Вероятност на изпита с решения. Прости задачи в теорията на вероятностите. Основна формула

Случайно събитие – всяко събитие, което може или не може да се случи в резултат на някакъв опит.

Вероятност за събитие Рравно на отношението на броя на благоприятните резултати ккъм броя на възможните резултати н, т.е.

p=\frac(k)(n)

Формули за събиране и умножение по теория на вероятностите

Събитие \bar(A) Наречен противоположно на събитие А, ако събитие А не е настъпило.

Сума от вероятности на противоположни събития е равно на едно, т.е.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Вероятността за събитие не може да бъде по-голяма от 1.
• Ако вероятността за събитие е 0, то няма да се случи.
• Ако вероятността за събитие е 1, то ще се случи.

Теорема за добавяне на вероятности:

„Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития.“

P(A+B) = P(A) + P(B)

Вероятност сумидве съвместни събитияравна на сумата от вероятностите за тези събития, без да се взема предвид тяхното съвместно възникване:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Теорема за умножение на вероятностите

„Вероятността за настъпване на две събития е равна на произведението на вероятностите за едно от тях от условната вероятност за другото, изчислена при условие, че първото се е случило.“

P(AB)=P(A)*P(B)

събития са наречени несъвместими, ако появата на един от тях изключва появата на други. Тоест може да се случи само едно или друго конкретно събитие.

събития са наречени става, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото.

Две случайни събития A и B се наричат независима, ако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. В противен случай събитията A и B се наричат ​​зависими.

V-6-2014 (всички 56 прототипа от банката за единен държавен изпит)

Да може да изгражда и изучава най-простите математически модели (теория на вероятностите)

1. В случаен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сборът да бъде 8 точки. Закръглете резултата до стотни.Решение: Броят на резултатите, при които ще се появят 8 точки в резултат на хвърляне на зара, е 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Всеки зар има шест възможни хвърляния, така че общият брой резултати е 6 6 = 36. Следователно вероятността да се хвърлят общо 8 е 5: 36 = 0,138... = 0,14

2. При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж.Решение: Има 4 еднакво възможни резултата от експеримента: глави-глави, глави-опашки, опашки-глави, опашки-опашки. Главите се появяват точно веднъж в два случая: глави-опашки и опашки-глави. Следователно вероятността главите да се появят точно 1 път е 2: 4 = 0,5.

3. В първенството по гимнастика участват 20 спортисти: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай.Решение: Участва в първенствотоспортисти от Китай. Тогава вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай, е 5: 20 = 0,25

4. Средно от 1000 продадени градински помпи, 5 текат. Намерете вероятността една произволно избрана за контрол помпа да не изтече.Решение: Средно от 1000 продадени градински помпи 1000 − 5 = 995 не текат. Това означава, че вероятността една произволно избрана за контрол помпа да не изтече е равна на 995: 1000 = 0,995

5. Фабриката произвежда чанти. Средно на всеки 100 качествени торбички има осем торбички със скрити дефекти. Намерете вероятността закупената чанта да бъде с високо качество. Закръглете резултата до стотни.Решение: Според условието на всеки 100 + 8 = 108 торби има 100 качествени торби. Това означава, че вероятността закупената чанта да бъде с високо качество е 100: 108 =0,925925...= 0,93

6. В състезанието по тласкане на гюле участват 4 атлети от Финландия, 7 атлети от Дания, 9 атлети от Швеция и 5 от Норвегия. Редът, в който се състезават атлетите, се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава последен, да е от Швеция. Решение: Общо в състезанието участват 4 + 7 + 9 + 5 = 25 състезатели. Това означава, че вероятността спортистът, който се състезава последен, да е от Швеция, е 9: 25 = 0,36

7. Научната конференция се провежда в рамките на 5 дни. Предвидени са общо 75 доклада - първите три дни съдържат 17 доклада, останалите са разпределени по равно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?Решение: През първите три дни ще бъдат прочетени 51 доклада, а за последните два дни са предвидени 24 доклада. Затова за последния ден са предвидени 12 отчета. Това означава, че вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията е 12: 75 = 0,16

8. Конкурсът на изпълнителите се провежда в рамките на 5 дни. Заявени са общо 80 представления – по едно от всяка държава. В първия ден има 8 представления, останалите са разпределени поравно в останалите дни. Редът на изпълненията се определя чрез жребий. Каква е вероятността руски представител да се представи на третия ден от състезанието?Решение: Планирано за третия денречи. Това означава, че вероятността представянето на представител на Русия да бъде насрочено за третия ден от състезанието е 18: 80 = 0,225

9. На семинара дойдоха 3 учени от Норвегия, 3 от Русия и 4 от Испания. Редът на докладите се определя чрез жребий. Намерете вероятността осмият доклад да бъде доклад на учен от Русия.Решение: Общо в семинара участват 3 + 3 + 4 = 10 учени, което означава, че вероятността ученият, който говори осми, да е от Русия е 3:10 = 0,3.

10. Преди началото на първия кръг от шампионата по бадминтон, участниците се разделят на случаен принцип по двойки, като се използва жребий. Общо в първенството участват 26 бадминтонисти, включително 10 участници от Русия, сред които Руслан Орлов. Намерете вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия?Решение: В първия кръг Руслан Орлов може да играе с 26 − 1 = 25 бадминтонисти, от които 10 − 1 = 9 са от Русия. Това означава, че вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия е 9: 25 = 0,36

11. В колекцията от билети по биология има само 55 билета, 11 от тях съдържат въпрос по ботаника. Намерете вероятността ученик да получи въпрос по ботаника върху произволно избран билет за изпит.Решение: 11: 55 = 0,2

12. 25 спортисти участват в шампионата по скокове във вода, сред които 8 скачачи от Русия и 9 скачачи от Парагвай. Редът на изпълненията се определя чрез жребий. Намерете вероятността парагвайски скачач да бъде шести.

13.Две фабрики произвеждат едно и също стъкло за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 30% от тези очила, втората - 70%. Първата фабрика произвежда 3% дефектно стъкло, а втората - 4%. Намерете вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да се окаже дефектно.

Решение. Преобразувайте %% в дроби.

Събитие А - "Закупено е стъкло от първата фабрика." P(A)=0,3

Събитие B - "Закупено е стъкло от втория завод." Р(В)=0,7

Събитие X - "Дефектно стъкло".

P(A и X) = 0,3*0,03=0,009

P(B и X) = 0,7*0,04=0,028 Според формулата за обща вероятност: P = 0,009+0,028 = 0.037

14.Ако гросмайстор А. играе с бели, тогава той печели срещу гросмайстор Б. с вероятност 0,52. Ако A. играе черно, тогава A. печели срещу B. с вероятност 0,3. Гросмайсторите А. и Б. играят две игри, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността A. да спечели и двата пъти. Решение: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Вася, Петя, Коля и Льоша хвърлиха жребий кой да започне играта. Намерете вероятността Петя да започне играта.

