai.

1. Atrisiniet nevienādības:

2. Atrisiniet nevienādības: 3. Atrodiet visus risinājumus nevienādībām: 4. Atrodiet visus risinājumus nevienādībām:

A)
, apmierinot nosacījumu
;

b)
, apmierinot nosacījumu
.

5. Atrodiet visus risinājumus nevienādībām:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Atrisiniet nevienādības:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d) ;

e) ;

un)
.

7. Atrisiniet nevienādības:

A)
;

b) ;

V) ;

G) .

8. Atrisiniet nevienādības:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d)
;

e) ;

un)
;

h) .

6. un 7. uzdevumu vēlams piedāvāt skolēniem, kuri apgūst matemātiku paaugstinātā līmenī, 8. uzdevumu – klasēs ar padziļinātu matemātikas apguvi.

§3. Speciālas metodes trigonometrisko nevienādību risināšanai

Īpašas metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai - tas ir, tās metodes, kuras var izmantot tikai trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Šīs metodes ir balstītas uz trigonometrisko funkciju īpašību izmantošanu, kā arī uz dažādu trigonometrisko formulu un identitāšu izmantošanu.

3.1. Sektora metode

Apskatīsim sektora metodi trigonometrisko nevienādību risināšanai. Formu nevienādību risināšana

, KurP ( x ) UnJ ( x ) – racionālas trigonometriskās funkcijas (tajās racionāli iekļautas sinusus, kosinusus, tangentus un kotangentus), līdzīgi kā racionālu nevienādību risināšanai. Racionālas nevienādības ir ērti atrisināt, izmantojot intervālu metodi uz skaitļu līnijas. Tās analogs racionālu trigonometrisko nevienādību risināšanai ir sektoru metode trigonometriskajā aplī, laisinx Uncosx (
) vai trigonometrisku puslokutgx Unctgx (
).

Intervālu metodē katrs formas skaitītāja un saucēja lineārais faktors
uz skaitļu ass atbilst punktam , un, ejot cauri šim punktam
maina zīmi. Sektora metodē katrs formas faktors
, Kur
- viena no funkcijāmsinx vaicosx Un
, trigonometriskā aplī atbilst divi leņķi Un
, kas sadala apli divos sektoros. Braucot cauri Un funkciju
maina zīmi.

Jāatceras sekojošais:

a) Formas faktori
Un
, Kur
, saglabājiet zīmi visām vērtībām . Šādi skaitītāja un saucēja faktori tiek atmesti, mainot (ja
) ar katru šādu noraidījumu nevienlīdzības zīme tiek apgriezta.

b) Formas faktori
Un
arī tiek izmesti. Turklāt, ja tie ir saucēja faktori, tad formas nevienādības tiek pievienotas ekvivalentajai nevienādību sistēmai
Un
. Ja tie ir skaitītāja faktori, tad ekvivalentajā ierobežojumu sistēmā tie atbilst nevienādībām
Un
stingras sākotnējās nevienlīdzības gadījumā un vienlīdzību
Un
nestingras sākotnējās nevienlīdzības gadījumā. Atmetot reizinātāju
vai
nevienlīdzības zīme ir apgriezta.

1. piemērs. Atrisiniet nevienādības: a)
, b)
. mums ir funkcija b) . Atrisiniet nevienlīdzību, kas mums ir,

3.2. Koncentriskā apļa metode

Šī metode ir analoga paralēlo skaitļu asu metodei racionālu nevienādību sistēmu risināšanai.

Apskatīsim nevienlīdzību sistēmas piemēru.

5. piemērs. Atrisiniet vienkāršu trigonometrisko nevienādību sistēmu

Pirmkārt, mēs atrisinām katru nevienlīdzību atsevišķi (5. attēls). Attēla augšējā labajā stūrī norādīsim, kuram argumentam tiek aplūkots trigonometriskais aplis.

