三角方程式と不等式の定義。 三角関数の不等式を解く方法

1.5 三角不等式とその解法

1.5.1 単純な三角関数の不等式を解く

現代の数学教科書の著者のほとんどは、最も単純な三角関数の不等式を解くことからこのテーマの考察を始めることを提案しています。 最も単純な三角関数の不等式を解く原理は、三角円上で主要な三角関数の角度だけでなく他の値も決定する知識と能力に基づいています。

一方、形式 , , の不等式の解は次のように実行できます。まず、この不等式が成り立つ区間 () を見つけます。次に、見つかった式の末尾に加算して最終的な答えを書き留めます。間隔はサインまたはコサインの周期の倍数です: ( ）。 この場合、値は簡単に見つかります。 また 。 値の検索は、生徒の直観、つまりサインまたはコサイン グラフの個々の部分の対称性を使用して、円弧またはセグメントの等しいことに気づく能力に依存します。 そしてこれは、かなり多くの生徒の力ではできないこともあります。 指摘された問題を克服するために、近年の教科書では、最も単純な三角関数の不等式を解くために別のアプローチが使用されていますが、これでは学習成果は向上しませんでした。

長年にわたり、私たちは対応する方程式の根の公式を使用して、三角関数の不等式の解を見つけることに非常に成功してきました。

私たちはこのトピックを次の方法で研究します。

1.次のように仮定して、グラフを作成し、\u003d aを作成します。

次に、方程式とその解を書き留めます。 n 0 を与えます。 1; 2 では、合成された方程式の 3 つの根が見つかります。 値はグラフの連続する 3 つの交点の横軸であり、y = a です。 不等式が区間 () と区間 () - 不等式 に常に成り立つことは明らかです。

これらの間隔の終わりにサインの周期の倍数を追加すると、最初のケースでは、次の形式で不等式の解が得られます。 2 番目のケースでは、次の形式の不等式の解が得られます。

方程式の解である式の正弦とは対照的に、n = 0 の場合は 2 つの根が得られ、n = 1 の場合は 3 番目の根が次の形式で得られます。 。 また、グラフと の交点の 3 つの連続する横座標も表示されます。 区間 () では不等式が満たされ、区間 () では不等式が満たされます。

これで、不等式と の解を簡単に書き留めることができます。 最初のケースでは、次の結果が得られます。

そして 2 番目: 。

要約します。 不等式 または を解くには、対応する方程式を作成して解く必要があります。 結果の式から根 と を見つけ、不等式の答えを次の形式で書きます。

不等式を解くときは、対応する方程式の根の公式から根 と を見つけ、不等式の答えを次の形式で書きます。

このテクニックを使用すると、すべての生徒に三角関数の不等式の解き方を教えることができます。 このテクニックは完全に学生がしっかりと習得したスキルに依存しています。 これらは、最も単純な問題を解決し、数式を使用して変数の値を見つける機能です。 また、教師の指導のもとで丁寧に解くことは完全に任意となります。 多数の不等号、数値 a の係数の値、およびその符号に応じたあらゆる種類の推論テクニックを実証するための演習です。 そして、不平等を解決するプロセス自体が短くなり、これが非常に重要ですが、均一になります。

この方法のもう 1 つの利点は、右辺がサインまたはコサインのテーブル値でない場合でも、不等式を簡単に解くことができることです。

これを具体的な例で説明してみましょう。 不等式を解くことが要求されるとしましょう。 対応する方程式を書いて解いてみましょう。

と の値を求めてみましょう。

n = 1の場合

n = 2の場合

この不等式に対する最終的な答えを書きます。

最も単純な三角関数の不等式を解く例では、欠点が 1 つだけあります。それは、ある程度の形式主義が存在することです。 しかし、すべてがこれらの立場からのみ評価される場合、二次方程式の根の公式と三角方程式を解くためのすべての公式、その他多くの公式の両方が形式主義であると非難することが可能になります。

提案された方法は、三角関数の不等式を解くためのスキルと能力の形成において価値のある場所を占めていますが、三角関数の不等式を解くための他の方法の重要性と特徴を過小評価することはできません。 これには間隔法も含まれます。

その本質を考えてみましょう。

A.G.が編集したセット モルドコビッチ、ただし他の教科書も無視すべきではありません。 § 3. 代数の過程で「三角関数」というトピックを教える方法と解析の始まり 学校での三角関数の学習では、2 つの主な段階に分けることができます。 ü 三角関数についての最初の知識 ...

研究中に次の課題が解決されました。 1) 現在の代数学の教科書と数学的解析の始まりを分析して、そこに示されている無理な方程式と不等式を解く方法を特定しました。 実行された分析により、次の結論を導き出すことができます。 高校では、さまざまな無理方程式を解く方法に十分な注意が払われていません。

三角関数の不等式を解く方法

関連性。 歴史的に、三角方程式と不等式は学校のカリキュラムの中で特別な位置を占めてきました。 三角法は学校のコースおよび数学全般の中で最も重要なセクションの 1 つであると言えます。

三角方程式と不等式は、教材の内容と、学習中に形成することができ、大規模な問題を解くために適用されるべき教育的および認知的活動の方法の両方の点で、高校の数学コースの中心的な位置の 1 つを占めています。理論的および応用的な性質の問題の数。

三角関数の方程式と不等式を解くことにより、三角関数のあらゆる教材に関する知識（三角関数の性質、三角関数の式の変形方法など）を体系化するための前提条件が整い、三角関数との効果的なつながりを確立することが可能になります。代数学で学習した内容（方程式、方程式の等価性、不等式、代数式の等価変換など）。