Решение: Произволен експеримент - хвърляне на жребий.
В този експеримент елементарното събитие е участникът, който печели жребия.
Нека изброим възможните елементарни събития:
(Вася), (Петя), (Коля), (Льоша).
Те ще бъдат 4, т.е. N=4. Жребият предполага, че всички елементарни събития са еднакво възможни.
Събитието A= (Петя спечели жребия) се предпочита само от едно елементарно събитие (Петя). Следователно N(A)=1.
Тогава P(A)=0,25Отговор: 0,25.

16. В световното първенство участват 16 отбора. Използвайки жребий, те трябва да бъдат разделени на четири групи от по четири отбора всяка. В кутията има смесени карти с номера на групи: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаните на отборите теглят по една карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне във втора група?Решение: Общо изходи - 16. От тях благоприятни, т.е. с номер 2 ще бъде 4. Така че 4: 16=0,25

17. На изпита по геометрия студентът получава един въпрос от списъка с изпитни въпроси. Вероятността това да е въпрос с вписан кръг е 0,2. Вероятността това да е въпрос на тема “Успоредник” е 0,15. Няма въпроси, които да се отнасят едновременно към тези две теми. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.

= (въпрос по темата „Вписан кръг“),
= (въпрос по темата „Успоредник”).
събитияИ са несъвместими, тъй като по условие списъкът не съдържа въпроси, свързани с тези две теми едновременно.
Събитие= (въпрос по една от тези две теми) е комбинация от тях:.
Нека приложим формулата за събиране на вероятностите за несъвместими събития:
.

18. В търговски център две еднакви машини продават кафе. Вероятността кафето в машината да свърши до края на деня е 0,3. Вероятността и двете машини да останат без кафе е 0,12. Намерете вероятността в края на деня да остане кафе и в двете машини.

Да дефинираме събитията
= (кафето ще свърши в първата машина),
= (кафето ще свърши във втората машина).
Според условията на проблемаИ .
Използвайки формулата за добавяне на вероятности, намираме вероятността за събитие
И = (кафето ще свърши в поне една от машините):

.
Следователно вероятността от обратното събитие (кафето ще остане в двете машини) е равна на
.

19. Биатлонист стреля по мишени пет пъти. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да уцели мишените първите три пъти и да пропусне последните два. Закръглете резултата до стотни.

В тази задача се приема, че резултатът от всеки следващ изстрел не зависи от предходните. Следователно събитията „улучват при първия удар“, „улучават при втория изстрел“ и т.н. независима.
Вероятността за всяко попадение е равна. Това означава, че вероятността за всяка грешка е равна на. Нека използваме формулата за умножаване на вероятностите за независими събития. Откриваме, че последователността
= (попадение, попадение, попадение, пропуснато, пропуснато) има вероятност
=
= . Отговор: .

20. В магазина има две разплащателни машини. Всяка от тях може да бъде дефектна с вероятност 0,05, независимо от другата машина. Намерете вероятността поне една машина да работи.

Този проблем също предполага, че автоматите работят независимо.
Нека намерим вероятността за обратното събитие
= (и двете машини са дефектни).
За да направим това, използваме формулата за умножаване на вероятностите за независими събития:
.
Това означава вероятността от събитието= (поне една машина работи) е равно на. Отговор: .

21. Стаята се осветява от фенер с две лампи. Вероятността една лампа да изгори в рамките на една година е 0,3. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори през годината.Решение: И двете ще изгорят (събитията са независими и използваме формулата за произведение на вероятностите) с вероятност p1=0.3⋅0.3=0.09
Противоположно събитие(НЕ и двете ще изгорят = поне ЕДНО няма да изгори)
ще се случи с вероятност p=1-p1=1-0.09=0.91
ОТГОВОР: 0,91

22. Вероятността нова електрическа кана да издържи повече от година е 0,97. Вероятността да продължи повече от две години е 0,89. Намерете вероятността то да продължи по-малко от две години, но повече от една година

Решение.

Нека A = „чайникът ще издържи повече от една година, но по-малко от две години“, B = „чайникът ще издържи повече от две години“, тогава A + B = „чайникът ще издържи повече от една година“.

Събития A и B са съвместни, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития, намалена с вероятността за тяхното възникване. Вероятността тези събития да се случат, състояща се в това, че чайникът ще се повреди точно след две години - точно в същия ден, час и секунда - е нула. Тогава:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

откъдето, използвайки данните от условието, получаваме 0,97 = P(A) + 0,89.

Така за желаната вероятност имаме: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Земеделска фирма закупува кокоши яйца от две домакинства. 40% от яйцата от първа ферма са яйца от най-висока категория, а от втора ферма - 20% от яйца от най-висока категория. Общо 35% от яйцата получават най-високата категория. Намерете вероятността яйце, закупено от тази селскостопанска компания, да дойде от първата ферма.Решение: Нека земеделската фирма закупи от първата фермаяйца, включително яйца от най-висока категория, а във втората ферма -яйца, включително яйца от най-висока категория. Така общата сума, която агроформата купуваяйца, включително яйца от най-висока категория. Според условието 35% от яйцата са с най-висока категория, а след това:

Следователно вероятността закупеното яйце да е от първата ферма е равна на =0,75

24. На клавиатурата на телефона има 10 цифри от 0 до 9. Каква е вероятността произволно натисната цифра да е четна?

25. Каква е вероятността произволно избрано естествено число от 10 до 19 да се дели на три?

26. Каубоят Джон уцелва муха на стената с вероятност 0,9, ако стреля от занулен револвер. Ако Джон стреля с неизстрелян револвер, той уцелва мухата с вероятност 0,2. На масата има 10 револвера, само 4 от които са простреляни. Каубойът Джон вижда муха на стената, произволно грабва първия револвер, който му попадне, и застрелва мухата. Намерете вероятността Джон да пропусне. Решение: Джон уцелва муха, ако грабне занулен револвер и удари с него, или ако грабне неизстрелян револвер и удари с него. Съгласно формулата за условна вероятност, вероятностите за тези събития са равни съответно на 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития: 0,36 + 0,12 = 0,48. Събитието, което Джон пропуска, е обратното. Вероятността му е 1 − 0,48 = 0,52.

27. В групата туристи има 5 души. Използвайки жребий, те избират двама души, които трябва да отидат до селото, за да купят храна. Туристът А. иска да отиде до магазина, но се подчинява на жребия. Каква е вероятността А. да отиде до магазина?Решение: Туристите са общо петима, като двама са избрани на случаен принцип. Вероятността да бъдете избран е 2: 5 = 0,4. Отговор: 0,4.