5. att

Tālāk mēs izveidojam argumenta koncentrisku apļu sistēmuX . Uzzīmējam apli un ieēnojam to atbilstoši pirmās nevienādības atrisinājumam, tad uzzīmējam lielāka rādiusa apli un noēnojam to atbilstoši otrās risinājumam, tad konstruējam apli trešajai nevienādībai un pamata apli. Mēs velkam starus no sistēmas centra caur loku galiem tā, lai tie krustotos visus apļus. Mēs veidojam risinājumu uz pamatnes apļa (6. attēls).

6. att

Atbilde:
,
.

Secinājums

Visi kursa pētījuma mērķi tika izpildīti. Teorētiskais materiāls ir sistematizēts: doti galvenie trigonometrisko nevienādību veidi un galvenās to risināšanas metodes (grafiskā, algebriskā, intervālu metode, sektori un koncentrisko apļu metode). Katrai metodei tika dots nevienlīdzības risināšanas piemērs. Teorētiskajai daļai sekoja praktiskā daļa. Tas satur uzdevumu kopumu trigonometrisko nevienādību risināšanai.

Šo kursa darbu studenti var izmantot patstāvīgam darbam. Skolēni var pārbaudīt šīs tēmas apguves līmeni un praktizēt dažādas sarežģītības uzdevumu izpildi.

Izpētot attiecīgo literatūru par šo jautājumu, acīmredzami varam secināt, ka ļoti svarīgas ir prasmes un prasmes risināt trigonometriskās nevienādības skolas algebras un elementārās analīzes kursā, kuras izstrāde prasa ievērojamas matemātikas skolotāja pūles.

Tāpēc šis darbs būs noderīgs matemātikas skolotājiem, jo ​​ļauj efektīvi organizēt skolēnu apmācību par tēmu “Trigonometriskās nevienlīdzības”.

Pētījumu var turpināt, paplašinot to līdz galīgajam kvalifikācijas darbam.

Izmantotās literatūras saraksts

Bogomolovs, N.V. Matemātikas uzdevumu krājums [Teksts] / N.V. Bogomolovs. – M.: Bustard, 2009. – 206 lpp.

Vigodskis, M.Ya. Elementārās matemātikas rokasgrāmata [Teksts] / M.Ya. Vigodskis. – M.: Bustards, 2006. – 509 lpp.

Žurbenko, L.N. Matemātika piemēros un uzdevumos [Teksts] / L.N. Žurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 lpp.

Ivanovs, O.A. Elementārā matemātika skolēniem, studentiem un skolotājiem [Teksts] / O.A. Ivanovs. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 lpp.

Karps, A.P. Uzdevumi par algebru un analīzes sākumi gala atkārtošanas un atestācijas organizēšanai 11. klasē [Teksts] / A.P. Karpas. – M.: Izglītība, 2005. – 79 lpp.

Kulaņins, E.D. 3000 sacensību uzdevumi matemātikā [Teksts] / E.D. Kulaņins. – M.: Iris-press, 2007. – 624 lpp.

Leibsons, K.L. Praktisko uzdevumu krājums matemātikā [Teksts] / K.L. Leibsons. – M.: Bustard, 2010. – 182 lpp.

Elkonis, V.V. Problēmas ar parametriem un to risinājums. Trigonometrija: vienādojumi, nevienādības, sistēmas. 10. klase [Teksts] / V.V. Elkonis. – M.: ARKTI, 2008. – 64 lpp.

Manova, A.N. Matemātika. Eksprespasniedzējs, lai sagatavotos vienotajam valsts eksāmenam: students. rokasgrāmata [Teksts] / A.N. Manova. – Rostova pie Donas: Fēnikss, 2012. – 541 lpp.

Mordkovičs, A.G. Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 10-11 klases. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem [Teksts] / A.G. Mordkovičs. – M.: Iris-press, 2009. – 201 lpp.

Novikovs, A.I. Trigonometriskās funkcijas, vienādojumi un nevienādības [Teksts] / A.I. Novikovs. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 lpp.