言い換えれば、三角方程式や不等式を解く方法を考えることは、これらのスキルを新しい内容に移転することを意味します。

この理論の重要性とその数多くの応用は、選択されたトピックの関連性を証明しています。 これにより、コース作業の目標、目的、研究対象を決定することができます。

研究の目的： 利用可能な三角関数の不等式、その解決のための基本的および特別な方法を一般化し、学童が三角関数の不等式を解くための一連のタスクを選択します。

研究目的：

1. 研究テーマに関する入手可能な文献の分析に基づいて、資料を体系化します。

2. 「三角関数の不等式」というトピックを理解するために必要な一連のタスクを与えます。

研究対象 学校の数学コースで扱われる三角不等式です。

研究テーマ: 三角不等式の種類とその解法。

理論上の重要性 資料を整理することです。

実用的な重要性: 問題解決における理論的知識の応用。 三角関数の不等式を解くために頻繁に使用される主な方法の分析。

研究手法 : 科学文献の分析、獲得した知識の統合と一般化、問題解決の分析、不平等を解決するための最適な方法の探索。

§1. 三角不等式の種類と基本的な解法

1.1. 最も単純な三角不等式

符号または > で接続された 2 つの三角関数式を三角関数不等式といいます。

三角関数の不等式を解くとは、不等式が満たされる、不等式に含まれる未知数の値のセットを見つけることを意味します。

三角関数の不等式の主要部分は、最も単純なものを解くことによって解決されます。

これは因数分解、変数の変更の方法である可能性があります (
,
など)、最初に通常の不等式が解かれ、次に次の形式の不等式が解かれます。
など、または他の方法。

最も単純な不等式は、単位円を使用する方法とグラフを使用する方法の 2 つの方法で解決されます。

させてf(x  基本的な三角関数の 1 つです。 不平等を解決するには
1 つの期間、つまり 1 つの期間でその解を見つけるだけで十分です。 長さが関数の周期に等しい任意のセグメント上でf  バツ  。 そうすれば元の不等式の解はすべて見つかりますバツ 、および関数の任意の整数の期間によって検出される値とは異なる値も含まれます。 このような場合には、グラフィカルな方法を使用すると便利です。

不等式を解くアルゴリズムの例を示しましょう
(
） と
.

不等式を解くアルゴリズム
(
).

1. 数値の正弦の定義を定式化するバツ 単位円上で。

3. Y 軸上で、座標で点をマークします。ある .

4. この点を通り、OX 軸に平行な線を引き、その線と円の交点に印を付けます。

5. すべての点の縦座標が以下の円弧を選択します。ある .

6. バイパスの方向 (反時計回り) を指定し、関数の期間を区間の終わりに追加して答えを書き留めます。2πn ,
.

不等式を解くアルゴリズム
.

1. 数値のタンジェントの定義を定式化するバツ 単位円上で。

2. 単位円を描きます。

3. 接線を引き、その上の点を縦座標でマークします。ある .

4. この点を原点に接続し、結果のセグメントと単位円の交点をマークします。

5. 円の円弧を選択します。その円弧のすべての点の接線上の縦座標が以下になります。ある .

6. 走査の方向を示し、関数の範囲を考慮してピリオドを追加して答えを書き留めます。ピン ,
(レコードの左側の数値は常に右側の数値より小さくなります)。

最も単純な方程式の解の図解と一般形式の不等式を解くための公式は、付録 (付録 1 および 2) に記載されています。

例1 不等式を解く
.

単位円上に線を引く
、点 A と点 B で円と交差します。

すべての値y NMの間隔でさらに 、円弧 AMB のすべての点がこの不等式を満たします。 すべての回転角度で、大きい 、しかし小さい ,
より大きな値を取ることになります (ただし複数ではありません)。

図1

したがって、不等式の解は区間内のすべての値になります
、つまり
。 この不等式のすべての解を得るには、この区間の両端に加算するだけで十分です
、 どこ
、つまり
,
. 値に注意してください。
と
方程式の根です
,

それらの。
;
.

答え：
,
.

1.2. グラフィック手法

実際には、三角関数の不等式を解くためのグラフィカルな方法が役立つことがよくあります。 不等式を例に手法の本質を考える
:

1. 引数が複雑な場合（引数とは異なります）バツ )、それを次のように置き換えます。t .

2. 1 つの座標平面を構築しますとオイ 関数グラフ
と
.

3. 私たちはそのようなものを見つけますグラフの隣接する 2 つの交点、その間に正弦波位置したより高い 真っ直ぐ
。 これらの点の横座標を求めます。

4. 引数に二重不等式を記述します。t 、余弦期間を考慮して (t は見つかった横座標の間にあります)。

5. 逆置換（元の引数に戻す）を行って値を表現しますバツ 二重不等式から、答えを数値区間として書きます。

例 2 不等式を解きます: 。

グラフィカルな方法で不等式を解く場合、関数のグラフをできるだけ正確に構築する必要があります。 不等式を次の形式に変換しましょう。

1 つの座標系で関数のグラフを構築してみましょう
と
(図2)。

図2

関数グラフは点で交差しますあ 座標付き
;
。 その間
グラフの点
チャートポイントの下
。 そしていつ
関数の値は同じです。 それが理由です
で
.

答え：
.

1.3. 代数的手法

多くの場合、元の三角関数の不等式は、適切に選択された置換により、代数 (有理または無理数) 不等式に縮小できます。 この方法には、不等式の変換、置換の導入、または変数の置換が含まれます。

この手法の具体例への応用を考えてみましょう。

例 3 最も単純な形への還元
.

