Откъс от книга на един от най-добрите учители по математика. Удоволствието на X. Увлекателна екскурзия в света на математиката от един от най-добрите учители в света - Стивън Строгац

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Всички права запазени. Никаква част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в интернет или корпоративни мрежи, за лична или обществена употреба без писменото разрешение на собственика на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

* * *

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

За да изясним какво имам предвид под живота на числата и тяхното поведение, което не можем да контролираме, нека се върнем към хотел Furry Paws. Да предположим, че Хъмфри тъкмо щеше да предаде поръчката, но тогава пингвините от друга стая неочаквано го повикаха и също поискаха същото количество риба. Колко пъти Хъмфри трябва да извика думата "риба", след като получи две заповеди? Ако не научи нищо за числата, ще трябва да крещи толкова пъти, колкото пингвини има в двете стаи. Или, използвайки числа, той може да обясни на готвача, че му трябват шест риби за едно число и шест за друго. Но това, от което той наистина се нуждае, е нова концепция: добавяне. След като го усвои, той гордо ще каже, че му трябват шест плюс шест (или, ако е позьор, дванадесет) риби.

Това е същият творчески процес, както когато за първи път измислихме числа. Точно както числата улесняват броенето, отколкото изброяването едно по едно, добавянето улеснява изчисляването на всяка сума. В същото време този, който прави изчисленията, се развива като математик. Научно тази идея може да се формулира по следния начин: използването на правилните абстракции води до по-дълбоко вникване в същността на проблема и по-голяма сила при разрешаването му.

Скоро може би дори Хъмфри ще разбере, че сега винаги може да брои.

Но въпреки такава безкрайна перспектива, нашата креативност винаги има някои ограничения. Можем да решим какво имаме предвид под 6 и +, но щом го направим, резултатите от изрази като 6 + 6 са извън нашия контрол. Тук логиката няма да ни остави избор. В този смисъл математиката винаги включва както изобретение, така иотваряне: ние измислямконцепция, но отворентехните последствия. Както ще стане ясно от следващите глави, в математиката нашата свобода се състои в способността да задаваме въпроси и да упорстваме в търсенето на отговори, без да се налага сами да ги измисляме.

2. Каменна аритметика

Като всяко явление в живота, аритметиката има две страни: формална и забавна (или игрова).

Официалната част учехме в училище. Там ни обясниха как да работим с колони от числа, да ги събираме и изваждаме, как да ги смачкваме, когато правим изчисления в електронни таблици, когато попълваме данъчни декларации и изготвяме годишни отчети. Тази страна на аритметиката изглежда важна за мнозина от практическа гледна точка, но напълно безрадостна.

Можете да се запознаете с развлекателната страна на аритметиката само в процеса на изучаване на висшата математика. То обаче е естествено като детското любопитство.

В есето „Плачът на математика“ Пол Локхарт предлага да изучаваме числата в по-конкретни примери от обикновено: той ни моли да мислим за тях като за брой камъни. Например, числото 6 съответства на следния набор от камъчета:

Тук едва ли ще видите нещо необичайно. Такъв, какъвто е. Докато не започнем да манипулираме числата, те изглеждат почти еднакви. Играта започва, когато получим задача.

Например, нека разгледаме комплекти, които съдържат от 1 до 10 камъка и се опитайте да направите квадрати от тях. Това може да се направи само с два комплекта от 4 и 9 камъка, тъй като 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Получаваме тези числа чрез повдигане на квадрат на друго число (т.е. подреждане на камъните в квадрат).

Ето една задача, която има по-голям брой решения: трябва да разберете кои комплекти ще образуват правоъгълник, ако подредите камъните в два реда с равен брой елементи. Тук са подходящи комплекти от 2, 4, 6, 8 или 10 камъка; числото трябва да е четно. Ако се опитаме да подредим останалите комплекти с нечетен брой камъни в два реда, неизменно ще се окажем с допълнителен камък.