28.Преди началото на футболен мач, съдията хвърля монета, за да определи кой отбор ще започне играта с топката. Отборът на Физик играе три мача с различни отбори. Намерете вероятността в тези игри "Физик" да спечели жребия точно два пъти.Решение: Нека обозначим с "1" страната на монетата, която е отговорна за спечелването на партидата от "Физика", и нека обозначим другата страна на монетата с "0". След това има три благоприятни комбинации: 110, 101, 011 и има общо 2 комбинации 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Така търсената вероятност е равна на:

29. Зарът се хвърля два пъти. Колко елементарни резултата от експеримента благоприятстват събитието „А = сборът от точки е 5“? Решение: Сборът от точки може да бъде равен на 5 в четири случая: „3 + 2“, „2 + 3“, „1 + 4“, „4 + 1“. Отговор: 4.

30. В случаен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността резултатът от OP да се случи (глави първия път, опашки втория път).Решение: Има четири възможни резултата: глави-глави, глави-опашки, опашки-глави, опашки-опашки. Единият е благоприятен: глави и опашки. Следователно желаната вероятност е 1: 4 = 0,25. Отговор: 0,25.

31. На рок фестивала участват групи - по една от всяка от декларираните държави. Редът на изпълнение се определя чрез жребий. Каква е вероятността група от Дания да се представи след група от Швеция и след група от Норвегия? Закръглете резултата до стотни.Решение: Общият брой на групите, които участват във фестивала, не е важен за отговор на въпроса. Без значение колко са, за тези страни има 6 начина на относителна позиция сред говорещите (D - Дания, W - Швеция, N - Норвегия):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...

Дания е класирана след Швеция и Норвегия в два случая. Следователно вероятността групите да бъдат произволно разпределени по този начин е равна наОтговор: 0,33.

32. При артилерийски огън автоматичната система произвежда изстрел по целта. Ако целта не е унищожена, системата изстрелва втори изстрел. Изстрелите се повтарят, докато целта бъде унищожена. Вероятността за унищожаване на дадена цел с първия изстрел е 0,4, а с всеки следващ е 0,6. Колко изстрела ще са необходими, за да се гарантира, че вероятността за унищожаване на целта е поне 0,98?Решение: Можете да решите проблема „чрез действие“, като изчислите вероятността за оцеляване след поредица от последователни пропуски: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Последната вероятност е по-малка от 0,02, така че пет изстрела в целта са достатъчни.

33. За да премине към следващия кръг на състезанието, футболен отбор трябва да спечели поне 4 точки в два мача. При победа отборът получава 3 точки, при равенство - 1 точка, при загуба - 0 точки. Намерете вероятността отборът да премине към следващия кръг на състезанието. Помислете, че във всяка игра вероятностите за победа и загуба са еднакви и равни на 0,4. Решение : Един отбор може да вземе най-малко 4 точки в две игри по три начина: 3+1, 1+3, 3+3. Тези събития са несъвместими; вероятността за тяхната сума е равна на сумата от техните вероятности. Всяко от тези събития е продукт на две независими събития - резултатът от първата и втората игра. От тук имаме:

34. В даден град от 5000 родени бебета 2512 са момчета. Намерете честотата на ражданията на момичета в този град. Закръглете резултата до най-близката хиляда.Решение: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. На борда на ВС има 12 места до аварийните изходи и 18 места зад преградите, разделящи кабините. Останалите седалки са неудобни за високи пътници. Пътникът В. е висок. Намерете вероятността, че при чекиране, ако произволно е избрано място, пътник B ще получи удобно място, ако в самолета има общо 300 места.Решение : В самолета има 12 + 18 = 30 места, които са удобни за пътник Б, а общо в самолета има 300 места. Следователно вероятността пътник Б да получи удобна седалка е 30: 300 = 0,1 Отговор: 0,1.

36. На олимпиада в университет участниците са настанени в три класни стаи. В първите две има по 120 души, останалите са отведени в резервна зала в друга сграда. При преброяването се оказа, че участниците са общо 250. Намерете вероятността произволно избран участник да напише конкурса в свободна класна стая.Решение: Общо 250 − 120 − 120 = 10 души бяха изпратени в резервната аудитория. Следователно вероятността произволно избран участник да напише олимпиадата в свободна класна стая е 10: 250 = 0,04. Отговор: 0,04.

37. В класа има 26 души, сред които двама близнаци - Андрей и Сергей. Класът е разделен на случаен принцип на две групи от по 13 души всяка. Намерете вероятността Андрей и Сергей да бъдат в една и съща група.Решение: Нека един от близнаците да бъде в някаква група. Заедно с него в групата ще бъдат 12 души от останалите 25 съученици. Вероятността вторият близнак да бъде сред тези 12 души е 12: 25 = 0,48.

38. Таксиметрова компания има 50 коли; 27 от тях са черни с жълти надписи отстрани, останалите са жълти с черни надписи. Намерете вероятността жълта кола с черни надписи да отговори на произволно повикване.Решение: 23:50=0,46

39. В групата туристи има 30 души. Те се спускат с хеликоптер в труднодостъпна зона на няколко етапа по 6 души на полет. Редът, в който хеликоптерът превозва туристите, е произволен. Намерете вероятността туристът П. да предприеме първия полет с хеликоптер.Решение: На първия полет има 6 места, общо 30. Тогава вероятността туристът П. да лети с първия полет с хеликоптер е: 6:30 = 0,2

40. Вероятността нов DVD плейър да бъде ремонтиран в гаранция в рамките на една година е 0,045. В даден град от 1000 продадени DVD плейъра през годината 51 броя са получени от гаранционния сервиз. Колко различна е честотата на събитието „гаранционен ремонт“ от неговата вероятност в този град?Решение: Честотата (относителната честота) на събитието „гаранционен ремонт“ е 51: 1000 = 0,051. Тя се различава от прогнозираната вероятност с 0,006.

41. При производство на лагери с диаметър 67 мм, вероятността диаметърът да се различава от зададения с не повече от 0,01 мм е 0,965. Намерете вероятността произволен лагер да има диаметър по-малък от 66,99 mm или по-голям от 67,01 mm.Решение. Според условието диаметърът на лагера ще бъде в диапазона от 66,99 до 67,01 mm с вероятност 0,965. Следователно желаната вероятност за обратното събитие е 1 − 0,965 = 0,035.

42. Вероятността ученикът О. да реши правилно повече от 11 задачи на тест по биология е 0,67. Вероятността О. да реши правилно повече от 10 задачи е 0,74. Намерете вероятността О. да реши точно 11 задачи правилно.Решение: Помислете за събитията A = „ученикът ще реши 11 проблема“ и B = „ученикът ще реши повече от 11 проблема“. Тяхната сума е събитие A + B = „ученикът ще реши повече от 10 задачи.“ Събития A и B са несъвместими, вероятността от тяхната сума е равна на сумата от вероятностите на тези събития: P(A + B) = P(A) + P(B). След това, използвайки тези задачи, получаваме: 0,74 = P(A) + 0,67, откъдето P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07 Отговор: 0,07.