(図3)

図3

,
.

答え：
,

例 4 不等式を解く：

ODZ:
,
.

数式の使用:
,

不等式を次の形式で書きます。
.

あるいは、仮定すると、
単純な変換の後、次の結果が得られます

,

,

.

最後の不等式を間隔法で解くと、次が得られます。

図4

、 それぞれ
。 それでは図から。 4人がフォローしています
、 どこ
.

図5

答え：
,
.

1.4. 間隔を空ける方法

区間法によって三角関数の不等式を解くための一般的なスキームは次のとおりです。

三角関数の公式を使って因数分解します。

関数のブレークポイントとゼロを見つけて、円の上に置きます。

任意の点を取得しますに （しかし、以前は見つかりませんでした）そして製品の兆候を見つけてください。 積が正の場合、角度に対応する光線上の単位円の外側に点を置きます。 それ以外の場合は、点を円の内側に置きます。

点が偶数回出現する場合、それを偶数多重度の点と呼び、奇数回出現する場合、それを奇数多重度の点と呼びます。 次のように円弧を描きます: 点から開始しますに , 次の点の多重度が奇数の場合、円弧はこの点で円と交差しますが、点の多重度が偶数の場合は交差しません。

円の後ろの円弧は正のギャップです。 円の内側は負の間隔です。

例5 不等式を解く

,
.

第1シリーズのポイント：
.

第2シリーズのポイント：
.

各ポイントは奇数回発生します。つまり、すべてのポイントは奇数の多重度になります。

製品のサインは次の場所で確認できます。
: 。 単位円上のすべての点にマークを付けます (図 6)。

米。 6

答え：
,
;
,
;
,
.

例6 。 不等式を解く.

解決：

式のゼロを見つけてみましょう .

得るああメートル :

,
;

,
;

,
;

,
;

単位円上での系列値バツ 1 ドットで表現される
。 シリーズバツ 2 ポイントを与える
。 シリーズバツ 3 2点を獲得します
。 ついにシリーズ化バツ 4 点を表します
。 これらすべての点を単位円上に配置し、それぞれの多重度の横に括弧内に示します。

さあ、数字を入れてみましょう 等しくなります。 符号により推定します。

それでポイントはあ 角度を形成するビーム上で選択する必要があります ビーム付きおお、 単位円の外側。 (補助ビームに注意してください。だいたい あ 写真に映る必要はありません。 ドットあ おおよそ選ばれています。）

では要点からあ マークされたすべての点に連続した波線を描きます。 そしてポイントでは
私たちの線は、ある領域から別の領域に通過します。単位円の外側にある場合は、単位円内を通過します。 核心に迫る 、この点の多重度は偶数であるため、線は内側の領域に戻ります。 ポイントでも同様に (多重度が偶数の場合) ラインは外側の領域まで回転する必要があります。 そこで、図に示すような絵を描きました。 7. 単位円上の目的の領域を強調表示するのに役立ちます。 それらには「+」のマークが付いています。

図7

最終的な答え:

ノート。 波線が単位円上にマークされた点をすべて通過しても、その点に戻れない場合あ , 「不正な」場所で円を横切らなかった場合、これは、解決策でエラーが発生したこと、つまり、奇数のルートが省略されたことを意味します。

答え: .

§2. 三角関数の不等式を解くための一連のタスク

三角関数の不等式を解く学童の能力を開発する過程では、3 つの段階も区別できます。

1. 準備、

2. 最も単純な三角関数の不等式を解くスキルの形成。

3. 他の種類の三角不等式の導入。

準備段階の目的は、三角関数の円またはグラフを使用して不等式を解く能力を学童に形成する必要があることです。

形式の単純な不等式を解く能力
,
,
,
, サイン関数とコサイン関数のプロパティを使用します。

数値円の円弧または関数のグラフの円弧に対して二重不等式を作成する機能。

三角関数式のさまざまな変換を実行する機能。

三角関数の特性に関する学童の知識を体系化する過程でこの段階を実装することをお勧めします。 主な手段は、生徒に提供され、教師の指導の下で、または独立して実行されるタスク、および三角方程式を解く際に獲得されるスキルです。

そのようなタスクの例を次に示します。

1 。 単位円上の点をマークします 、 もしも

.

2. 点は座標面の何分の 1 にありますか 、 もしも 等しい:

3. 三角円上の点をマークします 、 もしも：

4. 式を三角関数に当てはめます私四分の一。

A)
, b)
, V)

5. 弧を考えると MR.M - 真ん中私第 4 四半期、R - 真ん中Ⅱ第四四半期。 変数の値を制限するt の場合: (二重不等式を作成) a) 円弧 MP; b) RM アーク。

6. グラフの選択したセクションに対して二重不等式を書きます。

米。 1

7. 不平等を解決する
,
,
,
.

8. 式を変換する .

三角関数の不等式を解く学習の第 2 段階では、生徒の活動を組織するための方法論に関連して次の推奨事項を提供できます。 同時に、最も単純な三角方程式を解く際に形成される三角円やグラフを扱う生徒のスキルに焦点を当てる必要があります。

まず、たとえば次の形式の不等式を参照することによって、最も単純な三角関数の不等式を解くための一般的な方法を得る便宜性を動機付けることができます。
. 準備段階で習得した知識とスキルを使用して、学生は提案された不等式を形にします。
しかし、結果として生じる不等式に対する一連の解を見つけるのは難しいかもしれません。 サイン関数の特性だけを使用してこれを解決することは不可能です。 この問題は、適切な図 (グラフによる方程式の解法または単位円の使用) を参照することで回避できます。

第二に、教師は課題を完了するためのさまざまな方法に生徒の注意を引き、図形と三角円を使用して不等式を解く適切な例を示す必要があります。

不等式を解決するためにそのようなオプションを検討してください
.