Oganesjans, V.A. Matemātikas mācīšanas metodes vidusskolā: Vispārīgā metodika. Mācību grāmata rokasgrāmata fizikas studentiem - paklājs. fak. ped. Inst. [Teksts] / V.A. Oganesjans. – M.: Izglītība, 2006. – 368 lpp.

Olehniks, S.N. Vienādojumi un nevienādības. Nestandarta risinājumu metodes [Teksts] / S.N. Olehnik. – M.: Izdevniecība Factorial, 1997. – 219 lpp.

Sevrjukovs, P.F. Trigonometriskie, eksponenciālie un logaritmiskie vienādojumi un nevienādības [Teksts] / P.F. Sevrjukovs. – M.: Sabiedrības izglītība, 2008. – 352 lpp.

Sergejevs, I.N. Vienotais valsts eksāmens: 1000 uzdevumi ar atbildēm un risinājumiem matemātikā. Visi C grupas uzdevumi [Teksts] / I.N. Sergejevs. – M.: Eksāmens, 2012. – 301 lpp.

Soboļevs, A.B. Elementārā matemātika [Teksts] / A.B. Soboļevs. – Jekaterinburga: Valsts profesionālās augstākās izglītības iestāde USTU-UPI, 2005. – 81 lpp.

Fenko, L.M. Intervālu metode nevienādību risināšanā un funkciju pētīšanā [Teksts] / L.M. Fenko. – M.: Bustards, 2005. – 124 lpp.

Frīdmens, L.M. Matemātikas mācīšanas metožu teorētiskie pamati [Teksts] / L.M. Frīdmens. – M.: Grāmatu nams “LIBROKOM”, 2009. – 248 lpp.

1.pielikums

Vienkāršu nevienādību risinājumu grafiskā interpretācija

Rīsi. 1

Rīsi. 2

3. att

4. att

5. att

6. att

7. att

8. att

2. pielikums

Vienkāršu nevienlīdzību risinājumi

Praktiskās nodarbības laikā atkārtosim galvenos uzdevumu veidus no tēmas “Trigonometrija”, papildus analizēsim paaugstinātas sarežģītības problēmas un aplūkosim dažādu trigonometrisko nevienādību un to sistēmu risināšanas piemērus.

Šī nodarbība palīdzēs sagatavoties kādam no B5, B7, C1 un C3 uzdevumu veidiem.

Sāksim ar galveno uzdevumu veidu pārskatīšanu, kurus apskatījām tēmā "Trigonometrija", un atrisināsim vairākas nestandarta problēmas.

Uzdevums Nr.1. Pārvērst leņķus radiānos un grādos: a) ; b) .

a) Izmantosim formulu grādu pārvēršanai radiānos

Aizstāsim tajā norādīto vērtību.

b) Izmantojiet formulu radiānu pārvēršanai grādos

Veiksim aizstāšanu .

Atbilde. A) ; b) .

Uzdevums Nr.2. Aprēķināt: a) ; b) .

a) Tā kā leņķis pārsniedz tabulu, mēs to samazināsim, atņemot sinusa periodu. Jo Leņķis ir norādīts radiānos, tad mēs uzskatīsim periodu kā .

b) Šajā gadījumā situācija ir līdzīga. Tā kā leņķis ir norādīts grādos, mēs uzskatīsim pieskares periodu kā .

Iegūtais leņķis, lai arī mazāks par periodu, ir lielāks, kas nozīmē, ka tas vairs neattiecas uz galveno, bet gan uz paplašināto tabulas daļu. Lai vēlreiz netrenētu atmiņu, iegaumējot paplašināto trigofunkciju vērtību tabulu, vēlreiz atņemsim tangences periodu:

Mēs izmantojām tangences funkcijas dīvainības priekšrocības.

Atbilde. a) 1; b) .

Uzdevums Nr.3. Aprēķināt , Ja.