43. За да влезе в института за специалността "Лингвистика", кандидатът трябва да получи най-малко 70 точки на Единния държавен изпит по всеки от трите предмета - математика, руски език и чужд език. За да се запишете в специалността "Търговия", трябва да спечелите поне 70 точки по всеки от трите предмета - математика, руски език и обществознание. Вероятността абитуриентът З. да получи най-малко 70 точки по математика е 0,6, по руски - 0,8, по чужд език - 0,7 и по обществени науки - 0,5 Намерете вероятността З. да успее да се запише поне в една от двете посочени специалности.Решение: За да се запише където и да е, З. трябва да издържи и руски, и математика с минимум 70 точки, а освен това и чужд език или обществознание с минимум 70 точки. Позволявам A, B, C и D - това са събития, в които З. издържа съответно математика, руски, чуждестранни и обществени дисциплини с минимум 70 точки. Тогава оттогава

За вероятността за пристигане имаме:

44. Във фабрика за керамични съдове 10% от произведените чинии са дефектни. По време на контрола на качеството на продукта се идентифицират 80% от дефектните плочи. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността произволно избрана при покупка чиния да няма дефекти. Закръглете отговора си до най-близката стотна.Решение : Нека фабриката произвеждачинии. Всички качествени плочи и 20% от неоткритите дефектни плочи ще бъдат пуснати в продажба:чинии. Защото качествените, вероятността да закупите висококачествена чиния е 0,9p:0,92p=0,978 Отговор: 0,978.

45. В магазина има трима продавачи. Всеки от тях е зает с клиент с вероятност 0,3. Намерете вероятността в произволен момент и тримата продавачи да са заети по едно и също време (да приемем, че клиентите идват независимо един от друг).Решение : Вероятността за произведение на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Следователно вероятността и тримата продавачи да са заети е еднаква

46. ​​Въз основа на отзивите на клиентите Иван Иванович оцени надеждността на два онлайн магазина. Вероятността желаният продукт да бъде доставен от магазин А е 0,8. Вероятността този продукт да бъде доставен от магазин B е 0,9. Иван Иванович поръча стоки и от двата магазина едновременно. Ако приемем, че онлайн магазините работят независимо един от друг, намерете вероятността никой магазин да не достави продукта.Решение: Вероятността първият магазин да не достави стоката е 1 − 0,9 = 0,1. Вероятността вторият магазин да не достави стоката е 1 − 0,8 = 0,2. Тъй като тези събития са независими, вероятността за тяхното възникване (и двата магазина няма да доставят стоките) е равна на произведението на вероятностите за тези събития: 0,1 · 0,2 = 0,02

47. Ежедневно има автобусен транспорт от областния център до селото. Вероятността да има по-малко от 20 пътника в автобуса в понеделник е 0,94. Вероятността да има по-малко от 15 пътника е 0,56. Намерете вероятността броят на пътниците да бъде между 15 и 19.Решение: Разгледайте събитията A = „в автобуса има по-малко от 15 пътници“ и B = „в автобуса има от 15 до 19 пътници“. Тяхната сума е събитие A + B = „в автобуса има по-малко от 20 пътника“. Събития A и B са несъвместими, вероятността от тяхната сума е равна на сумата от вероятностите на тези събития: P(A + B) = P(A) + P(B). След това, използвайки тези задачи, получаваме: 0,94 = 0,56 + P(B), откъдето P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Отговор: 0,38.

48. Преди началото на волейболен мач, капитаните на отбори теглят честен жребий, за да определят кой отбор ще започне играта с топката. Отборът „Статор” се редува да играе с отборите „Ротор”, „Мотор” и „Стартер”. Намерете вероятността Stator да започне само първата и последната игра.Решение. Трябва да намерите вероятността три събития да се случат: „Статор“ започва първата игра, не започва втората игра и започва третата игра. Вероятността за произведение на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Вероятността за всяко от тях е 0,5, от което намираме: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Отговор: 0,125.

49. Във Вълшебната страна има два вида време: добро и отлично, като времето, веднъж установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност 0,8 времето утре ще бъде същото като днес. Днес е 3 юли, времето във Вълшебната страна е хубаво. Намерете вероятността времето да е страхотно в Страната на приказките на 6 юли.Решение. За времето на 4, 5 и 6 юли има 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (тук X е добро, O е отлично време). Нека намерим вероятностите за настъпване на такова време: P(XXO) = 0.8·0.8·0.2 = 0.128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Всички пациенти със съмнение за хепатит се подлагат на кръвен тест. Ако тестът разкрие хепатит, се извиква резултатът от тестаположителен . При пациенти с хепатит тестът дава положителен резултат с вероятност 0,9. Ако пациентът няма хепатит, тестът може да даде фалшив положителен резултат с вероятност 0,01. Известно е, че 5% от пациентите, приети със съмнение за хепатит, всъщност имат хепатит. Намерете вероятността пациент, приет в клиниката със съмнение за хепатит, да има положителен тест.Решение . Анализът на пациента може да бъде положителен по две причини: А) пациентът има хепатит, анализът му е правилен; Б) пациентът няма хепатит, анализът му е фалшив. Това са несъвместими събития, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития. Имаме: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0.01 0.95=0.0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Миша имаше четири бонбона в джоба си - „Гриляж“, „Катерица“, „Коровка“ и „Лястовица“, както и ключовете от апартамента. Докато вадеше ключовете, Миша случайно изпусна един бонбон от джоба си. Намерете вероятността бонбоните „Grillage” да са били изгубени.

52. Механичен часовник с дванадесетчасов циферблат се повреди в някакъв момент и спря да работи. Намерете вероятността часовата стрелка да замръзне, достигайки позицията 10 часа, но не достигайки позицията 1 часа. Решение: 3: 12=0,25

53. Вероятността батерията да е дефектна е 0,06. Купувач в магазин избира случаен пакет, съдържащ две от тези батерии. Намерете вероятността и двете батерии да са добри.Решение: Вероятността батерията да е добра е 0,94. Вероятността за възникване на независими събития (и двете батерии ще бъдат добри) е равна на произведението на вероятностите за тези събития: 0,94·0,94 = 0,8836 Отговор: 0,8836.

54. Автоматична линия за производство на батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,02. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. Вероятността системата да отхвърли дефектна батерия е 0,99. Вероятността системата по погрешка да отхвърли работеща батерия е 0,01. Намерете вероятността произволно избрана произведена батерия да бъде отхвърлена от системата за проверка.Решение. Ситуация, при която батерията ще бъде отхвърлена, може да възникне в резултат на следните събития: A = батерията наистина е дефектна и е била правилно отхвърлена или B = батерията работи, но е била отхвърлена по погрешка. Това са несъвместими събития, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития. Ние имаме:

55. На снимката е изобразен лабиринт. Паякът пълзи в лабиринта на входната точка. Паякът не може да се обърне и да пълзи обратно, така че на всеки клон паякът избира една от пътеките, по които все още не е пълзял. Ако приемем, че изборът на по-нататъшния път е чисто случаен, определете с каква вероятност паякът ще стигне до изхода.