Но не всичко е загубено за тези неудобни числа! Ако вземете два такива набора, тогава допълнителните елементи ще намерят двойка и сумата ще бъде четна: нечетно число + нечетно число = четно число.

Ако разширим тези правила до числа след 10 и приемем, че броят на редовете в правоъгълник може да бъде повече от два, тогава някои нечетни числа ще позволят да се добавят такива правоъгълници. Например числото 15 може да образува правоъгълник 3 × 5.

Следователно, въпреки че 15 несъмнено е нечетно число, то е съставно число и може да бъде представено като три реда от по пет камъка всеки. По същия начин всеки запис в таблицата за умножение създава своя собствена правоъгълна група от камъчета.

Но някои числа, като 2, 3, 5 и 7, са напълно безнадеждни. Не можете да изложите нищо от тях, освен да ги подредите под формата на проста линия (един ред). Тези странни упорити хора са известните прости числа.

Така че виждаме, че числата могат да имат странни структури, които им придават определен характер. Но за да разберете пълния обхват на тяхното поведение, трябва да се отдръпнете от отделните числа и да наблюдавате какво се случва по време на тяхното взаимодействие.

Например, вместо да добавяме само две нечетни числа, нека добавим всички възможни поредици от нечетни числа, започвайки с 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Изненадващо, тези суми винаги се оказват идеални квадрати. (Вече казахме, че 4 и 9 могат да бъдат представени като квадрати, а за 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 това също е вярно.) Едно бързо изчисление показва, че това правило е вярно и за по-големи нечетни числа и очевидно , клони към безкрайност. Но каква е връзката между нечетните числа с техните „допълнителни“ камъни и класически симетричните числа, които образуват квадрати? Като поставим камъчетата правилно, можем да го направим очевиден, което е отличителният белег на елегантно доказателство.

Ключът към него е наблюдението, че нечетните числа могат да бъдат представени като равностранни ъгли, чието последователно припокриване образува квадрат!

Подобен начин на разсъждение е представен в друга наскоро публикувана книга. Очарователният роман на Йоко Огава Икономката и професорът разказва историята на проницателна, но необразована млада жена и нейния десетгодишен син. Жена беше наета да се грижи за възрастен математик, чиято краткотрайна памет, поради травматично мозъчно нараняване, запазва информация само за последните 80 минути от живота му. Изгубен в настоящето, сам в мизерната си къщичка, без нищо друго освен с числа, професорът се опитва да общува с икономката по единствения начин, който знае: като я пита за размера на обувките или датата на раждане и води лек разговор с нея за нейните разходи. Професорът също харесва особено сина на икономката, когото нарича Рут (Корен), защото момчето има плоска глава отгоре и това му напомня за математическия запис за корен квадратен √.

Един ден професорът дава на момчето проста задача – да намери сумата на всички числа от 1 до 10. След като Рут внимателно събира всички числа и се връща с отговора (55), професорът го моли да потърси по-лесен начин. Ще успее ли да намери отговора? безобикновено събиране на числа? Рут рита стол и крещи: „Не е честно!“

Малко по малко икономката също се въвлича в света на числата и тайно се опитва сама да разреши този проблем. „Не разбирам защо толкова се интересувам от детски пъзел, който няма практическа полза“, казва тя. „Отначало исках да угодя на професора, но постепенно този урок се превърна в битка между мен и числата. Когато се събудих сутринта, уравнението вече ме чакаше:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

и то ме следваше цял ден, сякаш беше изгорено в ретината на очите ми и нямаше начин да го пренебрегна.“ Има няколко начина за решаване на проблема на професора (чудя се колко можете да намерите). Самият професор предлага метод на разсъждение, който вече приложихме по-горе. Той интерпретира сумата от 1 до 10 като триъгълник от камъчета, с едно камъче в първия ред, две във втория и така нататък, до десет камъчета в десетия ред.

Тази картина дава ясна представа за отрицателното пространство. Оказва се, че е пълен само наполовина, което показва посоката на творческия пробив. Ако копирате триъгълник от камъчета, обърнете го и го комбинирате със съществуващ, получавате нещо много просто: правоъгълник с десет реда по 11 камъчета всеки, за общо 110 камъка.