Reducēsim visu izteiksmi līdz tangensiem, dalot skaitītāju un saucēju ar . Tajā pašā laikā mēs nevaram baidīties no tā, jo šajā gadījumā pieskares vērtība nepastāvētu.

Uzdevums Nr.4. Vienkāršojiet izteiksmi.

Norādītās izteiksmes tiek konvertētas, izmantojot samazināšanas formulas. Tie ir vienkārši neparasti rakstīti, izmantojot grādus. Pirmā izteiksme parasti apzīmē skaitli. Vienkāršosim visas trigofunkcijas pa vienam:

Jo , tad funkcija mainās uz kofunkciju, t.i. uz kotangensu, un leņķis iekrīt otrajā ceturksnī, kurā sākotnējai pieskarei ir negatīva zīme.

Tādu pašu iemeslu dēļ kā iepriekšējā izteiksmē funkcija mainās uz kofunkciju, t.i. uz kotangensu, un leņķis iekrīt pirmajā ceturksnī, kurā sākotnējai pieskarei ir pozitīva zīme.

Aizstāsim visu ar vienkāršotu izteiksmi:

Problēma #5. Vienkāršojiet izteiksmi.

Uzrakstīsim dubultā leņķa tangensu, izmantojot atbilstošo formulu, un vienkāršosim izteiksmi:

Pēdējā identitāte ir viena no universālajām kosinusa aizstāšanas formulām.

Problēma #6. Aprēķināt.

Galvenais ir nepieļaut standarta kļūdu, nesniedzot atbildi, ka izteiksme ir vienāda ar . Arktangenta pamatīpašību nevar izmantot, ja blakus ir faktors divi. Lai no tā atbrīvotos, mēs uzrakstīsim izteiksmi pēc dubultā leņķa tangensas formulas, vienlaikus uzskatot , kā parastu argumentu.

Tagad mēs varam izmantot arktangenta pamatīpašību; atcerieties, ka tā skaitliskajam rezultātam nav ierobežojumu.

Problēma Nr.7. Atrisiniet vienādojumu.

Risinot daļvienādojumu, kas ir vienāds ar nulli, vienmēr tiek norādīts, ka skaitītājs ir vienāds ar nulli, bet saucējs nav, jo Jūs nevarat dalīt ar nulli.

Pirmais vienādojums ir īpašs vienkāršākā vienādojuma gadījums, ko var atrisināt, izmantojot trigonometrisko apli. Atcerieties šo risinājumu pats. Otrā nevienādība tiek atrisināta kā vienkāršākais vienādojums, izmantojot pieskares sakņu vispārīgo formulu, bet tikai ar zīmi, kas nav vienāda.

Kā redzam, viena sakņu saime izslēdz citu tieši tāda paša veida sakņu saimi, kas neapmierina vienādojumu. Tie. nav sakņu.

Atbilde. Sakņu nav.

Problēma Nr.8. Atrisiniet vienādojumu.

Uzreiz atzīmēsim, ka varam izņemt kopējo faktoru un darīsim tā:

Vienādojums ir reducēts uz vienu no standarta formām, kur vairāku faktoru reizinājums ir vienāds ar nulli. Mēs jau zinām, ka šajā gadījumā vai nu viens no tiem ir vienāds ar nulli, vai otrs, vai trešais. Uzrakstīsim to vienādojumu kopas veidā:

Pirmie divi vienādojumi ir vienkāršāko īpašie gadījumi, ar līdzīgiem vienādojumiem esam sastapušies jau daudzas reizes, tāpēc nekavējoties norādīsim to risinājumus. Mēs reducējam trešo vienādojumu līdz vienai funkcijai, izmantojot dubultā leņķa sinusa formulu.

Atrisināsim pēdējo vienādojumu atsevišķi:

Šim vienādojumam nav sakņu, jo sinusa vērtība nevar pārsniegt .

Tādējādi risinājums ir tikai pirmās divas sakņu ģimenes, tās var apvienot vienā, ko ir viegli parādīt trigonometriskā aplī:

Šī ir visu pušu ģimene, t.i.