Решение.

На всяко от четирите маркирани разклонения паякът може да избере или пътя, водещ до изход D, или друг път с вероятност 0,5. Това са независими събития, вероятността за тяхното възникване (паякът достига до изход D) е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Следователно вероятността да стигнете до изход D е (0,5) 4 = 0,0625.

Теорията на вероятностите на Единния държавен изпит по математика може да бъде представена както под формата на прости задачи за класическата дефиниция на вероятността, така и под формата на доста сложни за прилагането на съответните теореми.

В тази част ще разгледаме проблеми, за които е достатъчно да използваме определението за вероятност. Понякога тук ще използваме и формула за изчисляване на вероятността от обратното събитие. Въпреки че тук можете да се справите без тази формула, тя все пак ще ви е необходима, когато решавате следните задачи.

Теоретична част

Случайно е събитие, което може или не може да се случи (невъзможно е да се предвиди предварително) по време на наблюдение или тест.

Нека има еднакви възможни резултати при провеждане на тест (хвърляне на монета или зар, теглене на изпитна карта и др.). Например, когато хвърляте монета, броят на всички резултати е 2, тъй като не може да има други резултати освен глави или опашки. При хвърляне на зар са възможни 6 изхода, тъй като всяко число от 1 до 6 е еднакво възможно да се появи на горната страна на зара.Нека също така някое събитие А е благоприятно от резултатите.

Вероятността за събитие А е съотношението на броя на благоприятните резултати за това събитие към общия брой еднакво възможни резултати (това е класическата дефиниция на вероятността). Ние пишем

Например, нека събитие А се състои в получаване на нечетен брой точки при хвърляне на зар. Има общо 6 възможни изхода: 1, 2, 3, 4, 5, 6, които се появяват на горната страна на куба.В този случай, изходите с 1, 3, 5 са ​​благоприятни за събитие А. Така, .

Обърнете внимание, че двойното неравенство винаги е изпълнено, следователно вероятността за всяко събитие A лежи на интервала, т.е. . Ако отговорът ви има вероятност по-голяма от единица, това означава, че сте допуснали грешка някъде и решението трябва да бъде проверено повторно.

Събития A и B се извикват противоположноствзаимно, ако някой изход е благоприятен точно за един от тях.

Например, когато хвърляте зар, събитието „хвърля се нечетно число“ е обратното на събитието „хвърля се четно число“.

Означено е събитието, противоположно на събитие А. От определението за противоположни събития следва
, означава,
.

Проблеми при избора на обекти от набор

Задача 1.В световното първенство участват 24 отбора. Използвайки жребий, те трябва да бъдат разделени на четири групи от по шест отбора всяка. В кутията има смесени карти с номера на групи:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Капитаните на отбори теглят по една карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне в трета група?

Общият брой резултати е равен на броя на картите - те са 24. Има 6 благоприятни изхода (тъй като числото 3 е изписано на шест карти). Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,25.

Задача 2.В една урна има 14 червени, 9 жълти и 7 зелени топки. Една топка се тегли на случаен принцип от урната. Каква е вероятността тази топка да е жълта?

Общият брой изходи е равен на броя на топките: 14 + 9 + 7 = 30. Броят на изходите, благоприятни за това събитие, е 9. Изискваната вероятност е равна на .

Задача 3.На клавиатурата на телефона има 10 цифри от 0 до 9. Каква е вероятността произволно натиснато число да е четно и по-голямо от 5?

Резултатът тук е натискането на определен клавиш, така че има общо 10 еднакво възможни изхода. Посоченото събитие се предпочита от резултати, които означават натискане на клавиш 6 или 8. Има два такива резултата. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,2.

Проблем 4. Каква е вероятността произволно избрано естествено число от 4 до 23 да се дели на три?

На отсечката от 4 до 23 има 23 – 4 + 1 = 20 естествени числа, което означава, че има общо 20 възможни изхода. В този сегмент следните числа са кратни на три: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Има общо 6 такива числа, така че въпросното събитие е облагодетелствано от 6 изхода. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,3.

Задача 5.От 20 билета, предложени на изпита, ученикът може да отговори само на 17. Каква е вероятността ученикът да не успее да отговори на произволно избрания билет?

1-ви метод.

Тъй като ученикът може да отговори на 17 билета, той не може да отговори на 3 билета. Вероятността да получите един от тези билети по дефиниция е равна на .

2-ри метод.

Нека означим с A събитието „ученикът може да отговори на билета“. Тогава . Вероятността за обратното събитие е =1 – 0,85 = 0,15.

Отговор: 0,15.

Проблем 6. В първенството по художествена гимнастика участват 20 състезателки: 6 от Русия, 5 от Германия, останалите от Франция. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава седми, да е от Франция.

Състезателите са общо 20, всеки има равен шанс да се класира седми. Следователно има 20 еднакво вероятни изхода. Има 20 – 6 – 5 = 9 спортисти от Франция, така че има 9 благоприятни изхода за посоченото събитие. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,45.

Задача 7.Научната конференция се провежда в рамките на 5 дни. Предвидени са общо 50 отчета – първите три дни са с по 12 доклада, останалите се разпределят поравно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на професор Н. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?

Първо, нека намерим колко доклада са планирани за последния ден. Презентациите са предвидени за първите три дни. Все още остават 50 – 36 = 14 доклада, които се разпределят поравно между оставащите два дни, така че има отчети, планирани за последния ден.

За резултат ще считаме поредния номер на доклада на професор Н. Има 50 такива еднакво възможни изхода.Има 7 изхода, които благоприятстват определеното събитие (последните 7 числа в списъка с доклади). Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,14.

Проблем 8. На борда на самолета има 10 места до аварийните изходи и 15 места зад преградите, разделящи кабините. Останалите седалки са неудобни за високи пътници. Пътникът К. е висок. Намерете вероятността, че при чекиране, ако място е избрано на случаен принцип, пътникът K ще получи удобно място, ако има 200 места в самолета.

Резултатът от тази задача е изборът на местоположение. Има общо 200 еднакво възможни изхода. Събитието „избраното място е удобно“ се предпочита от 15 + 10 = 25 резултата. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,125.

Проблем 9. От 1000 кафемелачки, сглобени в завода, 7 са били дефектни. Експерт тества една кафемелачка, избрана произволно от тези 1000. Намерете вероятността тестваната кафемелачка да е дефектна.

При случаен избор на кафемелачка са възможни 1000 изхода; за събитие А „избраната кафемелачка е дефектна“ 7 изхода са благоприятни. По дефиниция на вероятността.

Отговор: 0,007.

Проблем 10.Заводът произвежда хладилници. Средно на всеки 100 висококачествени хладилника се падат 15 хладилника със скрити дефекти. Намерете вероятността закупеният хладилник да бъде с високо качество. Закръглете резултата до стотни.