1. 単位円を使用して不等式を解きます。

三角関数の不等式を解く最初のレッスンでは、詳細な解法アルゴリズムを生徒に提供します。このアルゴリズムは、ステップバイステップのプレゼンテーションで、不等式を解くために必要なすべての基本スキルを反映しています。

ステップ1。単位円を描き、y 軸上の点をマークします それを通る直線を x 軸に平行に引きます。 この線は単位円と 2 点で交差します。 これらの各点は、正弦が次の値に等しい数値を表します。 .

ステップ2この直線は円を 2 つの円弧に分割しました。 より大きい正弦を持つ数値が表示されているものを選び出しましょう。 。 当然のことながら、この円弧は描かれた直線の上に位置します。

米。 2

ステップ3マークされた円弧の端の 1 つを選択しましょう。 単位円のこの点が表す数字の 1 つを書き留めてみましょう .

ステップ4選択した円弧の 2 番目の端に対応する番号を選択するために、この円弧に沿って指定された端からもう一方の端まで「通過」します。 同時に、反時計回りに移動すると、通過する数字が増加することを思い出します（逆方向に移動すると、数字は減少します）。 マークされた円弧の第 2 端によって単位円上に描かれる数字を書き留めましょう .

したがって、不等式が
不等式が成り立つ数を満たす
。 正弦関数の同じ周期上にある数値の不等式を解きました。 したがって、不等式のすべての解は次のように書くことができます。

生徒には、この図を注意深く検討し、不等式に対するすべての解決策がなぜ得られるのかを理解するよう求められる必要があります。
という形式で書くことができます
,
.

米。 3

コサイン関数の不等式を解くときは、y 軸に平行な直線を引くという事実に生徒の注意を引く必要があります。

不等式を解くグラフィカルな方法。

構築図
と
、 とすれば
.

米。 4

次に、方程式を書きます
そして彼の解決策
,
,
、数式を使用して求めます
,
,
.

(寄付n 値 0、1、2、合成された方程式の 3 つの根が見つかります)。 価値観
グラフの交点の連続する 3 つの横座標です。
と
。 明らかに、常に間隔をあけて
不平等
、そしてその間隔で
- 不平等
。 最初のケースに興味があり、この区間の終わりに正弦周期の倍数の数値を追加すると、不等式の解が得られます。
として：
,
.

米。 5

要約します。 不平等を解決するには
、対応する方程式を書いて解く必要があります。 結果の式から根を求めます と 、不等式の答えを次の形式で書きます。 ,
.

第三に、対応する三角関数の不等式の根のセットに関する事実は、それをグラフで解くときに非常に明確に確認されます。

米。 6

不等式の解であるコイルが、三角関数の周期に等しい同じ間隔で繰り返されることを生徒に示す必要があります。 サイン関数のグラフについても同様の図を考えることができます。

第四に、三角関数の和（差）を積に変換する生徒の手法を更新し、三角関数の不等式を解く際のこれらの手法の役割に生徒の注意を引くようにすることが望ましい。

このような作業は、教師が提案したタスクを生徒が自主的に実行することで組織化できます。その中で、次のことに重点を置きます。

第 5 に、生徒は、グラフまたは三角円を使用して、単純な三角関数の各不等式の解を説明する必要があります。 三角関数の不等式を解くとき、対応する図は一連の解を特定の不等式に固定する非常に便利な手段として機能するため、その便宜性、特に円の使用に必ず注意を払ってください。

最も単純ではない三角関数の不等式を解く方法を生徒に知ってもらうには、次のスキームに従って実行することをお勧めします。 特定の三角関数の不等式を参照する 対応する三角関数の方程式を参照する 独立した解を求める共同検索 (教師 - 生徒)見つかった手法を同じタイプの他の不等式に移す。

生徒の三角法の知識を体系化するには、そのような不等式を具体的に選択し、その解法には、解く過程で実装できるさまざまな変換が必要であり、生徒の注意をその特徴に集中させることをお勧めします。

このような生産的不平等として、例えば次のようなことが提案できます。

結論として、三角不等式を解くための一連の問題の例を示します。

1. 不等式を解きます。

2. 不等式を解きます。 3. 不等式のすべての解を求めます。 4. 不等式のすべての解を求めます。

A)
、条件を満たす
;

b)
、条件を満たす
.

5. 不等式のすべての解を求めます。

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

e)
.

6. 不等式を解きます。

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e) ;

e) ;

と）
.

7. 不等式を解きます。

A)
;

b) ;

V) ;

G) 。

8. 不等式を解きます。

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

e)
;

e) ;

と）
;

h) 。

タスク 6 と 7 は高度なレベルで数学を学習する生徒に、タスク 8 は数学を深く学習するクラスの生徒に提供することをお勧めします。

§3. 三角関数の不等式を解くための特別な方法

三角方程式を解くための特別なメソッド。つまり、三角方程式を解くためにのみ使用できるメソッドです。 これらの方法は、三角関数の特性の使用、およびさまざまな三角関数の公式と恒等式の使用に基づいています。

3.1. セクター法

三角不等式を解くセクター法を考えてみましょう。 形式の不等式の解法

、 どこP ( バツ ) とQ ( バツ ) - 有理三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは有理的に入力されます)。有理不等式の解法と同様です。 有理不等式を実軸上の区間法で解くと便利です。 有理三角関数の不等式を解く際の類似物は、三角円の扇形法です。シンクス とコックス (
) または三角関数の半円tgx とctgx (
).