Pāriesim pie trigonometrisko nevienādību risināšanas. Pirmkārt, mēs analizēsim pieeju piemēra risināšanai, neizmantojot vispārīgu risinājumu formulas, bet izmantojot trigonometrisko apli.

Problēma Nr.9. Atrisiniet nevienlīdzību.

Uzzīmēsim uz trigonometriskā apļa palīglīniju, kas atbilst sinusa vērtībai, kas vienāda ar , un parādīsim leņķu diapazonu, kas apmierina nevienlīdzību.

Ir ļoti svarīgi precīzi saprast, kā norādīt iegūto leņķu intervālu, t.i. kāds ir tās sākums un kāds ir tās beigas. Intervāla sākums būs leņķis, kas atbilst punktam, kurā mēs ieiesim pašā intervāla sākumā, ja virzīsimies pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Mūsu gadījumā tas ir punkts, kas atrodas kreisajā pusē, jo virzoties pretēji pulksteņrādītāja virzienam un ejot garām pareizajam punktam, mēs, gluži pretēji, atstājam nepieciešamo leņķu diapazonu. Tāpēc pareizais punkts atbildīs atstarpes beigām.

Tagad mums ir jāsaprot mūsu nevienlīdzības risinājumu intervāla sākuma un beigu leņķi. Tipiska kļūda ir uzreiz norādīt, ka labais punkts atbilst leņķim, kreisais un sniegt atbildi. Tā nav taisnība! Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs tikko norādījām intervālu, kas atbilst apļa augšējai daļai, lai gan mūs interesē apakšējā daļa, citiem vārdiem sakot, mēs esam sajaucuši mums nepieciešamā risinājuma intervāla sākumu un beigas.

Lai intervāls sāktos no labā punkta stūra un beigtos ar kreisā punkta stūri, ir nepieciešams, lai pirmais norādītais leņķis būtu mazāks par otro. Lai to izdarītu, mums būs jāmēra labā punkta leņķis negatīvā atskaites virzienā, t.i. pulksteņrādītāja virzienā, un tas būs vienāds ar . Tad, sākot no tā virzīties pozitīvā pulksteņrādītāja virzienā, mēs nokļūsim labajā punktā aiz kreisā punkta un iegūsim tam leņķa vērtību. Tagad leņķu intervāla sākums ir mazāks par beigas, un mēs varam uzrakstīt risinājumu intervālu, neņemot vērā periodu:

Ņemot vērā, ka šādi intervāli tiks atkārtoti bezgalīgi daudz reižu pēc jebkura vesela apgriezienu skaita, mēs iegūstam vispārīgu risinājumu, ņemot vērā sinusa periodu:

Mēs ievietojam iekavas, jo nevienlīdzība ir stingra, un mēs izvēlamies apļa punktus, kas atbilst intervāla galiem.

Salīdziniet saņemto atbildi ar lekcijā sniegto vispārīgā risinājuma formulu.

Atbilde. .

Šī metode ir piemērota, lai saprastu, no kurienes nāk formulas vienkāršāko trigonu nevienādību vispārīgiem risinājumiem. Turklāt tas ir noderīgi tiem, kam ir pārāk slinks, lai apgūtu visas šīs apgrūtinošās formulas. Taču arī pati metode nav viegla, izvēlieties sev ērtāko pieeju risinājumam.

Lai atrisinātu trigonometriskās nevienādības, varat izmantot arī funkciju grafikus, uz kurām ir izveidota palīglīnija, līdzīgi kā parādīts, izmantojot vienības apli. Ja jūs interesē, mēģiniet pats izdomāt šo pieeju risinājumam. Tālāk mēs izmantosim vispārīgas formulas, lai atrisinātu vienkāršas trigonometriskās nevienādības.

Problēma Nr.10. Atrisiniet nevienlīdzību.

Izmantosim vispārīgā risinājuma formulu, ņemot vērā to, ka nevienlīdzība nav stingra:

Mūsu gadījumā mēs iegūstam:

Atbilde.