Тъй като оригиналният триъгълник е половината от този правоъгълник, изчислената сума на числата от 1 до 10 трябва да бъде половината от 110, тоест 55.

Представянето на число като група от камъчета може да изглежда необичайно, но всъщност е толкова старо, колкото и самата математика. Думата "изчисли" изчисли) отразява това наследство и произлиза от латински смятане, което означава "камъче", което римляните са използвали при извършване на изчисления. Не е нужно да сте Айнщайн (което означава „един камък“ на немски), за да се наслаждавате на манипулирането на числа, но може би това, че можете да жонглирате с камъчета, ще ви улесни.

Slam dunk е вид баскетболен удар, при който играч скача и хвърля топката през обръча отгоре надолу с една или две ръце. Забележка превод

Джей Симпсън е известен играч на американски футбол. Той играе ролята на детектив Нортберг в известната трилогия „Голият пистолет“. Той беше обвинен в убийството на бившата си съпруга и нейния приятел и беше оправдан въпреки доказателствата. Забележка превод

За очарователната идея, че числата имат свой собствен живот и че математиката може да се разглежда като форма на изкуство, вижте P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Забележка ред.: В руския интернет има много преводи на есето на Локхард „Плачът на математика“. Ето един от тях: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Тук и по-долу бележките под линия във къдрави скоби се отнасят за бележките на автора.

Тази известна фраза е взета от есето на E. Wigner Неразумната ефективност на математиката в естествените науки, Съобщения в чистата и приложна математика, том. 13, бр. 1, (февруари 1960), стр. 1–14. Онлайн версията е достъпна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. За допълнителни мисли по тази тема и дали математиката е изобретена или открита, вижте M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon and Schuster, 2009) и R. W. Hamming, Неразумната ефективност на математиката, American Mathematical Monthly, том. 87, бр. 2 (февруари 1980 г.).

Дължа голяма част от тази глава на две отлични книги: полемичното есе на П. Локхарт, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) и романът на Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Забележка ред.: Есето на Локхард „Плачът на един математик“ е споменато в коментар 1. Все още няма превод на романа на Йоко Огава на руски.

За младите читатели, които искат да изследват числата и техните структури, вижте H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Забележка изд.: Сред многобройните руски книги за началото на математиката, нестандартните подходи към нейното изучаване, развитието на математическото творчество у децата и подобни теми, съзвучни със следващите глави на книгата, засега ще посочим следната: Пухначев Ю., Попов Ю. Математика без формули. М.: АД "Столетие", 1995 г.; Остър Г. Проблемна книга. Любимо ръководство по математика. М.: АСТ, 2005; Ryzhik V.I. 30 000 урока по математика: Книга за учители. М.: Образование, 2003: Тухнин Н. П. Как да задам въпрос? За математическото творчество на учениците. Ярославъл: Верх. - Волж. Книга издателство, 1989г.

За отлични, но по-сложни примери за визуализиране на математически образи вижте R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Всички права запазени. Никаква част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в интернет или корпоративни мрежи, за лична или обществена употреба без писменото разрешение на собственика на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

* * *

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

За да изясним какво имам предвид под живота на числата и тяхното поведение, което не можем да контролираме, нека се върнем към хотел Furry Paws. Да предположим, че Хъмфри тъкмо щеше да предаде поръчката, но тогава пингвините от друга стая неочаквано го повикаха и също поискаха същото количество риба. Колко пъти Хъмфри трябва да извика думата "риба", след като получи две заповеди? Ако не научи нищо за числата, ще трябва да крещи толкова пъти, колкото пингвини има в двете стаи. Или, използвайки числа, той може да обясни на готвача, че му трябват шест риби за едно число и шест за друго. Но това, от което той наистина се нуждае, е нова концепция: добавяне. След като го усвои, той гордо ще каже, че му трябват шест плюс шест (или, ако е позьор, дванадесет) риби.