区間法では、次の形式の分子と分母の各線形因数が
数値軸上の点 、そしてこのポイントを通過すると
符号が変わります。 セクター法では、次の形式の各乗数が
、 どこ
- 機能の 1 つシンクス またコックス と
、三角円では 2 つの角度が対応します。 と
、円を 2 つのセクターに分割します。 通過時 と 関数
符号が変わります。

次のことを覚えておく必要があります。

a) 形式の乗数
と
、 どこ
、すべての値の符号を保持します 。 このような分子と分母の乗数は破棄され、変更されます (
) このような拒否のたびに、不等号は反転されます。

b) 形式の乗数
と
も捨てられます。 さらに、これらが分母の因数である場合、次の形式の不等式が同等の不等式系に追加されます。
と
。 これらが分子の因数である場合、等価な制約系では、これらは不等式に対応します。
と
厳密な初期不等式と等しい場合
と
非厳密な初期不等式の場合。 乗数を下げるとき
また
不等号が反転します。

例1 不等式を解く: a)
、b)
. b) という関数があります。 私たちが抱えている不平等を解決する

3.2. 同心円法

この方法は、有理不等式系を解く際の平行数値軸の方法に似ています。

不平等系の例を考えてみましょう。

例5 単純な三角不等式系を解く

まず、各不等式を個別に解きます (図 5)。 図の右上隅に、どの引数に対して三角円が考慮されるかを示します。

図5

次に、議論のための同心円系を構築します。バツ 。 最初の不等式の解に従って円を描き、陰影を付けます。次に、より大きな半径の円を描き、2 番目の不等式の解に従って陰影を付けます。次に、3 番目の不等式の円と基本円を作成します。 。 システムの中心から円弧の端を通って、すべての円と交差するように光線を描きます。 基礎円上で解を形成します (図 6)。

図6

答え：
,
.

結論

コースワークの目標はすべて完了しました。 理論的な内容は体系化されており、三角不等式の主な種類とその解決のための主な方法 (グラフ、代数、区間法、セクター、同心円法) が示されています。 各方法について、不等式を解く例が示されました。 理論的な部分の後に実践的な部分が続きました。 これには、三角関数の不等式を解くための一連のタスクが含まれています。

このコースワークは、学生が自主的に学習するために使用できます。 学生はこのトピックの理解度を確認し、さまざまな複雑さのタスクを実行する練習をすることができます。

この問題に関する関連文献を調べた結果、明らかに、学校の代数学コースおよび解析の開始において三角不等式を解く能力とスキルは非常に重要であり、その開発には学生側の多大な努力が必要であると結論付けることができます。数学の先生。

したがって、この作業は、「三角関数の不等式」というテーマに関する生徒のトレーニングを効果的に組織することができるため、数学の教師にとって役立ちます。

研究は、最終的な認定作業まで拡張することで継続できます。.

中古文献リスト

ネバダ州ボゴモロフ 数学問題集【テキスト】／N.V. ボゴモロフ。 – M.: バスタード、2009. – 206 p.

ヴィゴドスキー、M.Ya。 初等数学ハンドブック［文］／M.Ya. ヴィゴドスキー。 – M.: バスタード、2006. – 509 p.

ズルベンコ、L.N. 例とタスクの数学 [テキスト] / L.N. ズルベンコ。 – M.: Infra-M、2009. – 373 p.

イワノフ、O.A. 児童・生徒・教師のための初等数学 [テキスト] / O.A. イワノフ。 – M.: MTsNMO、2009. – 384 p.

カープ、A.P. 代数学のタスクと、11年生の最終反復と認定の組織化のための分析の始まり[テキスト] / A.P。 鯉。 – M.: 啓蒙、2005. – 79 p.

クラニン、E.D. 数学の競技問題3000問 [テキスト] / E.D. クラニン。 – M.: Iris-press、2007. – 624 p.

レイブソン、K.L. 数学実践課題集 [文] / K.L. リーブソン。 – M.: バスタード、2010. – 182 p.

肘、V.V. パラメータの問題とその解決策。 三角法: 方程式、不等式、系。 10 年生 [テキスト] / V.V. 肘。 – M.: ARKTI、2008. – 64 p.

マノバ、A.N. 数学。 試験の準備をするためのエクスプレス講師: アカウント。 お小遣い [文] / A.N. マノバ。 - ロストフ・ナ・ドヌ: フェニックス、2012。 - 541 p。

モルドコビッチ、A.G. 代数と数学的解析の始まり。 10～11年生。 教育機関学生向け教科書［テキスト］／A.G. モルドコビッチ。 – M.: Iris-press、2009. – 201 p.

ノビコフ、A.I. 三角関数・方程式・不等式 [本文] / A.I. ノヴィコフ。 - M.: FIZMATLIT、2010. - 260 p.

オガネシアン、バージニア州 中学校で数学を教える方法: 一般的な方法論。 手順 物理学生への手当。 -マット。 ファック。 ペド。 同志内で。 [文] / V.A. オガネシャン。 – M.: 啓蒙、2006. – 368 p.

オレチニク、S.N. 方程式と不等式。 非標準的な解決法 [本文] / S.N. オレクニク。 - M.: Publishing House Factorial、1997年。 - 219 p。

セヴリュコフ、P.F. 三角関数、指数関数、対数方程式と不等式 [本文] / P.F. セヴリュコフ。 – M.: 国民教育、2008. – 352 p.