Тази задача е подобна на предишната. Но формулировката „на 100 качествени хладилника се падат 15 с дефекти“ ни показва, че 15 дефектни броя не влизат в 100-те качествени. Следователно общият брой резултати е 100 + 15 = 115 (равно на общия брой хладилници), благоприятните резултати са 100. Търсената вероятност е равна на . За да изчислите приблизителната стойност на фракция, е удобно да използвате ъглово деление. Получаваме 0,869... което е 0,87.

Отговор: 0,87.

Проблем 11. Преди началото на първия кръг от шампионата по тенис, участниците се разпределят на случаен принцип в игрални двойки чрез жребий. Общо 16 тенисисти участват в първенството, включително 7 участници от Русия, включително Максим Зайцев. Намерете вероятността в първия кръг Максим Зайцев да играе с всеки тенисист от Русия.

Както и в предишната задача, трябва внимателно да прочетете условието и да разберете какво е изход и какво е благоприятен изход (например необмисленото прилагане на вероятностната формула води до неправилен отговор).

Тук изходът е съперникът на Максим Зайцев. Тъй като има общо 16 тенисисти и Максим не може да играе срещу себе си, има 16 – 1 = 15 еднакво вероятни изхода. Благоприятен изход е съперник от Русия. Има 7 – 1 = 6 такива благоприятни изхода (изключваме самия Максим от броя на руснаците). Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,4.

Проблем 12.Футболната секция се посещава от 33 души, сред които двама братя - Антон и Дмитрий. Посещаващите секцията се разпределят на случаен принцип в три отбора от по 11 човека. Намерете вероятността Антон и Дмитрий да бъдат в един отбор.

Ще формираме отбори, последователно поставяйки играчи на празни места, започвайки с Антон и Дмитрий. Първо, нека поставим Антон на произволно избрано място от свободните 33. Сега поставяме Дмитрий на свободното място (ще считаме избора на място за него за резултат). Има общо 32 свободни места (Антон вече е заел едно), така че има общо 32 възможни изхода. Остават 10 празни места в същия отбор като Антон, така че събитието „Антон и Дмитрий в един отбор“ се предпочита от 10 резултата. Вероятността за това събитие е .

Отговор: 0,3125.

Проблем 13. Механичен часовник с дванадесетчасов циферблат по някое време се повреди и спря да работи. Намерете вероятността часовата стрелка да е замръзнала, достигайки 11 часа, но не достигайки 2 часа.

Условно циферблатът може да бъде разделен на 12 сектора, разположени между знаците на съседни числа (между 12 и 1, 1 и 2, 2 и 3, ..., 11 и 12). За резултат ще считаме спиране на стрелката на часовника в един от посочените сектори. Има общо 12 еднакво възможни изхода. Това събитие се благоприятства от три изхода (сектори между 11 и 12, 12 и 1, 1 и 2). Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,25.

Обобщете

След изучаване на материала за решаване на прости задачи по теория на вероятностите препоръчвам да изпълните задачите за самостоятелно решаване, които публикуваме на нашия канал в Telegram. Можете също така да проверите дали са попълнени правилно, като въведете вашите отговори в предоставената форма.

Благодарим ви, че споделихте статията в социалните мрежи.

Източник „Подготовка за Единния държавен изпит. Математика Теория на вероятностите. Редактирано от F.F. Лисенко, С.Ю. Кулабухова

Урок-лекция на тема "теория на вероятностите"

Задача № 4 от Единния държавен изпит 2016 г.

Ниво на профил.

1 група:задачи за използване на класическата вероятностна формула.

• Упражнение 1.Таксиметровата компания разполага с 60 автомобила; 27 от тях са черни с жълти надписи отстрани, останалите са жълти с черни надписи. Намерете вероятността жълта кола с черни надписи да отговори на произволно повикване.

• Задача 2.Миша, Олег, Настя и Галя хвърлиха жребий кой да започне играта. Намерете вероятността Галя да не започне играта.

• Задача 3.Средно от 1000 продадени градински помпи, 7 текат. Намерете вероятността една произволно избрана за контрол помпа да не изтече.

• Задача 4.В колекцията от билети по химия има само 15 билета, 6 от тях съдържат въпрос на тема „Киселини“. Намерете вероятността студент да получи въпрос на тема „Киселини“ върху произволно избран билет за изпит.

• Задача 5.В първенството по скокове във вода участват 45 състезатели, сред които 4 от Испания и 9 от САЩ. Редът на изпълненията се определя чрез жребий. Намерете вероятността скачач от САЩ да бъде двадесет и четвърти.

• Задача 6.Научната конференция се провежда в рамките на 3 дни. Предвидени са общо 40 доклада - 8 доклада през първия ден, останалите са разпределени поравно между втория и третия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?

• Упражнение 1.Преди началото на първия кръг от шампионата по тенис, участниците се разпределят на случаен принцип в игрални двойки чрез жребий. Общо 26 тенисисти участват в шампионата, включително 9 участници от Русия, включително Тимофей Трубников. Намерете вероятността в първия кръг Тимофей Трубников да играе с всеки тенисист от Русия.

• Задача 2.Преди началото на първия кръг от шампионата по бадминтон, участниците се разделят на случаен принцип по двойки, като се използва жребий. В първенството участват общо 76 бадминтонисти, сред които 22-ма състезатели от Русия, сред които и Виктор Поляков. Намерете вероятността в първия кръг Виктор Поляков да играе с някой бадминтонист от Русия.

• Задача 3.В класа има 16 ученици, сред които двама приятели - Олег и Михаил. Класът е разделен на случаен принцип на 4 равни групи. Намерете вероятността Олег и Михаил да бъдат в една и съща група.

• Задача 4.В класа има 33 ученици, сред които двама приятели – Андрей и Михаил. Учениците са разделени на случаен принцип в 3 равни групи. Намерете вероятността Андрей и Михаил да бъдат в една група.

• Упражнение 1:Във фабрика за керамични съдове 20% от произведените чинии са дефектни. По време на контрола на качеството на продукта се идентифицират 70% от дефектните плочи. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността произволно избрана при покупка чиния да няма дефекти. Закръглете отговора си до най-близката стотна.

• Задача 2.Във фабрика за керамични съдове 30% от произведените чинии са дефектни. По време на контрола на качеството на продукта се идентифицират 60% от дефектните плочи. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността произволно избрана при покупка чиния да има дефект. Закръглете отговора си до най-близката стотна.

• Задача 3:Две фабрики произвеждат еднакви стъкла за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 30% от тези очила, втората – 70%. Първата фабрика произвежда 3% дефектно стъкло, а втората – 4%. Намерете вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно.

2 група:намиране на вероятността за обратното събитие.

• Упражнение 1.Вероятността за попадение в центъра на целта от разстояние 20 м за професионален стрелец е 0,85. Намерете вероятността да пропуснете центъра на целта.