Това е същият творчески процес, както когато за първи път измислихме числа. Точно както числата улесняват броенето, отколкото изброяването едно по едно, добавянето улеснява изчисляването на всяка сума. В същото време този, който прави изчисленията, се развива като математик. Научно тази идея може да се формулира по следния начин: използването на правилните абстракции води до по-дълбоко вникване в същността на проблема и по-голяма сила при разрешаването му.

Скоро може би дори Хъмфри ще разбере, че сега винаги може да брои.

Но въпреки такава безкрайна перспектива, нашата креативност винаги има някои ограничения. Можем да решим какво имаме предвид под 6 и +, но щом го направим, резултатите от изрази като 6 + 6 са извън нашия контрол. Тук логиката няма да ни остави избор. В този смисъл математиката винаги включва както изобретение, така иотваряне: ние измислямконцепция, но отворентехните последствия. Както ще стане ясно от следващите глави, в математиката нашата свобода се състои в способността да задаваме въпроси и да упорстваме в търсенето на отговори, без да се налага сами да ги измисляме.

2. Каменна аритметика

Като всяко явление в живота, аритметиката има две страни: формална и забавна (или игрова).

Официалната част учехме в училище. Там ни обясниха как да работим с колони от числа, да ги събираме и изваждаме, как да ги смачкваме, когато правим изчисления в електронни таблици, когато попълваме данъчни декларации и изготвяме годишни отчети. Тази страна на аритметиката изглежда важна за мнозина от практическа гледна точка, но напълно безрадостна.

Можете да се запознаете с развлекателната страна на аритметиката само в процеса на изучаване на висшата математика {3}. То обаче е естествено като детското любопитство {4}.

В есето „Плачът на математика“ Пол Локхарт предлага да изучаваме числата в по-конкретни примери от обикновено: той ни моли да мислим за тях като за брой камъни. Например, числото 6 съответства на следния набор от камъчета:

Тук едва ли ще видите нещо необичайно. Такъв, какъвто е. Докато не започнем да манипулираме числата, те изглеждат почти еднакви. Играта започва, когато получим задача.

Например, нека разгледаме комплекти, които съдържат от 1 до 10 камъка и се опитайте да направите квадрати от тях. Това може да се направи само с два комплекта от 4 и 9 камъка, тъй като 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Получаваме тези числа чрез повдигане на квадрат на друго число (т.е. подреждане на камъните в квадрат).

Ето една задача, която има по-голям брой решения: трябва да разберете кои комплекти ще образуват правоъгълник, ако подредите камъните в два реда с равен брой елементи. Тук са подходящи комплекти от 2, 4, 6, 8 или 10 камъка; числото трябва да е четно. Ако се опитаме да подредим останалите комплекти с нечетен брой камъни в два реда, неизменно ще се окажем с допълнителен камък.

Но не всичко е загубено за тези неудобни числа! Ако вземете два такива набора, тогава допълнителните елементи ще намерят двойка и сумата ще бъде четна: нечетно число + нечетно число = четно число.

Ако разширим тези правила до числа след 10 и приемем, че броят на редовете в правоъгълник може да бъде повече от два, тогава някои нечетни числа ще позволят да се добавят такива правоъгълници. Например числото 15 може да образува правоъгълник 3 × 5.

Следователно, въпреки че 15 несъмнено е нечетно число, то е съставно число и може да бъде представено като три реда от по пет камъка всеки. По същия начин всеки запис в таблицата за умножение създава своя собствена правоъгълна група от камъчета.

Но някои числа, като 2, 3, 5 и 7, са напълно безнадеждни. Не можете да изложите нищо от тях, освен да ги подредите под формата на проста линия (един ред). Тези странни упорити хора са известните прости числа.

Така че виждаме, че числата могат да имат странни структури, които им придават определен характер. Но за да разберете пълния обхват на тяхното поведение, трябва да се отдръпнете от отделните числа и да наблюдавате какво се случва по време на тяхното взаимодействие.