セルゲイエフ、I.N. 用途: 数学の答えと解決策を含む 1000 のタスク。 グループ C [テキスト] / I.N のすべてのタスク セルゲイエフ。 – M.: 試験、2012 年。 – 301 p.

ソボレフ、A.B. 初等数学[テキスト] / A.B. ソボレフ。 - エカテリンブルク: GOU VPO USTU-UPI、2005。 - 81 p。

フェンコ、L.M. 不等式の解き方と関数の学習における区間の方法 [本文] / L.M. フェンコ。 – M.: バスタード、2005. – 124 p.

フリードマン、L.M. 数学指導方法の理論的基礎 [本文] / L.M. フリードマン。 - M .: ブックハウス「LIBROKOM」、2009. - 248 p.

付録 1

最も単純な不等式の解のグラフによる解釈

米。 1

米。 2

図3

図4

図5

図6

図7

図8

付録 2

最も単純な不等式の解法

実践的なレッスンでは、トピック「三角法」の主な種類のタスクを繰り返し、さらに複雑さが増した問題を分析し、さまざまな三角不等式とそのシステムを解く例を検討します。

このレッスンは、タスク B5、B7、C1、および C3 のいずれかのタイプの準備に役立ちます。

まず、三角法のトピックで確認した主なタイプのタスクを繰り返し、いくつかの非標準タスクを解決してみましょう。

タスク1。 角度をラジアンと度に変換します。 b) 。

a) 度をラジアンに変換する公式を使用します。

指定された値をそれに代入します。

b) ラジアンを度に変換する公式を適用します。

置換を実行しましょう .

答え。 A）; b) 。

タスク #2。 計算: a) ; b) 。

a) 角度が表をはるかに超えているため、正弦の周期を減算して角度を減らします。 なぜなら 角度がラジアンで指定されている場合、周期は と見なされます。

b) この場合も状況は同様です。 角度は度で指定されるため、接線の周期を とみなします。

結果として得られる角度は、周期よりは小さいですが、大きくなります。これは、角度がメインではなく、テーブルの拡張部分を参照していることを意味します。 三角関数の値の拡張テーブルを暗記することで再び記憶力を訓練しないように、接線期間を再度減算します。

正接関数の奇妙さを利用しました。

答え。 a) 1; b) 。

タスク #3。 計算する 、 もしも 。

分数の分子と分母を で割ることにより、式全体を接線に近づけます。 同時に、私たちはそれを恐れることはできません。 この場合、タンジェントの値は存在しません。

タスク #4。 表現を簡略化します。

指定された式はキャスト式を使用して変換されます。 ただ、異常に度数を使って書かれているだけです。 通常、最初の式は数値です。 すべての三角関数を順番に単純化します。

なぜなら 、その後、関数は余関数に変わります。 コタンジェントに角度を付けると、角度は第 2 四半期に入り、元のタンジェントの符号は負になります。

前の式と同じ理由で、関数は余関数に変わります。 コタンジェントに角度を付けると、角度は最初の 4 分の 1 に入り、最初のタンジェントは正の符号を持ちます。

すべてを簡略化した式に置き換えると、次のようになります。

タスク #5。 表現を簡略化します。

対応する式に従って倍角の正接を書き、式を簡略化しましょう。

最後の恒等式は、コサインの汎用置換式の 1 つです。

タスク #6。 計算します。

重要なことは、標準誤差を発生させず、式が に等しいという答えを与えないことです。 逆正接の近くに 2 の形式の因子がある間は、逆正接の主なプロパティを使用することは不可能です。 これを取り除くために、倍角の正接の公式に従って式を書き、それを通常の引数として扱います。

これで、逆正接の主なプロパティを適用することがすでに可能になりました。その数値結果には制限がないことに注意してください。

タスク #7。 方程式を解きます。

ゼロに等しい分数方程式を解くときは、分子がゼロで分母がゼロではないことが常に示されます。 ゼロで割ることはできません。

最初の方程式は最も単純な方程式の特殊なケースであり、三角円を使用して解きます。 この解決策は自分で考えてください。 2 番目の不等式は、接線の根の一般式を使用する最も単純な方程式として解決されますが、符号が等しくない場合に限ります。

ご覧のとおり、ルートの 1 つのファミリーは、方程式を満たさないまったく同じルートの別のファミリーを除外します。 それらの。 根がありません。

答え。 根はありません。

タスク #8。 方程式を解きます。

共通因数を取り出して実行できることにすぐに気づきました。

この方程式は、いくつかの係数の積がゼロに等しい場合の標準形式の 1 つに縮小されています。 この場合、それらのいずれかがゼロ、もう一方、または 3 番目が等しいことはすでにわかっています。 これを一連の方程式として書きます。

最初の 2 つの方程式は最も単純な方程式の特殊なケースであり、同様の方程式にはすでに何度も遭遇しているため、すぐにそれらの解を示します。 倍角正弦公式を使用して、3 番目の方程式を 1 つの関数に還元します。

最後の方程式を個別に解いてみましょう。

この方程式には根がありません。 サインの値はそれを超えることはできません .