Problēma Nr.11. Atrisiniet nevienlīdzību.

Attiecīgajai strikti nevienādībai izmantosim vispārīgo risinājuma formulu:

Atbilde. .

Problēma Nr.12. Atrisiniet nevienādības: a) ; b) .

Šajās nevienādībās nav jāsteidzas ar vispārīgu risinājumu vai trigonometriskā apļa formulu izmantošanu, pietiek tikai atcerēties sinusa un kosinusa vērtību diapazonu.

a) Kopš , tad nevienlīdzībai nav jēgas. Tāpēc risinājumu nav.

b) Tāpēc, ka tāpat jebkura argumenta sinuss vienmēr apmierina nosacījumā norādīto nevienādību. Tāpēc visas argumenta patiesās vērtības apmierina nevienlīdzību.

Atbilde. a) nav risinājumu; b) .

13. problēma. Atrisiniet nevienlīdzību .

Risinot nevienādības, kas satur trigonometriskās funkcijas, tās tiek reducētas uz vienkāršākajām nevienādībām formā cos(t)>a, sint(t)=a un līdzīgām. Un jau vienkāršākās nevienādības ir atrisinātas. Apskatīsim dažādus piemērus, kā atrisināt vienkāršas trigonometriskās nevienādības.

1. piemērs. Atrisiniet nevienādību sin(t) > = -1/2.

Uzzīmējiet vienības apli. Tā kā sin(t) pēc definīcijas ir y koordināte, mēs atzīmējam punktu y = -1/2 uz Oy ass. Caur to novelkam taisnu līniju paralēli Vērša asij. Taisnes krustpunktā ar vienības apļa grafiku atzīmējiet punktus Pt1 un Pt2. Mēs savienojam koordinātu izcelsmi ar punktiem Pt1 un Pt2 pa diviem segmentiem.

Šīs nevienlīdzības risinājums būs visi vienības apļa punkti, kas atrodas virs šiem punktiem. Citiem vārdiem sakot, risinājums būs loka l. Tagad ir jānorāda nosacījumi, saskaņā ar kuriem patvaļīgs punkts piederēs lokam l.

Pt1 atrodas labajā puslokā, tā ordināta ir -1/2, tad t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Lai aprakstītu punktu Pt1, varat uzrakstīt šādu formulu:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Rezultātā mēs iegūstam šādu nevienādību t:

Mēs saglabājam nevienlīdzību. Un tā kā sinusa funkcija ir periodiska, tas nozīmē, ka risinājumi tiks atkārtoti ik pēc 2*pi. Mēs pievienojam šo nosacījumu iegūtajai t nevienādībai un pierakstām atbildi.

Atbilde: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

2. piemērs. Atrisiniet cos(t) nevienādību<1/2.

Uzzīmēsim vienības apli. Tā kā saskaņā ar definīciju cos(t) ir x koordināta, mēs atzīmējam punktu x = 1/2 grafikā uz Ox ass.
Caur šo punktu novelkam taisnu līniju paralēli Oy asij. Taisnes krustpunktā ar vienības apļa grafiku atzīmējiet punktus Pt1 un Pt2. Mēs savienojam koordinātu izcelsmi ar punktiem Pt1 un Pt2 pa diviem segmentiem.

Risinājumi būs visi vienības riņķa punkti, kas pieder lokam l. Atradīsim punktus t1 un t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Mēs saņēmām nevienādību t: pi/3

Tā kā kosinuss ir periodiska funkcija, risinājumi tiks atkārtoti ik pēc 2*pi. Mēs pievienojam šo nosacījumu iegūtajai t nevienādībai un pierakstām atbildi.

Atbilde: pi/3+2*pi*n

3. piemērs. Atrisiniet nevienādību tg(t)< = 1.