Например, вместо да добавяме само две нечетни числа, нека добавим всички възможни поредици от нечетни числа, започвайки с 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Изненадващо, тези суми винаги се оказват идеални квадрати. (Вече казахме, че 4 и 9 могат да бъдат представени като квадрати, а за 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 това също е вярно.) Едно бързо изчисление показва, че това правило е вярно и за по-големи нечетни числа и очевидно , клони към безкрайност. Но каква е връзката между нечетните числа с техните „допълнителни“ камъни и класически симетричните числа, които образуват квадрати? Като поставим камъчетата правилно, можем да го направим очевиден, което е отличителният белег на елегантно доказателство. {5}

Ключът към него е наблюдението, че нечетните числа могат да бъдат представени като равностранни ъгли, чието последователно припокриване образува квадрат!

Подобен начин на разсъждение е представен в друга наскоро публикувана книга. Очарователният роман на Йоко Огава Икономката и професорът разказва историята на проницателна, но необразована млада жена и нейния десетгодишен син. Жена беше наета да се грижи за възрастен математик, чиято краткотрайна памет, поради травматично мозъчно нараняване, запазва информация само за последните 80 минути от живота му. Изгубен в настоящето, сам в мизерната си къщичка, без нищо друго освен с числа, професорът се опитва да общува с икономката по единствения начин, който знае: като я пита за размера на обувките или датата на раждане и води лек разговор с нея за нейните разходи. Професорът също харесва особено сина на икономката, когото нарича Рут (Корен), защото момчето има плоска глава отгоре и това му напомня за математическия запис за корен квадратен √.

Един ден професорът дава на момчето проста задача – да намери сумата на всички числа от 1 до 10. След като Рут внимателно събира всички числа и се връща с отговора (55), професорът го моли да потърси по-лесен начин. Ще успее ли да намери отговора? безобикновено събиране на числа? Рут рита стол и крещи: „Не е честно!“

Малко по малко икономката също се въвлича в света на числата и тайно се опитва сама да разреши този проблем. „Не разбирам защо толкова се интересувам от детски пъзел, който няма практическа полза“, казва тя. „Отначало исках да угодя на професора, но постепенно този урок се превърна в битка между мен и числата. Когато се събудих сутринта, уравнението вече ме чакаше:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

През 2010 г. Стивън Строгац написа поредица от статии за основите на математиката за The New York Times. Статиите предизвикаха бурен възторг. Всяка колона се превърна в най-популярната статия във вестника и привлече стотици коментари. Читателите поискаха повече и Стивън не ги разочарова - появи се тази книга, която включва както вече публикувани части, така и напълно нови глави.

Математиката прониква във всичко на този свят, включително и в нас самите, но, за съжаление, малко хора разбират този универсален език достатъчно добре, за да оценят неговата мъдрост и красота. Стивън Строгац е учителят по математика, за когото сте мечтали в гимназията. Учител, който е в състояние да запали искра на интерес и да вдъхне любов за цял живот към предмета си. В тази невероятно лесна и забавна книга той ни дава втори шанс да се запознаем с математиката. Във всяка кратка глава ще откриете нещо ново, от това защо числата са необходими на първо място до теми като геометрия, интегрално смятане, статистика и безкрайност. Авторът обяснява страхотни математически идеи просто и елегантно, с брилянтни примери, които всеки може да разбере. Тази книга е за всеки. Тези, които са малко запознати с математиката, ще се запознаят отблизо с нея, а тези, които обичат математиката, ще се насладят на четенето за „царицата на науките“.

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

Ще проучим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат да се обяснят основните математически изчисления. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете фундаменталната теорема на Евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: дали Джей Симпсън е убил жена си; как да преместите матрак така, че да издържи възможно най-дълго; колко партньора трябва да се сменят, преди да се оженим - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебрата, да чуете ехото на теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютъра или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.