したがって、ルートの最初の 2 つのファミリーだけが解決策となり、それらを 1 つに組み合わせることができ、三角円上に簡単に表示できます。

これはすべての半分からなる家族です。

三角不等式の解き方に移りましょう。 まず、一般的な解の公式を使用せずに、三角円の助けを借りて例を解くアプローチを分析しましょう。

タスク #9。 不等式を解きます。

に等しい正弦の値に対応する三角円上に補助線を引き、不等式を満たす角度の間隔を示します。

結果として得られる角度間隔を指定する方法を正確に理解することが非常に重要です。 何が始まりで、何が終わりなのか。 ギャップの始まりは、反時計回りに移動した場合にギャップの最初に入る点に対応する角度になります。 私たちの場合、これは左側にある点です。 逆に、反時計回りに移動して正しい点を通過すると、必要な角度間隔から抜けます。 したがって、正しい点はギャップの端に対応します。

次に、不等式の解のギャップの開始角度と終了角度の値を理解する必要があります。 典型的な間違いは、右の点が角度 、左の点に対応するとすぐに示して答えを与えることです。 本当じゃない！ 円の上部に対応する区間を示しただけであることに注意してください。ただし、私たちが興味があるのは下部の区間です。つまり、必要な解の区間の始まりと終わりを混同しています。

間隔を右の点の角で開始し、左の点の角で終了するには、最初に指定した角度が 2 番目の角度より小さくなければなりません。 これを行うには、負の基準方向の正しい点の角度を測定する必要があります。 時計回りにすると と等しくなります。 次に、そこから正の時計回りの方向に開始して、左点の後に右点に到達し、その角度の値を取得します。 これで、角度の間隔の始まりが の終わりより小さくなり、周期を考慮せずに解の間隔を書くことができます。

このような間隔が整数回転後に無限回繰り返されることを考慮すると、正弦周期を考慮した一般的な解が得られます。

不等式が厳密であるため丸括弧を付け、区間の端に対応する円上の点をパンクさせます。

自分の答えを、講義で示した一般解の公式と比較してください。

答え。 .

この方法は、最も単純な三角不等式の一般解の公式がどこから来たのかを理解するのに役立ちます。 さらに、これらの面倒な公式をすべて学ぶのが面倒な人にとっても役立ちます。 ただし、方法自体も簡単ではありません。解決策への最も都合の良いアプローチを選択してください。

三角不等式を解くには、単位円を使った方法と同様に、補助線を立てた関数グラフを使うこともできます。 興味があれば、この解決策のアプローチを自分で理解してみてください。 以下では、一般的な公式を使用して、最も単純な三角関数の不等式を解きます。

タスク #10。 不等式を解きます。

不等式が厳密ではないことを考慮して、一般的な解の公式を使用します。

私たちの場合は次のようになります。

答え。

タスク #11。 不等式を解きます。

対応する厳密な不等式に対して一般解の公式を使用します。

答え。 .

タスク #12。 不等式を解く: a) ; b) 。

これらの不等式では、一般解や三角円の公式を急いで使用する必要はありません。サインとコサインの値の範囲を覚えておくだけで十分です。

a) なぜなら であれば、不等式は無意味になります。 したがって、解決策はありません。

b) なぜなら 同様に、引数の正弦は常に条件で指定された不等式を満たします。 したがって、不等式は引数の実数値すべてによって満たされます。

答え。 a) 解決策はありません。 b) 。

タスク 13。 不等式を解く .

三角関数を含む不等式は、解かれると、cos(t)>a、sint(t)=a などの最も単純な不等式に還元されます。 そして最も単純な不平等はすでに解決されています。 さまざまな例を使用して、最も単純な三角関数の不等式を解く方法を考えてみましょう。

例1。 不等式 sin(t) > = -1/2 を解きます。

単一の円を描きます。 定義上、sin (t) は y 座標であるため、Oy 軸上の点 y \u003d -1/2 をマークします。 それを通る直線を x 軸に平行に引きます。 直線と単位円のグラフの交点に、点 Pt1 と点 Pt2 をマークします。 座標原点と点 Pt1、Pt2 を 2 つの線分で結びます。

この不等式の解は、これらの点の上にある単位円のすべての点になります。 つまり、解は円弧 l になります。 次に、任意の点が円弧 l に属する条件を指定する必要があります。

Pt1 は右半円内にあり、その縦軸は -1/2 であるため、t1=arcsin(-1/2) = - pi/6 になります。 点 Pt1 を説明するには、次の式を書くことができます。
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6。 その結果、t に関して次の不等式が得られます。

不等号はそのままにします。 サイン関数は周期関数であるため、解は 2 * pi ごとに繰り返されます。 この条件を t の不等式に加えて、答えを書き留めます。

答え: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

例 2不等式 cos(t) を解く<1/2.

単位円を描いてみましょう。 cos(t) の定義によれば、これは x 座標であるため、グラフ上の点 x = 1/2 を x 軸にマークします。
この点を通り、y 軸に平行な直線を描きます。 直線と単位円のグラフの交点に、点 Pt1 と点 Pt2 をマークします。 座標原点と点 Pt1、Pt2 を 2 つの線分で結びます。

解は、円弧 l に属する単位円のすべての点です。点 t1 と t2 を見つけてみましょう。

t1 = arccos(1/2) = pi/3。

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6。

t の不等式が得られました: pi/3

コサインは周期関数であるため、解は 2 * pi ごとに繰り返されます。 この条件を t の不等式に加えて、答えを書き留めます。

答え: pi/3+2*pi*n

例 3不等式 tg(t) を解く< = 1.