Pieskares periods ir vienāds ar pi. Atradīsim atrisinājumus, kas pieder pie intervāla (-pi/2;pi/2) labā pusloka. Tālāk, izmantojot pieskares periodiskumu, mēs pierakstām visus šīs nevienlīdzības atrisinājumus. Uzzīmēsim vienības apli un atzīmēsim uz tā pieskares līniju.

Ja t ir nevienādības atrisinājums, tad punkta T = tg(t) ordinātai jābūt mazākai vai vienādai ar 1. Šādu punktu kopa veidos staru AT. Punktu kopa Pt, kas atbildīs šī stara punktiem, ir loka l. Turklāt punkts P(-pi/2) nepieder pie šī loka.

Lielākajai daļai skolēnu nepatīk trigonometriskās nevienlīdzības. Bet velti. Kā viens varonis mēdza teikt,

"Jūs vienkārši nezināt, kā tos pagatavot"

Tātad, kā “gatavot” un ar ko iesniegt nevienlīdzību ar sinusu, mēs izdomāsim šajā rakstā. Mēs to atrisināsim vienkāršākā veidā - izmantojot vienības apli.

Tātad, pirmkārt, mums ir nepieciešams šāds algoritms.

Algoritms nevienādību risināšanai ar sinusu:

1. uz sinusa ass uzzīmējam skaitli $a$ un novelkam taisni paralēli kosinusa asij, līdz tā krustojas ar apli;
2. šīs līnijas krustošanās punkti ar apli tiks iekrāsoti, ja nevienlīdzība nav stingra, un netiks ieēnoti, ja nevienlīdzība ir stingra;
3. nevienādības atrisinājuma laukums atradīsies virs līnijas un līdz aplim, ja nevienādībā ir zīme “$>$”, un zem līnijas un līdz aplim, ja nevienādībā ir zīme “$<$”;
4. lai atrastu krustpunktus, atrisinām trigonometrisko vienādojumu $\sin(x)=a$, iegūstam $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. uzstādot $n=0$, atrodam pirmo krustojuma punktu (tas atrodas vai nu pirmajā vai ceturtajā ceturksnī);
6. lai atrastu otro punktu, skatāmies, kurā virzienā ejam cauri apgabalam līdz otrajam krustojuma punktam: ja pozitīvā virzienā, tad jāņem $n=1$, un ja negatīvā, tad $n=- 1 $;
7. atbildot, intervāls tiek pierakstīts no mazākā krustojuma punkta $+ 2\pi n$ uz lielāko $+ 2\pi n$.

Algoritma ierobežojums

Svarīgi: d dotais algoritms nestrādā formas $\sin(x) > 1 nevienādībām; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Īpaši gadījumi, risinot nevienādības ar sinusu

Ir svarīgi arī atzīmēt šādus gadījumus, kurus ir daudz ērtāk atrisināt loģiski, neizmantojot iepriekš minēto algoritmu.

Īpašs gadījums 1. Atrisiniet nevienlīdzību:

$\sin(x)\leq 1.$

Sakarā ar to, ka trigonometriskās funkcijas $y=\sin(x)$ vērtību diapazons nav lielāks par modulo $1$, tad nevienādības kreisā puse jebkurā$x$ no definīcijas domēna (un sinusa definīcijas domēns ir visi reālie skaitļi) nav lielāks par $1$. Un tāpēc atbildē mēs rakstām: $x \in R$.

Sekas:

$\sin(x)\geq -1.$

Īpašs gadījums 2. Atrisiniet nevienlīdzību:

$\sin(x)< 1.$

Izmantojot 1. īpašajam gadījumam līdzīgu argumentāciju, mēs atklājam, ka nevienādības kreisā puse ir mazāka par $1$ visiem $x \in R$, izņemot punktus, kas ir vienādojuma $\sin(x) = 1$ atrisinājumi. Atrisinot šo vienādojumu, mums būs:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Un tāpēc atbildē mēs rakstām: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Sekas: nevienlīdzība tiek atrisināta līdzīgi

$\sin(x) > -1.$

Piemēri nevienādību risināšanai, izmantojot algoritmu.

1. piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Atzīmēsim koordinātu $\frac(1)(2)$ uz sinusa ass.
2. Novelkam taisnu līniju, kas ir paralēla kosinusa asij un iet caur šo punktu.
3. Atzīmēsim krustojuma punktus. Tie būs noēnoti, jo nevienlīdzība nav stingra.
4. Nevienlīdzības zīme ir $\geq$, kas nozīmē, ka mēs krāsojam laukumu virs līnijas, t.i. mazāks pusloks.
5. Mēs atrodam pirmo krustojuma punktu. Lai to izdarītu, nevienādību pārvēršam vienādībā un atrisinām: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Tālāk iestatām $n=0$ un atrodam pirmo krustojuma punktu: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Mēs atrodam otro punktu. Mūsu apgabals iet pozitīvā virzienā no pirmā punkta, kas nozīmē, ka mēs iestatām $n$ vienādu ar $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Tādējādi risinājumam būs šāda forma:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

2. piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Atzīmēsim uz sinusa ass koordinātu $-\frac(1)(2)$ un novelkam taisni paralēli kosinusa asij un iet caur šo punktu. Atzīmēsim krustojuma punktus. Tie netiks iekrāsoti, jo nevienlīdzība ir stingra. Nevienlīdzības zīme $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Tālāk pieņemot, ka $n=0$, mēs atrodam pirmo krustošanās punktu: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Mūsu apgabals iet negatīvā virzienā no pirmā punkta, kas nozīmē, ka mēs iestatām $n$ vienādu ar $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Tātad šīs nevienlīdzības risinājums būs intervāls:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

3. piemērs: Atrisiniet nevienlīdzību:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Šo piemēru nevar atrisināt uzreiz, izmantojot algoritmu. Vispirms jums tas ir jāpārveido. Mēs darām tieši to pašu, ko darītu ar vienādojumu, taču neaizmirstiet par zīmi. Dalot vai reizinot ar negatīvu skaitli, tas tiek mainīts!

Tātad, visu, kas nesatur trigonometrisko funkciju, pārvietosim uz labo pusi. Mēs iegūstam:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Sadalīsim kreiso un labo pusi ar $-2$ (neaizmirstiet par zīmi!). Būs:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Atkal mums ir nevienlīdzība, kuru mēs nevaram atrisināt, izmantojot algoritmu. Bet šeit ir pietiekami mainīt mainīgo:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Iegūstam trigonometrisko nevienādību, ko var atrisināt, izmantojot algoritmu:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Šī nevienlīdzība tika atrisināta 1. piemērā, tāpēc aizgūsim atbildi no turienes:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Tomēr lēmums vēl nav beidzies. Mums ir jāatgriežas pie sākotnējā mainīgā.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Iedomāsimies intervālu kā sistēmu:

$\left\(\begin(masīvs)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(masīvs) \right.$

Sistēmas kreisajā pusē ir izteiksme ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), kas pieder pie intervāla. Intervāla kreisā robeža ir atbildīga par pirmo nevienlīdzību, bet labā robeža ir atbildīga par otro. Turklāt iekavām ir svarīga loma: ja kronšteins ir kvadrātveida, tad nevienlīdzība tiks mazināta, un, ja tā ir apaļa, tad tā būs stingra. mūsu uzdevums ir iegūt $x$ kreisajā pusē abās nevienlīdzībās.

Pārvietosim $\frac(\pi)(6)$ no kreisās puses uz labo pusi, iegūstam:

$\left\(\begin(masīvs)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(masīvs) \right.$

Vienkāršojot, mums būs:

$\left\(\begin(masīvs)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(masīvs) \right.$

Reizinot kreiso un labo pusi ar 4 $, mēs iegūstam:

$\left\(\begin(masīvs)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(masīvs) \right. $

Saliekot sistēmu intervālā, mēs saņemam atbildi:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

dienas top rehabilitācijas modelis