— Прочетете книгата „Удоволствието на X“ от Стивън Строгац онлайн —

Поредица от 15 статии под общо заглавие „Основи на математиката“ се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им заваляха писма и коментари от читатели от всички възрасти, включително много ученици и учители. Имаше и просто любопитни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя си“ в разбирането на математическата наука; сега чувстваха, че са пропуснали нещо ценно и искаха да опитат отново. Особено ме зарадва благодарността на моите родители, защото с моя помощ те успяха да обяснят математиката на децата си, а те самите започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, пламенни почитатели на тази наука, се радваха да четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха един с друг, за да предложат всякакви препоръки за подобряване на моето дете.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че на това явление се обръща малко внимание. Всичко, за което чуваме, е страхът от математиката и въпреки това мнозина биха искали да се опитат да я разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и напреднали идеи от света на математиката. Главите са малки, лесни за четене и не са особено зависими една от друга. Сред тях са тези, включени в тази първа поредица от статии в New York Times. Така че, веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да вземете следващата глава. Ако искате да разберете по-подробно въпроса, който ви интересува, тогава в края на книгата има бележки с допълнителна информация и препоръки какво друго можете да прочетете за него.

Удоволствието на X - Стивън Строгац (изтегляне)

(уводна версия)

И накрая ви предлагаме да гледате интересно видео

Стивън Строгац

Удоволствието от х. Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Всички права запазени. Никаква част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в интернет или корпоративни мрежи, за лична или обществена употреба без писменото разрешение на собственика на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

* * *

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

Ще проучим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат да се обяснят основните математически изчисления. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете фундаменталната теорема на Евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: дали Джей Симпсън е убил жена си; как да преместите матрак така, че да издържи възможно най-дълго; колко партньора трябва да се сменят, преди да се оженим - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебрата, да чуете ехото на теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютъра или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.

Поредица от 15 статии под общо заглавие „Основи на математиката“ се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им заваляха писма и коментари от читатели от всички възрасти, включително много ученици и учители. Имаше и просто любопитни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя си“ в разбирането на математическата наука; сега чувстваха, че са пропуснали нещо ценно и биха искали да опитат отново. Особено ме зарадва благодарността на моите родители, защото с моя помощ те успяха да обяснят математиката на децата си, а те самите започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, пламенни почитатели на тази наука, се радваха да четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха един с друг, за да предложат всякакви препоръки за подобряване на моето дете.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че на това явление се обръща малко внимание. Всичко, за което чуваме, е страхът от математиката и въпреки това мнозина биха искали да се опитат да я разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и напреднали идеи от света на математиката. Главите са малки, лесни за четене и не са особено зависими една от друга. Сред тях са тези, включени в тази първа поредица от статии в New York Times. Така че, веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да вземете следващата глава. Ако искате да разберете по-подробно въпроса, който ви интересува, тогава в края на книгата има бележки с допълнителна информация и препоръки какво друго можете да прочетете за него.

За удобство на читателите, които предпочитат подхода стъпка по стъпка, разделих материала на шест части в съответствие с традиционния ред на изучаване на темите.

Част I, Числа, започва нашето пътуване с аритметиката в детската градина и началното училище. Показва колко полезни могат да бъдат числата и колко магически ефективни са те при описването на света около нас.

Част II, „Съотношения“, измества вниманието от самите числа към връзките между тях. Тези идеи лежат в основата на алгебрата и са първите инструменти за описване на това как едно нещо влияе на друго, показвайки причинно-следствената връзка на различни неща: търсене и предлагане, стимул и реакция - накратко, всички видове взаимоотношения, които правят света толкова богат и разнообразен.

Част III „Фигури” разказва не за числата и символите, а за фигурите и пространството – областта на геометрията и тригонометрията. Тези теми, заедно с описанието на всички наблюдавани обекти чрез форми, логически разсъждения и доказателства, извеждат математиката на ново ниво на прецизност.