接線の周期は pi です。 右半円の区間 (-pi/2;pi/2) に属する解を見つけます。 次に、接線の周期性を利用して、この不等式のすべての解を書き留めます。 単位円を描き、その接線をマークしましょう。

t が不等式の解である場合、点 T = tg(t) の縦座標は 1 以下でなければなりません。そのような点のセットが光線 AT を構成します。 この光線の点に対応する点 Pt の集合は円弧 l です。 また、点P(-pi/2)はこの円弧に属しません。

ほとんどの学生は三角不等式が嫌いです。 しかし無駄だった。 ある登場人物が言っていたように、

「あなたはただ料理の仕方を知らないだけなのです」

それで、どのように「調理」するのか、そしてサインを使って不等式を提出するのか、この記事でそれを理解します。 最も単純な方法、つまり単位円を使用して解きます。

したがって、まず最初に、次のアルゴリズムが必要です。

正弦を使って不等式を解くアルゴリズム:

1. サイン軸に数値 $a$ を置き、円と交差するまでコサイン軸に平行な直線を描きます。
2. この線と円の交点は、不等式が厳密でない場合は埋められますが、不等式が厳密な場合は埋められません。
3. 不等式の解領域は、不等式に記号「$>$」が含まれる場合は線より上で円まで、不等式に記号「$」が含まれる場合は線より下で円までとなります。<$”;
4. 交点を見つけるには、三角方程式 $\sin(x)=a$ を解き、 $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$ を取得します。
5. $n=0$ に設定すると、最初の交点が見つかります (第 1 象限または第 4 象限に位置します)。
6. 2 番目の点を見つけるには、領域を横切って 2 番目の交点に向かう方向を調べます。正の方向の場合は $n=1$ が取られ、負の方向の場合は $n=- が取られます。 1ドル;
7. これに応じて、小さい方の交点 $+ 2\pi n$ から大きい方の交点 $+ 2\pi n$ までの間隔が書き出されます。

アルゴリズムの制限

重要: dこのアルゴリズム 動作しません$\sin(x) > 1 の形式の不等式の場合。 \ \sin(x) \geq 1、\ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

サインを使用して不等式を解くときの特殊なケース

また、次のケースに注意することも重要です。これらのケースは、上記のアルゴリズムを使用せずに論理的に解決する方がはるかに便利です。

特殊なケース１．不等式を解く：

$\sin(x) \leq 1.$

三角関数 $y=\sin(x)$ の定義域は最大でも $1$ なので、不等式の左辺は 誰にとっても定義域からの $x$ (および正弦の定義域はすべて実数) は $1$ を超えません。 したがって、応答として $x \in R$ と書きます。

結果：

$\sin(x) \geq -1.$

特殊なケース２．不等式を解く：

$\sin(x)< 1.$

特殊なケース 1 と同様の引数を適用すると、方程式 $\sin(x) = の解である点を除き、R$ 内のすべての $x \ について不等式の左辺が $1$ 未満であることがわかります。 1ドル。 この方程式を解くと、次のようになります。

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

したがって、応答として $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$ と書きます。

結果：不等式も同様に解けます

$\sin(x) > -1.$

アルゴリズムを使用して不等式を解く例。

例 1:不等式を解く：

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. 正弦軸上の座標 $\frac(1)(2)$ に注目してください。
2. コサイン軸に平行で、この点を通る直線を描きます。
3. 交点に注意してください。 不等式は厳密ではないため、影付きで表示されます。
4. 不等号は $\geq$ で、これは線の上の領域をペイントすることを意味します。 小さめの半円。
5. 最初の交点を見つけます。 これを行うには、不等式を等式に変えて解きます。 $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$。 さらに $n=0$ を設定し、最初の交点 $x_(1)=\frac(\pi)(6)$ を見つけます。
6. 2 番目の点を見つけます。 領域は最初の点から正の方向に進むため、$n$ を $1$ に設定します。 $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$。

したがって、解決策は次の形式になります。

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$

例 2:不等式を解く：

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

サイン軸上の座標 $- \frac(1)(2)$ をマークし、コサイン軸に平行でこの点を通る直線を描きます。 交点に注意してください。 不等式が厳密であるため、それらは影付けされません。 不等号 $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$。

さらに $n=0$ を設定すると、最初の交点 $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$ が見つかります。 領域は最初の点から負の方向に進むため、$n$ を $-1$ に設定します。 $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$。

したがって、この不等式の解は間隔になります。

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pin\right), \ n \in Z.$

例 3:不等式を解く：

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

この例は、アルゴリズムを使用してすぐに解決することはできません。 まず変換する必要があります。 方程式の場合とまったく同じことを行いますが、符号を忘れないでください。 負の数で除算または乗算すると、その逆になります。

そこで、三角関数を含まないものをすべて右側に移動させましょう。 我々が得る：

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

左辺と右辺を $-2$ で割ります (符号を忘れないでください)。 次のものが含まれます:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

ここでも、アルゴリズムを使用して解決できない不等式が得られました。 ただし、ここでは変数を変更するだけで十分です。

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

三角関数の不等式が得られます。これは次のアルゴリズムを使用して解くことができます。

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

この不等式は例 1 で解決されているので、そこから答えを借用します。

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

ただし、決定はまだ終わっていません。 元の変数に戻る必要があります。

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

ギャップをシステムとして表してみます。

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

システムの左側には、区間に属する式 ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) があります。 区間の左側の境界は最初の不等式を担当し、右側の境界は 2 番目の不等式を担当します。 さらに、括弧は重要な役割を果たします。括弧が正方形の場合、不等式は非厳密なものになり、丸括弧の場合は厳密になります。 私たちのタスクは左側の $x$ を取得することです 両方の不等式において.

$\frac(\pi)(6)$ を左側から右側に移動すると、次のようになります。

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pin -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

単純化すると、次のようになります。

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

左辺と右辺に $4$ を掛けると、次のようになります。

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

システムを区間に組み立てると、次の答えが得られます。

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$