• Задача 2.При производство на лагери с диаметър 67 мм, вероятността диаметърът да се различава от посочения с по-малко от 0,01 мм е 0,965. Намерете вероятността произволен лагер да има диаметър по-малък от 66,99 mm или по-голям от 67,01 mm.

3 група:Намиране на вероятността за настъпване на поне едно от несъвместимите събития. Формула за добавяне на вероятности.

• Упражнение 1.Намерете вероятността при хвърляне на зар да получите 5 или 6 точки.

• Задача 2.В една урна има 30 топки: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Намерете вероятността да изтеглите цветна топка.

• Задача 3.Стрелецът стреля по мишена, разделена на 3 зони. Вероятността за попадение в първата зона е 0,45, втората е 0,35.Намерете вероятността стрелецът да уцели или първата, или втората зона с един изстрел.

• Задача 4.Ежедневно има автобусен транспорт от областния център до селото. Вероятността да има по-малко от 18 пътници в автобуса в понеделник е 0,95. Вероятността да има по-малко от 12 пътника е 0,6. Намерете вероятността броят на пътниците да бъде от 12 до 17.

• Задача 5.Вероятността нова електрическа кана да издържи повече от година е 0,97. Вероятността да продължи повече от две години е 0,89. Намерете вероятността то да продължи по-малко от две години, но повече от една година.

• Задача 6.Вероятността ученикът У. да реши правилно повече от 9 задачи по време на тест по биология е 0,61. Вероятността U. да реши правилно повече от 8 задачи е 0,73. Намерете вероятността U да реши точно 9 задачи правилно.

4 група:Вероятността за едновременно възникване на независими събития. Формула за умножение на вероятностите.

• Упражнение 1.Стаята се осветява от фенер с две лампи. Вероятността една лампа да изгори в рамките на една година е 0,3. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори през годината.

• Задача 2.Стаята се осветява от фенер с три лампи. Вероятността една лампа да изгори в рамките на една година е 0,3. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори през годината.

• Задача 3.В магазина има двама продавачи. Всеки от тях е зает с клиент с вероятност 0,4. Намерете вероятността в произволен момент и двамата продавачи да са заети по едно и също време (да приемем, че клиентите идват независимо един от друг).

• Задача 4.В магазина има трима продавачи. Всеки от тях е зает с клиент с вероятност 0,2. Намерете вероятността в произволен момент и тримата продавачи да са заети по едно и също време (да приемем, че клиентите идват независимо един от друг).

• Задача 5:Въз основа на отзивите на клиентите Михаил Михайлович оцени надеждността на двата онлайн магазина. Вероятността желаният продукт да бъде доставен от магазин А е 0,81. Вероятността този продукт да бъде доставен от магазин B е 0,93. Михаил Михайлович поръча стоки от двата магазина наведнъж. Ако приемем, че онлайн магазините работят независимо един от друг, намерете вероятността никой магазин да не достави продукта.

• Задача 6:Ако гросмайстор А. играе с бели, тогава той печели срещу гросмайстор Б. с вероятност 0,6. Ако A. играе черно, тогава A. печели срещу B. с вероятност 0,4. Гросмайсторите А. и Б. играят две игри, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността A. да спечели и двата пъти.

5 група:Проблеми, свързани с използването на двете формули.

• Упражнение 1:Всички пациенти със съмнение за хепатит се подлагат на кръвен тест. Ако тестът разкрие хепатит, резултатът от теста се нарича положителен. При пациенти с хепатит тестът дава положителен резултат с вероятност 0,9. Ако пациентът няма хепатит, тестът може да даде фалшив положителен резултат с вероятност 0,02. Известно е, че 66% от пациентите, приети със съмнение за хепатит, всъщност имат хепатит. Намерете вероятността пациент, приет в клиниката със съмнение за хепатит, да има положителен тест.

• Задача 2.Каубоят Джон има 0,9 шанс да удари муха на стената, ако стреля с нулев револвер. Ако Джон стреля с незабелязан револвер, той уцелва мухата с вероятност 0,2. На масата има 10 револвера, само 4 от които са простреляни. Каубойът Джон вижда муха на стената, произволно грабва първия револвер, който му попадне, и застрелва мухата. Намерете вероятността Джон да пропусне.

Задача 3:

В някои области наблюденията показват:

1. Ако сутринта през юни е ясна, тогава вероятността за дъжд през този ден е 0,1. 2. Ако юнската сутрин е облачна, тогава вероятността за дъжд през деня е 0,4. 3. Вероятността сутринта в Юни да е облачна е 0.3.

Намерете вероятността да няма дъжд в произволен ден през юни.

Задача 4.При артилерийски огън автоматичната система произвежда изстрел по целта. Ако целта не е унищожена, системата изстрелва втори изстрел. Изстрелите се повтарят, докато целта бъде унищожена. Вероятността за унищожаване на определена цел с първия изстрел е 0,3, а с всеки следващ е 0,9. Колко изстрела ще са необходими, за да се гарантира, че вероятността за унищожаване на целта е поне 0,96?

Вероятност. Проблеми на профилния Единен държавен изпит по математика.

Подготвен от учител по математика в МБОУ „Лицей № 4“, Рузаевка

Овчинникова Т.В.

Дефиниция на вероятността

Вероятност събития A се наричат ​​числово отношение м резултати, благоприятни за това събитие към общия брой н всички еднакво възможни несъвместими събития, които могат да възникнат в резултат на един тест или наблюдение:

м

н

Позволявам к – броя на хвърлянията на монети, след това броя на възможните резултати: n=2 к .

Позволявам к – броя на хвърлените зарове, след това броя на възможните резултати: n=6 к .

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж.

Решение.

Има само 4 опции: О; o o; p p; p p; О .

Благоприятно 2: О; Р И R; О .

Вероятността е 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Отговор: 0,5.

При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сборът да бъде 8 точки. Закръглете резултата до стотни.

Решение.

Заровете са кубчета с 6 страни. Първият зар може да хвърли 1, 2, 3, 4, 5 или 6 точки. Всяка опция за точкуване съответства на 6 опции за точкуване на втория зар.

Тези. общо различни опции 6×6 = 36.

Опциите (резултатите от експеримента) ще бъдат както следва:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

и т.н. .................................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Нека преброим броя на изходите (вариантите), при които сумата от точките на два зара е 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Има общо 5 опции.

Нека намерим вероятността: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Отговор: 0,14.

В колекцията от билети по биология има само 55 билета, като 11 от тях съдържат въпрос по ботаника. Намерете вероятността ученик да получи въпрос по ботаника върху произволно избран билет за изпит.

Решение:

Вероятността студентът да получи въпрос по ботаника върху произволно избран изпитен билет е 11/55 = 1/5 = 0,2.

Отговор: 0,2.

В първенството по гимнастика участват 20 състезатели: 8 от Русия, 7 от САЩ, останалите от Китай. Редът на представяне на гимнастичките се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай.