В част IV, Време за промяна, ще разгледаме смятането, най-вълнуващият и разнообразен клон на математиката. Смятането прави възможно предсказването на траекторията на планетите, циклите на приливите и отливите и дава възможност да се разберат и опишат всички периодично променящи се процеси и явления във Вселената и в нас. Важно място в тази част е отделено на изследването на безкрайността, чието умиротворяване се превърна в пробив, който позволи изчисленията да работят. Компютрите помогнаха за решаването на много проблеми, възникнали в древния свят, и това в крайна сметка доведе до революция в науката и съвременния свят.

Част V, „Многото лица на данните“, се занимава с вероятността, статистиката, мрежите и науката за данните – все още сравнително млади области, родени от не толкова подредените аспекти на живота ни, като възможности и късмет, несигурност, риск , променливост, хаос и взаимозависимост. Използвайки правилните инструменти на математиката и подходящите типове данни, ще се научим да откриваме модели в потока на произволността.

В края на нашето пътуване в част VI, „Границите на възможното“, ще се доближим до границите на математическото познание, граничния регион между това, което вече е известно, и това, което все още е неуловимо и неизвестно. Отново ще преминем през темите в реда, в който вече сме запознати: числа, съотношения, цифри, промени и безкрайност – но в същото време ще разгледаме всяка от тях по-задълбочено, в нейното съвременно превъплъщение.

Надявам се, че всички идеи, описани в тази книга, ще ви се сторят очарователни и ще ви накарат да възкликнете повече от веднъж: „Уау!“ Но винаги трябва да започнете отнякъде, така че нека започнем с проста, но завладяваща дейност като броенето.

Част I. Числа

1. Основи на числата: събиране на риби

Най-добрата демонстрация на концепции за числата, която някога съм виждал (най-ясното и най-забавното обяснение за това какво представляват числата и защо са ни необходими) беше в епизод на популярното детско шоу „Улица Сезам“, наречено „123: Броим заедно“ (123 Counter with Me). Хъмфри, добродушен, но малоумен персонаж с розова козина и зелен нос, който работи в хотел Furry Feet, приема поръчки по телефона от гостите-пингвини по време на обяд. След като ги изслуша внимателно, Хъмфри предава поръчката на кухнята: „Риба, риба, риба, риба, риба, риба.“ Това, което вижда, кара Ърни да разкаже на Хъмфри за добродетелите на числото шест.

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

Moneyball

Майкъл Луис

Гъвкаво съзнание

Карол Дуек

Физика на борсата

Джеймс Уедърол

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Стивън Строгац

Удоволствието от х

Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателството

Публикува се за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгац, П.

Удоволствието от х. Увлекателно пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; платно от английски - М.: Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга може коренно да промени отношението ви към математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете красотата на геометрията, ще се запознаете с благодатта на интегралното смятане, ще се убедите в важността на статистиката и ще влезете в контакт с безкрайността . Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, с брилянтни примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под никаква форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора Vegas-Lex.

© Стивън Строгац, 2012 Всички права запазени

© Превод на руски, публикация на руски, дизайн. Mann, Ivanov and Ferber LLC, 2014 г

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се събираме, той говори с ентусиазъм за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом започнем да говорим за математика, той усеща треперене в коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че не само че тези странни математически символи се противопоставят на разбирането му, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за отхвърлянето му от математиката е много по-дълбока. Той няма да има представа какво правят математиците като цяло и какво имат предвид, когато казват, че дадено доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално 1 + 1 = 2, и да навляза възможно най-дълбоко в математиката.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, точно това ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметиката до висшата математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да се възползват от него. И този път няма да се налага да седите на бюро. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще ви помогне да разберете какво изучава тази дисциплина и защо е толкова увлекателна за тези, които я разбират.

Ще проучим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат да се обяснят основните математически изчисления. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете фундаменталната теорема на Евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: дали Джей Симпсън е убил жена си; как да преместите матрак така, че да издържи възможно най-дълго; колко партньора трябва да се сменят, преди да се оженим - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебрата, да чуете ехото на теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади, предшестващи Първата световна война, има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с помощта на компютъра или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.