Решение.

Участват общо 20 състезатели,

от които 20 – 8 – 7 = 5 спортисти от Китай.

Вероятността спортистът, който се състезава първи, да е от Китай, е 5/20 = 1/4 = 0,25.

Отговор: 0,25.

Научната конференция се провежда в рамките на 5 дни. Предвидени са общо 75 доклада - първите три дни съдържат 17 доклада, останалите са разпределени по равно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?

Решение:

В последния ден на конференцията е планирано

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 доклада.

Вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията е 12/75 = 4/25 = 0,16.

Отговор: 0,16.

Преди началото на първия кръг от шампионата по бадминтон, участниците се разделят на случаен принцип по двойки, като се използва жребий. Общо в първенството участват 26 бадминтонисти, включително 10 участници от Русия, сред които Руслан Орлов. Намерете вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия?

Решение:

Трябва да се има предвид, че Руслан Орлов трябва да играе с някой бадминтонист от Русия. А самият Руслан Орлов също е от Русия.

Вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия е 9/25 = 36/100 = 0,36.

Отговор: 0,36.

Даша хвърля зара два пъти. Тя получи общо 8 точки. Намерете вероятността при първото хвърляне да получите 2 точки.

Решение.

Общо 8 точки трябва да се появят на двата зара. Това е възможно, ако има следните комбинации:

Има общо 5 опции. Нека преброим броя на резултатите (опциите), при които са получени 2 точки при първото хвърляне.

Това е вариант 1.

Нека намерим вероятността: 1/5 = 0,2.

Отговор: 0,2.

В световното първенство участват 20 отбора. Използвайки жребий, те трябва да бъдат разделени на пет групи от по четири отбора всяка. В кутията има смесени карти с номера на групи:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаните на отбори теглят по една карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне в трета група.

Решение:

Има общо 20 отбора, 5 групи.

Всяка група има 4 отбора.

И така, има общо 20 резултата, необходимите ни са 4, което означава, че вероятността да получим желания резултат е 4/20 = 0,2.

Отговор: 0,2.

Две фабрики произвеждат еднакви стъкла за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 45% от тези стъкла, втората – 55%. Първата фабрика произвежда 3% дефектно стъкло, а втората – 1%. Намерете вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно.

Решение:

Вероятността стъклото да е закупено в първата фабрика и да е дефектно:

Р 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятността стъклото да е закупено от втора фабрика и да е дефектно:

Р 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Следователно, според формулата за обща вероятност, вероятността стъклото, закупено случайно в магазин, да бъде дефектно, е равна на

p = p 1 + стр 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Отговор: 0,019.

Ако гросмайстор А. играе с бели, тогава той печели срещу гросмайстор Б. с вероятност 0,52. Ако A. играе черно, тогава A. печели срещу B. с вероятност 0,3.

Гросмайсторите А. и Б. играят две игри, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността A. да спечели и двата пъти.

Решение:

Възможността за спечелване на първата и втората игра не зависи една от друга. Вероятността за произведение на независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

p = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Отговор: 0,156.

Биатлонист стреля по мишени пет пъти. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да уцели мишените първите три пъти и да пропусне последните два пъти. Закръглете резултата до стотни.

Решение:

Резултатът от всеки следващ изстрел не зависи от предходните. Следователно събитията „улучват при първия удар“, „улучават при втория изстрел“ и т.н. независима.

Вероятността за всяко попадение е 0,8. Това означава, че вероятността за пропуск е 1 – 0,8 = 0,2.

1 изстрел: 0,8

2 изстрела: 0,8

3 изстрел: 0,8

4 изстрел: 0,2

5 изстрел: 0,2

Използвайки формулата за умножаване на вероятностите за независими събития, намираме, че желаната вероятност е равна на:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Отговор: 0,02.

В магазина има два разплащателни апарата. Всяка от тях може да бъде дефектна с вероятност 0,05, независимо от другата машина. Намерете вероятността поне една машина да работи.

Решение:

Нека намерим вероятността и двете машини да са дефектни.

Тези събития са независими, вероятността за тяхното възникване е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

0,05 · 0,05 = 0,0025.

Събитие, състоящо се в това, че поне една машина работи, обратното.

Следователно неговата вероятност е равна на

1 − 0,0025 = 0,9975.

Отговор: 0,9975.

Каубоят Джон има 0,9 шанс да удари муха на стената, ако стреля с нулев револвер. Ако Джон стреля с неизстрелян револвер, той уцелва мухата с вероятност 0,2. На масата има 10 револвера, само 4 от които са простреляни. Каубойът Джон вижда муха на стената, произволно грабва първия револвер, който му попадне, и застрелва мухата. Намерете вероятността Джон да пропусне.

Решение:

Вероятността Джон да пропусне, ако грабне занулен револвер е:

0,4 (1 − 0,9) = 0,04

Вероятността Джон да пропусне, ако грабне неизстрелян револвер е:

0,6 · (1 − 0,2) = 0,48

Тези събития са несъвместими, вероятността за тяхната сума е равна на сумата от вероятностите за тези събития:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Отговор: 0,52.

При артилерийски огън автоматичната система произвежда изстрел по целта. Ако целта не е унищожена, системата изстрелва втори изстрел. Изстрелите се повтарят, докато целта бъде унищожена. Вероятността за унищожаване на дадена цел с първия изстрел е 0,4, а с всеки следващ е 0,6. Колко изстрела ще са необходими, за да се гарантира, че вероятността за унищожаване на целта е поне 0,98?

Решение:

Можете да разрешите проблема „чрез действие“, като изчислите вероятността да оцелеете след поредица от последователни грешки:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Последната вероятност е по-малка от 0,02, така че пет изстрела в целта са достатъчни.

Отговор: 5.

В класа има 26 души, сред които двама близнаци – Андрей и Сергей. Класът е разделен на случаен принцип на две групи от по 13 души всяка. Намерете вероятността Андрей и Сергей да бъдат в една и съща група.

Решение:

Нека един от близнаците да бъде в някаква група.

Заедно с него в групата ще бъдат 12 души от останалите 25 съученици.

Вероятността вторият близнак да бъде сред тези 12 души е

P = 12: 25 = 0,48.

Отговор: 0,48.

Картината показва лабиринт. Паякът пълзи в лабиринта на входната точка. Паякът не може да се обърне и да пълзи обратно, така че на всеки клон паякът избира една от пътеките, по които все още не е пълзял. Ако приемем, че изборът на по-нататъшния път е чисто случаен, определете с каква вероятност паякът ще стигне до изход D.

Решение:

На всяко от четирите маркирани разклонения паякът може да избере или пътя, водещ до изход D, или друг път с вероятност 0,5. Това са независими събития, вероятността за тяхното възникване (паякът достига до изход D) е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Следователно вероятността да стигнете до изход D е (0,5) 4 = 0,0625.